2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期期初模拟考试数学试题含答案

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1.已知集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B 中元素的个数为_____．

2.已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____．

3.从集合{}1,2,3中随机取一个元素，记为a ，从集合{}2,3,4中随机取一个元素，记为b ，则a b ≤概率

为_______．

4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

5.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

6.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 充分而不必要条件，则实数a 的取值范围

是 .

7.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________.

8.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．

的

9.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，

且OC=

u u u r

则点C的坐标是_____．

10.设S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝11，则S20的值为_____．

11.如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．

12.已知函数f（x

）

1

2

2

11

22

2

x x

x x

x

x

⎧

+-

⎪

⎪

⎪

=---≤-

⎨

⎪

≤-

，＞，

，，若f（t）≥f（

1

t

），则实数t的取值范围是_____．

13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为_____．

14.设函数f（x）＝（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知函数(

)2

222

x x x

f x cos sin

⎫

=-⎪

⎭

．

（1）设θ∈[0，π]，且f（θ

）=1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB＝1，f（C

）=1，且△ABC 的面积为

2

，求sin A+sin B的值．

16.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF

1

2

=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC中点，求证：

的

（1）OG ∥平面ABFE ； （2）AC ⊥平面BDE ．

17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E ＝cv n T ，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h ），c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为4km /h ，该生物探测器在水中逆流行进200km ．

（1）求T 关于v 的函数关系式；

（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；

②当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．

18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

22x y a b

+=1（a ＞b ＞0）的焦距F 1F 2的长为2，经过第二象限内一

点P （m ，n ）的直线22mx ny

a b

+=1与圆x 2+y 2＝a 2交于A ，B 两点，且

OA = （1）求PF 1+PF 2

值；

（2）若AB u u u r •1283

F F =u u u u

r ，求m ，n 的值．

19.已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；

（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N *）上恰有2015个零点，求k 的值．

20.已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，S n =λa n ﹣μ．记数列{a n }中任意两不同项的和构成的集合为A ． （1）证明：无穷数列{a n }为等比数列，并求λ的值； （2）若2015∈A ，求μ的值；

（3）对任意的n ∈N*，记集合B n ={x|3μ•2n ﹣1＜x ＜3μ•2n ，x ∈A}中元素的个数为b n ，求数列{b n }的通项公式．

【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，

的