云南省曲靖市会泽县第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析

云南省曲靖市会泽县第一中学【最新】高一上学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算：1364lg 0.001-+的值为（ ）
A ．114-
B ．23-
C ．54
D ．34
2．已知集合{}
{}25,35,1,3M a a N =-+= ，若M N φ⋂≠，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．4
3．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁U B ）∩A=（ ） A ．{4，5}
B ．{1，2，3，4，5，6}
C ．{1，4，6}
D ．{1，6} 4．0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >> 5．设函数f ：R→R 满足f(0)＝1，且对任意,x y R ∈，都有
()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()2017f ＝（ ）
A ．0
B ．2018
C ．2 017
D ．1
6．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y
7．方程23log x ＝14
的解是（ ）
A ．x ＝19
B ．x
C ．x
D ．x ＝9
8．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．若()f x 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，则()20x f x ⋅<的
解是（ ）
A ．()
()3,01,-+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),30,3-∞-
D ．()()3,01,3- 10．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<<的解集为(x 1，x 2)，且2115x x -=，则a ＝（ ）
A ．56-
B ．52-
C ．154-
D ．152
- 11．已知函数2|log ,0(),21,0x x f x x x ⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩
若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,,a b c d 则a b cd ++的值为( )
A ．2
B ．2-
C ．3-
D ．3
12．已知()10a a +≠，若函数()()2log 1f x ax =-在()3,2--上为减函数，且函数
()14,21log ,2x a
x g x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩在R 上有最大值，则a 的取值范围为（ ） A
．1,22⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C
．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
D
．10,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦
⎣⎭ 13．已知函数3201732017log 3,0()log (),0
m x x x f x x nx x ⎧+>=⎨-+<⎩为偶函数，则m n -=（ ） A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
二、填空题
14．已知幂函数()a f x x 的图象过点1124⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，则log 8a = . 15．幂函数2()(1)m f x m m x =+-的图象必不过第______象限.
16．方程()
()2122lg x lg x -=+的根为____________
三、解答题
17．（1）已知()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，求()f x .
（2）求下列函数的定义域:(24)()log (102)x f x x -=-
18．设全集为U =R ,集合A {x |36x x ≤-≥或},B {x |214x -≤≤}
(1)求如图阴影部分表示的集合;
(2)已知{|21}C x a x a =≤≤+,若C B ⊆,求实数a 的取值范围．
19．（1）已知函数()()42,2x f x g x x
=+
=，设()()()h x g x f x =-，求函数h(x)在区间[2,4]上的值域；
（2）计算并求值72
log 220323()(1(3)738
-+-+ ． 20．设函数()()2
3f x x a x a =--+. (1)当2a =时，对任意[]0,2x ∈，()f x m <恒成立，求m 的取值范围；
(2)若函数()f x 在[]
0,2x ∈有两个不同的零点，求两个零点之间距离的最大值，并求此时a 的值.
21．已知二次函数()()2210g x ax ax b a =-++>区间[]2,3上有最大值4，最小值1. （1）求函数()g x 的解析式；
（2）设()()g x f x x =
.若()33log log 0f x k x -⋅≥在11,273x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，求实数k 的取值范围.
22．已知函数()1(0,1)x x t f x a a a a
-=+>≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数t 的值；
（2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围；
（3）若()312f =
且()()2212x x h x a mf x a
=+-在 [1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.
参考答案
1．A
【分析】
运用指数对数运算法则.
【详解】
11333364lg 0.0014
lg10--⨯-+=+
111344=-=-. 故选:A.
【点睛】
本题考查指数对数运算，是简单题.
2．C
【解析】
【分析】
由M N φ⋂≠根据交集的定义可得，2351a a -+=或2353a a -+= ,解方程即可得到结论.
