新高考2021届高三数学入学调研试题一(含参考答案)
2021届高三入学调研试卷 文科数学(一) 解析
2021届高三入学调研试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，集合{|1}B x x =≥，则A B =（ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】B【解析】∵[0,2]A =，[1,)B =+∞，∴[1,2]A B =．2．若复数5i1iz -=-，则1z -=（ ） A ．22 B ．8C ．10D ．1【答案】A 【解析】∵5i (5i)(1i)64i32i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+，则122i z -=+， 因此，2212222z -=+=．3．已知0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】∵0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，∴100.51()2111()()1222a =<<==，22log 0.3log 10b =<=， 1222121211log 0.30.5log 0.3021log 0.3211()()0.30.312210.3(121)c --⨯==>====，∴b a c <<．4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人C ．108人D ．115人【答案】C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有1007327-=人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10040027x=，解得108x =人． 5．函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，222()(0)4122x x x xx x f x x -⋅==≠--， 22(()222)()2x x x xx x f f x x --=----==--， 所以函数()f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项B ；此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号当1x =时，211212(1)0413f =-⨯=>，故排除选项D ；当12x =时，212()122()(1)2214f f ⨯==<-，故排除选项C ， 所以本题正确答案为A ． 6．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】当0x >时，|ln |30x -=，∴ln 3x =±，∴3x e =或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，22430x x ---=，∴22430x x ++=， ∵20>，164230Δ=-⨯⨯<，所以方程没有实数根， 综合得函数()3y f x =-的零点个数是2．7．在ABC △中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和2FD FA +=0，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G ，因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点， 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为2FD FA +=0，所以:1:2AF FD =，因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =， 又因为EG BG =，所以14AE EB =，故14AE EB =． 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A ．35B ．20C ．18D ．9【答案】C【解析】模拟算法：开始：输入3n =，2x =，1v =，312i =-=，0i ≥成立；1224v =⨯+=，211i =-=，0i ≥成立； 4219v =⨯+=，110i =-=，0i ≥成立；92018v =⨯+=，011i =-=-，0i ≥不成立，输出18v =．9．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【解析】如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =，所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E EC ⊥，则1A E AD ∥，190A EC ∠=︒， ∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =，13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===，∴1π3CA E ∠=． 10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．23+C ．2D ．21+【答案】B 【解析】双曲线22221x ya b-=，(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -， 直线l 的方程为()3y x c =+，令0x =，则3y c =，即()0,3A c ， 因为A 平分线段1F B ，根据中点坐标公式可得(),23B c c ，代入双曲线方程，可得2222121c ca b-=， 由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得2743e =±，由1e >，解得23e =+．11．已知函数π()2sin()(0)6f x x ωω=->，0x ，1x ，2[0,π]x ∈，对[0,π]x ∀∈，都有01()()()f x f x f x ≤≤，满足2()0f x =的实数x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数0x 有且只有1个；②满足题目条件的实数1x 有且只有1个；③()f x 在π(0,)9上单调递增；④ω的取值范围是1319[,)66，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④【答案】D【解析】0>ω，[0,π]x ∈，故πππ[π]666x ωω-∈--，， 设π6x t ω-=，作sin y t =的图象如图，在[0,π]上满足2()0f x =的实数2x 有且只有3个，即函数sin y t =在ππ[,π]66ω--上有且只有3个零点，由图象可知π2ππ3π6ω≤-<，131966ω≤<，结论④正确；由图象知，sin y t =在ππ[,π]66ω--上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误；当π(0,)9x ∈时，ππππ(,)6696x ωω-∈--， 由131966ω≤<知2πππ5ππ02796272t ω<≤=-<<，所以sin y t =在πππ()696ω--，上递增， 则()f x 在π(0,)9上单调递增，结论③正确．12．已知长方体1111 ABCD A B C D -内接于半球O ，且底面ABCD 落在半球的底面上，底面1111D C B A 的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为3，AB BC =，则该长方体体积的最大值为（ ） A ．123B ．6C ．48D ．72【答案】A【解析】设长方体1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则长方体的底面外接圆直径为22r a =，所以，2r =． 由勾股定理得2223h r +=，即22()92a h +=，得22182a h =-，其中03h <<， 所以，长方体1111ABCD A B C D -的体积为()223182218V a h hh hh ==-=-+，其中03h <<，设()3218f h h h =-+，其中03h <<，则()2618f h h '=-+，令()0f h '=，得3h =，当03h <<时，()0f h '>，()f h 在(0,3)上单调递增； 当33h <<时，()0f h '<，()f h 在(3,3)上单调递减， 所以，函数()V f h =在3h =处取得极大值，亦即最大值，则()max 3123V f==，因此，该长方体的体积的最大值为123．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____． 【答案】16【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=． 14．若x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为_____．【答案】6【解析】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x =-+⎧⎨=⎩，得(2,2)A ，故z 的最小值为6．15．已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_______． 【答案】[2,1]e + 【解析】∵1()f x a x '=+，∴1(0)1f a'==，∴1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数， 又∵()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=， ∴021x e ≤-≤-，∴21x e ≤≤+，即[2,1]e +．16．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，()b a b <，原点O 为AD 的中点， 抛物线()220y ax a =>经过C ，F 两点，则ba=_______．【答案】12【解析】因为D 是抛物线()220y ax p =>的焦点，所以(,0)2a D ，因为正方形DEFG 的边长为b ，所以(,)2a Fb b +，因为F 在抛物线上，所以22()2a b a b =+，即2220b ab a --=，所以22()10b b aa --=，解得12ba=12 因为0a b <<，所以12ba=+三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ，E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率． 【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）910． 【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为1121420025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14160089625⨯=． （2）这200名学生成绩的平均分为6411214641009080706091.3200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关． （3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，D 组3人编号为A ，B ，C ，E 组2人编号为a ，b ，则任取2人的基本事件为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个， 其中事件“至少1位学生来自D 级别为F 含有的基本事件有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9个， ∴()910P F =．18．（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =． （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1n b n =-；（2）()222nn S n =-+．【解析】（1）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且124116a a a =⎧⎨⋅=⎩，∴2q =，即12n n a -=，又∵2log n n b a =，∴1n b n =-．（2）由（1）可知()112n n n a b n -⋅=-⋅，则0121021222(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅① 1232021222(1)2nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②得()()()231222222121222212nn nn n n S n n n ---=++++--⋅=--⋅=---，∴()222nn S n =-+．19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，AB BC ⊥，1AA AB BC ===22CD =，点M 是1AB 的中点．（1）证明：//CM 平面11ADD A ； （2）求点C 到平面1ADA 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【解析】（1）取1AA 的中点为E ，连接ME ，DE ， ∵点M 是1AB 的中点，∴11ME A B ∥，1112ME A B =， ∵CD AB ∥，12CD AB =，11AB A B ∥，11AB A B =，∴CD ME ∥，CD ME =，即四边形CDEM 为平行四边形，∴CD DE ∥，∵CM ⊄平面11ADD A ，DE ⊂平面11ADD A ，∴CM ∥平面11ADD A ．（2）设点C 到平面1ADA 的距离为h ，连接AC ，1DA ，1A C ，1A D ， ∵1A A ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥， ∴1111121223323A ACD ACD V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，22215AD =+=， ∴115252ADA S =⨯⨯=△， ∵11C ADA A ACD V V --=，∴12533h ⨯⨯=，解得25h =．20．（12分）已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1π3AFO ∠=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N ．证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点． 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）在1AF O Rt △中，OA b =，11OF c ==，2211AF OA OF a =+=，∵1π3AFO ∠=，1π6OAF ∠=，∴1122a AF OF ===，∴223b a c -=因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，∵1211k k k =-，∴1212k k k k =+121212123333y y y y ----=+∴代入(1,2)i i y kx m i =+=，化简得221212(2)(1)(3)()2330k k x x k m x x m m -+-++-+=， 化简得((283333k m m =-，∵3m ≠833(3)k m =-，∴833km =直线83:3k MN y kx =++MN 过定点83(3)． 21．（12分）2()(2)ln ln (0)f x ax a x a a x=-+-->，2()(2)ln g x x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设不等式()21()(2)(0)2m g x x m x m -≥-+->对任意的1[,]x e e∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(0,3]． 【解析】（1）0x >，0a >，222222(2)2(1)(2)()a ax a x x ax f x a x x x x+-++--'=-+==，由()0f x '=，得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21>a ，由0()f x '<，得21x a <<；()0f x '>，得01x <<或2x a >，所以若02a <<，()f x 在(0,1)，2(,)a+∞递增；在2(1,)a 上递减；②若2a =，222(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在定义域(0,)+∞上递增； ③若2a >，则21a <，由0()f x '<，得21x a<<；()0f x '>，得20x a <<或1x >，所以若2a >，()f x 在2(0,)a和(1,)+∞上递增，在2(,1)a递减．（2）原不等式等价于221(2)ln (2)02m x x x x m x --+--≥， 记()221(2)ln (2)2m h x x x x x m x -=-+--， ()(2ln )(1)h x x m x '=+-，1()x e e≤≤，令()0h x '=，得1x =或2(0)m x e m -=>． ①当2m ≥时，12m ee --≤（舍去），所以1x =．当1(,1)x e∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以min 1()(1)(3)02h x h m ==--≥恒成立， 故3m ≤，此时m 的取值范围是23m ≤≤； ②当02m <<时，121m ee--<<，当21(,)mx e e-∈时，()0h x '>；当2(,1)mx e -∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以1min{(1),()}0h h e ≥，即83213e m e m -⎧≤⎪-⎨⎪≤⎩，解得3m ≤，可得此时m 的取值范围是02m <<，综合①②可知03m <≤，所以实数m 的取值范围是(0,3]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=． （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．【答案】（1）2(1)2(1)y x +=+；（2）22115()()2416x y ++-=． 【解析】（1）由21y t =-，得12y t +=，则221212()12y x t +=-=-， 整理得2(1)2(1)y x +=+，故曲线C 的普通方程为2(1)2(1)y x +=+．（2）由(2sin cos )m ρθθ-=，得2y x m -=，联立2(1)2(1)2y x y x m+=+⎧⎨-=⎩，得22210y y m -+-=，∵l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，∴44(21)0Δm =--=，解得1m =， ∵l 的方程为21y x -=，∴l 与坐标轴交点为1(0,)2与(1,0)-，不妨假设1(0,)2A ，则(1,0)B -，线段AB 的中点为11(,)24-，AB ∴==AB为直径的圆的半径4r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为22115()()2416x y ++-=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a =--． （1）当2a =时，求()1f x ≤的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()3f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）[1,2][1,0]-；（2）[0,3]．【解析】（1）当2a =时，()1f x ≤可化为2121x --≤， 即12121x -≤--≤，1213x ≤-≤，∴1213x ≤-≤或3211x -≤-≤-，解得12x ≤≤或10x -≤≤， ∴()1f x ≤的解集为[1,2][1,0]-．（2）()3f x ≤可化为213x a --≤，即3213a x a -≤-≤+， ∵21y x =-在[1,1]x ∈-上的最大值为3，最小值为0，∴3033a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得03a ≤≤，故a 的取值范围为[0,3]．维权声明。
江苏省扬州市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
江苏省扬州市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A=种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A=种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2．函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求xπ=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin xyx-=（[),0xπ∈-或(]0,xπ∈）为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题6．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．7．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58B ．34C ．54D ．52【答案】C 【解析】 【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.8．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 9．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由16PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．10．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11 111 ax xax⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x∈恒成立，则112ax xax⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，2112axax⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x∈恒成立，，得3140aa-<<-⎧⎨-<<⎩，所以a的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 11．设集合{}220A x x x=-->，{}2log2B x x=≤，则集合()RC A B=IA．{}12x x-≤≤B．{}02x x<≤C．{}04x x<≤D．{}14x x-≤≤【答案】B【解析】【分析】先求出集合A和它的补集，然后求得集合B的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，()()210x x-+>，解得1x<-或2x>，故[]1,2RC A=-.对于集合B，22log2log4x≤=，解得04x<≤.故()(]0,2RC A B⋂=.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三第一学期入学调研试卷文科数学(1)(含答案)
