组合数学 容斥原理和鸽巢原理
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
容斥原理与鸽巢原理的应用
2013年度本科生毕业论文（设计）容斥原理与鸽巢原理的应用教学系：数理系专业：数学与应用数学年级：2009 级姓名：胡雯学号：20090307011015导师及职称：陈兴炼讲师2013年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单摘要本文介绍的是组合数学中的容斥原理和鸽巢原理，它们是人类在学习和工作中，为了方便计数而研究出来的特别计数法,在日常学习和生活中应用范围非常广。
本文先简明地对这两个原理进行阐述，接着着重于讨论它们在数学和生活中的应用，这里分别列举出一些数学和生活中出现的几类满足特殊条件的例子进行分析，应用容斥原理来求解具备某些特殊性质的元素，同时在生活实例中引入欧拉错装信封问题。
应用鸽巢原理来反向构造“最不利原则”来解决一些存在性问题。
文章的例题涉及从简单到复杂，数学和生活中的例子，最后对例子得出的结论进行简要的概括。
应用容斥原理和鸽巢原理解决问题的思维比较灵活，要求根据具体问题具体分析，不一味的死套公式，有些问题甚至需要打破常规，从问题的反面考虑，才能快速准确的做出来，这是我们学好这两个原理，甚至是学好数学的精髓。
关键词：容斥原理；鸽巢原理；文氏图；构造；应用Application of Inclusion-Exclusion Principleand Pigeonhole PrincipleABSTRACTWhat this paper introduces are combinatorial principle, inclusion-exclusion principle and pigeonhole principle which are significant and elementary in combinatorial mathematics. They are special counting processes came out from the lives of human study and work for counting conven iently. They are a wide range of applications in people’s living life.This paper firstly expounds the two principles concisely, then discusses their applications in mathematics and life, separately analyze them by giving several types of examples appeared in mathematics and living life. To enumerate some mathematical and life here in a few classes to meet special condition carries on the analysis of examples, application principle to solve a class element has some special properties, at the same time introducing euler wrong envelopes problem instances in life. Application principle of pigeon nest to reverse "the most unfavorable principle" existence to solve some problems. These examples are in accordance with particular conditions and from simple to complex. Finally the paper has a brief summary out from the conclusion of the examples.It requires that we should make a concrete analysis of each question and be flexible to apply inclusion-exclusion principle and pigeonhole principle to solving mathematical problems rather than apply formula mechanically, and even in some cases it needs to break the normal procedure, and to think from the opposite sides so as to get the correct answer as soon as possible. And all above mentioned are the prerequisite to having a good understanding of the two principles, even are the essential for learning mathematics.Keywords: inclusion-exclusion principle、eonhole principle、enn diagram、tructure application目录第一章容斥原理及鸽巢原理的概述 (1)1. 容斥原理 (1)1.1 容斥原理的基本概述 (1)2. 鸽巢原理 (2)2.1 鸽巢原理的基本概述 (2)第二章容斥原理和鸽巢原理的应用举例 (2)1. 容斥原理的应用举例 (2)1.1 容斥原理在数学中应用举例 (2)1.2 容斥原理在生活中应用举例 (4)2. 鸽巢原理的应用举例 (6)2.1 鸽巢原理在数学中应用举例 (6)2.2 鸽巢原理在生活中应用举例 (8)第三章小结 (9)参考文献 (10)致谢 (11)第一章容斥原理及鸽巢原理的概述几千年来，人类在发展生产和生活的过程中，遇到一些计数的问题，为了更好的生存和发展，人类在总结前人经验的同时发明了一些计数法，这里我们选取其中的两种计数法来讨论，即容斥原理与鸽巢原理。
