(精心整理)高三数学试卷

高三数学试卷（文）满分150分 考试时间120分钟本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1A =-，集合{}124xB x =≤<，则AB 等于 ( )A ．{}1,0,1-B ． {}1C ．{}1,1-D ．{}0,12.设i 是虚数单位，若复数201a aiz i+=>-，则a 的值为 ( ) A ．0或1- B ．0或1C ．1-D ．13.已知命题00:R,sin p x x ∃∈=命题2:R,10q x x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是 ( )A ．命题是p q ∨假命题B . 命题是p q ∧真命题C ．命题是()()p q ⌝∨⌝真命题D ．命题是()()p q ⌝∧⌝真命题4. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，b =，6A π=，则ABC ∆的面积为( )A ．B ．C ．D 5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为ˆ0.7671yx =-. x98 99 100 101102 y2 35m8则实数m 的值为 ( )A ．6.8B ．7C ．7.2D ．7.46. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x 内任意取一点),(y x P ，则122>+y x 的概率是( )A.244π- B. 24π- C. 4π D.44π- 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π8. 执行如图的程序框图，如果输入的352log 2,log 2,log 3a b c ===，那么输出m 的值是 ( )A.5log 2B. 3log 2C.2log 3D.都有可能9. 已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是( ) A. 两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称B. 两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C. 两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D. 可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像10. 已知直角ABC ∆中，斜边6=AB ，D 为线段AB 的中点，P 为线段CD 上任意一点，则()PA PB PC +⋅的最小值为( )侧视图俯视图7题图8题图A.92 Ｂ. 92- Ｃ．2 Ｄ．2-11. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线22(0)y px p =>上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线l 的斜率为（ ）A ． 2Ｂ．32 Ｃ．1 Ｄ．1212. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是( )A B C 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线(2ln 1)y x x =-在点(1,1)-处的切线方程为 .14. 已知过双曲线22221x y a b-=右焦点且倾斜角为45︒的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .15.设直线210x y -+=的倾斜角为α,则2cos sin 2αα+的值为 .16.已知函数()f x 为R 上的增函数，函数图像关于点(3,0)对称，若实数,x y 满足22(9)(2)0f x f y y -++-≤，则yx的取值范围是 . 三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 满足对于任意N n *∈，点1(,)n n b b +在直线2y x =上，且112a b ==，22a b =. (1) 求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若 n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和2n S .18. （本小题满分12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数按区间[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：(1) 求a 的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；(2)若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率.19. （本小题满分12分）如图1，ABC ∆，4AB AC ==，23BAC π∠=，D 为BC 的中点，DE AC ⊥,沿DE 将CDE ∆折起至'C DE ∆，如图2，且'C 在面ABDE上的投影恰好是E ，连接'C B ，M 是'C B 上的点，且1'2C M MB =. (1)求证：AM ∥面'C DE ； (2)求三棱锥'C AMD -的体积.20. （本小题满分12分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线A BCDE图1 图2 AB'CE DM2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若1120OF AF +=（其中O 为坐标原点）． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值． 21．（本小题满分12分）设函数ax xxx f -=ln )(． (1)若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在212,[,]x x e e ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求正实数a 的取值范围．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用B 2铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，在ABC ∆中， 90=∠ABC ，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：DE 是圆O 的切线；(2)求证：AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为)(226222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 10=．(1)求圆C 的直角坐标方程；ABCDEMO(2)设圆C 与直线l 交于点B A 、，若点P 的坐标为)6,2(，求||||PB PA ．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()-|-2|f x m x =，R m ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． (1)求m 的值； (2)若,,R a b c +∈，且11123m a b c++=，求 23z a b c =++ 的最小值.数 学(文科) 答 案13.20x y --= 14. 1e << 15.516. 