2021届高三第一学期入学调研试卷文科数学（1）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，集合{|1}B x x =≥，则A B =（ ）A ．[0,1]B ．[1,2]C ．{0,1}D ．{1,2}2．若复数5i1iz -=-，则1z -=（ ） A ．2B ．8C 10D ．13．已知0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人5．函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC △中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和2FD FA +=0，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．158．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A ．35B ．20C ．18D ．99．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA ，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） A 3B ．23+C ．2D 2111．已知函数π()2sin()(0)6f x x ωω=->，0x ，1x ，2[0,π]x ∈，对[0,π]x ∀∈，都有01()()()f x f x f x ≤≤，满足2()0f x =的实数x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数0x 有且只有1个；②满足题目条件的实数1x 有且只有1个；③()f x 在π(0,)9上单调递增；④ω的取值范围是1319[,)66，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④12．已知长方体1111ABCD A B C D -内接于半球O ，且底面ABCD 落在半球的底面上，底面1111D C B A 的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为3，AB BC =，则该长方体体积的最大值为（ ） A ．123B ．66C ．48D ．72第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲获胜的概率是_____．14．若x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为_____．15．已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_______．16．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，()b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y ax a =>经过C ，F 两点，则ba=_______． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ，E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率．18．（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =． （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．19．（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，AB BC ⊥，1AA AB BC ===22CD =，点M 是1AB 的中点．（1）证明：//CM 平面11ADD A ； （2）求点C 到平面1ADA 的距离．20．（12分）已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1π3AFO ∠=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N ．证明：当1211k k k =-时，直线MN 过定点．21．（12分）2()(2)ln ln (0)f x ax a x a a x=-+-->，2()(2)ln g x x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设不等式()21()(2)(0)2m g x x m x m -≥-+->对任意的1[,]x e e∈恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=． （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a =--． （1）当2a =时，求()1f x ≤的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()3f x ≤，求a 的取值范围．2021届高三入学调研试卷文 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵[0,2]A =，[1,)B =+∞，∴[1,2]A B =．2．【答案】A 【解析】∵5i (5i)(1i)64i32i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+，则122i z -=+， 因此，2212222z -=+=3．【答案】C【解析】∵0.51()2a =，2log 0.3b =，bc a =，∴100.51()2111()()1222a =<<==，22log 0.3log 10b =<=， 1222121211log 0.30.5log 0.3021log 0.3211()()0.30.312210.3(121)c --⨯==>====，∴b a c <<．4．【答案】C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有1007327-=人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人， 则10040027x=，解得108x =人． 5．【答案】A【解析】由题意，222()(0)4122x x x xx x f x x -⋅==≠--，22(()222)()2x x x xx x f f x x --=----==--，所以函数()f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项B ；当1x =时，211212(1)0413f =-⨯=>，故排除选项D ；当12x =时，212()122()(1)221f f ⨯==<-，故排除选项C ， 所以本题正确答案为A ． 6．【答案】B【解析】当0x >时，|ln |30x -=，∴ln 3x =±，∴3x e =或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，22430x x ---=，∴22430x x ++=， ∵20>，164230Δ=-⨯⨯<，所以方程没有实数根， 综合得函数()3y f x =-的零点个数是2． 7．【答案】C【解析】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G ，因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点， 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为2FD FA +=0，所以:1:2AF FD =，因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =， 又因为EG BG =，所以14AE EB =，故14AE EB =． 8．【答案】C【解析】模拟算法：开始：输入3n =，2x =，1v =，312i =-=，0i ≥成立；1224v =⨯+=，211i =-=，0i ≥成立；4219v =⨯+=，110i =-=，0i ≥成立；92018v =⨯+=，011i =-=-，0i ≥不成立，输出18v =．9．【答案】C【解析】如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =，所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E EC ⊥，则1A E AD ∥，190A EC ∠=︒， ∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E ，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===，∴1π3CA E ∠=．10．【答案】B【解析】双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的左焦点F 为(),0c -，直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，则3y c =，即()3A c ， 因为A 平分线段1F B ，根据中点坐标公式可得(),23B c c ，代入双曲线方程，可得2222121c c a b-=，由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得2743e =±，由1e >，解得23e =+． 11．【答案】D【解析】0>ω，[0,π]x ∈，故πππ[π]666x ωω-∈--，， 设π6x t ω-=，作sin y t =的图象如图，在[0,π]上满足2()0f x =的实数2x 有且只有3个，即函数sin y t =在ππ[,π]66ω--上有且只有3个零点，由图象可知π2ππ3π6ω≤-<，131966ω≤<，结论④正确；由图象知，sin y t =在ππ[,π]66ω--上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误； 当π(0,)9x ∈时，ππππ(,)6696x ωω-∈--， 由131966ω≤<知2πππ5ππ02796272t ω<≤=-<<，所以sin y t =在πππ()696ω--，上递增， 则()f x 在π(0,)9上单调递增，结论③正确． 12．【答案】A【解析】设长方体1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则长方体的底面外接圆直径为22r a =，所以，2r =． 由勾股定理得2223h r +=，即22()92a h +=，得22182a h =-，其中03h <<， 所以，长方体1111ABCD A B C D -的体积为()223182218V a h hh hh ==-=-+，其中03h <<，设()3218f h h h =-+，其中03h <<，则()2618f h h '=-+，令()0f h '=，得3h =，当03h <<时，()0f h '>，()f h 在(0,3)上单调递增；当33h <<时，()0f h '<，()f h 在(3,3)上单调递减， 所以，函数()V f h =在3h =处取得极大值，亦即最大值，则()max 3123V f==，因此，该长方体的体积的最大值为123．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】16【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概1111236--=． 14．【答案】6【解析】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x=-+⎧⎨=⎩，得(2,2)A ，故z 的最小值为6．15．【答案】[2,1]e +【解析】∵1()f x a x '=+，∴1(0)1f a'==，∴1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数， 又∵()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=， ∴021x e ≤-≤-，∴21x e ≤≤+，即[2,1]e +． 16．【答案】12【解析】因为D 是抛物线()220y ax p =>的焦点，所以(,0)2a D ，因为正方形DEFG 的边长为b ，所以(,)2a Fb b +，因为F 在抛物线上，所以22()2a b a b =+，即2220b ab a --=，所以22()10b b aa --=，解得12ba=12 因为0a b <<，所以12ba=+三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）910． 【解析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为1121420025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14160089625⨯=． （2）这200名学生成绩的平均分为6411214641009080706091.3200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关．（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，D 组3人编号为A ，B ，C ，E 组2人编号为a ，b ，则任取2人的基本事件为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个， 其中事件“至少1位学生来自D 级别为F 含有的基本事件有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，共9个，∴()910P F =． 18．【答案】（1）1n b n =-；（2）()222nn S n =-+．【解析】（1）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列， 且124116a a a =⎧⎨⋅=⎩，∴2q =，即12n n a -=，又∵2log n n b a =，∴1n b n =-． （2）由（1）可知()112n n n a b n -⋅=-⋅，则0121021222(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅① 1232021222(1)2nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②得()()()231222222121222212nn nn n n S n n n ---=++++--⋅=--⋅=---，∴()222nn S n =-+．19．【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【解析】（1）取1AA 的中点为E ，连接ME ，DE ， ∵点M 是1AB 的中点，∴11ME A B ∥，1112ME A B =， ∵CD AB ∥，12CD AB =，11AB A B ∥，11AB A B =，∴CD ME ∥，CD ME =， 即四边形CDEM 为平行四边形，∴CD DE ∥，∵CM ⊄平面11ADD A ，DE ⊂平面11ADD A ，∴CM ∥平面11ADD A ．（2）设点C 到平面1ADA 的距离为h ，连接AC ，1DA ，1A C ，1A D ， ∵1A A ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥， ∴1111121223323A ACD ACD V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，22215AD =+=， ∴115252ADA S =⨯⨯=△， ∵11C ADA A ACD V V --=，∴12533h ⨯⨯=，解得25h =．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）在1AF O Rt △中，OA b =，11OF c ==，2211AF OA OF a =+=，∵1π3AFO ∠=，1π6OAF ∠=，∴1122a AF OF ===，∴223b a c -=因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()2224384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， ∵1211k k k =-，∴1212k k k k =+121212123333y y y y ----=∴代入(1,2)i i y kx m i =+=，化简得221212(2)(1)(3)()2330k k x x k m x x m m -+-++-+=， 化简得((23333k m m -=-，∵3m ≠833(3)k m =-，∴8333km =直线83:33k MN y kx =++MN 过定点83(3)3-． 21．【答案】（1）见解析；（2）(0,3]． 【解析】（1）0x >，0a >，222222(2)2(1)(2)()a ax a x x ax f x a x x x x+-++--'=-+==， 由()0f x '=，得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21>a ，由0()f x '<，得21x a<<；()0f x '>，得01x <<或2x a >， 所以若02a <<，()f x 在(0,1)，2(,)a+∞递增；在2(1,)a上递减；②若2a =，222(1)()0x f x x-'=≥，()f x 在定义域(0,)+∞上递增； ③若2a >，则21a <，由0()f x '<，得21x a<<；()0f x '>，得20x a <<或1x >，所以若2a >，()f x 在2(0,)a 和(1,)+∞上递增，在2(,1)a递减． （2）原不等式等价于221(2)ln (2)02m x x x x m x --+--≥， 记()221(2)ln (2)2m h x x x x x m x -=-+--， ()(2ln )(1)h x x m x '=+-，1()x e e≤≤，令()0h x '=，得1x =或2(0)m x e m -=>．①当2m ≥时，12m ee --≤（舍去），所以1x =．当1(,1)x e∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以min 1()(1)(3)02h x h m ==--≥恒成立， 故3m ≤，此时m 的取值范围是23m ≤≤； ②当02m <<时，121m ee--<<，当21(,)mx e e-∈时，()0h x '>；当2(,1)mx e -∈时，()0h x '<；当(1,)x e ∈时，()0h x '>，所以1min{(1),()}0h h e ≥，即83213e m e m -⎧≤⎪-⎨⎪≤⎩，解得3m ≤，可得此时m 的取值范围是02m <<， 综合①②可知03m <≤，所以实数m 的取值范围是(0,3]．22．【答案】（1）2(1)2(1)y x +=+；（2）22115()()2416x y ++-=． 【解析】（1）由21y t =-，得12y t +=，则221212()12y x t +=-=-， 整理得2(1)2(1)y x +=+，故曲线C 的普通方程为2(1)2(1)y x +=+． （2）由(2sin cos )m ρθθ-=，得2y x m -=，联立2(1)2(1)2y x y x m+=+⎧⎨-=⎩，得22210y y m -+-=，∵l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，∴44(21)0Δm =--=，解得1m =， ∵l 的方程为21y x -=，∴l 与坐标轴交点为1(0,)2与(1,0)-，不妨假设1(0,)2A ，则(1,0)B -，线段AB 的中点为11(,)24-，1514AB ∴=+=，∴以AB 为直径的圆的半径54r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为22115()()2416x y ++-=． 23．【答案】（1）[1,2][1,0]-；（2）[0,3]．【解析】（1）当2a =时，()1f x ≤可化为2121x --≤， 即12121x -≤--≤，1213x ≤-≤，∴1213x ≤-≤或3211x -≤-≤-，解得12x ≤≤或10x -≤≤， ∴()1f x ≤的解集为[1,2][1,0]-．（2）()3f x ≤可化为213x a --≤，即3213a x a -≤-≤+， ∵21y x =-在[1,1]x ∈-上的最大值为3，最小值为0，∴3033a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得03a ≤≤，故a 的取值范围为[0,3]．。
天津市河北区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
天津市河北区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515656121615 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.2．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．3 C ．323D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 3．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】A【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得UB ，进而求得UA B ⋂.【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U,1B =-∞，所以[)U0,1AB =.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 4．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.5．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 6．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B .本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.7．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP-=，则512AT ES--=（）A．512QR B．512RQ C．512RD D．512RC-【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：5151AT ES SD SR RD QR -+ -=-==.故选：A【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，若输入的3t=，则输出的i=( )A ．9B ．31C ．15D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】1log log b a a b =，1log log c a a c =，因为1a >，1b c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b>，即命题p 为真命题；画出函数2xy =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易. 10．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】B 【解析】 【分析】设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解. 【详解】设{}n a 公差为d ，27a =，415a =，2433211,42a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102n a n S ⨯+∴=-∴==.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022年高三第一次调研考试数学理试题 含答案
2021年高三第一次调研考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，集合，则＝（ ） A. B 。
C 。
D 。
2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B 。
C 。
D 。
3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。
C. D 。
4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（ ）A.3 B 。
4 C 。
6 D 。
9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。
25 C 。
36 D 。
497、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（ ）A. B 。
C 。
D 。
8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（ ）A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为12、已知圆C ：经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长Oxy图11-1 图2为13、设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。
14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。
2021年高三第一次调研数学文试题 含答案
2021年高三第一次调研数学文试题含答案一、选择题A x x N xB x x N x∈≤=∈≤，则|,||3,|,11．已知集合{}{}A． B． C． D．2．若，则复数的模是A．5 B．4 C．3 D．23．垂直于直线与圆相切于第一象限的直线方程是A． B． C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图为正三角形，则侧视图的面积为A．8 B． C． D．45．某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填A． B． C． D．6．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A． B．2 C． D．47．设，则A． B． C． D．8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是A． B． C． D．9．设在内单调递增，，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．已知为定义在上的可导函数，对于恒成立，且为自然对数的底数，则A． B．C． D．与的大小不能确定12．有下列四个命题：①函数的值域是；②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则；④若，则A．①③ B．②④ C．②③ D．③④二、填空题13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过1，3，6，10，…，可以用如图的三角形点阵表示，那么第10个点阵表示的数是。
14．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为。
15．已知函数，则。
16．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，点在线段的延长线上，且，则点横坐标的最大值为。
2021届高三入学调研试卷文数(一)
