高等数学二高阶偏导数及泰勒公式

2z x2
f
xx
(
x,
y)
x
f x
,
2z xy
fxy (x, y)
y
f x
2z y 2
f yy (x, y)
f , y y
2z yx
f yx (x, y)
f x y
称为 z =wenku.baidu.comf (x, y)的二阶偏导数.
称 fxy (x, y), f yx (x, y)为二阶混合偏导数.
知ux ,uy均可导,有 uxy a, (连续), uyx 1 b sin x, (连续). 从而,在任何点(x, y),有uxy uyx 即 1 bsin x a. 比较知 a = 1, b = 0.
本题也可 :由ux x2 ay, 积分(以x为积分变量), 得 u 1 x3 axy c( y).
2
y
2
z
2x sin y, 2
2
x 3 0.
z 3
yx z 4xy,
2
在例1中, 有 2z 2z . xy yx
问题:
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数 才相等呢?
定理1
若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数
2 f xy
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)]
同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]
A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
[ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x,
其中,0 1 1.
A [ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理.
得
A f xy (x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1.
另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0, y0 +y )] – [ f (x0+x, y0) – f (x0 , y0)]
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
2 f (X0) 2 f (X0)
xy
yx
分析. 按定义
fx(x, y)
lim
x0
f
(x
x, y) x
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
记 (y) = f (x0 +x , y) – f (x0 , y), 从而
A = (y0 +y) –(y0) (由拉格朗日中值定理)
( y0 3y)y [ f y(x0 x, y0 3y) f y(x0, y0 3y)]y
f yx (x0 4x, y0 3y)xy, 0 3,4 1.
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如,
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
x
解:
z
2 y x 1, 2
y
z
2x y 2
cos
y.
x
2
z
2y , 2
2
xy z 4xy.
§1－7 高阶偏导数及泰勒公式
一、高阶偏导数
设z f (x, y)的偏导数为fx(x, y), f y(x, y).
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
fx(x, y), f y(x, y)的偏导数.
设z f (x, y)在区域D内可偏导. 若fx(x, y), f y(x, y)还可偏导. 则记,
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情 形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合 偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续
偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只
要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都可写
成
x
k f my k
m
,
或,
f (k) xm ykm
例2. 设u u(x, y)在任何点(x, y)处的全微分
du (x2 ay)dx (x y bsin x)dy. 求常数a,b.
解: ux x2 ay, uy x y bsin x.
证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y),
(x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.
记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0)] – [ f (x0, y0 +y) – f (x0 , y0)]
(x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0), 有 A = (x0 +x) – (x0)
因f xy在U ( X 0 )内存在,从而f x在U ( X 0 )存在.
即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值
定理条件.
因A = (x0 +x) – (x0) , (x) = f (x , y0 +y )–f (x , y0), A = ' (x0 +1x) x
y)
f x( x,
y) y
lim
y0
f x( x,
y
y) y
f x( x,
y) ,
lim
y0
1 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x,
y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
lim lim 1 1 f (x x, y y) f (x, y y)
y0 x0 y x
f (x x, y) f (x, y)