17. （本小题满分12分）解：(1)由点1(,)n n b b +在直线2y x =上，有12n nb b +=，所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列{}n b 的通项公式为2nn b =， 3分又112a b ==，224a b ==，则21422d a a =-=-=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即数列{}n a 的通项公式为2n a n =； 6分 (2) n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，所以)()(24212312n n nb b b a a a S +⋯++++⋯++=-41)41(42)242(--+-+=n n n)14(3422-+=n n 12分18. （本小题满分12分）解：(1)由0.10.10.140.451a ++++=，所以0.21a =， 2分平均承受能力30.140.1450.4560.2170.1 5.07x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即城市居民的平均承受能力大约为5070元； 5分(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人, 即[3.5,4.5)组中抽2人与[5.5,6.5)抽3人,设[3.5,4.5)组中两人为12,A A ,[5.5,6.5)组中三人为122,,B B B ,从这5人中随机取2人,有12A A ,11A B ,12A B ,13A B ,21A B ,22A B ,23A B ,12B B ,13B B ,23B B 共10中,符合两人承受能力不同的有11A B ,12A B ,13A B ,21A B ,22A B ,23A B 共6中,所以所求概率为63105P ==. 12分 19. （本小题满分12分）(1) 证明：过M 作MN ∥'C D ,交BD 于N ,连接AN ，于是12DN NB =，又4AB AC ==，23BAC π∠=，D 为BC的中点，所以NB =，30B ∠=︒，由2222cos30AN AB NB AB NB =+-⋅⋅︒，得到AN =,所以120ANB ∠=︒，得AN ∥ED ,所以面AMN ∥面'C DE ,即AM ∥面'C DE ；（注：可以在翻折前的图形中证明AN ∥ED ） 6分(2) 1'2C M MB =，'1122C AMD B AMD M ABD V V V ---∴==，又'C E ⊥面ABD ，所以M 到平面ABD 的距离2h =，ABD S ∆=，所以123M ABD V -=⨯⨯=，即得三棱锥'C AMD -. 12分 20. （本小题满分12分）解：（1）由题设知，2A，1F由1120OF AF +=2=解得62=a所以椭圆M 的方程为22162x y += 4分 (2)设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，ABCDE图1 图2 AB'CE DMN则()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()()NF NP NF NP =--⋅-2221NP NF NP =-=- 从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设00(,)P x y 所以1262020=+y x ，即202036y x -=．因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP因为0[y ∈，所以当10-=y 时，2NP 取得最大值12 所以PF PE ⋅的最大值为11 12分21．（本小题满分12分）解：(1)由已知得0,1x x >≠． 因()f x 在()1+∞，上为减函数，故()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤在()1+∞，上恒成立． 所以当x ∈()1+∞，时，()max 0f x '≤．2分当11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-． 所以104a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． 4分(2)命题“若存在212,[,]x x e e ∈ ，使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当[]221,,e e x x ∈时，有a x f x f ''+'≤max 2min 1)()(．由(1)，当2[,]x e e ∈时，()max 14f x a '=-，∴()max 14f x a '+=． 问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有()min 14f x ≤”． 6分①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则()()222min124e f x f e ae ==-≤，故21124a e≥-． 8分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2[,]e e 上的值域为（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2[,]e e 恒成立，故()f x 在2[,]e e 上为增函数， 于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾． 10分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使0)(0='x f ，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈ 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾． 综上，得21124a e ≥-12分 22.（本小题满分10分） 解：(1)连结OE .∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，∴AC OD 21//=，∴A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠.∵OEOA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠.在EOD ∆和BOD ∆中，∵OB OE =，EOD BOD ∴∆≅∆，∴90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5分 (2)延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=. ∵DBDE ,是圆O的切线，∴DBDE =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅.∵OFAB OD AC 2,2==，ABCDEMODFDM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(.∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DFDM DE ⋅=2，∴ABDM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ 10分 23.（本小题满分10分）解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x . 5分 (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根. 所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ， 可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA . 10分24.（本小题满分10分）解：(1)因为(2)||f x m x +=-， (2)0f x +≥等价于||x m ≤，由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤．又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =. 5分(2)由(1)知111123a b c++=，又,,a b c R +∈，由柯西不等式得∴23z a b c =++ 的最小值为9 . 10分。