2021届高三入学调研试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵，，∴．2．若复数，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵，则， 因此，．3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．2{|20}A x x x =-≤{|1}B x x =≥A B =[0,1][1,2]{0,1}{1,2}[0,2]A =[1,)B =+∞[1,2]A B =5i1iz -=-1z -=2281015i (5i)(1i)64i32i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+122i z -=+2212222z -=+=0.51()2a =2log 0.3b =bc a =a b c a b c <<c a b <<b a c <<a c b <<班此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C 【解析】∵，，，∴，， ，∴．4．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生名，随机抽查名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有人，据此估计该校三年级的名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．人 B ．人C ．人D ．人【答案】C【解析】在这名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人， 设该校三年级的名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人， 则，解得人． 5．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A0.51()2a =2log 0.3b =bc a =100.51()2111()()1222a =<<==22log 0.3log 10b =<=1222121211log 0.30.5log 0.3021log 0.3211()()0.30.312210.3(121)c --⨯==>====b ac <<4001007340069841081151001007327-=400x 10040027x=108x =22()41x x x f x ⋅=-【解析】由题意，， ， 所以函数是奇函数，关于原点对称，排除选项B ；当时，，故排除选项D ； 当时，，故排除选项C ， 所以本题正确答案为A ． 6．已知函数，则函数的零点个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当时，，∴，∴或，都满足； 当时，，∴， ∵，，所以方程没有实数根， 综合得函数的零点个数是．7．在中，是边上的一点，是上的一点，且满足和，连接并延长交于，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如图所示，过做，交于，222()(0)4122x xx x x x f x x -⋅==≠--22(()222)()2x x x xx x f f x x --=----==--()f x 1x =211212(1)0413f =-⨯=>12x=21()12()(1)2214f f ==<-ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩()3y f x =-12340x >|ln |30x -=ln 3x =±3x e =3e -0x >0x ≤22430x x ---=22430x x ++=20>164230Δ=-⨯⨯<()3y f x =-2ABC △D BC F AD 2AD AB AC =+2FD FA +=0CF AB E AE EB λ=λ12131415D //DG CE ABG因为，所以为的中点， 因为，所以为的中点， 因为，所以，因为，所以，即， 又因为，所以，故． 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入，的值分别为，，则输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】模拟算法：开始：输入，，，，成立；，，成立； ，，成立；，，不成立，输出．9．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）2AD AB AC =+D BC //DG CE G BE 2FD FA +=0:1:2AF FD =//DG CE ::1:2AE EG AF FD ==12AE EG =EG BG =14AE EB =14AE EB =n x 32v 35201893n =2x =1v =312i =-=0i ≥1224v =⨯+=211i =-=0i ≥4219v =⨯+=110i =-=0i ≥92018v =⨯+=011i =-=-0i ≥18v =111ABC A B C-1AA =D BC AD 1A CA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如图，取中点，连接，，由于正三棱柱，则底面， 而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且，所以平面，而平面，则，则，， ∴即为异面直线与所成角， 设，则，，， 则，∴． 10．设双曲线左、右焦点分别为、，过作倾斜角为直线与轴和双曲线的右支交于、两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．C ．D【答案】B【解析】双曲线，的左焦点为，π6π4π3π211B C E 1A E CE 111ABC A B C -1BB ⊥111A B C 1A E ⊂111A B C 11BB A E ⊥111A B C △111A E B C ⊥111A E B C E =1A E ⊥11BB C C EC ⊂11BB C C 1A E EC ⊥1A E AD ∥190A EC ∠=︒1CA E ∠AD 1A C 2AB =1AA =1A E =3CE =11tan CE CA E A E ∠===1π3CA E ∠=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 1F 60︒y A B A 1F B 22122221x y a b-=(0,0)a b >>F (),0c -直线的方程为，令，则，即， 因为平分线段，根据中点坐标公式可得，代入双曲线方程，可得，由于，则，化简可得，解得， 由，解得11．已知函数，，，，对，都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；③在上单调递增；④的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．②④C ．①②④D ．①③④【答案】D【解析】，，故， 设，作的图象如图，在上满足的实数有且只有个，即函数在上有且只有个零点，由图象可知，，结论④正确；由图象知，在上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误；l )y x c =+0x =y =()A A 1FB ()B c 2222121c c a b-=()1c e e a =>2221211e e e -=-421410e e -+=27e =±1e >2e =+π()2sin()(0)6f x x ωω=->0x 1x 2[0,π]x ∈[0,π]x ∀∈01()()()f x f x f x ≤≤2()0f x =x 30x 11x 1()f x π(0,)9ω1319[,)660>ω[0,π]x ∈πππ[π]666x ωω-∈--，π6x t ω-=sin y t =[0,π]2()0f x =2x 3sin y t =ππ[,π]66ω--3π2ππ3π6ω≤-<131966ω≤<sin y t =ππ[,π]66ω--当时，， 由知，所以在上递增， 则在上单调递增，结论③正确．12．已知长方体内接于半球，且底面落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为，，则该长方体体积的最大值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】设长方体的高为，底面棱长为，则长方体的底面外接圆直径为，所以，． 由勾股定理得，即，得，其中， 所以，长方体的体积为，其中，设，其中，则， 令，得，当时，，在上单调递增；时，，在上单调递减， 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则，因此，该长方体的体积的最大值为．第Ⅱ卷π(0,)9x ∈ππππ(,)6696xωω-∈--131966ω≤<2πππ5ππ02796272t ω<≤=-<<sin y t =πππ()696ω--，()f x π(0,)91111ABCD A B C D -O ABCD 1111D C B A 3AB BC =48721111ABCD A B C D -h a 2r =2r a =2223h r +=22()92ah +=22182a h =-03h <<1111ABCD A B C D -()223182218V a h hh hh ==-=-+03h <<()3218f h h h =-+03h <<()2618f h h '=-+()0f h '=h =0h <<()0f h '>()f h 3h <<()0f h '<()f h ()V f h =h =max V f==二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是_____． 【答案】【解析】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概． 14．若，满足约束条件，则的最小值为_____．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数化为，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最小，最小，联立，得，故的最小值为．15．已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_______．【答案】 【解析】∵，∴，∴，1213161111236--=x y 402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩2z x y =+62z x y =+2y x z =-+2y x z =-+A y z 4y x y x=-+⎧⎨=⎩(2,2)A z 6()ln()f x a x =+()()0,0f y x =()021f x ≤-≤x [2,1]e +1()f x a x '=+1(0)1f a'==1a∴，是上的增函数， 又∵，， ∴，∴，即．16．如图，正方形和正方形的边长分别为，，原点为的中点，抛物线经过，两点，则_______．【答案】【解析】因为是抛物线的焦点，所以，因为正方形的边长为，所以，因为在抛物线上，所以，即，所以，解得， 因为，所以三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，()ln(1)f x x =+()f x (1,)-+∞()00f =(1)ln(11)1f e e -=-+=021x e ≤-≤-21x e ≤≤+[2,1]e +ABCD DEFG a ()b a b <O AD ()220y ax a =>C F ba=1D ()220y ax p =>(,0)2a D DEFGb (,)2a Fb b +F 22()2a b a b =+2220b ab a --=22()10b b aa --=1ba=+10a b <<1ba=1600200并将其成绩分为，，，，五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级，，，，分别对应分、分、分、分、分，学校要求平均分达分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从，两种级别中，用分层抽样的方法抽取个学生样本，再从中任意选取位学生样本分析，求事件“至少位学生来自级别”的概率．【答案】（1）；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）． 【解析】（1）从条形图中可知这人中，有名学生成绩等级为， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为， 则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有． （2）这名学生成绩的平均分为， 因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关． （3）由题可知用分层抽样的方法抽取个学生样本，其中级个，级个，组人编号为，，，组人编号为，，则任取人的基本事件为，，，，，，，，，共个，其中事件“至少位学生来自级别为含有的基本事件有，，，，，A B C DE B A B C D E 1009080706090D E 521D 896910200112B B 1121420025=B 14160089625⨯=2006411214641009080706091.3200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=91.390>5D 3E 2D 3A B C E 2a b 2AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 101D F AB AC Aa Ab BC，，，，共个，∴． 18．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，若，． （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由数列是各项均为正数的等比数列，且，∴，即， 又∵，∴． （2）由（1）可知，则① ②①-②得，∴．19．（12分）如图，直四棱柱中，，，1AA AB BC === 22CD =，点M 是1AB 的中点．（1）证明：平面；Ba Bb Ca Cb 9()910P F ={}n a 11a =2416a a =2log n n b a ={}n b {}n n a b n n S 1n b n =-()222nn S n =-+{}n a 124116a a a =⎧⎨⋅=⎩2q =12n n a -=2log n nb a =1n b n =-()112n n n a b n -⋅=-⋅0121021222(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅1232021222(1)2nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅()()()231222222121222212nn nn n n S n n n ---=++++--⋅=--⋅=---()222nn S n =-+1111ABCD A B C D -//CD AB AB BC⊥//CM 11ADD A（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）取的中点为，连接，， ∵点是的中点，∴，， ∵，，，，∴，， 即四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）设点到平面的距离为，连接，，，， ∵平面，， ∴， ∵平面，∴，∴， ∵，∴，解得C 1ADA 51AA E ME DE M 1AB 11ME A B ∥1112ME A B =CD AB ∥12CD AB =11AB A B ∥11AB A B =CD ME ∥CD ME =CDEM CD DE ∥CM ⊄11ADD A DE ⊂11ADD A CM ∥11ADD A C 1ADA h AC 1DA 1A C 1A D 1A A ⊥ABCD AB BC ⊥1111121223323A ACD ACD V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△AD ⊂ABCD 1AA AD ⊥AD ==1122ADA S ==△11C ADA A ACD V V --=1233h =h =20．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、．证明：当时，直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）在中，，，，∵，，∴，∴，因此，椭圆的标准方程为． （2）由题不妨设，设点，，联立，消去化简得， 且，， ∵，∴∴代入，O C ()11,0F -C y A 1π3AFO ∠=C A 1k ()2120k k k ≠C A M N 1211k k k =-MN 22143x y +=1AF O Rt △OA b =11OF c ==1AF a ==1π3AFO ∠=1π6OAF ∠=1122a AF OF ===b =C 22143x y +=:MN y kx m =+()11,M x y ()22,N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2224384120k x kmx m +++-=122843km x x k +=-+212241243m x x k -=+1211k k k =-1212k k k k =+1212=(1,2)i i y kx m i =+=化简得， 化简得，∵，∴，∴直线过定点． 21．（12分），． （1）讨论的单调性； （2）设不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），，， 由，得或， ①若，则，由，得；，得或，所以若，在，递增；在上递减；②若，，在定义域上递增； ③若，则，由，得；，得或，所以若，在和上递增，在递减．221212(2)(1)()30k k x x k m x x m -+-++-+=((23m m =m ≠3(m =m =:3MN y kx =+MN (3-2()(2)ln ln (0)f x ax a x a a x=-+-->2()(2)ln g x x x x =-()f x ()21()(2)(0)2m g x x m x m -≥-+->1[,]x e e∈m (0,3]0x >0a >222222(2)2(1)(2)()a ax a x x ax f x a x x x x+-++--'=-+==()0f x '=1x =2x a=02a <<21>a 0()f x '<21x a<<()0f x '>01x <<2x a >02a <<()f x (0,1)2(,)a +∞2(1,)a2a =222(1)()0x f x x-'=≥()f x (0,)+∞2a >21a <0()f x '<21x a<<()0f x '>20x a <<1x >2a >()f x 2(0,)a(1,)+∞2(,1)a（2）原不等式等价于， 记， ，，令，得或．①当时，（舍去），所以．当时，；当时，，所以恒成立， 故，此时的取值范围是； ②当时，，当时，；当时，；当时，，所以，即， 解得，可得此时的取值范围是， 综合①②可知，所以实数的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．221(2)ln (2)02m x x x x m x --+--≥()221(2)ln (2)2m h x x x x x m x -=-+--()(2ln )(1)h x x m x '=+-1()x e e≤≤()0h x '=1x =2(0)m x e m -=>2m ≥12m ee --≤1x =1(,1)x e∈()0h x '<(1,)x e ∈()0h x '>min 1()(1)(3)02h x h m ==--≥3m ≤m 23m ≤≤02m <<121m ee--<<21(,)mx e e-∈()0h x '>2(,1)m x e -∈()0h x '<(1,)x e ∈()0h x '>1min{(1),()}0h h e ≥83213e m e m -⎧≤⎪-⎨⎪≤⎩3m ≤m 02m <<03m <≤m (0,3]xOy C 22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩t x l ()2sin cos m ρθθ-=（1）求曲线的普通方程；（2）若直线与曲线有且仅有唯一的公共点，且与坐标轴交于，两点，求以为直径的圆的直角坐标方程．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，得，则， 整理得，故曲线的普通方程为． （2）由，得，联立，得，∵与曲线有且仅有唯一的公共点，∴，解得， ∵的方程为，∴与坐标轴交点为与，不妨假设，则，线段的中点为，，∴以为直径的圆的半径， ∴以为直径的圆的直角坐标方程为． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数． （1）当时，求的解集；（2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，可化为， 即，，C l C l A B AB 2(1)2(1)y x +=+22115()()2416x y ++-=21y t =-12y t +=221212()12y x t +=-=-2(1)2(1)y x +=+C 2(1)2(1)y x +=+(2sin cos )m ρθθ-=2y x m -=2(1)2(1)2y x y x m+=+⎧⎨-=⎩22210y y m -+-=l C 44(21)0Δm =--=1m =l 21y x -=l 1(0,)2(1,0)-1(0,)2A (1,0)B -AB 11(,)24-AB ∴==AB 4r =AB 22115()()2416x y ++-=()21f x x a =--2a =()1f x ≤[1,1]x ∈-()3f x ≤a [1,2][1,0]-[0,3]2a =()1f x ≤2121x --≤12121x -≤--≤1213x ≤-≤∴或，解得或， ∴的解集为．（2）可化为，即， ∵在上的最大值为，最小值为，∴，解得， 故的取值范围为．1213x ≤-≤3211x -≤-≤-12x ≤≤10x -≤≤()1f x ≤[1,2][1,0]-()3f x ≤213x a --≤3213a x a -≤-≤+21y x =-[1,1]x ∈-303033a a -≤⎧⎨+≥⎩03a ≤≤a [0,3]。
福建省泉州市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
福建省泉州市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ）A ．(,2ln 2)-∞-B ．(],2ln 2-∞-C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.4．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3B B C C =，∴3sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．8【分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 令1mx ，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45 B ．105C ．150D ．210【答案】B分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）中： 最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =； 最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝． 故选：B ． 【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.9．已知函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.10．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A ．(3 B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(215b e a ⎛⎫⎤=+ ⎪⎦⎝⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 12．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z .【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期第一次调研数学试卷含解析
2021年高三上学期第一次调研数学试卷含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}，B={1，2，4}则∁UA∩B=（）A．{1} B．{2，4} C．{0，1，3} D．{0，1，2，4}2．“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知﹣＜α＜β＜，则α﹣β的范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（﹣，）4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1与C1D1所成的角（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，则角C是（）A． B． C． D．7．已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin（π﹣α）=（）A． B． C． D．8．向量，，满足||=4，||=2，且（﹣）•=0，则与的夹角（）A．πB．πC． D．9．若二项式（x2﹣）n的展开式中，含x14的项是第3项，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．1110．与直线x+4y﹣4=0垂直，且与抛物线y=2x2相切的直线方程为（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中的横线上．）11．已知复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，则Z1+Z2的共轭复数是．12．已知圆C的参数方程为，若将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则圆C在新坐标系中的标准方程为．13．设z=x+y，且实数x，y满足，则z的最大值是．14．已知偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），那么a b= ．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=2a，∠CAB=90°，AC=a．则点B到平面AB1C 的距离为．三、解答题（本大题共7小题，共90分）16．已知f（x）=，求函数f（x）的定义域．17．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，（1）求函数f（1﹣x）的定义域；（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．18．某中学选派10名同学参加南京“青奥会”青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的天数统计如表所示．参加活动天数 1 3 4参加活动的人数 1 3 6（1）从“青志队”中任意选3名同学，求这3名同学中恰好有2名同学参加活动天数相等的概率；（2）从“青志队”中任选两名同学，用X表示这两人参加活动的天数之差，求X＞1的概率．19．已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求等差数列{a n}的通项a n；（2）设b n=a n+，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（）的值；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的值域．21．某果园中有60棵橘子树，平均每棵树结200斤橘子．由于市场行情较好，园主准备多种一些橘子树以提高产量，但是若多种树，就会影响果树之间的距离，每棵果树接受到的阳光就会减少，导致每棵果树的产量降低，经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子．（1）如果园主增加种植了10棵橘子树，则总产量增加了多少？（2）求果园总产量y（斤）与增加种植的橘子树数目x（棵）之间的函数关系式．（3）增加种植多少棵橘子树可以使得果园的总产量最大？