排列组合题以及式

排列组合题以及式

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排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；

（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；

（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．

【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.

排列与组合的概念与计算公式

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

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从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

３．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列的计算公式:

第一位的可能性×第二位的可能性×....×第N位的可能性

例如

5个人排队,第三个人的位置不变,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40种

组合的公式:

我举例来说吧

第一规则:从五个事物里取三种事物组合与从五个事物里取二种事物组合是相同的

第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数

(5×4×3)÷(3×2×1)

从五个事物里取二种事物组合的组合数

(5×4)÷(2×1)

从十里取八与从十里取二相同

(10×9×8×7...取几个数就依次乘几个数)÷(8的阶乘)

备注:8阶乘就是从８依次乘到1

数学补差（4）———计数原理

1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A．81B．64C．12D．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有

4

5 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．2311323233A A A A A +

3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数

是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6

4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是

A ．男生2人女生6人

B ．男生3人女生5人

C ．男生5人女生3人

D ．男生6人女生2人.

5．在8

312x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360

8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有

A ．60个

B ．48个

C ．36个

D ． 24个

9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是

A ．1260

B ．120

C ．240

D ．720

10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于

A ．5569n n A --

B ．1569n A -

C ．1555n A -

D ．14

69n A -

11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为

A ．120

B ．240

C ．280

D ．60

12．把10(3)i x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．3603i - D ．3603i

13．2122n

x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的展开式中，2x 的系数是224，则21x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7

15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.

16．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .