2018年广东省中山市初中数学教师解题比赛试卷(PDF版,含解析)_20200216_160257

2018 年广东省中山市初中数学解题竞赛试卷

一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）

1．（3 分）下列各数中，最大的有理数是（）

A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．

2．（3 分）把抛物线y＝﹣x2 向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3

C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3

3．（3 分）下列命题正确的是（）

A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形

B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D．对角线相等的四边形是等腰梯形

4．（3 分）一个袋子里装有2000 个红球，1000 个黑球，10 个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的球中有1000 个颜色相同，至少应摸出多少个球（）

A．1010 个B．2000 个C．2008 个D．2009 个

5．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB，CA 分别相交于点E，F，则线段EF 长度的最小值是（）

A．B．4.75 C．5 D．4.8

6．（3 分）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4 的有理数x 有多少个（）

B．2 C．3 D．无数

7．（3 分）在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于4 的是（）

A． B．

C．D．

8．（3 分）二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示．下列结论正确的是（）

A．3|a|+|c|＞2|b| B．3|a|+|c|＝2|b| C．3|a|+|c|＜2|b| D．3|a|+|c|≤2|b|

二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分．请将最简结果直接填在题后横线上）．

9．（4 分）函数中，自变量x 的取值范围是．

10．（4 分）已知，则代数式的值为．

11．（4 分）甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．则甲获胜（并列不计）的概率是．

12．（4 分）若实数a，b 满足a+b2＝1，则2a2+7b2 的最小值是．

13．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，点P 是弧AC 上任意一点（不与A、C 重合），∠ABC＝55°，则∠P O C 的取值范围是．

14．（4 分）若2x2﹣6y2+xy+kx+6 能分解为两个一次因式的积，则整数k 的值是．

15．（4 分）关于x 的方程（a≠0）的解为．

16．（4 分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝．

三、解答题（本大题共 6 小题，满分64 分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

17 ．（10 分）已知正实数x 、y 、z 、w 满足2007x2 ＝2008y2 ＝2009z2 ＝2010w2 ，且，求

之值．

18．（10 分）设正方形ABC D的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，求它们的面积恰好相等的概率．

19．（10 分）已知a、b、c、d 为不同的实数，且a、c 是方程x2+ax﹣b＝0 的根，b、d 是方程x2+cx+d＝0 根．求a、

b、c、d 的值．

20．（10 分）已知函数y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1 的图象不经过第四象限，求常数k 的取值范围．21．（12 分）如图，在矩形ABC D中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P 在矩形ABC D内，若AB＝4，BC＝6，AE＝CG＝3，BF＝DH＝4，四边形AEPH 的面积为5，求四边形PFCG 的面积．

22．（12 分）如图，△ABC 的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：

（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；

（2）设△ABC 三边中点分别为A1、B1、C1，则P 为△A1B1C1 的外心．

参考答案

一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）

1.解：∵负数都小于0，正数大于一切负数，

∴排除B 和C；

∵是无理数，

故四个数0，﹣1，﹣3，有理数最大的是

0．故选：A．

2.解：当y＝﹣x2 向左平移1 个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），

当向上平移3 个单位时，顶点变为（﹣1，3），

则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）

2+3．故选：D．

3.解：A、错误，例如等腰梯形；

B、错误，例如对角线互相垂的梯形；

C、正确；

D、错误，例如矩

形．故选：C．

4.解：最坏情况考虑就行了，摸出10 个黄球，摸出另二色中一色的999 个球，最后再摸出最后一色的1000 个球，这

时可以保证至少有1000 个颜色相同，即最少要摸：10+999+1000＝2009 个球，

故选：D．

5．解：如图，∵∠ACB＝90°，

∴EF 是直径，

设EF 的中点为O，圆O 与AB 的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴∠ACB＝90°，

∴EF 为直径，OC+OD＝EF，

∴CO+OD＞CD＝4.8，

∵当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上CD 时，EF＝CD 有最小值

∴由三角形面积公式得：CD＝BC•AC÷AB＝

4.8．故选：D．