第三章 函数概念及性质

(1)已知函数f(x)= ，求f(2.4)的值．
x
2
(2)已知函数f(x)=
解 用计算器算得：
x
3
，求f(1.72)的值．
(3)已知函数f(x)=x ，求f(3.21)的值． （1）f(2.4) = ≈-0.83 （2）f(1.72)= ≈1.31 （3）f(3.21)=3.21 ≈33.08 小结：①求x对应的函数值，只要把x的值直接代到函数解析 式中去进行计算就可以了。 ②如无特别说明，所有计算都可以用计算器计算。
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偶函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的
x∈D，却有f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数，如y=x2为
偶函数。 奇函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 x∈D，都有
2 f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数，如y= x
非奇非偶函数：如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 非奇非偶函数.
（3）f(x)=-2x+3
2 （4）f(x)= x3
3．2 函数的基本性质
知识巩固1
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2．如图3—12，已知偶函数y=f(x)在y轴左边部分的图像， 试把函数y=f(x)的图像画完整，并比较f(1)与f(3)的大
（2）下午18点整时的气温约为20℃． （3）从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14℃． （4）0点到3点以及13点到24点内气温随时间降低，3点到13点内气 温随时间升高． 小结：用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊，可以根据需 要择优而用，也可以将其中几种方法结合使用。
3．1 函数的概念及其表示
f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）所以f（x）是偶函数 （2）因 1 x ≥0得 x∈（-1，1）函数定义域不关于原点对称
1 x
所以f（x）是非奇非偶函数。
3．2 函数的基本性质
知识巩固1 1.利用定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=3x2-7
1 （2）f(x)= 3 -2x x
（3）f(x)=x-2
（4）f(x)=x2-2x,x∈［-2，3］
3．2 函数的基本性质
例题解析
解（1）函数f(x)=
2 x
的定义域为
D=（-∞，0）∪（0，+∞）
由于对于任意的x∈D，都有
f(-x)= 2 = 2 =f(x)
x
所以函数f(x)=

2 x
x
是偶函数．
（2）函数f(x)=x3-2x的定义域D=(-∞,+∞）． 由于对于任意的x∈D，都有 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x) 所以函数f(x)=x3-2x是奇函数．
第二步，画出这些点关于原点的对称点O, A′，B′，C′，用一条
光滑曲线顺次连结这些对称点，就得到了y=f(x)的完整图像，如
图3—11b所示．
3．2 函数的基本性质
补充例题1
判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=|x-1|+|x+1|
（2）f（x）=（x-1） 1 x
1 x
解（1）因原函数定义域为R
但是当x＜0时它的对应关系与 y=x（x∈R）不相同，
所以这两个函数不是同一个函数.
补充例题 2 已知圆的半径为x，面积为y，写出y关于x 的函数关系 式，并求出它的定义域。
解
由圆的面积可知 y=πx2定义域为（0，+∞）
3．1 函数的概念及其表示
知识巩固1 1．写出反比例函数和一次函数的函数关系一般形式，并确定它 们的定义域和值域。 2．用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地，矩形一边长为x米，面
当x=0 时，f(0)=0 +2×0-3=-3．
2
当x=1 时，f(1) =1 +2×1-3=0．
当x=
1 2
2
时，f(
1 2
)=( ) +2×
2 2
2
1
2
1
-3= 4
7
．
当x=a-1时，f(a-1)=(a-1) +2×(a-1)-3=a2-4．
3．1 函数的概念及其表示
例题解析
例2 用计算器计算下列函数值（精确到0.01）：
常数）称为一次函数. 二次函数 定义域是一切实数的函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，
a≠0）称为二次函数，其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数 和常数项. ( 本节中，函数、定义域等概念将得到进一步深化 ).
3．1 函数的概念及其表示
根据初中学过的知识，写出下列两个实例中函数解析式及定义 域面积正方形面积y是边长x的函数，可表示为 y= 它的定义域为 ． .
3．1 函数的概念及其表示
小 结
定义域 对应关系
1．函数的两大要素
2.求函数的定义域的方法
解析式有意义如分母不为0， 偶次根式不为负 实际背景允许
3．1 函数的概念及其表示
例题解析 例 求下列函数的定义域：
（1）y = 2x2-3x+1 （2）y = （3）y =
解
x2 x3
3．2 函数的基本性质
理解奇偶性的意义, 会判断简单函数的奇偶性 教学目标 理解函数单调性的概念, 会判断简单函数的单调区间 会求同区间上简单函数的最大值与最小值
教学重点
奇函数偶函数的概念 函数单调性的概念
函数奇偶性的判定 函数单调性的判定
教学难点
教学方法
讲授法
3．2 函数的基本性质
x y
3
5
10
100
… …
3．1 函数的概念及其表示
个人所得税 按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额 中，超过2000元不超过5000元的部分，需缴纳15%的个人所得税．设 某人月收入的应纳税所得额为x元（2000＜x≤5 000），其中2000元到 5000元部分个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数，可表示为 y= 它的定义域为 ． .
积为y平方米，请写出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。
3．求下列函数的定义域： （1）y= 3x-1 （2）y= （3）y=
x 1
x
( x 1)(x 2)
3．1 函数的概念及其表示
3．1 函数的概念及其表示
例题解析 例1
解
1 已知二次函数f(x)=x2+2x-3,求f(0),f(1) ,f( ) 以及f(a-1)的值． 2
3x x2 2
（1）由于x为任何实数，函数y=2x2-3x+1都有意义，所以
这个函数的定义域为(-∞,+∞)．
3．1 函数的概念及其表示
例题解析
解 （2）函数的定义域由不等式组x-3≠0
x 3 0 x 2≥0
确定．解不等式组，得 x≥2,且x≠3
所以这个函数的定义域为[2,3)U(3,+∞)．
函数的概念及其表示
复习回顾
回顾初中接触过的函数相关概念 变量 常量 在某一问题的研究过程中，可以取不同数值的量称为变量. 在某一问题的研究过程中，保持数值不变的量称为常量.
函数与自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在
变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存 在确定的依赖关系，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量. 定义域 函数的自变量允许取值的范围，称为这个函数的定义域.
k x
正比例函数 定义域是一切实数的函数y= （k是不等于零的常数）
称为正比例函数，其中常数 k 称为比例系数.
3．1 函数的概念及其表示
反比例函数 定义域是不等于零的一切实数的函数y=
k （k是不 x
等于零的常数）称为反比例函数，其中常数k称为比例系数.
一次函数
定义域是一切实数的函数y=kx+b（k是不等于零的
x y
2100
3000
4000
5000
3．1 函数的概念及其表示
在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数 集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都 有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function）， 记作 y=f(x),x∈D 其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义 域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所 有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域（range）．
图3—3
3．1 函数的概念及其表示
例题解析
（1）写出函数T＝f(t)的定义域和值域．
（2）指出下午18点整时的气温．
（3）指出全天有多长时间气温不低于14℃？
（4）描述全天的气温随时间增高和降低的情况．
3．1 函数的概念及其表示
例题解析
解
由函数图像可知：
（1）函数T＝f(t)的定义域是［0，24］，值域是［10，25］．
例题解析
图3-2 小结：描点法作图流程：确定定义域→列表→描点→连 线。
3．1 函数的概念及其表示
例题解析 例4 图3—3是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天温度 随时间变化的图像．图中，每一时刻t（单位：小时），都对应 着唯一一个温度T（单位：℃）．因此，温度T是时间t的函数， 即 T＝ f ( t ) ．
称为
3．2 函数的基本性质
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思考：1．奇函数，偶函数的定义域有什么特征？ （关于原点对称） 2．偶函数的图像一定是轴对称图形，反之成
立吗？
3．奇函数的图像关于原点成中心对称，反之
成立吗？
3．2 函数的基本性质
例题解析 例1 利用定义，判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=

