广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练：立体几何

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练立体几何2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。

一、选择、填空题1、（2015年全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛2、（2015年全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为+，则r=( )1620π（A）1（B）2（C）4（D）83、（2014年全国I卷）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱4、（2013年全国I卷）某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π5、（佛山市2015届高三二模）已知a ，b ，c 均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；（2）a ∥β，β内必存在与a 相交的直线；（3）α∥β，a ⊂α，b ⊂β，必存在与a ，b 都垂直的直线；（4）α⊥β，c αβ= ，a ⊂α，b ⊂β，若a 不垂直c ，则a 不垂直b 。

其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．46、（广州市2015届高三一模）已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为233，则该锥体的俯视图可以是7、（华南师大附中2015届高三三模）某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是(***)A ．2B ． 3C ．7D ．18、（惠州市2015届高三4月模拟）已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．39、（茂名市2015届高三二模）已知平面α⊥平面β，=l αβ ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能．．成立的个数为（ ） A. 1 B . 2 C. 3 D. 410、（梅州市2015届高三一模）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A 、30B 、12C 、24D 、411、（深圳市2015届高三二模）已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是 A.l α⊥，//l β B.//l α，//l β C.α⊥γ，γβ⊥ D.//αγ，//γβ12、（湛江市2015届高三二模）一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ） A ．5π B ．6π C ．7π D ．9π13、（深圳市2015届高三二模）.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．14、（珠海市2015届高三二模）l m 、是空间两条直线，αβ、是空间两个平面，则 A ．m l //，l α⊂，m β⊂，则βα// B ．l m ⊥，l α⊂，m β⊂，则αβ⊥ C ．αβ⊥，α//l ，β//m ，则l m ⊥ D ．l α⊥，m l //，m β⊂，则αβ⊥ 15、（潮州市2015届高三上期末）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．233π+ B ．2323π+ C ．23π+ D ．232π+二、解答题1、（2015年全国I 卷）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠= ，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.2、（2014年全国I 卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（I ）证明：;1AB C B ⊥（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.3、（2013年全国I 卷）如图1－5所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．图1－54、（佛山市2015届高三二模）如图4，平面ABCD ⊥平面PAB ，且四边形ABCD 为正方形，△PAB 为正三角形，M 为PD 的中点，E 为线段BC 上的动点.（1）若E 为BC 的中点，求证：AM ⊥平面PDE ； （2）若三棱锥A —PEM 的体积为33，求正方形ABCD 的边长.5、（广州市2015届高三一模）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O = ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =. （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BFED -的体积.6、（华南师大附中2015届高三三模）如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下底面于11C E ，已知113FC =. （1）证明：四边形11BFE C 是平行四边形； （2）证明：1FB CB ⊥；（3）求三棱锥1A A BF -的体积.7、（惠州市2015届高三4月模拟）如图所示，在所有棱长都为2a 的三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面，D 点为棱AB 的中点． (1)求证：1AC ∥平面1CDB ；AD PC BEM图4A 1B 1C 1(2)求四棱锥111C ADB A-的体积．8、（茂名市2015届高三二模）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，//EC PD，且22PD AD EC===，N为线段PB的中点.（1）证明：NE PD⊥；（2）求四棱锥B CEPD-的体积.9、（梅州市2015届高三一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥'A BCDE-，F是'A B的中点。

（1）求证：平面'A DE⊥平面BCDE；（2）求证：EF∥平面'A CD；（2）求四棱锥'A BCDE-体积的最大值时。

10、（深圳市2015届高三二模）如图5，ABC∆是边长为4的等边三角形，ABD∆是等腰直角三角形，AD BD⊥，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，2EC=.（1）证明：//DE平面ABC；（2）证明：AD⊥BE.DE11、（湛江市2015届高三二模）在边长为4的正方形CD AB 中，E 、F 分别是C B 、CD 的中点，M 、N 分别是AB 、CF 的中点．将该正方形沿AE 、F A 、F E 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥，如图所示． ()1证明：//MN 平面F AE ；()2证明：AB ⊥平面F BE ； ()3求四棱锥F E -A NM 的体积．12、（珠海市2015届高三二模）如图为一多面体ABCDFE ，AB AD ⊥，//AB CD ，224CD AB AD ===，四边形BEFD 为平行四边形，BD DF =，3BDF π∠=，DF BC ⊥，(1) 求证：平面BCE ⊥平面BEFD ． (2) 求点B 到面DCE 的距离．13、（清远市2015届高三期末）在等腰直角△BCP 中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边BP 的中点，现沿CA 把△ACP 折起，使PB=4，如图1所示.（1）在三棱锥P-ABC 中，求证：直线PA ⊥平面ABC ；（2）在三棱锥P-ABC 中，M 、N 、F 分别是PC 、BC 、AC 的中点,Q 为MN 上任取一点，求证：直线FQ ∥平面PAB ；FEDCBA第18题图14、（汕头市2015届高三期末）如图，已知F A ⊥平面CD AB ，四边形F ABE 为矩形，四边形CD AB 为直角梯形，D 90∠AB =，//CD AB ，D F CD 2A =A ==，4AB =．()1求证：F//A 平面C B E ；()2求证：C A ⊥平面C B E ； ()3求三棱锥CF E -B 的体积．15、（汕尾市2015届高三期末）如图（4），在三棱柱111ABC A B C -中，侧面1111,ABB A ACC A 均为正方形，1,AB AC ==90BAC ∠= ，点D 是棱11B C 的中点。

