《小波分析概述》PPT课件

定义4.1 设函数
g L1(R) L2(R), tg L2(R),
则称 f (t )g的(Ftourier)变换
f (t )g(t )eitdt
为f (t)的窗口Fourier变换, 也称f (t)的Gabor变换, 记
为 G f (其,中)g,(t)称为时窗函数.
以下总是取时窗函数g(t)满足
本章将Fourier变换记为
fˆ () F() F [ f (t)],
R表示实数, Z表示整数, N表示正整数.
L1(R) f (t)
f (t) dt
表示绝对可积函数构成的空间,
L2(R) f (t) f (t) 2 dt
表示平方绝对可积函数构成的空间, 对
f , g f (t)g(t)dt
+
(t
-
t* )2
g(t
) 2 dt
2
1
+
(u
-
t* )2
g(u) 2 du
2
1
+ (u t* )2 g(u) 2 du 2 t. -
由此可见, 时窗中心在平移, 而时窗半径不变.
定义4.3 设g(t)是时窗函数, 称
gˆ( ) G( )
为频窗函数, 并且称
*
+
G(
)
设 f L2则(R),
W f (t) (a,b)
在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同 STFT 固定时窗的特性是矛盾的, STFT无法满足 这种需要．此外，在进行数值计算时，人们希望 将基函数离散化，以节约计算时间及存储量．但 Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基， 因而给数值计算带来了不便．
小波变换的思想来源于伸缩与平移方法, 在小 波变换的系统理论发展起来以前, 其基本思想已经 在许多领域的应用中有所体现．
+ g(t ) 2 dt 1. -
根据Fourier变换的反演公式, 有
f (t)g(t ) 1
2
G
f
(
,
)e i t d
,
于是
f (t) g(t )2 1
2
G
f
(
,
)e
i
t
g(
t
)d
,
从而
f (t) + g(t )2 d -
1
2
+
d
-
G
f
(
,
)e i t
g(t
)d
间平移的作用, 而a在连续小波变换中是一个尺度 参数, 它既能改变窗口的大小与形状, 同时也能改
变连续小波的频谱结构.
常用的基本小波:
Haar小波
1,
(t) 1,
0,
0 t 1/2 1/2 t 1
其他
Morlet小波
(t
)
e
t2 2
e i0t
,
t ,
0 5.
墨西哥草帽小波(Marr小波)
Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时 窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的 增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频 窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换 的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该 尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的 过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.3 连续小波变换
虽然窗口Fourier变换已经具备了平移的功能, 但是w的变化不改变窗口的大小与形状, 不具备伸 缩性. 通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数 之中, 代替Fourier变换中不衰减的正交基 从 而创立了小波变换.
e it ,
定义4.4 设
L2满(R足条) 件 L1(R),
ˆ ( ) 2
C d ,
则称 为(基t )本小波或小波母函数. 称
a,b(t )
1 a
t
b a
(a,b R,a
0)
为由基本小波 生成的(连t )续小波或小波基函数,
其中a和b为参数, 分别是伸缩因子和平移因子.
连续小波
的a作,b用(t与)窗口Fourier变换中
的 g(t 作)e用类i似t , 其中b与 一样都起着时
(t) 1 t2
1
t2
e 2 , t .
2
定义4.5 设 为由基a本, 小b 波
续小波. 对 f 称 L2(R),
生成的连
(t)
W f
(a,b)
f , a,b
1 a
fຫໍສະໝຸດ Baidu
(t )
t
a
b
dt
为f (t)的连续小波变换.
连续小波变换具有如下一些主要性质.
(1) 线性性质
窗口Fourier变换把时域上的信号f (t)映射到
时-频域平面 中(的一,个)二维函数
G f (, ).
一个常用的窗口函数是Gauss函数
g(t)
b
t2
e 4a (a,b 0),
2 a
其中a, b使得
+ g(t ) 2 dt 1. -
易见时窗中心
t* +并t 且g时(t窗) 2半d径t 0, -
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
.
因为
+ g(t )2 d + g(t) 2 d 1,
-
-
所以
f (t) 1
2
+
d
-
G
f
(
,
)e i t
g(t
)d
,
这就是窗口Fourier变换的反演公式.
定义4.2 设g(t)是时窗函数, 称
t*
+
t
g(t ) 2 dt
-
为时窗中心, 称
1
t
+
(t
t* )2
g(t) 2 dt
小波变换克服了Fourier变换和窗口Fourier变 换的缺点, 在时域和频域同时具有良好的局域化性 质, 被誉为“数学显微镜”.
1987年, 法国数学家Mallat与Meyer合作, 将计 算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分 析中,提出了多分辨分析的概念, 统一了在此之前的 所有具体正交小波基的构造, 并且提出相应的分解 与重构快速算法. 随后Mallat将多分辨分析用于图 象处理, 取得了巨大成功.
从定义可以看出, 为了应用Fourier变换去研究一个
信号的频谱特性, 必须获得在整个时域
中信号的全部信息. 由于
即Fouerieri变t换 1,
的积分核在任何情形下的模都是1, 所以信号f (t)的
频谱 fˆ的(任一) 频点值都是由 f (t) 在整个时间域
t
上的贡献决定的; 反之, 信号f (t)在任一时刻的状态
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 析的最早萌芽. 1938年, Littlewood-Paley 对 Fourier 级数按二进制频率成分进行分组. 1965年, Galderon 发现再生公式, 它的离散形式已接近小波展开. 1981 年，Stormberg对Haar系进行了改进, 证明了小波函 数的存在性．小波概念的真正出现应该是在1984年, 当时法国地球物理学家Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开. 然 后数学家Meyer对Morlet提出的方法进行系统研究, 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础.
f , g L2(R),
表示空间 中L2的(内R积) , 是 的共轭g(. t ) g(t )
§4.1 小波变换的背景
自从1822年Fourier发表《热传导解析理论》 以来，Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段．
Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域, 也就是从一个空间变换到另一个空间, 这种 研究思想和方法是重大的创新.
也是由频谱 在整fˆ (个频)域
上的贡献
决定的. 所以在时域中Fourier变换没有任何分辨能
力, 通过有限频段上的 不能获得fˆ信(号f)(t)在任何
有限时间间隔内的频率信息. 因为一个信号在某个时
刻的一个小的邻域中发生了变化, 那么整个频域都要
受到影响. 这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性. 同样地分析可见, 在频域上Fourier变换也没有局 域特性．
如果把 f (t)理解为信号的描述, Fourier变换和 逆变换的表达式
fˆ ( ) f (t )eitdt, t R
f (t ) 1 fˆ ( )eitd, R
2
说明, 信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性, 即其频谱分析. 由于Fourier变换和逆变换具有很好
为研究信号在局部时间范围的频域特征, 1946 年Gabor提出了著名的Gabor变换, 之后又进一步发 展为窗口Fourier变换, 也称短时Fourier变换(STFT). STFT弥补了Fourier变换的一些不足, 已在许多领域 获得了广泛的应用. 但是, 由于STFT的时-频窗口大 小和形状固定, 与时间和频率无关，所以并没有很好 地解决时－频局部化问题, 这对于分析时变信号来说 是不利的. 高频信号一般持续时间很短, 而低频信号 持续时间较长, 因此, 我们期望对于高频信号采用小 时间窗, 对于低频信号则采用大时间窗进行分析．
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析 等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论 和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和 重视. 小波分析的应用是与小波分析的理论研究 紧密地结合在一起的. 对于处理性质随时间稳定不 变的信号, 理想工具仍然是Fourier分析. 但是在实 际应用中的绝大多数信号是非稳定的, 而特别适用 于非稳定信号的工具就是小波分析. 小波分析的应 用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音 识别与合成、医学成像与诊断等方面.
2
-
为时窗半径.
于是时窗函数g(t)的窗口为
窗[t口* t,t* t],
的宽度为2t. 下面讨论时窗函数g(t-)的时窗中心
t*
和时窗半径
t .
t*
+
t
g(t
) 2 dt
-
+
(u
)
g(u)
2
du
-
+ u g(u) 2 du + g(u) 2 du t* ,
-
-
1
t
1
t
+
(t
t* )2
g(t ) 2 dt
2
a.
-
相应的频窗函数
G( ) 因gˆ此(可以) 计 bea2 ,
算出频窗中心 -频窗面积为
频窗*半径0,
所以时 1 .
2a
2t 2 2.
Heisenberg测不准原理: 存在常数C >0, 使得
t C,
称为窗口Fourier 变换的Heisenberg不等式.
2
d
-
+ G( ) 2 d
-
是频窗中心, 称
1
+
(
-
* )2
G( )
2
d
2
+ G( ) 2 d
-
是频窗半径.
当频窗函数是
时G,(类似地可)以推导出
相应的频窗中心和频窗半径为
* * , .
因此频窗中心在平移, 频窗半径不变.
在时-频坐标系中, 时窗 和频窗共同作用形成时-频 窗, 右图是通过时-频窗进行 时-频局部化的几何直观描述.
第四章 小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用.
的对称性, 使得信号的重构很容易进行. 特别是后来
离散Fourier变换(DFT)的发展, 以及 1965 年提出的
快速Fourier变换(FFT)与计算机技术相结合, 使
得Fourier变换的应用更加广泛和有效, 在科学技
术的各个领域发挥过重要作用.
但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号.