2 x
（2）f(x)=x3-2x
3．2 函数的基本性质
例题解析 例2 如图3—10，已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图
像，试把函数y=f(x)的图像画完整．
图3—10
解 因为函数y=f(x)是奇函数，所以它的图像关于原点
对称，利用对称性作出函数的另一半图像．具体作 法如下：
3．2 函数的基本性质
例题解析
第一步，如图3—11a所示，在y轴右边的图像上适当取几个点O， A，B，C（一般取能够反映主要特征的点）；
3
3．1 函数的概念及其表示
例题解析 例3
解
用描点法作函数y= 1 的图像． 函数y=
1 x
2
的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)．
x
2
列表： x y … －4 －2 －1 … 0.1 0.3 1 － … 0.5 0.5 4 … 4 1 1 2 4 …
0.3 0.1 …
3．1 函数的概念及其表示
第三章
3.1 3.2 函数的概念及其表示 函数的基本性质
函数
3．1 函数的概念及其表示
使学生理明函数的概念及三种表示方法 教学目标 使学生会求一些简单函数的定义域 使学生会用描点法画简单函数的图像 教学重点 函数的概念、函数的表示方法
教学难点 函数的概念、函数模型的建立
教学方法 师生共同讨论法
3． 1
相同，但是定义城不同，所以这两个函数不是同一个函数。
解Biblioteka Baidu
（2）y=
x
3=x(x∈R)，这个函数与函数y=
x（x∈R）不仅对应
关系相同，而且定义域也相同，所以这两个函数是同一个函数。
3．1 函数的概念及其表示
例题解析 （ 3 ） y= x
2=|x |=
x x
x≥0 x＜0
这个方程与函数y=x（x∈R）的定义域都是实数集R，
知识巩固2 1．已知函数f(x)=
2x 1 x2
，求f(-3),f(1),f(0)+f(2)以及
f(a-2)(a≠0)的值．
2．用描点法作函数y=
1 x
的图像．
3．作出函数y=x2-1，x∈{0，1，2，3}的图像．
函数的表示方法 3．1 函数的概念及其表示
知识巩固2 4．图3—4是某种品牌的自动电加热饮水机在不放水的情况下，内 胆水温实测图(室温20℃)．根据图像回答： (1)水温从20℃升到多少度时，该机停止加热？这段时间多长？ (2)该机在水温降至多少温度时，会自动加热？从最高温度降至该 温度的时间多长？ (3)再次加热至最高温度，用了多长时间？
（3）函数的定义域由不等式 3x-x2-2≥0
确定，解不等式，得
1 ≤x ≤2 所以这个函数的定义域为[1，2]．
3．1 函数的概念及其表示
例题解析
补充例题1 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ （1）y=(
x )2
（ 2） y = 3
x
3
（3） y=
x
2
解（1）y=( x )2=x(x≥0)，这个函数与函数y=x(x∈R)虽然对应关系
3．2 函数的基本性质
例题解析
解
（3）函数f(x)=x-2的定义域D =(-∞,+∞)．取x=1， 有f(-1)=-1-2=-3，f(1)=1-2=-1
因此函数f(x)不是偶函数．
同样，由于f(-1)≠-f(1)，因此函数f(x)也不是奇 函
数．
所以函数f(x)=x-2是非奇非偶函数． （4） 函数f（x）=x2-2x,x∈［-2，3］的定义域为 D=［-2，3］ 由于定义域D不关于原点对称，所以函数f(x)=x2-