第2章组合2
mk1 = mk2 = ⋅ ⋅ ⋅ = mkn+1
其中, 其中 1≤k1<k2<…kn+1≤n2+1。 。
(2.3)
下证子序列
a k1 , ak 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a k n+1
(2.4)
是递减的。 若不然， 是递减的 。 若不然 ， 则存在 i, j ∈{1, 2…, n+1}， i<j ， 有 aki < ak j 。 为首位的最长递增子序列之前， a ki 放在以 a k 为首位的最长递增子序列之前，则 为首位的递增子序列， 可得到一个以 a k i 为首位的递增子序列，这表明 m k > m k ， 此时若把
设有2个红球 个白球 个蓝球和 个黑球, 个红球, 个白球, 个蓝球和5个黑球 例 8 设有 个红球 3个白球 4个蓝球和 个黑球 同色球 均相同, 求从这些球中取出10个球的组合数 个球的组合数。 均相同 求从这些球中取出 个球的组合数。 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 解 令 S 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 中取出10个球的组合所构成的集合， 中取出 个球的组合所构成的集合，则 个球的组合所构成的集合
令 mi 为以 ai 为首项的最长递增子序列的 长度， 长度， i =1,2,…, n2+1。由假设 。 mi<n+1 （mi≤n） ）
同时 mi≥1，所以 ， 1≤mi≤n 而 mi 有 n2+1 = n [(n+1)-1]+1 个， 由推论4， 个相同的数。 由推论 ，在 m1, m2,…, m n 2 +1 中必存在 n+1个相同的数。 个相同的数 不妨设
(1.2)
(2.2)
容斥原理和鸽巢原理的应用
容斥原理和鸽巢原理的应用容斥原理的基本概念容斥原理是组合数学中一种重要的计数原理，用于解决涉及多个集合的问题。
它的核心思想是通过排除掉重复计数的部分，得到不重复计数的结果。
容斥原理通常用于解决集合交、并、差等操作的计数问题。
容斥原理的表述设A₁，A₂，…，Aₙ为n个集合，容斥原理可以表述为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ | = ∑ | Ai | - ∑ | Aᵢ⋂ Aₙ | + ∑ | Ai ⋂ Aₙ ⋂ Ak | - ... + (-1)ⁿ₋₁ | A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ |其中，| · |表示集合的元素个数，∪表示集合的交集，⋂表示集合的并集，⋂表示集合的交集，(-1)ⁿ₋₁表示取负号。
容斥原理的应用解决排列组合问题容斥原理在解决排列组合问题时非常有用。
例如，考虑一个由A、B、C三个字母组成的长度为4的字符串，要求字符串中至少包含两个字母相同的个数。
使用容斥原理可以很方便地解决这个问题。
设集合A为满足至少包含两个A的字符串，集合B为满足至少包含两个B的字符串，集合C为满足至少包含两个C的字符串。
根据容斥原理，可以得到满足条件的字符串个数为：| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ⋂ B | - | A ⋂ C | - | B ⋂ C | + | A ⋂ B ⋂ C |其中，| A |表示满足至少包含两个A的字符串个数，| A ⋂ B |表示满足至少包含两个A和两个B的字符串个数，以此类推。
解决整数划分问题整数划分问题是指将一个正整数n划分成若干个正整数之和的问题。
使用容斥原理可以很好地解决这个问题。
设集合Aᵢ表示正整数划分中至少出现i个特定数（例如2）的划分集合。
根据容斥原理，可以得到正整数划分的个数为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Ak | = ∑ | Ai |其中，Ai表示正整数划分中至少出现i个特定数的划分个数。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
组合数学课件--第三章第四节 鸽巢原理
21
3.14 鸽巢原理的推广
设k1<k2<…<kn+1 ,已知条件中al是不同的实数， 则有如下结论
ak1 ak2 ... akn1
(A)
如若不然，设ki<kj,有aki<akj, 从akj开始向后的最长的单调增序列为l，从aki 开始向后的最长的单调增序列也是l， 如果把元素aki加到从akj开始的长度为l的单 调增序列的前面，构成从aki开始的长度为l+1的 单调增序列，这和l是从aki向后的最长单调增序 列的假设矛盾。
17
推论3.9
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.8：设A= a1a2·a20是10个0和10个1组 · · 成的20位２进制数。B=b1b2·b20是任意的20位2进 · · 制数。C=b1b2·b20b1b2·b20= C1C2·C40,则存在某个 · · · · · · i,1≤i≤21,使得CiCi+1·Ci+19与a1a2·a20至少有10 · · · · 位对应数字相同。
22
3.14 鸽巢原理的推广
序列(A)是一个单调减子序列，这就证明了若 不存在n+1个元素的单调增子序列，便存在一个 有n+1个元素的单调减子序列。
23
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。 证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
26
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。 证： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}整除n可得n个 余数， 除以n的余数共有0,1,2,…,n-1个。 如果{2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}除以n所 得余数互不相等,则结论成立。