【详解】
因为集合{}
{}25,35,1,3M a a N =-+= ， M N φ⋂≠， 所以2351a a -+=或2353a a -+=，
即2340a a -+=或2320a a -+=；
解2340a a -+=得，此方程无解；
解2320a a -+=得，1a =或2a =；
综上，a 的值为1或2 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查集合交集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.
3．D
【分析】
由补集的定义求出集合B 的补集，由交集的定义可得结果.
【详解】
{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,5U B ==,
所以{}1,3,6U C B =，
又因为A={}1,2,6，所以{}1,6U C B A ⋂=，故选D.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合.
4．D
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果.
【详解】
由对数函数与指数函数的单调性可得，
0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，
b c a ∴>>，故选D.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
5．B
【分析】
令0x y ==,利用()01f = ,求出()12f =,再利用()12f =，令0y =,求()f x 的解析式，从而可得结果.
【详解】
()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，
令0x y ==，得()11102f =--+，
()12f ∴=，
令()()()()0,1002y f f x f f x ==--+，又()01f =，
()1f x x ∴=+，
()2017201712018f ∴=+=，故选B.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题. 解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）0x y ==；（2）1x y ==；（3）x y =-.
6．D
【解析】
试题分析:因函数lg 10x y =的定义域和值域分别为,故应选D ．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
7．A
【分析】
利用指数与对数的互化即可求解.
【详解】
∵23log x ＝2－2，
∴log 3x ＝－2，
∴x ＝3－2＝19
. 故选：A
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
8．C
【分析】
由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为
12n ，由10.012n ≤可得结果. 【详解】
开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，
经过n 此操作后,区间长度变为12
n ， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,
要求精确度为0.01 ,
10.012
n ∴≤，解得7n ≥，故选C. 【点睛】
本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
9．C
【分析】
先根据()f x 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数，又()30f -=，可得()30f =且()f x 在(),0-∞上是增函数,再根据()2
0x f x ⋅<等价于()0f x <，结合函数单调性与对称性列不等式可得结果.
【详解】
函数()f x 为奇函数，
()()330f f ∴-=-=，
()30f ∴=，
函数()f x 在()0,∞+上是增函数，
∴函数()f x 在(),0-∞上是增函数,
∴对于()20x f x ⋅<，等价于()0f x <，
()()003033
x x x f x f x <<⎧⎧⇒⇒<-⎨⎨<=-<-⎩⎩ 或()
()00033x x f x f x >>⎧⎧⇒⎨⎨<=<⎩⎩，解得 03x <<， 综上可得x 的范围是()
(),30,3-∞-，故选C.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
10．B
【解析】
【分析】
关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，则12,x x 是一元二次方程()222800x ax a a --=>的实数根，利用根与系数的关系列方程即可得结果.
【详解】
关于x 的不等式()22
2800x ax a a --<>的解集为()12,x x ， 12,x x ∴是一元二次方程()222800x ax a a --=>的实数根，
224320a a ∴∆=+>,
212122,8x x a x x a ∴+==-,
2115x x -=,
()22221212154432x x x x a a ∴=+-=+,
又0a <，解得52
a =-
，故选B. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，属于中档题. 从近几年的高考试题来看，二次函数图象的应用是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式
出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．
11．C
【分析】
函数()1y f x m =-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，
可设四个交点横坐标a b c d ,,,
满足a b c d <<<，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得1cd =，利用对称性得到4a b +=-，从而可得结果.
【详解】
作出函数()2log ,021,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩
的图象如图, 函数()1y f x m =-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标a b c d ,,,
满足a b c d <<<， 则，()()f a f b =，2121a b +-=+-,
可得31a b --=+, 4a b +=-
由()()f c f d =，得22log log c d =，
则22log log c d -=，可得2log 0cd =，
即1cd =，413a b cd ++=-+=-，故选C.
【点睛】
函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程
()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.
12．A
【分析】
由()()2log 1f x ax =-在()3,2--上为减函数，可得210a --≥；由()g x 在R 上有最大
值，可得20112
a a ⎧<<⎪
⎨≥⎪⎩，综上可得结果,.