最大总产量是多少？22．如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程．（2）过点M引直线l（斜率存在），若直线l被椭圆T截得的弦长为2．①求直线l的方程；②设P（x，y）为圆O上的点，求点P到直线l的最大距离．四选二（本大题共有四小题，共16分，每小题8分．考生选做其中2题，多做或全做不加分．）23．将十进制数34换算成二进制数，即（34）10= ．24．程序框图，如图所示为1+2+3+…+n＞50的最小自然数n的程序框图，在空白框中应填；输出的I= ．商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元A商品1000 3.0 2.5B商品1500108C商品120064则该批发点A商品的批发利润率为；该批发点1月份的利润为元．工作代码紧前工作工期（天）A无4B A6C B3D C，G10E D，H4F A3G F10H C，G8xx学年江苏省南京市职业学校高三（上）第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}，B={1，2，4}则∁U A∩B=（）A．{1} B．{2，4} C．{0，1，3} D．{0，1，2，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，根据集合的基本运算进行求解．解答：解：A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}={2，4}，则∁U A∩B={0，1，3}∩{1，2，4}={1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：“0≤k＜3”⇒方程+=1表示双曲线；反之，方程+=1表示双曲线﹣1＜k＜5．由此得到“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件．解答：解：∵0≤k＜3，∴，∴方程+=1表示双曲线；反之，∵方程+=1表示双曲线，∴（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．∴“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．3．已知﹣＜α＜β＜，则α﹣β的范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（﹣，）考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由﹣＜α＜β＜，可得，α﹣β＜0，即可得出．解答：解：∵﹣＜α＜β＜，∴，α﹣β＜0，∴，故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1与C1D1所成的角（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由D1C1∥AB，知∠BAB1是AB1与C1D1所成的角，由此能求出AB1与C1D1所成的角．解答：解：∵D1C1∥AB，∴∠BAB1是AB1与C1D1所成的角，∵AB=BB1，AB⊥BB1，∴∠BAB1=45°．∴AB1与C1D1所成的角为45°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据分段函数的解析式，对a的范围进行讨论，进一步根据不同的范围求出参数a的结果．解答：解：已知函数f（x）=则：①当a＞0时，f（a）+f（1）=0得到：2a+2=0解得：a=﹣1与前提条件矛盾故舍去．②当a＜0时，f（a）+f（1）=0得到：a+1+2=0解得：a=﹣3综上所述：a=﹣1故选：C点评：本题考查的知识要点：分段函数的应用，分类讨论问题的应用，属于基础题型．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，则角C是（）A． B． C． D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：根据正弦定理将条件进行化简即可．解答：解：由正弦定理得，即sinC=，即tanC=，在三角形中，C=，故选：C点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理进行化简是解决本题的关键．7．已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin（π﹣α）=（）A． B． C． D．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得所给式子的结果．解答：解：∵cosα=﹣，α∈（π，），∴sinα=﹣=﹣，∴sin（π﹣α）=sinα=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．8．向量，，满足||=4，||=2，且（﹣）•=0，则与的夹角（）A．πB．πC． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角是θ，由题意和数量积的运算求出cosθ，再由向量的夹角范围求出θ的值．解答：解：设与的夹角是θ，因为||=4，||=2，且（﹣）•=0，所以•﹣•=0，则4×2×cosθ﹣4=0，得cosθ=，又0≤θ≤π，所以θ=，故选：D．点评：本题考查数量积的运算，以及向量的夹角问题，属于基础题．9．若二项式（x2﹣）n的展开式中，含x14的项是第3项，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，根据r=3，2n﹣6=14，求出n的值．解答：解：二项式（x2﹣）n的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x2n﹣3r，含x14的项是第3项，令r=3，2n﹣6=14，求得n=10，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．10．与直线x+4y﹣4=0垂直，且与抛物线y=2x2相切的直线方程为（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：欲求与抛物线y=2x2相切的直线方程，只须求出切点即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后根据切线与直线x+4y ﹣4=0垂直得到的斜率关系列出等式求出切点，从而问题解决．解答：解：∵y=2x2，∴y'（x）=4x，又直线x+4y﹣4=0的斜率为：，∴得切线的斜率为4，所以k=4；即4x=4，∴x=1，故切点坐标为（1，2）所以曲线的切线方程为：y﹣2=4×（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．故选C．点评：本小题主要考查两条直线垂直的判定、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中的横线上．）11．已知复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，则Z1+Z2的共轭复数是﹣1+i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，∴Z1+Z2=1+2i﹣2﹣3i=﹣1﹣i，其共轭复数为﹣1+i．故答案为：﹣1+i．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．已知圆C的参数方程为，若将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则圆C在新坐标系中的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4 ．考点：圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用变换关系式进行变换，得到新的直角坐标方程．解答：解：圆C的参数方程为，转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4①将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则：x′=x+1，y′=y+2所以：x=x′﹣1，y=y′﹣2代入①得到：（x′﹣1）2+（y′﹣4）2=4即：（x﹣1）2+（y﹣4）2=4故答案为：（x﹣1）2+（y﹣4）2=4点评：本题考查的知识要点：圆的参数方程与直角坐标方程的互化，变换关系式的应用，属于基础题型．13．设z=x+y，且实数x，y满足，则z的最大值是 5 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=x+y得z=2+3=5．即目标函数z=x+y的最大值为5．故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14．已知偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），那么a b= ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义域关于原点对称、偶函数的定义式即f（﹣x）=f（x）恒成立，即可列出关于a，b的方程组，问题获解．解答：解：因为偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），所以b+a﹣1=0…①，且a（﹣x）2﹣（b+1）x+c=ax2+（b+1）x+c对任意的x恒成立，所以b+1=0…②联立①②解得b=﹣1，a=2，所以．故答案为点评：本题考查了偶函数的基本概念和性质，注意定义式是个恒等式，据此列出系数的方程组．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=2a，∠CAB=90°，AC=a．则点B到平面AB1C 的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：可采用等积法，只要求出三角形AB1C的面积，则B到面AB1C的距离即可求得．解答：解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=2a，∠CAB=90°，AC=a，∴AB=a，△AB1C中，AB1=a，B1C=2a，AC=a，∴==，设点B到平面AB1C的距离为h．由等体积可得，解得h=．故答案为：．点评：本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．三、解答题（本大题共7小题，共90分）16．已知f（x）=，求函数f（x）的定义域．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则…（2分）∴…（2分）∴…（2分）∴故函数f（x）的定义域为…（2分）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．17．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，（1）求函数f（1﹣x）的定义域；（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得﹣1＜1﹣x＜2，求得x的范围，可得函数f（1﹣x）定义域．（2）由题意得，由此求得a的范围．解答：解：（1）∵﹣1＜1﹣x＜2，∴﹣2＜﹣x＜1，解得﹣1＜x＜2，∴函数f（1﹣x）定义域为（﹣1，2）．（2）由题意得，解得，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．点评：本题主要考查抽象函数的定义域，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．18．某中学选派10名同学参加南京“青奥会”青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的天数统计如表所示．参加活动天数 1 3 4参加活动的人数 1 3 6（1）从“青志队”中任意选3名同学，求这3名同学中恰好有2名同学参加活动天数相等的概率；（2）从“青志队”中任选两名同学，用X表示这两人参加活动的天数之差，求X＞1的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）设参加活动天数相等为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出恰好有2名同学参加活动天数相等的概率．（2）由已知条件利用等可能事件概率计算公式能求出X＞1的概率．解答：（本题满分10分）解：（1）设参加活动天数相等为事件A，…（1分）…（3分）∴从中任意抽取3名同学，恰好有2名同学参加活动天数相等的概率是．…（1分）（2）…（4分）∴X＞1的概率为．…（1分）点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19．已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求等差数列{a n}的通项a n；（2）设b n=a n+，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a n=2n﹣1．（2）由，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：（本题满分12分）解：（1）∵a1，a2，a5成等比数列∴…（2分）∴d2=2a1d…（1分）∵d＞0，a1=1，∴d=2，…（1分）∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…（2分）（2）∵…（2分）∴S n=b1+b2+b3+…+b n=（1+4）+（3+42）+（5+43）+…+[（2n﹣1）+4n]=（1+3+5+…+2n﹣1）+（4+42+43+…+4n）…（2分）=…（2分）点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用．20．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（）的值；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式求出函数的值．（2）根据（1）中函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．==，∴，（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴f（x）的值域为[﹣1，2]．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的关系式求出函数的值，利用三角函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．21．某果园中有60棵橘子树，平均每棵树结200斤橘子．由于市场行情较好，园主准备多种一些橘子树以提高产量，但是若多种树，就会影响果树之间的距离，每棵果树接受到的阳光就会减少，导致每棵果树的产量降低，经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子．（1）如果园主增加种植了10棵橘子树，则总产量增加了多少？（2）求果园总产量y（斤）与增加种植的橘子树数目x（棵）之间的函数关系式．（3）增加种植多少棵橘子树可以使得果园的总产量最大？最大总产量是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子，可得总产量的增加；（2）设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式．（2）利用配方法，即可得出结论．解答：解：（1）（60+10）（200﹣10×2）﹣60×200…（2分）=70×180﹣60×200=600 …（2分）所以总产量增加了600斤．（2）y=（60+x）（200﹣2x）…（2分）=﹣2x2+80x+1xx（x≥0，x∈N）…（2分）（3）y=﹣2（x2﹣40x）+1xx=﹣2（x﹣20）2+12800…（3分）∴当增加种植20棵时，总产量最大，为12800斤…（1分）点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．22．如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程．（2）过点M引直线l（斜率存在），若直线l被椭圆T截得的弦长为2．①求直线l的方程；②设P（x，y）为圆O上的点，求点P到直线l的最大距离．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由切点可得b=1，即圆的半径为1，可得圆的方程；再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得k，进而得到直线方程；②根据对称性可知P到直线l的距离最大为圆心到直线的距离加上半径，由点到直线的距离公式，计算即可得到．解答：解：（1）由题意可知，圆的半径r=1，∴圆O的方程为：x2+y2=1，在椭圆T中，b=1，又，a2=b2+c2∴a2=4，b2=1，所以椭圆的标准方程为；（2）①设直线l：y=kx+1，设l与椭圆T交于M（x1，y1），N（x2，y2），∴消去y得：（1+4k2）x2+8kx=0，∴，∴弦长，解得：，∴直线l的方程为：；②根据对称性可知点P（x，y）到直线l：或的距离相等，故点P（x，y）到直线l的最大距离．点评：本题考查椭圆和圆的方程的求法，同时考查直线和圆相切的条件，以及直线和椭圆相交的弦长公式，考查运算能力，属于中档题．四选二（本大题共有四小题，共16分，每小题8分．考生选做其中2题，多做或全做不加分．）23．将十进制数34换算成二进制数，即（34）10= 100010（2）．考点：进位制．专题：计算题．分析：将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0为止，将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：34÷2=17 017÷2=8 (1)8÷2=4 04÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故34（10）=100010（2）故答案为：（100010）2．点评：本题考查的知识点是十进制与二进制之间的转化，其中熟练掌握“除2取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．24．程序框图，如图所示为1+2+3+…+n＞50的最小自然数n的程序框图，在空白框中应填S=S+I ；输出的I= 11 ．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析题目中的要求，发现这是一个累加型的问题，用循环结构来实现，累加的初始值为1，累加值每一次增加1，退出循环的条件是累加结果＞50，把握住以上要点不难得到正确的输出框内的内容．解答：解：第一步，S=0，I=1；第二步，S=1，I=2；第三步，S=1+2，I=3；…第n步，S=1+2+…+n﹣1，I=n；则在空白框中应填：S=S+I，由于当满足S=1+2+3+…+n﹣1＞50的最小的自然数是10，下一步：I=11，退出循环，则输出的I=11．故答案为：S=S+I…（2分）I=11…（4分）点评：可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分如下步骤：①观察S的表达式分析，循环的初值、终值、步长②观察每次累加的值的通项公式③在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值④在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长⑤输出累加（乘）值，属于基础题．25．某批发点1月份销售商品情况如表：商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元A商品1000 3.0 2.5B商品1500108C商品120064则该批发点A商品的批发利润率为20% ；该批发点1月份的利润为5900 元．考点：频率分布表．专题：应用题．分析：（1）根据利润率=，求出A商品的批发利润率；（2）根据利润=收入﹣成本，求出1月份的批发利润．解答：解：（1）该批发点A商品的批发利润率为=0.2=20%；（2）该批发点1月份的利润为1000×（3.0﹣2.5）+1500×（10﹣8）+1200×（6﹣4）=500+3000+2400=5900元．故答案为：20%，5900．点评：本题考查了商品的利润与利润率的应用问题，是基础题目．工作代码紧前工作工期（天）A无4B A6C B3D C，G10E D，H4F A3G F10H C，G8考点：流程图的作用．专题：图表型．分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．解答：解：（1）该工程的网络图绘制如下：…（4分）（2）最短总工期为31天…（4分）点评：本题考查的是流程图，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．l320311 4F57 佗36470 8E76 蹶W^>27009 6981 榁39595 9AAB 骫34322 8612 蘒N31196 79DC 秜f。
2021届高三入学调研试卷理数(一)
2021届高三入学调研试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部分别为，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】∵，∴．2．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵，，∴．3．若函数的图象经过抛物线的焦点，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，则，即，z 1-22z =34i --34i -+34i +34i -12i z =-+2144i 34i z =--=--2{|4}A x x =<{|2,}xB y y x ==∈R A B =(2,2)-(0,2)(2,)+∞(,2)(2,)-∞-+∞(2,2)A =-(0,)B =+∞(0,2)AB =()lg()f x x a =+28y x =a =101-2-28y x =(2,0)(2)lg(2)0f a =+=21a +=班此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号解得．4．已知两个单位向量，的夹角为，则下列向量是单位向量的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得的模为，则是单位向量．5．的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵，∴，∴． 6．设，满足约束条件，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示， 当直线过点时，取得最小值； 直线过点时，取得最大值， 故．7．设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数，将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为，按从大到小排成的两位数记为(例如，则，1a =-a b 60︒+a b 12-a b 12+a b -a b -a b 1-a b ABC △A B C a b c 2B C =b =cos c C cos c A 2cos c C 2cos c A 2B C =sin sin22sin cos B C C C ==2cos b c C =x y 2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩z x y =+[90,]2[94,]2[0,4][4,)+∞z x y =+(0,0)z 0z x y =+3(,3)2z 929[0,]2z∈a 0a 2()I a ()D a 75a =()57I a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，；，；，， ∵为的倍数，∴输出的．8．已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】令，则，，∵，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为．9．（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B()75D a =51a =b=3035404551a =511536b =-=36a =633627b =-=27a =722745b =-=45545b =2211()11x x f x x--=++()y f x =(0,(0))f y x =-y x =2y x =2y x =-11x t x -=+11t x t -=+22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++2222)))(11((t f t t -'=+(0)2f '=(0)0f =()y f x =(0,(0))f 2y x =sin cos()6πx x -+=11sin(224π)6x +-11sin(224π)6x -+11sin(222π)3x -+1sin(224π)3x +-【解析】 ． 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共个，小灯共个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为．11．在正四棱柱中，为侧棱上一点，，，且异面直线与，则（ ） A ．B ．C ．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，1sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+1112(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+243601200416035928935911910779581077x y 360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩120240x y =⎧⎨=⎩2120236095817C C 107-=1111ABCD A B C D -E 1DD 1AB =12AA =DB 1C E DE =1223132D D xyz -则，，，则， 设，则， 从而∵，∴． 12．设是双曲线的右焦点，为坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵到渐近线的距离为，∴，则的内切圆的半径， 设的内切圆与切于点，则， ∵，∴，∴， 即，则，∴， ∵，∴．