导数的综合运用(含解析)

导数的综合运用

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知()2

1ln 2

f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,2

B ．()

()2,00,2- C ．()0,4 D ．()

()4,00,4-

2、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32

,0()11(1),03

2x x f x x a x ax x <⎧⎪

=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0

D ．a >–1，b >0

3、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数()()1

,1,

ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩

若函数()()g x f x x a =-+只有

一个零点，则a 可能取的值有（ ） A ．2

B ．2-

C ．0

D ．1

4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数2,0

()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩

（e 为自然对数的

底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（ ）

A ．1

B ．e

C ．2e

D ．3e

5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ）

A ．()f x 为奇函数

B ．()f x 在[)0,π上单调递增

C ．()f x 恰有4个极大值点

D ．()f x 有且仅有4个极值点

6、【2019年高考北京理数】设函数()e e x

x

f x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；

若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．

7、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()2

ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）.

（1）若()f x 在()()

1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值； （2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；

【问题探究，变式训练】

题型一、函数单调性的讨论

知识点拨：利用导数研究函数的单调性主要是通过多函数求导，研究导函数的正负的问题，对于单调性的讨论问题时导数中经常考查的问题，讨论时要注意讨论的依据和标准，做到不重复不遗漏。 例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2

()e x

f x ax x =+-.

（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12

x 3

+1，求a 的取值范围.

变式1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32

()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.

变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． （1）讨论()f x 的单调性；

变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数

()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）.

（1）讨论()g x 的单调性；

变式4、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫

=+-+∈ ⎪⎝⎭

． （1）当1m 时，讨论()f x 的单调性；

题型二、给定单调区间，研究参数问题

知识点拨：给定单调区间，研究参数问题要转化为恒成立的问题，特别要注意等号。 例2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()2

45x

a

f x x x a R e =-+-

∈. ()Ⅰ若()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围；

变式1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知函数()2x x f x e e =-，()2ln 2

a

g x x x x x =-- （1）求()f x 的极值；

（2）若()1,x ∈+∞时，()f x 与()g x 的单调性相同，求a 的取值范围；

题型三、函数的零点与极值点的综合问题

知识点拨：1、 研究函数的零点的问题，需要解决函数的单调性以及零点的支撑点这两个问题，其难点在于零点的支撑点的确定．一般地，确定零点的支撑点可有以下几种方法：一是以极值点作为支撑点，这是最为容易的一类；二是采用放放缩的方法，将函数转化为基本初等函数来加以解决；三是采用“形式化”的方式，即将函数分为几个部分，来分别找到这几个部分的零点，且它们有相同的变量法则，则取这些零点中的最大的或最小的作为支撑点．本题所采用的是放缩的方法来找支撑点．

例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数2

()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下

几个结论中正确的是（ ） A ．01

0x e

<<

B ．01x e

>

C ．00()20f x x +<

D ．00()20f x x +>

变式1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数()2

ln f x x x

=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y

f x

x 有且只有1个零点

C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立