第4章3 频率特性分析系统性能

L(ω)=20lgK-20vlgω
40(0.5s + 1) G ( s) H ( s) = 1 s (2s + 1)( s + 1) 30
1. 0型系统（有差系统） 型系统（有差系统） 型系统 0型系统的 ω)如图所示，由于开环 型系统的L( 如图所示 如图所示， 型系统的 积分环节的个数v=0，低频渐近线的斜率 积分环节的个数 ， 为0dB/dec，高度为20lgK。 ，高度为 。
πζ
1−ζ 2
σ% = e
×100%
二阶系统σ%、Mp、γ与ζ的关系 二阶系统 、 、 与 的关系
根据给定的相角裕度γ可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量 根据给定的相角裕度 可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量σ%，反之 可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量 ， 亦然，二者之间为一一对应的确定的关系。 增大 随之增大 增大， 随之增大， 减小。 亦然，二者之间为一一对应的确定的关系。ζ增大，γ随之增大，σ%减小。 减小
开环频率特性分析系统的性能 开环频率特性分析系统的性能
频率特性法的主要特点是可以根据系统的开 频率特性法的主要特点是可以根据系统的开 环频率特性分析闭环系统的性能 分析闭环系统的性能。 环频率特性分析闭环系统的性能。 开环频率特性分成低频、 开环频率特性分成低频、中频和高频三个频 段。 1.第一个转折频率以前的部分称为低频段； 第一个转折频率以前的部分称为低频段 第一个转折频率以前的部分称为低频段； 2.穿越频率 c附近的区段为中频段； 穿越频率ω 中频段； 穿越频率 附近的区段为中频段 3.中频段以后的部分 中频段以后的部分(ω>10ωc)为高频段。 为高频段。 中频段以后的部分
L(ω )
-20 40 -40 20 0 0.1 -20 -40 0.5 1 2 -20 10 30 -40 100 ω
1.低频段 低频段
低频段是指波德图上第一个转折频率之前的对数幅频 低频段是指波德图上 第一个转折频率之前的对数幅频 第一个转折频率之前 特性渐近线。低频渐近线的斜率是由开环传递函数中 是由开环传递函数中积分 特性渐近线。低频渐近线的斜率是由开环传递函数中积分 环节的个数v所决定；其高度则由开环放大系数 决定。即 环节的个数 所决定； 高度则由开环放大系数K决定。 所决定 则由开环放大系数 决定 的低频段决定了系统的型别（ L(ω)的低频段决定了系统的型别（无差度阶数）和静态误 的低频段决定了系统的型别 无差度阶数） 差系数，也就决定了系统响应输入信号是否存在误差， 差系数，也就决定了系统响应输入信号是否存在误差，以 及稳态误差的大小。 及稳态误差的大小。低频段的表达式为
二、高频段与系统抗干扰性能的关系 从系统抗干扰能力角度来看，要求高频段具有较大的斜率。 从系统抗干扰能力角度来看，要求高频段具有较大的斜率。以单位负反馈系 统为例， 统为例，有
Φ ( jω ) = G ( jω ) 1 + G ( jω )
G（jω）为开环频率特性，Ф（jω）为闭环频率特性 为开环频率特性， （
2.二阶系统ωc 、γ与系统快速性之间的关系 二阶系统 在时域分析中已知二阶系统调节时间ts为 在时域分析中已知二阶系统调节时间
ts ≈
ωc =
t sω c =
3
ζω n
− 2ζ
2
+
4ζ
4
+ 1 ⋅ω
n
3
ζ
− 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
γ = arctan
t sω =
2ζ − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
由以上分析可知， 由以上分析可知，L(ω)低频段的形状 低频段的形状 能够完全反映系统的稳态性能。 能够完全反映系统的稳态性能。 (低频渐近线 斜率越负， 说明积分环 低频渐近线斜率越负 ， 说明 积分环 低频渐近线 斜率越负 节数越多，表明系统稳态性能越好 稳态性能越好。 节数越多，表明系统稳态性能越好。)
2． I型系统 （一阶无差度系统） ． 型系统 一阶无差度系统）
I型系统的 ω)如图所示，由于开环积分环节的个数 型系统的L( 如图所示 由于开环积分环节的个数v=1，低频渐 如图所示， 型系统的 ， 近线表达式为 L(ω)=20lgK-20lgω 低频渐近线的斜率为-20dB/dec， 低频渐近线的斜率为 ，
6 tan γ
c
之间的关系 绘成曲线如图5—71所示。 的关系， 所示。 上式表示二阶系统tsωc与γ之间的关系，绘成曲线如图 所示 由以上分析可知，对二阶系统， 成反比； 给定后， 成反比； 由以上分析可知，对二阶系统，tsωc与γ成反比；当γ给定后，ts与ωc成反比；当要求 从物理意义上解释， 越大， 系统具有相当的灵敏度时，ωc应该较大。从物理意义上解释，ωc越大，说明系统能 够响应的输入信号的频率越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小， 够响应的输入信号的频率越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小， 即快速性好。由于在控制系统的实际运行中，输入的控制信号一般为低频信号， 即快速性好。由于在控制系统的实际运行中，输入的控制信号一般为低频信号，而干 扰信号（如调速系统中电网电压的波动等）一般为高频信号， 越大， 扰信号（如调速系统中电网电压的波动等）一般为高频信号，ωc越大，说明系统对高 频干扰信号的抑制能力就越差。因此， 频干扰信号的抑制能力就越差。因此，ωc的取值要同时根据系统的快速性与抗高频干 扰信号的要求确定。 扰信号的要求确定。
