3.1.2空间向量数乘运算

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
→ 3． 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C 有 6OP＝ → → → OA＋2OB＋3OC，则 (B )
A．四点 O，A，B，C 必共面 B．四点 P，A，B，C 必共面 C．四点 O，P ，B， C 必共面 → → → D．五点 → O，P，A，B，C 必共面
例 3 如图所示，已知平行四边形 ABCD， 过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB， OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F， OE OF OG OH G， H，并且使 ＝ ＝ ＝ ＝k， OA OB OC OD 求证： E，F， G，H 四点共面． OE OF OG OH 证明 因为OA＝OB＝OC ＝OD＝k， → → → → → → → → 所以OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝kOC，OH＝kOD. → → → 由于四边形 ABCD 是平行四边形所以AC＝AB＋AD. → → → 因此EG＝OG－OE → → → → → → → → → ＝kOC－kOA＝kAC＝k(AB＋AD)＝k(OB－OA＋OD－OA) → → → → → → ＝OF－OE＋OH－OE＝EF＋EH.
OP xOA yOB zOC 0( x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C， 且有 OP xOA yOB zOC( x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ） A.必要不充分条件 C.充要条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
问题 5 已知 A、 B、 M 三点不共线，对于平面 ABM 外的 任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？ → → → → → → → → (1)OB＋OM＝ 3OP－OA；(2)OP＝ 4OA－ OB－OM. → → → → → → 解 (1) 原式可变形为 OB ＝ OP ＋ ( OP － OA ) ＋ (OP －OM ) → → → → → → → → ＝OP－PA－PM，即PB＝OB－OP＝－PA－PM.
解析 由 6OP＝OA＋2OB＋3OC， → → → → → → 得(OA－OP)＝2(OP－OB)＋3(OP－OC)， → → → 即PA＝2BP＋3CP.
由共面向量定理，知 P，A，B，C 四点共面． 4．在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线 → 段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC＝ a，
P点为A,B 的中点
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB( x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正 确的是： A A.若
OP OA t AB
，则P、A、B共线
B P A
B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 O
1 证明 因为 M 在 BD 上，且 BM＝3BD， → 1 → 1 → 1→ → 1→ 1→ 所以MB＝3DB＝3DA＋3AB.同理AN＝3AD＋3DE. → → → → 所以MN＝MB＋BA＋AN 1→ 1→ → 1→ 1→ DA ＋ AB AD ＋ DE ＝ ＋ BA ＋ 3 3 3 3 2→ 1→ 2→ 1→ → → ＝ BA＋ DE＝ CD＋ DE. 又CD与DE不共线 3 3 3 3 → → → 根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE共面.
∴P 与 A、B、M 不共面．
→ 小结 判断点 P 是否位于平面 MAB 内， 关键是看向量MP能 → → → → → 否用向量MA、MB表示(或看向量OP是否能写成OM＋xMA → → → → ＋ yMB 的形式 ) ．当 MP 能用 MA 、 MB 表示时， P 位于平面 → → → MAB 内；当MP不能用MA、MB表示说明 P 在平面 MAB 外．
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2．空间的任意三个向量 a，b,3a－ 2b，它们一定是 ( A．共线向量 C．不共面向量 B．共面向量
B
)
D．既不共线也不共面向量
解析 如果 a，b 是不共线的两个向量，由共面向量定 理知 a，b,3a－2b 共面； 若 a，b 共线，则 a，b,3a－2b 共线，当然也共面．
———共线向量与共面向量
a

b
回 顾
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量数乘运算
a a 的乘积 1.实数 与空间向量
是一个向量. 仍然
（1）方向： 当 0 时， a与向量 a 方向相同； a 方向相同； 与向量 当 0 时， a 当 0 时， a 是零向量.
OP OA t AB
OP xOA yOB( x y 1)
OP xOA y OB z OC 0 ( x y z 1)
OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线 直线平行 平行于平面
由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
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→ → → 因此EG＝OG－OE → → → ＝kOC－kOA＝kAC → → → → → → ＝k(AB＋AD)＝k(OB－OA＋OD－OA) → → → → → → ＝OF－OE＋OH－OE＝EF＋EH.
由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
p
③
b
C
P
A a B
O
填空：OP (_____) y OC 1-x-y OA (____) x OB (____)
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP x AB y AC
OP OA x AB y AC
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
p 与两不共线向量 a ， b
2 1 a＋ b → → 3 3 BD＝ b，则AF＝ ______________.
小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量. 定理 推论
a // b (a 0)
a b a b 共面
p
p x yb
（2）大小： a 的长度是 a 的长度的 | | 倍.
2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合 律
即：( a b ) a b （ ） a a a
( )a ( )a
二、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
a
A
l
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP t a
对空间任意一点O,
AP OP OA,
即 若在l上取
所以 OP OA ta
O
OP OA ta
①
AB a
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则有 ②
OP OA t AB
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为： 1-t OA ____ t OB OP ____
因为 所以
A
a
B
P
AB OB OA,
OP OA t(OB OA)
(1 t)OA tOB
O
1 则有 特别的，当t= 时， 2
1 OP (OA OB) 2
a // b ) (b 0
a b (b 0)
: 对空间任意两个向量 a ， b ， 共线向量定理
a b (b 0)
a // b (b 0)
性质 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
小结
证明三个向量共面(或四点共面)， 需利用共面向量定
理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一 个向量用另外两个向量进行表示．
跟踪训练 3 如图所示，已知矩形 ABCD 和 矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， 1 N 分别在对角线 BD， AE 上， 且 BM＝ BD， 3 1 → → → AN＝ AE.求证：向量MN，CD，DE共面． 3
a ， 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如 b 果 p x yb，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？
b
C
p
P
A aB
xa, yb分别与a， b共线，
xa, yb都在a， b确定的平面内
并且此平行四边形在 a， b确定的平面内，
p xa yb在a， b确定的平面内 ,即p与a， b共面
零向量与任意向量共线.
问题1：若 a // b (a 0) 则 a, b 所在直线有那些位置关系? 的充要条件是：存在唯一 问题2：平面向量中， a // b (b 0)
的实数

，使 a b.