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(0,0,0)D(1,1,0)B 1(0,1,2)C (1,1,0)DB =(02)DE t t =<≤1(0,1,2)C E t =--1,||||s co DB C E 〉==〈02t <≤12t =F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O F C H FOH △x B 2BF OB =C 344438+34+F ||FH b=||OH a ==FOH △2a b cr +-=FOH △FH M ||2a b cMH r +-==2BF OB =2||||3FM BF c ==2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==33b a c =+22222)99(69b c a c ac a =-=++24390e e --=1e >e =13．的展开式中的系数为 ． 【答案】【解析】的展开式中的系数为．14．已知函数，若，，则 ．【答案】【解析】∵，∴的图象关于直线对称， 又，且，∴． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ．【答案】【解析】设该圆锥的半径与高分别为，，则，即， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为． 16．已知函数是上的奇函数，函数，若对恒成立，则的取值范围为 ．【答案】6()3y x -5x y 2-6()3y x -5x y 161C ()23-=-()sin f x x =()()f a x f a x +=-0πa <<a =π2()()f a x f a x +=-()f x x a =()sin f x x =0πa <<π2a=2r h 32141ππ233r r h ⨯=2h r =2hr=2()log )f x x =R ()|2 |g x m x a =--()()f x g x ≤3[,2]4x ∈-m [7,)2+∞【解析】由是上的奇函数，得，则，因为在上单调递减，所以是上的减函数，作出与的图象，如图所示，由图可知，即，则．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设为数列的前项和，已知，，其中是不为的常数，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴数列是公差为的等差数列， ∵，∴，，， ∵，，成等比数列，∴，∴，∴或，∵，∴，．2()log )f x x =R 2(0)log 0f ==1a=22()log )log f x x ==(0,)+∞()f x R ()f x ()g x 33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩2512log 2)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩72m≥n S {}n a n 37a =1(2)n n a a d n -=+≥d 01a 2a 6a {}n a 55m S m =m 32n a n =-37m =1(2)n n a a d n -=+≥{}n a d 37a =172a d =-27a d =-673a d =+1a 2a 6a 2(72)(73)(7)d d d -+=-23d d =3d =0d =0d ≠3d =7(3)332n a n n =+-⨯=-（2）∵，∴，即，∴． 18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为，中奖可获得元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了罐百事可乐，他恰好获得元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望． 【答案】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，百事可乐的销量更好；（2）①；②元． 【解析】（1）百事可乐销量的平均数为，可口可乐销量的平均数为，∵，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为罐，记连续三周顾客中奖总次数为，则，则，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元．1(552)m m m a a S m +==1110m a a +=32109m -=37m=0.1132960794070.027570110012012014016014018096077x ++++++==28012010014018014018094077x ++++++==12x x >22230.1(10.1C )0.027⨯-=(960940)3190035700+⨯=⨯=X (5700,0.1)XB 57000.1570EX =⨯=5701570⨯=19．（12分）在直角坐标系中，已知，，且，记动点的轨迹为． （1）求的方程；（2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，∴，∴，即，此即为的方程． （2）设直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，或，不合题意； 当时，由，得， 设，，则，， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴．20．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且． （1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．xOy (1,2)P x y -(1,2)Q x y +3OP OQ ⋅=(,)M x y ΩΩ(1,0)N l ΩA B 2BN NA =l 2214x y +=k =3OP OQ ⋅=2(1)(1)43x x y -++=2244x y +=2214x y +=Ωl k l (1)y k x =-0k =3BN NA =13BN NA =0k ≠22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩222(1420)3k y ky k ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122214ky y k +=-+2122314k y y k =-+2BN NA =22(1,)BN x y =--11()1,NA x y =-212y y =-1212214k y y y k +=-=-+22123214k y k -=-+10y ≠2512k=k =ABCD AD AB ⊥ABD ⊥ABC AB BC AC ==4AD BC +=BC ⊥ABD E AC ABCD C BD E --【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，∴平面，因为平面，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面．（2）设，则， 四面体的体积， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故当时，四面体的体积取得最大值， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，AD AB ⊥ABD ⊥ABC ABDABC AB =AD ⊂ABD AD ⊥ABC BC ⊂ABC AD BC ⊥2AB BC AC ==222AB BC AC +=AB BC ⊥ADAB A =BC ⊥ABD (04)AD x x =<<4AB BC x ==-ABCD 232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--403x <<()0f x '>()V f x =443x <<()0f x '<()V f x =43AD x ==ABCD B B xyz -则，，，，， 设平面的法向量为，则，即，令，得，同理，平面的法向量为，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为． 21．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）， 当时，，在上单调递减； 当时，由，得，在上单调递增；(0,0,0)B 8(0,,0)3A 8(,0,0)3C 84(0,,)33D 44(,,0)33E BCD (,,)x y z =n 0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2z =-(0,1,2)=-n BDE (1,1,2)=-m cos ,〈〉==m n C BD E --C BD E --62()(2)ln f x a x ax x =++-()f x ()f x (0,)a ()P a 234ln 2()42p a a a <<+-2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->2a ≤-()0f x '<()f x (0,)+∞2a >-()0f x '>202a x +<<()f x (20,)2a +由，得，在上单调递减． （2）易知，当02a <≤时，， 由（1）知，在上单调递增，此时在上不存在最大值， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，故， 设，， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∵，且， ∴要证：，只需证， 即证， 设，则， 则在上单调递减，从而，即， 则，从而．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．()0f x '<22a x +>()f x 2,)2(a ++∞0a >22a a +≥()f x (0,)a ()f x (0,)a 2a >()f x (20,)2a +(2,)2a a +22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>224()(2)ln (2)24x x g x x x +-=++>2()1ln 22x x g x +'=++2x >()0g x '>()g x (2,)+∞()(2)4ln 2g x g >=()4ln 2p a >2314(34)(2)22a a a a +-=-+2a >23()42p a a a <+-2234ln 242a a a +--+<256ln024a a +--<256()ln(2)24x x h x x +-=->15()024h x x '=-<+()h x (2,)+∞()(2)ln 210h x h <=-<256ln024a a +--<23()42p a a a <+-234ln 2()42p a a a <<+-22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上一动点，记到直线与直线的距离分别为，，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，即， ∴曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）可设，，直线与直线的直角坐标方程分别为，， 从而，，，故的最小值为． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，且不等式的解集为． （1）求，；（2）若，证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，由，得， 因为不等式的解集为，所以，解得， 当时，由，得，所以， 经检验，满足题意．C 4cos ρθ=CD x D P D P sin 3ρθ=-cos 2ρθ=1d 2d 12d d +22(2)4x y ++=7-4cos ρθ=24cos ρρθ=224x y x +=22(2)4x y -+=D 22(2)4x y ++=(22cos ,2sin )P αα-+[0,2π)α∈sin 3ρθ=-cos 2ρθ=3y =-2x =12sin 3d α=+22(22cos )42cos d αα=--+=-122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-12d d+7-()|1||2|f x x x =-++()f x k <{|3}x x a -<<k a m n k +=()()12f m f n +≥5k =2a =2x ≤-()21f x x k =--<12k x +>-()f x k <{|3}x x a -<<132k +-=-5k =1x ≥() 2 15f x x =+<2x <2a =5k =2a =（2）证明：因为，所以， 同理， 因为5m n k +==，所以．|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+()|21|f m m ≥+()|21|f n n ≥+()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=。
山东省枣庄市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
山东省枣庄市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.2．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．3B ．10 C ．15 D ．6 【答案】C 【解析】 【分析】设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 【详解】根据题意画出图形:设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角可知1122MN AB ==，1122NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM 为直角三角形；11,2PQ MQ AC ==ABC 中，由余弦定理得22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AC ∴=2MQ =在MQP △中，2MP ==在PMN 中，由余弦定理得22222222cos 25MN NP PM MNP MH NP ⎛⎛+- +-∠====-⋅⋅所以sin 5MNP ∠=== 故选：C 【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 3．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.4．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ．5．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．502cmB ．402cmC ．50cmD ．206cm【答案】D 【解析】 【分析】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长. 【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+()3350sin 40sin 6030sin 40sin 22ααααα⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+-- ()3350cos 30cos 40cos 6040cos sin 22ααααα⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭因为AB CB =，则333340sin cos 40cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理化简得sin 23cos αα=，又22sin cos 1αα+=，得31sin 22α-=，31cos 22α+= 3333133140sin cos 40206222222AB αα⎛⎫⎛⎫-+∴=+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即该正方形的边长为206cm . 故选：D. 【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.6．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.1422⨯⨯=所以该几何体的表面积是()24cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．9．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范A．2(0,)3eB．2(,0)3e-C．(,0)2e-D．(0,)2e【答案】D【解析】【分析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x=与直线1()2y k x=+的交点的个数问题，画出函数()y f x=的图象，易知直线1()2y k x=+过定点1(,0)2-，故与()f x在0x<时的图象必有两个交点，故只需与()f x在x>时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知()y f x=与1()2y k x=+有4个公共点即可，即()0,k k∈切，当设切点()00,x y，则11()2xxxkexk xe-⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，122xke⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2ke∴∈.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.10．已知(),A AA x y是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转23π到OB交圆于点(),B BB x y，则2A By y+的最大值为（）A．3 B．2 C3D5【答案】C【解析】【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3B y πα=+，2A B y y +=3sin 22αα+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+=12sin sin cos 22ααα-+=3sin )226πααα+=+≤，当3πα=时，取得等号.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.11．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．C ．-D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 63π==-，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.12．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()A B 即可.【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4A =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R()1,3A B ∴=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届(新高考)高三入学调研数学试卷(一)(解析版)
（新高考）2021届高三入学调研数学试卷（一）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设复数，则（ ） A ．BC ．D．3．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（ ） A ．种B ．种C ．种D ．种4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，那么应抽出男运动员的人数为（ ）A ．B ．C ．D ．5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）A ．B ．C ．D ．6．将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（ ）A ．B ．C ．D ．{2,0,2,3}A =-{|20}B x x =-≤≤A B ={2,3}{2}-(2,0)-{2,0}-1i 1iz =--||z =021812562436564228101214161859x π()ln x x x≈10000lg 0.43429e ≈10891086434145ABCD AC ABC ACD AB CD 90︒60︒45︒30︒7．已知单位向量，分別与平面直角坐标系，轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（ ）AB ．C ．D ．8．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．是奇函数D ．是偶函数 11．已知，且，则（ ）A ．11()3()3xy≥B ．22x y ≤C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤1e 2e x y 123ACe e 1226BDe e ABCD 1020R ()f x (2)()0f x f x -+=1x >()2f x x =-()0f x <(1,2)(,0)-∞(0,2)(,0)(1,2)-∞1l 2(5)8x m y ++=2l (3)45m x y ++=12l l ∥m =1-1-7-3-()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>π0||2ϕ<<2ω=π3ϕ=-π()12f x +π()12f x -,x y ∈R 5757x yy x12．已知函数，，下列说法中不正确的是（ ） A ．，在点处有相同的切线B ．对于任意，恒成立C ．，的图象有且只有一个交点D ．，的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆的两个焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，则的值为 ．14．已知等比数列的首项为，且，则．15．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则 ，的系数为 ．16．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2()1f x x =-()ln g x x =()f x ()g x (1,0)0x >()()f x g x ≥()f x ()g x ()f x ()g x 22:1916x y C +=1F 2F 1F l C A B 2210AF BF +=AB {}n a 164312()a a a a +=+1237a a a a =(2nx 232:5n =3x 21111ABCD A B C D E F 11A D 11C D N 1BC 114BNBC P M 1D B EF ||||PM PN +17．（10分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值；（2）若，求三角形的周长．18．（12分）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，公比为的等比数列中，，，． （1）求数列，的通项公式，； （2）若数列满足，求数列的前项和．19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩分以上的学生也越来越多．用表示月后体育成绩分以上的学生的百分比，得到了如下数据．ABC △A B C a b c 22242b c a bc sin A ABC △3sin B C ABC △{}n a n n S 0d 2340a a 1413a a (01)q q{}n b 1b 2b 311111{,,,,}60322082b {}n a {}n b n a n b {}nc n n n c a b {}n c n n T 90y x 90（1）求出关于的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测个月后，体育成绩分以上的学生的百分比是多少?参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是其中，，．20．（12分）在三棱锥中，平面，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面平面；（2）假设在线段上存在一点，使，求的值； （3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若任意的，恒成立，请求出的取值范围．y x 790ybx a ^1122211()()()nnii i i i i nniii i x x y y x y nx y bx x x nxa y bx P ABC -PB ⊥ABC AB BC ⊥2AB PB ==BC =E G PC PA BCG ⊥PAC AC N PN BE ⊥ANNCBE PBN ()ln af x xx x1a()f x (1,(1))f 1(,)2x2()x xf x e x a22．（12分）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（1）求直线与轴的交点坐标；（2）若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与三角形的边，分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．——★ 参*考*答*案 ★——第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』D22(0)x py p =>M 2y p =-M AB AB y E AB E MAB MA MBCD EABMCDS S λ=△△λ『解析』，，∴．2．『答案』C 『解析』，． 3．『答案』D『解析』第一步，将名老师分成三组，其中一组人，其他两组每组人，不同的分法种数是种，第二步，分到三个班的不同分法有种， 故不同的分配方案为种． 4．『答案』D『解析』设抽取的男运动员的人数为，则抽取的女运动员的人数为， ∴，解得． 5．『答案』B『解析』由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为， 则以内的素数的个数为．6．『答案』B『解析』如图，取，，的中点，分别为，，，连结，，，则，，所以或其补角即为所求的角． 因为平面平面，，所以平面，所以， 设正方形边长为，，则， 所以，所以是等边三角形，．