3.II型系统 （二阶无差度系统） 型系统 二阶无差度系统）
II型系统的 ω)如图所示，开环积分环节的个数 型系统的L( 如图所示 开环积分环节的个数v=2，低频渐近 如图所示， 型系统的 ， 线表达式为 L(ω)=20lgK-40lgω 低频渐近线的斜率为-40dB/dec 低频渐近线的斜率为
1）ω=1时，低频渐近线或者延长线上有 ） 低频渐近线或者延长线上有L(1)= 20lgK。 。 2）K值可由低频渐近线或者延长线与频率轴的交点来确定。 值可由低频渐近线或者延长线与频率轴的交点来确定。 ） 值可由低频渐近线或者延长线与频率轴的交点来确定 L(ω)=20lgK-40lgω=0 解之得： 解之得： L(ωk)=0时,有K=ωk2。
在高频段一般有L(ω 在高频段一般有 ω)<<0，即|G（jω）|<<1，故上式可近似为： ， （ω ，故上式可近似为：
G ( jω ) Φ( jω ) = ≈ G ( jω ) 1 + G ( jω )
说明在高频段,闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。 说明在高频段 闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。L(ω)高频段斜率 闭环幅频特性近似等于开环幅频特性 高频段斜率 衰减作用大， 抗高频干扰的能力强。 说明系统对高频信号的衰减作用大 即系统抗高频干扰的能力强 大，说明系统对高频信号的衰减作用大，即系统抗高频干扰的能力强。此结 论对非单位负反馈系统同样适用。 论对非单位负反馈系统同样适用。 因此， 因此，一般希望系统L(ω)在ωc稍高的角频率上（在保证系统稳定性的 在 稍高的角频率上（ 前提下）迅速衰减，以提高系统的抗干扰能力。 前提下）迅速衰减，以提高系统的抗干扰能力。
的幅频特性斜率是-20dB/dec， 如果穿过 ωc的幅频特性斜率是 ， 则系统一般是稳定的，如果中频段斜率是40dB/dec，则系统 可能稳定 ，也 可能不稳定。 可能稳定， 可能不稳定。 ，则系统可能稳定 若中频段斜率更陡 系统将很难稳定 更陡， 很难稳定。 若中频段斜率更陡，系统将很难稳定。 因此，通常希望中频段有 中频段有-20dB/dec的斜率 的斜率, 因此，通常希望中频段有 的斜率 以保证系统有足够的相位裕量 同时希望γ受 足够的相位裕量； 以保证系统有 足够的相位裕量 ； 同时希望 受 其他斜率段的影响较小， 其他斜率段的影响较小，所以 ωc应该远离其他 斜率段， 中频段应该有足够的宽度。 斜率段，即中频段应该有足够的宽度。 下面以一例题来说明系统开环波德图中频段 形状与系统稳定性之间的关系。 形状与系统稳定性之间的关系。
3开环对数幅频特性L(ω)高频段与系统抗干扰性能的关 开环对数幅频特性 高频段与系统抗干扰性能的关 系
一、高频段与系统动态性能的关系
从图中可以看出，三个系统的低频段与中频段完全相同， 高频段的衰减速度有所差别。 从图中可以看出，三个系统的低频段与中频段完全相同，仅高频段的衰减速度有所差别。 低频段与中频段完全相同 高频信号有较强的抑制能力， 由于系统1在高频段的衰减速度最快，说明系统对高频信号有较强的抑制能力 在高频段的衰减速度最快 由于系统 在高频段的衰减速度最快，说明系统对高频信号有较强的抑制能力，对于输 入信号中的高频分量不能很好地复现，因此，高频段的幅值， 入信号中的高频分量不能很好地复现，因此，高频段的幅值，直接反映系统对高频干扰 的抑制能力。高频段的分贝越低，系统的抗干扰能力越强。 的抑制能力。高频段的分贝越低，系统的抗干扰能力越强。 由于系统开环波德图高频段的转折频率远离中频段穿越频率， 由于系统开环波德图高频段的转折频率远离中频段穿越频率，因此对系统的主要动 态性能指标（ 态性能指标（ts与σ%）影响较小。 ）影响较小。
5.6.4结论 结论
由上面分析可以看出，一个合理的控制系统， 由上面分析可以看出 ， 一个合理的控制系统 ， 其开环 L(ω)的形 的形 状应该满足下列要求： 状应该满足下列要求： 低频渐近线反映系统的 稳态性能， 1. L(ω)低频 渐近线反映系统的 稳态性能 ， 应具有 低频 渐近线反映系统的稳态性能 应具有-20dB/dec或 或 40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以满足稳态性能的要求。 的斜率， 的斜率 并有一定的高度，以满足稳态性能的要求。 2.L(ω)中频段，反映系统的动态性能，一般应具有 中频段， 动态性能， 中频段 反映系统的动态性能 一般应具有-20dB/dec的斜 的斜 的大小反映系统的快速性， 率；中频段幅值穿越频率ωc的大小反映系统的快速性，由系统动态 性能指标的要求来确定。 性能指标的要求来确定。 3. L(ω)高频段反映系统的抗干扰性能，应该有较大的斜率。 高频段反映系统的抗干扰性能， 斜率。 高频段反映系统的抗干扰性能 应该有较大的斜率 从上述分析可知,一般实用的控制系统的开环频率特性有低通滤 从上述分析可知 一般实用的控制系统的开环ห้องสมุดไป่ตู้率特性有低通滤 波作用。 ； 。 波作用。低频时有L(ω)>>0 dB；高频时有L(ω)<<0 dB。