【详解】
()()2log 1f x ax =-在()3,2--上为减函数，
0a ∴<，且10ax ->在()3,2--上恒成立，
210a --≥，1
2
a ∴≤-，
又()g x 在R 上有最大值，且()g x 在1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上单调递增，
()g x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且1
21
log 422
a ≤=，
2
01
12
a a ⎧<<⎪∴⎨≥⎪⎩，
解得a ≤ 综上所述
，1
2
a ≤≤-，故选A. 【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 13．D 【解析】
根据题意设0,0x x >-<，又由()()3
20173
2017
log 3,0
log ,0m x x x f x x nx x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩为偶函数，则3320172017()log log 3()f x x nx m x x f x -=-=+= ，则有1,3m n ==-，则
134m n -=+=，选D.
14．3 【解析】
试题分析：依题意，得1112224f α
α⎛⎫⎛⎫==⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，322log 8log 23== . 考点：1.幂函数的性质；2.指数的运算；3.对数运算. 15．四 【解析】
由题意得211m m +-= ，所以1m = 或2-
当1m =时，()f x x =; 当2m =-时，()2
f x x -=;因此图象必不过第四象限
16．3 【解析】 【分析】
根据同底的对数相等，真数必相等，可得2122x x -=+，结合对数函数的定义域可得结果. 【详解】
()
()2lg 1lg 22x x -=+， 2210
220122x x x x ⎧->⎪
∴+>⎨⎪-=+⎩
，1x ∴>， 且()()2
23310x x x x --=-+=，
3x ∴=，故答案为3.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质以及对数函数的定义域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 17．（1）()12855f x x x =- ； （2）55
(2,)(,5)22
⋃. 【分析】 （1）用
1x 代替x ，得出()1432f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用方程组消去1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
求出()f x 的解
析式；（2）根据对数的真数大于零、对数的底数大于零且不等于1列不等式，解不等式组
【详解】
（1）由已知可得()1324f x f x x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭ ①， 用1x 换x 得到等式31f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
+2f(x)=4x ②
联立两方程可求解出f(x)=
128
55x x
-. (2)由已知,得1020
240241
x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩
, 解得522x <<或5
52x <<，函数()f x 的定义域为
552,,522⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查函数的定义域、函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
18．(1)(]() ,314,∞∞--⋃+;(2)[
) 1,
∞-+. 【解析】
试题分析：(1)根据韦恩图知表示为()A C U B ⋂，直接求解即可; (2)通过比较集合的端点值进行求解,但不要忽视空集的特殊情况． 试题解析：
(1)阴影部分表示的集合为()(]
()A C ,314,U B ∞∞⋂=--⋃+. (2) 当2a >a +1,,即a >1时,C =∅,成立; 当2a ＝a +1,即a ＝1时,成立;
当21a a <+,即1a <时,114,
22,a a +≤⎧⎨≥-⎩
由得11a -≤<,
综上所述,a 的取值范围为[
)1,∞-+. 19．（1）[]
0,13 ； （2）3.
(1)根据函数()(),f x g x 的单调性，判断出()h x 的单调性，可得函数()h x 在区间[]
2,4上单调递增，从而求出函数()h x 的值域即可；（2）利用分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误. 【详解】 (1)
函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减,
所以函数()f x -在区间()0,+∞上单调递增, 又因为函数()g x 在区间()0,+∞上单调递增，
∴函数()h x 在区间[]2,4上单调递增，
故()()()24h h x h ≤≤,即()013h x ≤≤, 所以函数在区间[]2,4上的值域为[]
0,13,
(2)(72
2
3
log 22313738-⎛⎫
⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
233
9399
121234244
⨯⎛⎫=
+-+=
+-+= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查利用函数单调性求函数值域，幂指数的运算，属于中档题. 求函数值域的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法. 20．(1)()4,+∞；(2)当23
a =时，12max 5
3x x -=.