第3章容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
定理3.2
| A1 A2 An | | S | | Ai | | Ai A j |
i 1 1 i j n n 1 i j k n
| Ai A j Ak |
( 1)n | A1 A2 An |
2
容斥原理
作为上述法则的第一个推广：令 S 是一个有限集 合， P1, P2 是 S 中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2
更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可 能具有的 n 个性质。令 Ai(i=1,2,…,n) 是 S 中具有性 质Pi的元素的集合，则有
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 250 166 100 83 50 33 16 366
2018/11/13 11
容斥原理
例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
2018/11/13
9
容斥原理
例 3.4 N={1,2,…,500} ，求 N 中能被 2 ， 3 ， 5 整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
500 A1 250 2 m m m m m 0 1 2 3 (1) m
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
25
3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
组合3容斥原理鸽巢原理 共89页
A2 A3 2120320， A2 A5 1120012, A2 A7 112408， A3 A5 112508，
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
3.2 容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
A i (n 1 )!, i 1 ,2 ,...,n
3.2 容斥原理—应用
同理 Ai Aj (n2)!,i1,2,...,n,ij
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n!C(n,1)(n1)!
C(n, 2)(n 2)! (1)n C(n, n)1!
n!(111(1)n1)
A
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
容斥原理和鸽巢原理
故 有 | A ||B || C | 3n , | A B || B C || A C | 2n , | A B C | 1
容斥原理：容斥原理和鸽巢原理
最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有
定理：
A A B B
U
定理：容斥原理和鸽巢原理
A B
U
A B C
A C B C
C
容斥原理和鸽巢原理 例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有
170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同 时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？
解：令，M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；所以有
| M | 170,| P | 130,| C | 120,| M P | 45, | M C | 20,| P C | 22,| M P C | 3
容斥原理和鸽巢原理
即学校学生数为336人。
一般地，我容们斥可原得理定理和：鸽巢原理
容斥原理和鸽巢原理 a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为
所以有 | A B C | 4n | A B C | 4n (| A | |B | | C |) (| A B | | B C |
| A C |) | A B C | 4n 3 3n 3 2n 1
全体减去属于A的元素的个数。一般有：
| A1 Am | N | A1 | | Ai Aj |
容斥原理应用与鸽巢初步
(10,5)
13
例 第二类Stirling数的展开式
• 例 第二类Stirling数的展开式 • S(n,m)的组合意义: 将n个有标志的球放入m个无区别的 盒子,而且无一空盒的方案数. mn • n个球有区别，m个盒子有区别，有空盒 m! S ( n , m) • n个球有区别，m个盒子有区别，无空盒 • • • • • n个球有区别，m个盒子无区别，有空盒 n个球有区别，m个盒子无区别，无空盒 n个球无区别，m个盒子有区别，有空盒 n个球无区别，m个盒子有区别，无空盒 n个球无区别，m个盒子无区别，有空盒
P3 = | A1∩A2 ∩A3 |+ | A1∩A2 ∩A4 |+ | A1∩A3 ∩A4 |+ | A2∩A3 ∩A4 |
Q3 | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 | | A1 A2 A3 A4 |
例 三论错排问题 错排问题对应的是n×n的棋盘的主对角线 上的格子是禁区的布子问题。
C= · · ·
n n
n! －r1(n－1)! ＋ r2(n－2)!－· · · ＋(－1)nrn
令 rk ( ) k n k n 错排的方案数: n ! (1) (k )(n k )! n! n! n k 1 C ( n , i )( n i )! ( n i )! k 1 ( n i )! i ! i! n ! (1) Dn k! k 0
( 1) n 1 A1
A2
(4)
... An 1 An
A1
A2
n i 1
...
