求数列的通项公式(一)

a4 2a3 3 29 25 3
……
不完全归纳法----有猜没证
故 an 2n1 3 数学归纳法----有猜有证
ຫໍສະໝຸດ Baidu、迭代法 练习5.迭代法
(10)(2006年重庆)在数列 {an}中,若a1 1, an1 2an 3(n
则该数列的通项公式 an _______
不动点法：…… 归纳法： …… 迭代法：
①公式法②逐差法③迭加法④逐商法 ⑤迭乘法⑥迭代法⑦归纳法⑧不动点法
二、公式法
三、归纳法
四、迭代法
二、公式法
1.使用前提:等差等比公式法 2.常见题型:明暗构造递推式
练习1.公式法---明考
(1)(2010年福建)在等比数列 {an} 中，若公比q=4
且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 an ____
1 n1 n2 m1 m2 an1 an2 am1 am2
等比数列{an}中,下标和等 对应项积等(常数列除外)
n1 n2 m1 m2
an1 • an2 am1 • am2
2 {an}等差数列 {an}等比数列
3 {an}等差数列 {an}等比数列
an dn a0
an )n 2
n(n 1)d na1 2
na中
(首尾式) (二次式) (中项式)
等比数列的求和公式
a1(1 qn ) 1 q
( q 1 指数式)
Sn
a1 anq 1 q
( q 1 首尾式)
na1
( q 1 常数列)
等差数列求和公式的推导----颠倒加
使用前提对称性 一设二倒三相加
① an 10n 1
②
an
8(10n 1) 9
(10)(2006年重庆)在数列 {an}中,若a1 1, an1 2an 3(n
则该数列的通项公式 an _______
不动点法：…… (an1 3) 2(an 3) ……
归纳法：
解：因 a1 1 22 3
a2 2a1 3 5 23 3 a3 2a2 3 13 24 3
练习2.公式法---暗考 (4)已知数列{an}满足a2n+1-an+1an-2an2=0 (n∈N*) 且a1=2，求{an}的通项公式 解：∵ a2n+1-an+1an-2an2=0
∴(an+1+an)(an+1-2an)=0 即 an+1=2an 或 an+1=-an
故 {an} 是以2为首项和公比的等比数列 或 {an} 是以2为首项,-1为公比的等比数列 所以 an 2n 或 an (1)n1 2
①定义法
◇n1◇n 常数
◇ n1
常数
◇n
{◇n}是等差数列 {◇n}是等比数列
②中项法
◇ n2
◇n
2◇n1
{◇n}是等差数列
◇ n
2
•◇n
◇2n
1
{◇n}是等比数列
③通项公式法
an kn b
{an }是等差数列
an kqn
④求和公式法
{an} 是等比数列
Sn An2 Bn Sn Aqn A
2 1
作业:
1.课本P： 67 A组 Ex2 2.《固学案》P： 15 右 Ex3 3.《固学案》P： 16 左 Ex4 (4)
预习：
继续研究：求数列的通项公式
解:
Q S3 21, q 4
a1 1 q3 1 q
4,a1 1,an
4,a1 1,an 4n1.