【解析】
试题分析：⑴代入2a =，结合抛物线图形计算求得m 的取值范围(2)用两根之和与两根之
积表示出两根之差，12x x -=
=
解析：(1)当2a =时，()2
2f x x x =-+，∵对任意[]
0,2x ∈，()f x m <恒成立， ∴()max m f x >，
由二次函数知识，知()22f x x x =-+，[]
0,2x ∈的最大值为()24f =，
∴4m >，即m 的取值范围为()4,+∞. (2)设函数()f x 的两个不同的零点为12,x x ，
则方程()2
30x a x a --+=的两个不等的实根为12,x x ，
∴123x x a +=-，12x x a =， 由
12x x -=
=
=
=
∵2,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，
∴当23a =
时，12max 53x x -==. 21．(1) ()221g x x x =-+ (2) [
)4,+∞
【解析】
试题分析：（1）由对称轴及单调性，求得解析式()2
21g x x x =-+；（2）分离参数法得
22
333111211log log log k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在11,273x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，得到k 的取值范围为[
)4,+∞. 试题解析：
（1）∵()()2
11g x a x a b =--++， ∴函数()g x 的图像的对称轴方程为1x =，
∵0a >，∴()()2
11g x a x a b =--++在区间[]
2,3上递增.
依题意得()()21,34,g g ⎧=⎪⎨
=⎪⎩即11,414,
a a
b a a b -++=⎧⎨-++=⎩解得1,0,a b =⎧⎨=⎩∴()2
21g x x x =-+.
（2）∵()()g x f x x
=
，∴()()1
2g x f x x x
x
=
=+
-， ∵()33log log 0f x k x -⋅≥在11,273x ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时恒成立，
即3331log 2log 0log x k x x +
--⋅≥在11,273x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时恒成立，∵[]3log 3,1x ∈--， ∴2
2
333111211log log log k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在11,273x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时恒成立， 只需2
311log k x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的最大值，∵3111,log 3x ⎡
⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴当311log x =-时，2
311log x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
取得最大值4，
∴4k ≥，∴实数k 的取值范围为[
)4,+∞. 22．（1）2t =（2）(3,5)-（3）2m = 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数定义确定()00f =，代入可得实数t 的值，再利用定义证明2t =时，函数为奇函数，（2）先研究函数单调性：为R 上的单调递增函数，再利用奇函数和单调性转化不等式()()()
()2
2
2
4044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-，最后再根
据一元二次不等式恒成立，利用判别式恒负求实数b 的取值范围；（3）先根据条件()3
12
f =，解出a 的值.再根据2212
2x
x
+
与122x
x -的关系，将函数()h x 转化为一元二次函数，根据
对称轴与定义区间位置关系讨论最小值取法，最后由最小值为2-，求出m 的值.
【详解】
（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，
所以()110t +-=，所以2t =， （2）由（1）知：()1
(0,1)x
x
f x a a a a =-
>≠， 因为()10f >，所以1
0a a
->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以()1
x
x
f x a a =-
是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的奇函数，
所以()()()
()2
2
2
4044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-
即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()2
1160b ∆=--<，即35b -<<，
所以实数b 的取值范围为()3,5-. （3）因为()3
12f =
，所以132a a -=，解得2a =或12
a =-（舍去）， 所以()2
22111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x
x u f x ==-
，则()2
22g u u mu =-+， 因为()122x
x f x =-在R 上为增函数，且1x ≥，所以()312
u f ≥=，
因为()()221
2
22
x
x h x mf x =+
-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()2
22g u u mu =-+在3,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上的最小值为2-，
因为()()2
22222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32
m ≥
时， ()()2
min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当3
2m <
时， ()min 3173224
g u g m ⎛⎫==
-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =. 【点睛】
函数单调性的常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()
()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内；（4）求参数的取值范围或值.。