(1) 求证：1AD ⊥平面11BB C C ； (2) 求证：//AB 平面1A DC ； (3)求三棱锥11C ACD -的体积V 。

参考答案一、选择、填空题 1、【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 3、【答案】：B【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B4、A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是12×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5、B6、C7、C8、C 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为32，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得1333322V =⨯⨯=9、D 10、C 11、D 12、C13、82π- 14、D 15、C二、解答题1、【答案】（I ）见解析（II ）3+25试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED. 又AC ⊥平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32x ,GB=GD=2x . 因为AE ⊥EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=22x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BEx -=醋?=.故x =2从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力2、【解析】：（I ）连结1BC ，则O 为1BC 与1B C 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥ ，又AO ⊥平面11BB C C ，故1B C AO ⊥ 1B C ⊥平面ABO ，由于AB ⊂平面ABO ， 故1B C ⊥AB ………6分 （II ）作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H,由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC. 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.因为1,601==∠BC CBB ,所以△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得OD=34，由于1AB AC ⊥，所以11122OA B C ==，由 OH ·AD=OD ·OA,且2274AD OD OA =+=，得OH=2114又O 为B 1C 的中点,所以点B 1 到平面ABC 的距离为217,故三棱柱ABC-A 1B 1C 1 的高为217……………………….12 分3、解：(1)取AB 的中点O ，联结OC ，OA 1，A 1B ，因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB.由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB. 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C. 又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C.(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝ 3.又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 21，故OA 1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·OA 1＝3. 4、H F EPODBA5、（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. …………………………2分 ∴EF AC ⊥. …………………………3分 ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………4分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O = ， ∴EF ⊥平面POA . …………………………5分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………6分 （2）解：设AO BD H = ，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形. …………………………7分∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……………………8分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=， …………………………9分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ， …………………………10分∴PO BO ⊥. …………………………11分 ∵PO EF ⊥，EF BO O = ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………12分梯形BFED 的面积为()1332S EF BD HO =+⋅=，………………………13分 ∴四棱锥P BFED -的体积11333333V S PO =⋅=⨯⨯=.………………14分6、7、解：(1)连结1BC ，设1BC 与1B C 交于点E ，…………1分则点E 是1BC 的中点，连结DE ，…………2分 因为D 点为AB 的中点，所以DE 是1ABC ∆的中位线，所以1AC ∥DE ， ………………4分 因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄面1CDB ，………5分 所以1AC ∥平面1CDB . ………………6分 (2)取线段11A B 中点M ，连结1C M ， ………………7分BCDA 1B 1C 1E∵ 1111C A C B =，点M 为线段11A B 中点， ∴ 1C M 11A B ⊥. ………………9分 又1A A ⊥平面ABC即1A A ⊥平面111C A B ，1C M ⊂平面111C A B∴ 1A A ⊥1C M ， ………………11分 ∵ 1A A 11A B 1A =，∴ 1C M ⊥平面11ADB A ，则1C M 是四棱锥111C ADB A -的高 ………………12分1113C -ADB A 1(2a +a)2aV =3a =3a 32⨯⨯⨯. ………………14分8、解：（1）连结AC 与BD 交于点F ，则F 为BD 的中点，连结NF ， ∵N 为线段PB 的中点，∴//,NF PD 且,21PD NF = …………………3分 又//EC PD 且PD EC 21=∴//NF EC 且.NF EC = ∴四边形NFCE 为平行四边形， ……………………5分∴//NE FC , 即//NE AC ． …………………………………………………………6分 又∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD , ∴AC PD ⊥,∵//NE AC , ∴NE PD ⊥, …………………………………………………………7分 （2）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ,∴平面PDCE ⊥平面ABCD . …………………………………………………………9分 ∵BC CD ⊥，平面PDCE 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面.PDCE . ………………………………………………………………10分 ∴BC 是四棱锥B PDCE -的高. ……………………………………………………11分 ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE……………………………………12分 ∴四棱锥B CEPD -的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形. ………14分 9、(1)证明: .,90AC BC ACB ⊥∴=∠E D ,分别为AB AC ,的中点，DE ∴∥,BC .DC DE ⊥∴ …………2分沿DE 将ADE ∆折起后, ,D A DE '⊥.,DC A DE D CD D A '⊥∴=⋂'平面,BCDE DE 平面⊂.'BCDE DC A 平面平面⊥∴ …………4分（2）证明：取C A '中点G ，连接GF DG ,. 