(2)(2014年新课标I) 已知{an} 是递增的等差数列，a2,a4
是方程 x2 5x 6 0 的根
(I)求 {an} 的的通项公式
(II)求数列
an 2n
的前n项和
练习3.公式法---构造法
(5)(2011年江西)已知数列 {an}对于任意 p，q N*
有 ap aq apq
，若
a1
1 9
则 a36 ____
解：令p=n，q=1， 则 an+a1=an+1
即
an1
an
1 9
故 {an} 是以
1 9
为公差和首项的等差数列
即
an
n 9
故 a36 4
(6)(2006年重庆)在数列 {an}中,若 a1 1, an1 2an 3(n
解：(I) 因 x2 5x 6 0 故 x1 2, x2 3
又因 {an}是递增的等差数列， 故 a2 2,a4 3
因 d a4a2 3 2 1 42 2 2
故
an
a2
(n 2)d
1 2
n 1
(II)
数列
an 2n
是等差等比积数列求和
错项减……
(3)(2011年全国II)设数列{an}满足a1=0且
解： an 2an1 3 2(2an2 3) 3 22 an2 2 3 3 22 (2an3 3) 2 3 3 23 an3 22 3 2 3 3
……
2n1a1 2n2 3 22 3 23 3 3(1 2 22 2n2 ) 2n1 3 2n1 1 2n1 2n1 3
1 1 an1
1 1 an
1
(I)求 {an} 的的通项公式
S 1 (Ⅱ)设 bn 1
an1 n
n
，记 Sn bk，证明：
k 1
n
1
1
解：(I)因 a1=0且
1
1 an1 1 an
故
1 1 an
是以1为首项和公差的等差数列
所以 1 n 1 an
即
an
1 1 n
(II)数列不等式…… 放缩法；辅助函数法……
an a0qn
Sn
d 2
n2
bn
Sn Aqn A
4 若 {an},{bn}等差数列, 则 {Aan Bbn} 是等差数列
若 {an},{bn}等比数列,
则{anbn}
{an }是等比数列 bn
若 {an} 等差数列, 则 an，an＋m，an＋2m，…为等差数列
等距抽成等差 (下标成等差的子数列仍为等差数列) 5
颠倒加
裂项消
拆并转
求Sn实质上是求{Sn}的通项公式
递推公式的含义：
若数列的第n项an与该数列其他若干个项存在等量关系 这个关系就称为该数列的一个递推公式
例如: 等差数列的递推公式：
an1 an d
等比数列的递推公式：
an1 q an
斐波那契数列的递推公式: Fn2 Fn1 Fn
等差数列的定义---- 逐差法及递推公式
数列an 的第n项 an与项数n的关系若能用一个公式
an f (n) 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式
求通项公式常用的方法：
逐差法
公式法
逐商法
迭加法
通项公式
累乘法
迭代法
不动点法
归纳法
求和公式的含义：
Sn a1 a2 a3 an g(n)
求求和公式常用方法：
错项减
公式法
归纳法
求和公式
an1 an d ◇n1◇n 常数
等差中项
如果三数a,A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项
即 A ab 2
等比数列的定义----- 逐商法及递推公式
an1 an q ◇n1◇n 常数
等比中项
如果三数a,G,b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项
即 G ab
等差等比数列的证明方法
等比数列求和公式的推导----错项减 全称：乘(除)公比错位相减法 使用前提：等差等比乘积数列 步骤：一设二乘错位减 整理剩余套公式
逐差法经典之作---通项公式与求和公式的关系
an SS1n Sn1
(n 1) (n 2)
等差等比数列常用的性质
等差数列{an}中,下标和等 对应项和等(常数列除外)
{an }是等差数列 {an} 是等比数列
1.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d
注①
□ n
□1
(n
1)d
注② 第n项是首项的基础上，迭加n-1个公差
2.等比数列的通项公式
an a1qn1
注①
□ n
□1q n 1
注② 第n项是首项的基础上，迭乘n-1个公比
等差数列的求和公式
Sn
(a1
则该数列的通项公式 an _______
不动点法
解a1：因1, an1 2an 3(n 故 1()an1 3) 2(an 3)
即{an 3}是以4为首项,2为公比的等比数列
所以 an 3 4 2n1
故 an 2n1 3
三、归纳法：从特殊到一般
练习4.归纳法： (7)课本P：30 例2 (8)课本P：31 练习4 (9)写出下列数列的一个通项公式： ① 9，99，999，9999… ② 8，88，888，8888…
若 {an} 等比数列, 则 an，an＋m，an＋2m，…为等比数列
等距抽成等比 (下标成等差的子数列仍为等比数列)
若 {an} 等差数列, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…为等差数列
6 等段和成等差
等段积（和）成等比……
§139 求数列的通项公式(一)
一、通项公式的定义及求法
1.定义： 2.求法：
§139 求数列的通项公式(一)
一、通项公式的定义及求法
1.定义： 2.求法：
①公式法②逐差法③迭加法④逐商法 ⑤迭乘法⑥迭代法⑦归纳法⑧不动点法
二、公式法
三、归纳法
四、迭代法
数列概述
公式法
非等差等比数列
等差等比数列
数列问题多变幻 等差等比是典范 八通六和及性质 三大公式能互换
没公式,有办法
通项公式的含义：