{2,0,2,3}A =-{|20}B x x =-≤≤{2,0}A B =-211i 1i 1i 1ii i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-||2z ==42124C 6=33A 6=6636⨯=x 28x -285642x x -=16x =x π()ln xx x≈10000100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈AC BD AD O M N OM ON MN 12ON CD 平行且等于12MN AB 平行且等于ONM ∠ABC ⊥ACD BO AC ⊥BO ⊥ACD BO OD ⊥2OB OD ==2BD =112OM BD ==1ON MN OM ===OMN △60ONM ∠=︒所以直线与所成的角为．7．『答案』C 『解析』，∴，又，， ∴平面四边形的面积．8．『答案』D『解析』由已知，即，∴关于中心对称，又当时，，作出函数的图象如图所示，由图可知的解集为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．『答案』AC『解析』因为，故，整理得到，解得或．10．『答案』ABDAB CD 60︒1212(3)(26)660AC BD e e e e AC BD 22||3(1)10AC 22||26210BD ABCD 11||||102101022AC BD (2)()0f x f x -+=(1)(1)0f x f x -++=()f x (1,0)1x >()2f x x =-()f x ()0f x <(,0)(1,2)-∞12l l ∥24(5)(3)m m ⨯=++2870m m ++=1m =-7m =-『解析』由图可得，所以A 、B 正确；，故C 错； 为偶函数，所以D 正确． 11．『答案』AC 『解析』∵函数为增函数，∴，即，可得，∴A 、C 正确． 12．『答案』ABC『解析』因为，，，， 所以，在点处的切线不同，选项A 不正确；，， 因为，；，； ，， 所以时，有最小值，所以当时，不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数在上有且只有两个零点，所以，的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷π()sin(2)3f x x =-ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-57x x y5757x yy x 5757x xy y x y ()2f x x '=(1)2f '=1()g x x'=(1)1g '=()f x ()g x (1,0)()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥22(12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==(0,2x ∈[()()]0f x g x '-<)2x ∈+∞[()()]0f x g x '->2x =[()()]0f xg x '-=2x =()()f x g x -1(ln 21)02-<0x >()()f x g x ≥()()f x g x -(0,)+∞()f x ()g x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．『答案』『解析』由题意可得，解得， 故答案为． 14．『答案』『解析』设等比数列的公比为，则，所以，．15．『答案』，『解析』二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第项与第项的二项式系数之比是，可得，解得， 所以，令，解得， 所以的系数为．16．『解析』首先的最小值就是到的距离． 连接交于，连接，则平面，故，从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一． 其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，从而，最后，连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为，∵正方体的棱长为，∴6221110416AF BF AF BF AB a +++=+==6AB =6128{}n a q 364312a a q a a +==+3412a a q =⋅=77123742128a a a a a ===62401r +1C (2)(r n rrr n T x -+=232:512C :C 2:5n n =6n =366216C (2)(C 2(1)r r n rr r r rr nT x x ---+==-3632r -=2r =3x 26226C 2(1)240--=PM P EF 11B D EF G PG EF11B D DB EFPG PM PG G EF 1D G 11D B BD BD H BH BN PH PHB PNB △△PNPH GH 1BD K P K PM PN GH 1111ABCDA B C D 2GH =四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．『答案』（1）；（2）．『解析』（1）∵，∴， ∴， ∴在中，． （2）∵，即，∴，，∴，，则，∴，∴的周长为．18．『答案』（1），；（2）． 『解析』（1）由题意可得：等差数列，，；因为等比数列中，，，，，1sin 3A23262222cos b c a bc A 422cos 3bc Abc 22cos 3AABC △21sin 1cos 3AAABC △11sin 226bc A bc 62bc3sin B C 3c 32b 2c2222cos 6a b c bc A6a ABC △232631na n 211()2n nb (31)21(1)234n n n n T {}n a 1111()(2)40223133a d a d a a d d31n a n {}n b 1b 2b 311111{,,,,}60322082b 01q所以，，，∴． （2），∴． 19．『答案』（1）；（2）． 『解析』（1）由表格数据可得，，，，故关于的回归直线方程为．（2）由（1）知， 令，解得．20．『答案』（1）证明见解析；（2）；（3）． 『解析』（1）因为平面，平面，所以， 又，，所以平面，则，又，为等腰直角三角形，为的中点，所以， 又，所以平面，因平面，则有平面平面．（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，因此，，设，那么，112b 218b 3132b 11211112()()12424nn nb b q21131()2n n n nc a b n 11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T 0.080.22y x 78%3x0.46y122150.085ni ii n i i x y x y bxx0.460.0830.22ay bx y x 0.080.22y x 0.080.22y x 7x0.7878%y12AN NC =7PB ⊥ABC BC ⊂ABC PB BC ⊥AB BC ⊥ABBP B =BC ⊥PAB BC PA ⊥2AB PB ==PAB △G PA BG PA ⊥BGBC B =PA ⊥BCG PA ⊂PAC BCG ⊥PAC BA BC BP x y z (2,0,0)A (0,C (0,0,2)P BE =(2,AC =-(2,0,2)PA =-(2,,0)AN AC λλ==-(22,,2)PN λ=--由，得，解得， 因此，因此． （3）由（2）知，设平面的法向量为，则，，即， 令，，因此，设直线与平面所成角为，那么．21．『答案』（1）；（2）． 『解析』（1）因为，所以，，，所以切线方程为． （2）不等式，对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令，则，令，则， PN BE ⊥0PN BE ⋅=3λ=13AN AC =12AN NC =4(,2)33PN =-PBN (,,)x y z =n 0PN ⋅=n 0BP ⋅=n 2042033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩x =2y =-0z =2,0)=-n BE PBN θsin BE BE θ⋅===⋅n n1y x 1211ln 22ae1a 211()1f x x x (1)1f (1)2f 1yx 2()xxf x e x 1(,)2x ln xae x x 1(,)2x ()ln xv x e x x ()ln 1xv x e x ()ln 1xx e x 1()xx e x易知在上单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，即，则．当时，单调递减，当时，单调递增．则在处取得最小值，且最小值为，所以，即在上单调递增，所以． 22．『答案』（1）；（2）是定值，．『解析』（1），，设，，过点的切线方程为，过点的切线方程为， 联立这两个方程可得，，又，故直线的方程为， 化简得，令，， 又，∴，∴直线过点． ()x 1(,)2121()202e(1)10e 01(,1)2x 0()0x 010x ex 00ln x x 01(,)2xx ()x 0(,)x x ()x ()x 0xx 0000011()ln 112110x x e x x x x x ()0v x ()v x 1(,)21211ln 22a e(0,2)p λ2EABMCDS S λ==△△22x y p=x y p '=11(,)A x y 22(,)B x y A 2111()2x x y x x p p -=-B 2222()2x x y x x p p-=-212M x x x +=122M x x y p =2121212ABy y x x k x x p -+==-AB 21211()22x x x y x x p p+-=-1212()20x x x py x x +--=0x =122x x y p=-1222M x x y p p==-2y p =AB (0,2)p（2）由（1）得，同理可得，，，， ∴，同理，∴， 设，记，则， 同理，，，，于是，∴，， ∴．122M x x x +=12E C x x x +=22ED x x x +=11111212||2||||||||22EC E E M C Ex x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---11222||||||||2EE E C E E D E EEx x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---||||AC CE CM ED =12||||E E MD x x DB x x -=-||||||AC EC DM CM ED DB==||||||AC EC DMt CM ED DB===MCE S S =△ACE S tS =△MDES S t =△2BDE SS t=△2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t +++==+=△△2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△1MCD t S S t+=△2EABMCDS S λ==△△。
江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题与答案
江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的）1. 设集合 A={xeN|2<x<6}, B={x|log 2（x-1）<2},则 ApB=2. 已知2+i 是关于％的方程疋+似+ 5 = 0的根，则实数&=3. 哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1, 2, 3, 4, 5, 6.图 2的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A. 11B. 13C. 15D. 170 1/1 1十.3一2—0 1410 12 17■ s► 1 1 1 1 1 1---------5 —4. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排岀的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进 行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间上（单位：h ）近似满 足函数关系式x = ^.（l-e^），其中心，&分别称为给药速率和药物消除速率（单位：k mg/h ）.经测试发现，当±=23时，*仏，则该药物的消除速率*的值约为（ln2^0. 69） 2k A. AB. 2C. 12D •型10010335. （I-2A T 的二项展开式中，奇数项的系数和为«■*甲：PA + PB + PC = 0： 乙：PA (PA-PB) = PC (PA-PB):A. {珅3<x<5} B ・{.v|2<x<5} C ・{3, 4}D. {3, 4, 5}A ・ 2-i C. 2D. 46. A. TD•叮函数尸 sin 7rx的图象大致为丙：|PA |=|PB | = |PC |：T ： PA PB = PB PC = PC PA.7.已知点P 是AABC 所在平而内点，有下列四个等式:yD如果只有一个等式不成立，则该等式为A.甲B.乙C.丙D. T8.已知曲线y = lnx在AC*】，儿）朋（心，儿）两点处的切线分别与曲线y = 1相切于C（x 「儿），D（x4,儿），则x｛x2 + y3y4的值为A. 1 B・2 C・? D・卩2 4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知加刀是两条不重合的直线，a. 0是两个不重合的平而，则A.若mH a、n// a.则m//n B・若血〃 a ,加丄0 ,则a丄0C・若a // p功丄a ,刀丄0 ,则m//n D・若a丄0, mH a、n// /? >则加丄力10・已知函数/（x） = sin（2x-—）,贝ij6A./（x）的最小正周期为龙B.将y = sin2x的图象上所有的点向右平移兰个单位长度，可得到/（x）的图象6C./（x）在（-彳，巴）上单调递增6 3D.点（一辽 0）是/（兀）图象的一个对称中心11.若函数厲・）」」一"2 +加*1的值域为⑵+OC）,则x +1 — In 兀x> 1A. f⑶ A/（2）B.也22C. f （芈）> /（-）D・log”（加 +1） > log IWI+I）（/n + 2）2 e12.冬末春初，乍暧还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，贝IJ会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规泄：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C,则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37. 3°C人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1C.均值为3,众数为4D.均值为2,标准差为©三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分，共计20分）13. ____________________________________________________ 在正项等比数列｛©｝中，若仔g=27,则乞砲©= ______________________________________14. _________________________________________________________________ 已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x.写出双曲线C的一个标准方程：____________________15•“康威圆左理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，AABC的三条边长分别为BC = a, AC=b, AB=c.延长线段CA至点扎，使得AA：以此类推得到点扎，B. B：, C,和G,那么这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知a=4, Z>=3, c=5,则由ZkABC生成的康威圆的半径为 .16.已知在圆柱0,0=内有一个球0,该球与圆柱的上、下底而及母线均相切.过直线0Q：的平而截圆柱得到四边形ABCD,其而积为8.若P为圆柱底而圆弧CD的中点，则平面PAB与球0的交线长为______ .四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指泄区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知等差数列｛©｝满足+2%严3“ + 5 .（1）求数列｛“”｝的通项公式；（2）记数列的前力项和为S「若VneN\（久为偶数），求兄的值.18.（本小题满分12分）A + R ^±.（A）（b +a — c）（b-a + c） = ac:②cos （A+B） =sin（A - B）；③tan --- =sinC 这三个条2件中任选两个，补充在下而问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在•说明理由.问题：是否存^hAABC,它的内角A, B, C的对边分别为a, b. 6且a= 2^2, 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答讣分.19.（本小题满分12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3 + 1+2”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800 名学生的选科情况，部分数据如下表：性别男主女生合计科目物理300历史150合计400 800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99. 9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关：（2）该校为了提髙选择历史科目学生的数学学习兴.趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记 3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望E（X）・20.（本小题满分12分）如图，在正六边形ABCDEF中，将Z\ABF沿宜线BF翻折至ZXA' BF,使得平面A' BF丄平而BCDEF, 0, H分别为BF和A' C的中点.（1）证明：0H〃平而A' EF21.（本小题满分12分）已知函数/（x） = x2- —-a・ x（1）若/（x）>0,求实数a的取值范用;（2）若函数f（x）有两个零点旺，x2,证明：< 1.22.（本小题满分12分）已知点A, B在椭圆4 + 4 = 1（a>^>0）±,点A在第一象限，0为坐标原点，且0A a"丄AB・（1）若*1,直线0A的方程为x-3y=0,求直线0B的斜率：（2）若AOAB是等腰三角形（点0, A, B按顺时针排列），求◎的最大值.a参考答案1. C2. B 3・C 4・A 5. C 6. D 7・B 8・B9. BC 10. ACD ]1・ ABD 12. BD13. 9 14. x2-4 15. >/37 16.4>/10---- 只5P（K T）0.050 0.0100.001 k 3.841 663510.828n(ad -hcY(a +b)(c + d)(a + c)(方4>d)（2）求平而A' BC与平而A' DE所成锐二而角的余弦值.17.【解】（1〉设等筮数列｛%｝的公差为因为毎+如严3刃+5・所以片严1：[a. + 2^ = 11 ・3©+加仝.3q * 5d = 11 ・解？* a、= 2 • d = l・所Ul。
2021届高三入学调研试卷 理科数学(一) 解析
2021届高三入学调研试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（ ） A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i + D ．34i -【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)AB =．3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2-【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=， 解得1a =-．4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（ ）A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量．5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（ ） A ．cos c C B ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x +-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示， 当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92， 故9[0,]2z ∈．7．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数，将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =．8．已知2211()11x x f x x --=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．9．sin cos()6πx x -+=（ ）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+D ．13sin(224π)3x +-【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (cos sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+ 3111sin 2(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+． 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．160359B ．289359C ．1191077D ．9581077【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 所成角的余弦值为2613，则DE =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．32【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =， 设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--，从而1226,|||21(|s 2)co DB C E t 〉==+-〈 ∵02t <≤，∴12t =．12．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（ ）A ．3174+ B ．4174+ C ．33178+ D ．33174+ 【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=， 则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=， 设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==， 即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴33178e +=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3y x -的展开式中5x y 的系数为 ．【答案】2-【解析】6()3y x -的展开式中5x y 的系数为161C ()23-=-． 14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =． 15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．已知函数22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若()()f x g x ≤对3[,2]4x ∈-恒成立，则m 的取值范围为 ．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =，因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若55m S m =，求m ．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-． （2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望． 【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω． （1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．【答案】（1）2214x y +=；（2）15k =【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即2214x y +=，此即为Ω的方程． （2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意； 当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214ky y k +=-+，2122314k y y k =-+，∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k +=-=-+，22123214k y k -=-+， ∵10y ≠，∴2512k =，∴156k =±．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，22AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）30． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥， 因为22AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增； 当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值， 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，30cos ,656〈〉==-⨯m n ， 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为306． 21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->， 当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<，()f x 在(20,)2a +上单调递增；由()0f x '<，得22a x +>，()f x 在2,)2(a ++∞上单调递减． （2）易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥， 由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，当2a >时，()f x 在(20,)2a +上单调递增，在(2,)2a a +上单调递减， 则22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，故224()(2)ln(2)24a a p a a a +-=++>， 设224()(2)ln (2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增， ∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >，∵2314(34)(2)22a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <+-，只需证2234ln 242a a a +--+<， 即证256ln024a a +--<， 设256()ln(2)24x x h x x +-=->，则15()024h x x '=-<+， 则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256ln024a a +--<， 则23()42p a a a <+-，从而234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即22(2)4x y -+=， ∴曲线D 的直角坐标方程为22(2)4x y ++=．（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， 从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-，故12d d +的最小值为7- 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<． （1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥． 【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析．【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得12k x +>-， 因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以132k +-=-，解得5k =， 当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =， 经检验5k =，2a =满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+， 同理()|21|f n n ≥+， 因为5m n k +==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．维权声明。