则由中位线定理可得，DE ∥BC ，BC DE 21=， …………5分 同理GF ∥BC ，BC GF 21=． 所以DE ∥GF ，=DE GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形， …………7分 EF ∴∥DG ．又EF ⊄面CD A '，DG⊆平面CD A '，EF ∴∥平面CD A '． …………9分（3）在平面CD A '内作CD H A ⊥'于点H .由(1) ,'BCDE DC A 平面平面⊥,'CD BCDE DC A =⋂平面平面故⊥H A '底面BCDE ,即H A '就是四棱锥BCDE A -'的高． …………11分由AD H A ≤'知，点H 和D 重合时，四棱锥BCDE A -'的体积取最大值．…12分ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，a AC 2=， ,21,2,a BC DE a BC a CD AD D A ======'∴ 得.21)2(2131313a a a a a D A S V BCDE BCDE A =⨯⨯+⨯='⋅=-' 所以四棱锥BCDE A -'的体积的最大值为.213a …………14分10、证明：（1）取AB 的中点O ，连结DO 、CO ，…………1分Q ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥， ∴DO AB ⊥，122DO AB ==，………………2分 又Q 平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =，∴DO ⊥平面ABC ，………………………………3分由已知得EC ⊥平面ABC ，DCABEO∴//DO EC ，…………………………………………………………………………………4分又2EC DO ==，∴四边形DOCE 为平行四边形，……………………………………………………………5分 ∴//DE OC ，…………………………………………………………………………………6分而DE ⊄平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴//DE 平面ABC .……………………………………………………………………………7分（2）Q O 为AB 的中点，ABC ∆为等边三角形，∴OC AB ⊥，…………………………………………………………………………………8分由（1）知DO ⊥平面ABC ，而OC ⊂平面ABC ，可得DO OC ⊥，………………………………………………………………………………9分Q DO AB O =I ，OC ∴⊥平面ABD ，…………………………………………………………………………10分而AD ⊂平面ABD ，∴OC AD ⊥，………………………………………………………………………………11分又Q //DE OC ，∴DE AD ⊥，………………………………………………………………………………12分而BD AD ⊥，DE BD D =I ，AD ∴⊥平面BDE ，…………………………………………………………………………13分又BE ⊂平面BDE ，∴AD ⊥BE .…………………………………………………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 11、12、(Ⅰ)证明：取CD 中点G ，连接BG //AB CD ，224CD AB AD === ∴//AB GD ，2AB GD AD ===AB AD ⊥∴四边形ABGD 是正方形…………………………………………１分∴22BD =，GB CD ⊥，2BG GD GC === ∴22BC =，且045ADB BDC BCD ∠=∠=∠=……2分 ∴BD BC ⊥DF BC ⊥，BD DF D =∴BC ⊥平面BDFE …………………………………………4分 BC ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面BEFD …………………………………………6分 (Ⅱ)解： 由(Ⅰ)知BC ⊥平面BDFE ,BDE BDE C S BC V .31=∴-，……7分由3BDF π∠=得32π=∠DBE ，且22==BE BD ，3232sin...21==∴πBE BD S DBE ……8分又22BC =，∴364.31==∴-BDE BDE C S BC V ……9分 HGFEDCBA设点B 到面DCE 的距离为h ，由等体积法……10分364..31.31===∴-h S S BC V DCE BDE BDE C ……11分 在中DCE ∆，易得：624===DE CE DC ，，∴60=D CE S ……13分10104=h ……14分 13、解：（1）在三棱锥P-ABC 中，依题意可知：AC PA ⊥ …………2分∵PA=AB=22,PB=4222PB PB PA =+∴,则AB PA ⊥ …………4分又ＡＢAC A ⋂=，…………5分 ∴PA ⊥平面ABC …………6分（2）证法一：∵M 、N 、F 分别是PC 、BC 、AC 的中点,连FN 、MF ，得平面FMN ，……7分 ∴直线MN ∥直线PB ，…………8分 直线FN ∥直线AB ，…………9分 又∵直线MN ∩直线FN=N ， 直线PB ∩直线AB=B ，…………11分 ∴平面PAB ∥平面MNF,…………12分（或者证明两相交线与面平行） 又∵FQ ⊂平面MNF ， ∴直线FQ ∥平面平面PAB …………14分 证法二：连CQ 延长交PB 于K ，连AK ，…………7分 ∵M 、N 分别是PC 、BC 的中点,∴直线MN ∥直线PB 且MN=21PB ，…………9分 ∴Q 为CK 的中点，……10分 又∵F 是AC 的中点, 连AK ，∴直线FQ ∥直线AK ，…12分 ∵FQ ⊄平面PAB ，∴FQ ∥平面PAB ，…………14分 14、解：（1）因为四边形ABEF 为矩形，所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ．…… 3分 （２）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；…… 5分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，……7分 又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂EA BDFMC所以⊥AC 平面BCE ． ……9分（３）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，…… 10分又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．…… 12分824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E …13分 3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆CM EF BE CM S BEF …14分 15、。