高数复习笔记

第一章

1、映射：Y中有唯一与x对应的元素，f为x到y的映射，y称为像，x称为原像

条件：x,y均为非空集合，但是y反过来对应的x不一定是唯一的

可以多个x对应一个y，不可一个x对应一个y。

y中所有元素均被对应，f称为满射。一个x对应着一个y是单射，若即是单射又是满射则是双射。

2、函数的有界性：上有界，下有界。恒小于一个值，恒大于一个值。

有界的充要条件是即有上界又有下界（函数绝对值恒小于一正数）

数列收敛的定义

1数列收敛极限唯一

2数列收敛，数列一定有界

3从某一项开始大于零，则其极限大于零

4数列收敛，子数列收敛

两函数相同的条件：定义域，表达式

4、函数极限：

δ，

函数极限定义：定义

、ε

5、极限运算法则

无穷小加无穷小为无穷小

（零是无穷小，但是无穷小不一定为零）有界函数（常数）×无穷小也是无穷小

6、重要极限

7、极限存在准则：

单调有界有极限

夹逼准则

函数的保号性

常见等价无穷小

1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-1

2、1-cosx~1/2x2

3、(1+x)a-1

函数连续间断定义

某一点连续（左右极限存在且相等等于该点函数值，称之为连续

1、左极限等于该点函数值——左连续，右极限等于该点函数值——右连续

2、闭区间连续。右左端点处对应左右连续，开区间上连续

间断点类型

1、没定义

2、有定义，极限不存在

3、有定义，极限存在。但是极限不等于函数值

1、第一类间断点

左右极限都存在

（都相等但是不等于函数值——可去间断点）（极限不相等，跳跃间断点）

2、第二类间断点

左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点

基本初等函数必连续（三角、反三角，幂函数，指数函数，对数函数）

加减乘除（分母不为零）、复合函数只要原函数连续，则连续

最值定理：闭区间连续函数一定可以取到最大最小值

零点定理：端点处函数值异号，开区间内存在零点（开区间使用）

介值定理：闭区间连续函数，区间内比存在一点，使其函数值取到最大值最小值之间（闭区间使用，且多个函数相加存在）

第二章

函数导数存在就是可导

可导一定连续（可以推出极限值等于函数值）不连续一定不可导

函数倒数存在——函数左右导数存在且相等

验证可导与否，先看是否连续，后看左右导数是否相等

Secx=1/cosx cscx=1/sinx

三角函数N 阶导数——sinx 求导——sin(x+n*pai/2) cosx 同理

1

')(!*)1()1(++-=

+n n

n n b ax a n b ax 乘积函数求N 阶导数

隐函数求导（两侧同时对x 求导，最后解出导数）

参数方程求导

)

(')(')()

(t t f dx dy t x t f y ϕϕ=

==

可导《=》可微=>连续

第三章

三个条件

拉格朗日中值定理：

1、拉格朗日等价形式：

)(*])([')()(a b a b a f a f b f --+=-θ

2、三个点，采用两次拉格朗日定理 柯西中值定理：

二阶可导——一阶可导——连续 洛必达法则：（存在局限性，如果上下求导最后极限不存在，但是其极限有可能存在，洛必达法则不适用） 1、0/0型。2、无穷/无穷（0×无穷）3、零的零次方4、 x 区域正无穷增长速度：指数>幂函数>对数函数

麦克劳林公式（取x0=0）佩亚诺余项（前一项的高阶无穷小）

驻点，不可导点，端点处值挑选最大最小

三角带换（适用于含有平方项相加减的积分函数）

倒带换（去除分母中的未知数项） 整体带换（去除根号）

含有三角函数的任意积分函数可以通过转化为tanx/2来代换。整体转化为有理函数积分 对于分式可以通过拆分转变为简单函数进而积分 可导（可微）一定连续，连续一定可积。

积分几大性质：

1、系数可提

2、一个区间可以分段积分

3、如果函数1大于函数2，则同积分限的值也同向大小

4、

5、

6、

7、

8、自变量无穷限反常积分 9、瑕积分（存在使得函数极限为无穷的点，）如果积分存在则收敛。不存在则发散当一闭区间内存在瑕点时，需要分段积分

第六章：定积分应用（元素法）

1、求函数曲线围成的面积（特殊，极坐标看成小扇形面积相加）

2、旋转体体积

3、界面非旋转但是面积与x 之间存在函数关系体积

4、弧长度（采用弧微分公式，分为参数方程，极坐标方程、一般直角坐标方程三类

⎰

+?2

2d ’‘ϑϕ）

无数个小扇形相加求得

旋转体看成无数个薄圆柱体相加而成

参数方程求旋转体体积如果截面为非旋转体，且面积为x的函数，则可以通过积分求解

参数方程

如果为极坐标方程同理

第七章：微分方程

微分方程解法：

1、可分离变量的微分方程

2、齐次微分方程

通过将原微分方程转化为y/x的函数。

原微分方程可以通过变成可分离变量的微分方程求解

3、一阶线性微分方程

齐次的特解加非齐次通解常数变易法

4、可降阶的微分方程