(新高考)2021届高三入学调研试卷 数学(一) 解析
（新高考）2021届高三入学调研试卷数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,2,3}A =-，集合{|20}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{2,3}B ．{2}-C ．(2,0)-D ．{2,0}-【答案】D【解析】{2,0,2,3}A =-，{|20}B x x =-≤≤，∴{2,0}AB =-．2．设复数1i 1iz =--，则||z =（ ） A ．0 B ．2C ．22D ．1【答案】C 【解析】211i 1i 1i 1i i i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-，22112||()()222z =-+=． 3．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（ ） A ．81种 B ．256种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】第一步，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是24C 6=种，第二步，分到三个班的不同分法有33A 6=种， 故不同的分配方案为6636⨯=种．4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16【答案】D【解析】设抽取的男运动员的人数为x ，则抽取的女运动员的人数为28x -， ∴285642x x -=，解得16x =． 5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数） A ．1089 B ．1086C ．434D ．145【答案】B【解析】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈， 则10000以内的素数的个数为100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈．6．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】B【解析】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，连结OM ，ON ，MN ， 则12ON CD 平行且等于，12MN AB 平行且等于，所以ONM ∠或其补角即为所求的角． 因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，所以BO ⊥平面ACD ，所以BO OD ⊥，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号设正方形边长为2，2OB OD ==，所以2BD =，则112OM BD ==，所以1ON MN OM ===，所以OMN △是等边三角形，60ONM ∠=︒． 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．7．已知单位向量1e ，2e 分別与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量123ACe e ，1226BDe e ，则平面四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10B ．210C ．10D ．20【答案】C【解析】1212(3)(26)660AC BD e e e e ，∴AC BD ，又22||3(1)10AC ，22||26210BD ，∴平面四边形ABCD 的面积11||||102101022AC BD ．8．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(1,2)-∞ 【答案】D【解析】由已知(2)()0f x f x -+=，即(1)(1)0f x f x -++=，∴()f x 关于(1,0)中心对称， 又当1x >时，()2f x x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()0f x <的解集为(,0)(1,2)-∞．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线1l 的方程为2(5)8x m y ++=，直线2l 的方程为(3)45m x y ++=，若12l l ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1-C ．7-D ．3-【答案】AC【解析】因为12l l ∥，故24(5)(3)m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0||2ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．π3ϕ=-C ．π()12f x +是奇函数 D ．π()12f x -是偶函数 【答案】ABD【解析】由图可得π()sin(2)3f x x =-，所以A 、B 正确；ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-，故C 错； ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-为偶函数，所以D 正确． 11．已知,x y ∈R ，且5757xyy x ，则（ ）A ．11()3()3xy≥ B ．22x y ≤ C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤【答案】AC【解析】∵函数57x x y 为增函数，∴5757x yy x ，即5757x xy y ，可得xy ，∴A 、C 正确．12．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（ ） A ．()f x ，()g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点 D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点【答案】ABC【解析】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以()f x ，()g x 在点(1,0)处的切线不同，选项A 不正确；()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥，2222()()12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==， 因为2(0,)x ∈，[()()]0f x g x '-<；2(,)x ∈+∞，[()()]0f x g x '->；22x =，[()()]0f x g x '-=， 所以22x =时，()()f x g x -有最小值1(ln 21)02-<，所以当0x >时，()()f x g x ≥不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数()()f x g x -在(0,)+∞上有且只有两个零点，所以()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆22:1916x y C +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若2210AF BF +=，则AB 的值为 ．【答案】6【解析】由题意可得221110416AF BF AF BF AB a +++=+==，解得6AB =， 故答案为6．14．已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a = ．【答案】128【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=，77123742128a a a a a ===．15．已知二项式(2)nx x-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n = ，3x 的系数为 ．【答案】6，240【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为1C (2)()r n rrr n T x x-+=-， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得12C :C 2:5n n =，解得6n =，所以366216C (2)()C 2(1)r r n rr r r rr nT x x x---+=-=-，令3632r -=，解得2r =， 所以3x 的系数为26226C 2(1)240--=．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC ，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________．6【解析】首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离．连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF 平面11B D DB ，故EF PG ， 从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一． 其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN ，连接PH ，则PHB PNB △△，从而PNPH ，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN 取得最小值，所求最小值为GH ，∵正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，∴6GH ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222423b cabc ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC △的面积为2，且2sin 3sin B C ，求三角形ABC △的周长． 【答案】（1）1sin 3A；（2）2326．【解析】（1）∵2222cos b c a bc A ，∴422cos 3bc Abc ， ∴22cos A， ∴在ABC △中，21sin 1cos 3AA． （2）∵ABC △的面积为2，即11sin 226bc A bc ，∴62bc，又∵2sin 3sin B C ，由正弦定理得23bc ，∴32b ，2c，则2222cos 6a b c bc A ，∴6a，∴ABC △的周长为2326．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为0d ，且2340a a ，1413a a ，公比为(01)q q的等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）若数列{}nc 满足n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31na n ，211()2n nb ；（2）(31)21(1)234n n n n T ． 【解析】（1）由题意可得：等差数列{}n a ，1111()(2)40223133a d a d a a d d，31na n ；因为等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ，01q ，所以112b ，218b ，3132b ，∴112111112()()12424nn nb b q． （2）21131()2n n n nc a b n ，∴11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T ． 19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少? 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ybx a 其中，^1122211()()()nnii i i i i nn ii i i x x y y x y nx y bx x x nx，ay bx ．【答案】（1）0.080.22yx；（2）78%．【解析】（1）由表格数据可得3x，0.46y，122150.085ni ii n i i x y x y bx x，0.460.0830.22ay bx ，故y 关于x 的回归直线方程为0.080.22y x ．（2）由（1）知0.080.22y x ， 令7x，解得0.7878%y．20．（12分）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，23BC =，E 、G 分别为PC 、PA 的中点．（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN BE ⊥，求ANNC的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）12AN NC =；（3）217． 【解析】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥， 又AB BC ⊥，ABBP B =，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥，又2AB PB ==，PAB △为等腰直角三角形，G 为PA 的中点，所以BG PA ⊥， 又BGBC B =，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ．（2）分别以BA ，BC ，BP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0)A ，(0,23,0)C ，(0,0,2)P ，(0,3,1)BE =，因此(2,23,0)AC =-，(2,0,2)PA =-，设(2,23,0)AN AC λλλ==-，那么(22,23,2)PN λλ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=， 因此13AN AC =，因此12AN NC =． （3）由（2）知423(,,2)3PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0PN ⋅=n ，0BP ⋅=n ，即204232033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令3x =，得2y =-，0z =，因此(3,2,0)=-n ，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么2321sin 727BE BE θ⋅===⨯⋅n n．21．（12分）已知函数()ln a f x xx x．（1）若1a，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若任意的1(,)2x，2()x xf x e x 恒成立，请求出a 的取值范围．【答案】（1）1yx ；（2）1211ln 22ae． 【解析】（1）因为1a ，所以211()1f x x x ，(1)1f ，(1)2f ，所以切线方程为1y x ．（2）不等式2()xxf x e x ，对任意的1(,)2x恒成立，即ln xae x x 对任意的1(,)2x 恒成立．令()ln xv x ex x ，则()ln 1xv x ex ，令()ln 1xx ex ，则1()x x e x， 易知()x 在1(,)2上单调递增，因为121()202e，(1)10e ，所以存在唯一的01(,1)2x ，使得0()0x ，即010x ex ，则00ln x x ． 当01(,)2x x 时，()x 单调递减，当0(,)x x 时，()x 单调递增．则()x 在0xx 处取得最小值，且最小值为0000011()ln 112110x x e x x x x x ，所以()0v x ，即()v x 在1(,)2上单调递增，所以1211ln 22a e． 22．（12分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．【答案】（1）(0,2)p ；（2）λ是定值，2EABMCDS S λ==△△．【解析】（1）22x y p=，x y p '=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A 点的切线方程为2111()2x x y x x p p -=-，过B 点的切线方程为2222()2x x y x x p p-=-， 联立这两个方程可得212M x x x +=，122M x x y p =，又2121212ABy y x x k x x p -+==-，故直线AB 的方程为21211()22x x x y x x p p+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，122x x y p=-， 又1222M x x y p p==-，∴2y p =，∴直线AB 过(0,2)p 点． （2）由（1）得122M x x x +=，同理可得12E C x x x +=，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---，11222||||||||2EE E C E E D E E Ex x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---，∴||||AC CE CM ED =，同理12||||E EMD x x DB x x -=-，∴||||||AC EC DM CM ED DB ==，设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S =△，则ACE S tS =△， 同理，MDES S t =△，2BDE SS t=△，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△，于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t+++==+=△△，∴2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△，1MCD t S S t+=△， ∴2EABMCDS S λ==△△．维权声明。
2021届高三入学调研试卷 数学(一) 学生版
（新高考）2021届高三入学调研试卷数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,2,3}A =-，集合{|20}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{2,3}B ．{2}-C ．(2,0)-D ．{2,0}-2．设复数1i 1iz =--，则||z =（ ） A ．0B ．2C ．22D ．13．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（ ） A ．81种B ．256种C ．24种D ．36种4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．165．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数）A ．1089B ．1086C ．434D ．1456．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．已知单位向量1e ，2e 分別与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量123ACe e ，1226BDe e ，则平面四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10B ．210C ．10D ．208．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(1,2)-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线1l 的方程为2(5)8x m y ++=，直线2l 的方程为(3)45m x y ++=，若12l l ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1-C ．7-D ．3-10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0||2ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．π3ϕ=-C ．π()12f x +是奇函数 D ．π()12f x -是偶函数 11．已知,x y ∈R ，且5757x yy x ，则（ ）A ．11()3()3xy≥B ．22x y ≤ C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（ ） A ．()f x ，()g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点 D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆22:1916x y C +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若2210AF BF +=，则AB 的值为 ．14．已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a = ．15．已知二项式(2)nx x-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n = ，3x 的系数为 ．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC ，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22242b c a bc ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC △223sin B C ，求三角形ABC △的周长．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为0d ，且2340a a ，1413a a ，公比为(01)q q的等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）若数列{}nc 满足n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y表示x月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y关于x的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是y bx a其中，^1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx，a y bx．20．（12分）在三棱锥P ABC-中，PB⊥平面ABC，AB BC⊥，2AB PB==，23BC=，E、G分别为PC、PA的中点．（1）求证：平面BCG⊥平面PAC；（2）假设在线段AC上存在一点N，使PN BE⊥，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE与平面PBN所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()lnaf x x xx．（1）若1a，求曲线()f x在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若任意的1(,)2x，2()xxf x e x恒成立，请求出a的取值范围．22．（12分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．（新高考）2021届高三入学调研试卷数 学（一）答 案注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