An N A1
中科大-组合数学复习知识点
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
第3章 容斥原理与鸽巢原理
解：令S={· · · a, b, c},则S的10组合数为
10 3 1 12 10 2 66
| A2 A3 A5 A7 | 120 | A2 | | A3 | | A5 | | A7 | | A2 A3 | | A2 A5 | | A2 A7 | | A3 A5 | | A3 A7 | | A5 A7 | | A2 A3 A5 | | A2 A3 A7 | | A2 A5 A7 | | A3 A5 A7 | | A2 A3 A5 A7 | 120 (60 40 24 17 ) ( 20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 27
定理：设A1,A2,…,An是n个有限集合，则
| A1 A2 ... An | | Ai | | Ai Aj |
i 1 i 1 j i
n
n
| Ai Aj Ak | ...
i 1 j i k j
n
( 1)n 1 | A1 A2 ... An |
120 120 | A2 A3 | 20, | A2 A5 | 2 5 12, 2 3 120 120 | A2 A7 | 8, | A3 A5 | 3 5 8, 2 7 120 120 | A3 A7 | 5, | A5 A7 | 5 7 3, 3 7 120 120 | A2 A3 A5 | 4, | A2 A3 A7 | 2 3 7 2, 2 3 5 120 | A2 A5 A7 | 1, 2 5 7
组合数学第三章容斥原理和鸽巢原理
§3.3 例
A 4!, B 5!, A B 3!.
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
A B
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3 例 例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
n 1 k 1
( Ai
i 1
(1)
k 1
k 1
I∈￠(n-1,k) i∈I
Ai An (1)
k 1
( Ai
iI
An )
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
A
i 1 n k 2
n 1
i
( 1)
k 2
I∈￠(n-1,k)
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M P C MPCM PM M CP CM P C 170 130 120 45 20 22 3 336
鸽巢原理+容斥原理
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
23
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理， 也叫抽屉原理。 原理描述：若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至 少有一个鸽子巢里住着两只鸽子。 定理（鸽巢原理） 如果把n+1个物体放入n个盒 子，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
10
组合数学初步
计算机及信息工程学院
容斥原理
由|A∩B∩C|=8 |A∩B|=33 |A∩C|=25 |B∩C|=41 |A|=200 |B|=166 |C|=125 所以由容斥原理，不能被5，6和8整除的整数的个数为 |~A∩~B∩~C| =|E|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）-|A∩B∩C| =600
⋯⋯⋯ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |= (n − k )! ⋯⋯⋯ | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |= 0!
14
组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
定理 用Dn表示{1, 2, …, n}的全部错排个数，则
Dn =| A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n | n n n n = n !− (n − 1)!+ (n − 2)!− ... + (−1) 0! 1 2 n 1 1 n 1 = n !(1 − + − ... + (−1) ) 1! 2! n!
15
组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
例 在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求 （1）仅ACEG四个字母不在原来位置上的排列数 （2）只有4个字母不在原来位置的排列数 （3）ACEG四个字母不在原来上的排列数 解 （1）8个字母中仅ACEG四个字母不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容斥原理
定理 设￠(n,k)是［1,n］的所有k子集的集合, 则 n n |∪Ai | = ∑ (－1)k-1 ∑ | ∩ Ai | i=1
k=1
I∈￠(n,k) i∈I
证 对n用归纳法。n=2时，等式成立。 假设对n - 1，等式成立。对于n有
§3.2
容斥原理
n n 1 i 1 n
A
i 1
500 500 A 166, B 100; 3 5 500 A B 33 15
§3.3
例
被3或5除尽的数的个数为
A B A B A B 166 100 33 233
例3 求由a,b,c,d四个字母构成的位
A1 A2 ... An 1 An Ai Ai A j
i 1 n i 1 j i n n
+ Ai A j Ak ...
i=1 j>i k>j n 1
( 1)
A1 A2 ... An
§3.2 容斥原理
又 A N A,
§3.2 容斥原理
A1 A2 ... An A1 A2 ... An 正确
则 A1 A2 ... An An 1 ( A1 ... An ) An 1 ( A1 A2 ... An An 1 A1 A2 ... An An 1 即定理对n+1也是正确的。
- Ai Aj Ak ...
i=1 j>i k>j n
n
(1) A1 A2 ... An (5) 容斥原理指的就是（4）和（5）式。
§3.3
例 §3 例
例1 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列
中不允许出现ace和df图象的排列数。 解：设A为ace作为一个元素出现的 排列集，B为 df作为一个元素出现的 排列集，A B 为同时出现ace、df的 排列数。
符号串中，a,b,c,d至少出现一次的符号 串数目。
§3.3
例
解：令A、B、C分别为n位符号串中 不出现a，b，c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a， b，c，d四种符号中的一个，故不允许 n 出现a的n位符号串的个数应是 3 ，即
A B C 3
n n
A B AC C B 2
I∈￠(n,k)
A
iI
此定理也可表示为：
§3.2 容斥原理 定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A A2 ... An 1
i 1 n
n
Ai Ai A j
i 1 j i
n
+ Ai A j Ak ...