福建省厦门市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
福建省厦门市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.2．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A 【解析】 【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确. 故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】 由于22ba=2b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.4．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．5．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin x Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.6．已知向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，1a =r ，b =r ，则a b ⋅=r r ( )A ．B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义表示出向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，再由22a a =r r ，22b b =r r 代入表达式中即可求出a b ⋅r r .【详解】由向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒r r r r r r r r r，所以21122a ab +⋅==r r r r又1a =r ，b =r ，22a a =r r ，22b b =r r ，所以1112a b +⋅=⨯r r 0a b ⋅=r r.故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.7．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.8．在复平面内，复数2iiz -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i iz i i i i i--===--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．9．已知函数21,0 ()2ln(1),0x x xf xx x⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx=-有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B．112⎛⎫⎪⎝⎭，C．(0,1)D．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，【答案】B【解析】【分析】根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x=为()()g x f x kx=-的一个零点；对于当0x<时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x<即可求得k的范围；对于当0x>时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k的范围.综合后可得k的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx=-的零点，即()f x kx=.由图像可知，(0)0f=，所以0x=是0()f x kx-=的一个零点，当0x<时，21()2f x x x=-+，若0()f x kx-=，则212x x kx-+-=，即12x k=-，所以12k-<，解得12k<；当0x>时，()ln(1)f x x=+，则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.10．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为221916x y -=.故选：B .【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18，如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．12．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．27【答案】B 【解析】 【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三入学调研考试卷 文科数学(一)-学生版
9．【答案】D
【解析】∵ ，
∴由正弦定理可得： ，
又∵ ，
∴可得： ，可得： ，
∵ ，∴ ，可得： ，
又∵ ， ，
∴由正弦定理可得 ，
∵ ， 为锐角，∴ ．故选D．
10．【答案】D
【解析】不妨设双曲线的方程是 ，
由 及双曲线的对称性知 与 关于坐标轴对称，如图，
（1）将甲每天生产的次品数记为 （单位：件），日利润记为 （单位：元），写出 与 的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量 的分布列和数学期望．
19．（12分）已知椭圆C： ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ： ，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称．
11．下列命题：
①“在三角形 中，若 ，则 ”的逆命题是真命题；
②命题 ： 或 ，命题 ： ，则 是 的必要不充分条件；
③“ ， ”的否定是“ ， ”；
④“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；
其中正确的个数是（）
A． B． C． D．
12．方程 的根的个数是（）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
Байду номын сангаас6．【答案】D
【解析】由题意可得： ， ，则 ．故选D．
7．【答案】C
【解析】 ；
由已知条件知 时， 恒成立；
设 ，则 在 上恒成立；
问题转化为 在 恒成立，
而函数 ，故 ，故选C．
8．【答案】A
【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 组随机数，在 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有： 、 、 、 、 ．共 组随机数，
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（新高考）2021届高三数学入学调研试题（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,2,3}A =-，集合{|20}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{2,3}B ．{2}-C ．(2,0)-D ．{2,0}-2．设复数1i 1iz =--，则||z =（ ）A ．0B ．2C ．22D ．13．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（ ） A ．81种B ．256种C ．24种D ．36种4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为28的样本，那么应抽出男运动员的人数为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．165．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数） A ．1089B ．1086C ．434D ．1456．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒7．已知单位向量1e ，2e 分別与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量123ACe e ，1226BDe e ，则平面四边形ABCD 的面积为（ ）A ．10B ．210C ．10D ．208．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当1x >时，()2f x x =-，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(1,2)-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线1l 的方程为2(5)8x m y ++=，直线2l 的方程为(3)45m x y ++=，若12l l ∥，则m =（ ） A ．1-B ．1-C ．7-D ．3-10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π0||2ϕ<<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=B ．π3ϕ=-C ．π()12f x +是奇函数 D ．π()12f x -是偶函数 11．已知,x y ∈R ，且5757x yy x ，则（ ）A ．11()3()3xy≥B ．22x y ≤ C ．33x y≤D ．1122log log x y ≤12．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中不正确的是（ ）A ．()f x ，()g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立C ．()f x ，()g x 的图象有且只有一个交点D ．()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．椭圆22:1916x y C +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若2210AF BF +=，则AB 的值为 ．14．已知等比数列{}n a 的首项为1，且64312()a a a a +=+，则1237a a a a = ．15．已知二项式(2)nx x-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则n = ，3x 的系数为 ．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC ，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则||||PM PN +的最小值为__________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22242b cabc ．（1）求sin A 的值；（2）若ABC △223sin B C ，求三角形ABC △的周长．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为0d ，且2340a a ，1413a a ，公比为(01)q q的等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）若数列{}nc 满足n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据．（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少? 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ybx a 其中，^1122211()()()nnii i i i i nn ii i i x x y y x y nx y bx x x nx，ay bx ．20．（12分）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB PB ==，23BC =，E 、G 分别为PC 、PA 的中点．（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN BE ⊥，求ANNC的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值．21．（12分）已知函数()ln af x xx x．（1）若1a，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若任意的1(,)2x，2()x xf x e x 恒成立，请求出a 的取值范围．22．（12分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ=△△，问λ是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．（新高考）2021届高三入学调研试卷数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{2,0,2,3}A =-，{|20}B x x =-≤≤，∴{2,0}A B =-．2．【答案】C 【解析】211i 1i 1i 1ii i i i 1i (1i)(1i)1i 222z +++=-=-=-=-=-+--+-，||2z ==． 3．【答案】D【解析】第一步，将4名老师分成三组，其中一组2人，其他两组每组1人，不同的分法种数是24C 6=种，第二步，分到三个班的不同分法有33A 6=种， 故不同的分配方案为6636⨯=种． 4．【答案】D【解析】设抽取的男运动员的人数为x ，则抽取的女运动员的人数为28x -， ∴285642x x -=，解得16x =． 5．【答案】B【解析】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为π()ln xx x≈， 则10000以内的素数的个数为100001000010000lg π(10000)2500lg 0.4342925001086ln100004ln104ee ≈===≈⨯≈．6．【答案】B【解析】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，连结OM ，ON ，MN ， 则12ON CD 平行且等于，12MN AB 平行且等于，所以ONM ∠或其补角即为所求的角． 因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，所以BO ⊥平面ACD ，所以BO OD ⊥， 设正方形边长为2，2OB OD ==，所以2BD =，则112OM BD ==， 所以1ON MN OM ===，所以OMN △是等边三角形，60ONM ∠=︒． 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．7．【答案】C 【解析】1212(3)(26)660AC BD e e e e ，∴AC BD ，又22||3(1)10AC ，22||26210BD ， ∴平面四边形ABCD 的面积11||||102101022AC BD ．8．【答案】D【解析】由已知(2)()0f x f x -+=，即(1)(1)0f x f x -++=，∴()f x 关于(1,0)中心对称，又当1x >时，()2f x x =-，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()0f x <的解集为(,0)(1,2)-∞．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】AC【解析】因为12l l ∥，故24(5)(3)m m ⨯=++，整理得到2870m m ++=，解得1m =-或7m =-．10．【答案】ABD【解析】由图可得π()sin(2)3f x x =-，所以A 、B 正确；ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)12123636f x x x x +=+-=+-=-，故C 错； ππππππ()sin[2()]sin(2)sin(2)cos 212123632f x x x x x -=--=--=-=-为偶函数，所以D 正确． 11．【答案】AC 【解析】∵函数57x x y为增函数，∴5757x yy x ，即5757x xy y ，可得x y ，∴A 、C 正确． 12．【答案】ABC【解析】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以()f x ，()g x 在点(1,0)处的切线不同，选项A 不正确；()()()()0f x g x f x g x ≥⇔-≥，22(12122[()()]2x x x f x g x x x xx-+-'-=-==，因为x ∈，[()()]0f x g x '-<；)x ∈+∞，[()()]0f x g x '->；x =，[()()]0f x g x '-=，所以2x =时，()()f x g x -有最小值1(ln 21)02-<，所以当0x >时，()()f x g x ≥不恒成立，选项B 不正确；由上可知，函数()()f x g x -在(0,)+∞上有且只有两个零点，所以()f x ，()g x 的图象有且只有两个交点．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】6【解析】由题意可得221110416AF BF AF BF AB a +++=+==，解得6AB =， 故答案为6． 14．【答案】128【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=，77123742128a a a a a ===．15．【答案】6，240【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为1C (2)(rn rrr n T x -+=， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得12C :C 2:5n n =，解得6n =，所以366216C (2)(C 2(1)r r n rr r r rr nT x x ---+==-，令3632r -=，解得2r =， 所以3x 的系数为26226C 2(1)240--=．16．【解析】首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离． 连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF平面11B D DB ，故EFPG ，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一． 其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN ，连接PH ，则PHB PNB △△，从而PNPH ，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN 取得最小值，所求最小值为GH ，∵正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，∴6GH ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1sin 3A；（2）2326．【解析】（1）∵2222cos b c a bc A ，∴422cos 3bc Abc ， ∴22cos A， ∴在ABC △中，21sin 1cos 3AA． （2）∵ABC △2，即11sin 226bc A bc ，∴62bc，23sin B C 23bc ，∴32b ，2c，则2222cos 6a b c bc A ，∴6a，∴ABC △的周长为2326．18．【答案】（1）31na n ，211()2n nb ；（2）(31)21(1)234n n n n T ． 【解析】（1）由题意可得：等差数列{}n a ，1111()(2)40223133a d a d a a d d，31na n ；因为等比数列{}n b 中，1b ，2b ，311111{,,,,}60322082b ，01q ，所以112b ，218b ，3132b ，∴112111112()()12424nn nb b q． （2）21131()2n n n nc a b n ，∴11[1()](231)(31)2124(1)1223414n nn n n n n T ． 19．【答案】（1）0.080.22y x ；（2）78%． 【解析】（1）由表格数据可得3x，0.46y，122150.085ni ii nii x y x y bx x，0.460.0830.22ay bx ，故y 关于x 的回归直线方程为0.080.22y x ．（2）由（1）知0.080.22y x ，令7x，解得0.7878%y．20．【答案】（1）证明见解析；（2）12AN NC =；（3）7． 【解析】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥， 又AB BC ⊥，ABBP B =，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥，又2AB PB ==，PAB △为等腰直角三角形，G 为PA 的中点，所以BG PA ⊥，又BGBC B =，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ．（2）分别以BA ，BC ，BP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0)A ，(0,23,0)C ，(0,0,2)P ，(0,3,1)BE =，因此(2,23,0)AC =-，(2,0,2)PA =-，设(2,23,0)AN AC λλλ==-，那么(22,23,2)PN λλ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=， 因此13AN AC =，因此12AN NC =． （3）由（2）知423(,,2)3PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)x y z =n ，则0PN ⋅=n ，0BP ⋅=n ，即204232033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令3x =，得2y =-，0z =，因此(3,2,0)=-n ，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么2321sin 727BE BE θ⋅===⨯⋅n n．21．【答案】（1）1yx ；（2）1211ln 22ae． 【解析】（1）因为1a ，所以211()1f x x x ，(1)1f ，(1)2f ，所以切线方程为1y x ．（2）不等式2()xxf x e x ，对任意的1(,)2x恒成立，即ln xae x x 对任意的1(,)2x 恒成立．令()ln xv x e x x ，则()ln 1xv x e x ，令()ln 1xx e x ，则1()xx e x， 易知()x 在1(,)2上单调递增，因为121()202e，(1)10e ，所以存在唯一的01(,1)2x ，使得0()0x ，即010x ex ，则00ln x x ．当01(,)2xx 时，()x 单调递减，当0(,)x x 时，()x 单调递增．则()x 在0xx 处取得最小值，且最小值为0000011()ln 112110x x e x x x x x ，所以()0v x ，即()v x 在1(,)2上单调递增，所以1211ln 22a e． 22．【答案】（1）(0,2)p ；（2）λ是定值，2EABMCDS S λ==△△．【解析】（1）22x y p=，x y p '=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A 点的切线方程为2111()2x x y x x p p -=-，过B 点的切线方程为2222()2x x y x x p p-=-，联立这两个方程可得212M x x x +=，122M x x y p =，又2121212ABy y x x k x x p -+==-，故直线AB 的方程为21211()22x x x y x x p p+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，122x x y p=-， 又1222M x x y p p==-，∴2y p =，∴直线AB 过(0,2)p 点． （2）由（1）得122M x x x +=，同理可得12E C x x x +=，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22EC E E M C Ex x x x x x x AC x x x x CM x x x x +---===++---，11222||||||||2EE E C E E D E EEx x x CE x x x x x x ED x x x x x +---===+---， ∴||||AC CE CM ED =，同理12||||E EMD x x DB x x -=-，∴||||||AC EC DM CM ED DB ==， 设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S =△，则ACE S tS =△， 同理，MDES S t =△，2BDE SS t=△，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t +++==⋅=△△，于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t+++==+=△△， ∴2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t +=---=△△△△△，1MCD t S S t+=△， ∴2EABMCDS S λ==△△．。