i=1 j>i k>j n 1
§3.2 容斥原理
§2
定理：
容斥原理
最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有
A B A B A B (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具
§3.2 容斥原理
有性质A和B的元素个数。 U A A B
B
§3.2 容斥原理
证 若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B| | A |＝| A ∩( B∪B) | ＝| (A∩B)∪(A∩B)| ＝| A∩B | + | A∩B | (1) 同理 | B | ＝| B∩A | + | B∩A | ( 2 ) | A∪B |＝|(A∩( B∪B))∪(B∩(A∪A))| ＝|(A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A)| ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| ( 3 )
§3.3 例
.!3 B A ,!5 B ,!4 A
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
B A
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3
例
例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
(A A )
i n iI
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
i 1
n 1
Ai (1)
k 2 n
I∈￠(n-1,k)
A
iI
i
An
( 1) k 1
k 2
I∈￠(n-1,k-1)
A
iI i
i
An
(1)
k 1
n
k 1
§3.2 容斥原理
( 3 ) －( 1 ) －( 2 ) 得 | A∪B |－| A |－| B | ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| －( | A∩B | + | A∩B | ) －( | B∩A | + | B∩A | ) ＝－ | A∩B | ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
§3.1 容斥原理引论
第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论
例 [1，20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20。 10个
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
(a) A B A B
(b) A B A B
§3.2 容斥原理
证：(a)的证明。 设 ,则 x A B x A B 相当于 x A和 x B 同时成立，亦即
i 1 j i
n 1
+ Ai A j Ak ...
i=1 j>i k>j n
n-1
( 1)
A1 A2 ... An 1
n n
A 1 nA ... 2A 1A A ... A A
2 1
A ) 1 nA ... 2A 1A (
§3.2 容斥原理
An2 An1 An ... (1) A1 A2 ... An
n
Ai An Ai Aj An ...
i 1 i 1 j i
n 1
n 1
(1) A1 A2 ... An
n
§3.2 容斥原理
( 1)
A A2 ... An 1
(4)
§3.2 容斥原理 证：用数学归纳法证明。
已知 n=2时有
2
设 n-1时成立，即有：
A 1A 2A 1A 2A 1A
§3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1
i 1
n 1
Ai Ai A j
§3.2 容斥原理
DeMogan定理的推广：设 A1, A2 ,..., An是U的子集
则 (a)A1 A2 ... An A1 A2 ... An
证明：只证(a). N=2时定理已证。 设定理对n是正确的，即假定：
n
A ... 2A 1A nA ... 2A 1A)b(
其中N是集合U的元素个数，即不属于 A的元素个数等于集合的全体减去属于 A的元素的个数。一般有：
§3.2 容斥原理
A1 A2 ... An N A1 A2 ... An 1 An N Ai Ai Aj
i 1 i 1 j i n n
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M PC M P C M P M M C P C M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
§3.3
例
A B C 1
a，b，c至少出现一次的n位符号串集 合即为 A B C
A B C 4 ( A B C ) ( A B
n
AC C B ) A B C 4 3 3 3 2 1
n n n
§3.3
例
例4。求不超过120的素数个数。 因 ，故不超过120的合数必 然是2、3、5、7的倍数，而且不超过 120的合数的因子不可能都超过11。 设 为不超过120的数 i 的倍数集， i =2，3，5，7。
A A B x A B
B A x
(1)
§3.2 容斥原理
反之，若 x A B, 即x A和x B 故 x A和x B.亦即x A B
x A B x A B (2)
由（1）和（2）得 x A B x A B (b)的证明和（a)类似，从略.
n
A
1 n
n
A ) 1 nA ... 2A 1A (
§3.2 容斥原理
§3.2 容斥原理
但 (A1 A2 ... An 1 ) An ( A1 An ) ( A2 An )... (A n-1 An ),