新型并联机器人的奇异位形分析

Abstract：Since singularity is the inherent character of parallel manipulator and has various effects on manipulator’s working performance, for certain mechanism, it has great significance to find out all of its singularities. From the view of kinematics, there exist three different types of singularities, each having a different physical interpretation. The singularity loci of a new 6-DOF parallel manipulator with 3 limbs 3-UrPS are studied, where Ur is compound universal joint, i.e. a 2-DOF spherical parallel mechanism, P is prismatic joint and S is spherical joint. It is very expedient to obtain the unique inverse solution in analytical form by the mechanism’s geometry character. Differentiating the inverse functions with respect to time can derive the regular speed Jacobian matrices. Singularities’ analytical form can be achieved easily through solving the determinant of the matrices. The singularities of type I and type II of the parallel manipulator are discussed and 3 cases special singularities are obtained. The analysis of the singular configurations provided here has great significance for manipulator trajectory planning and control. Key words：Singularity loci Parallel manipulator Inverse solution Jacobian matrix
本文研究了一种新型 3 支链 6 自由度并联机器 人 3-UrPS 运动学反解以及奇异位形，其中 Ur 为复 合胡克铰，即 2 自由度球面机构，P 为移动副，S
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机械工程学报
为球副，6 自由度平均分配到 3 个支链上。由机构 的运动学反解方程得出了有规律性的雅可比矩阵， 使奇异位形的表达式很容易得出。分析了 3-UrPS 并 联机器人的第 1 类和第 2 类奇异位形，得出了 3 种 发生奇异的条件。该并联机器人奇异位形分析的解 析表达式可用于运动学分析和优化设计。
OmC 方向相反， ym 指向 Om D ， zb 由右手螺旋法则 确定。$1 为沿 Ob D 的单位矢量，$2 为沿 Ob B 的单位 矢量， $3 为沿 ObC 的单位矢量。根据机构的特点，
当电动机 E 转过一个角度 α 时， $1 在固定坐标系 Ob xb yb zb 下的坐标为
⎛1
$1
=
⎜ ⎜
图 4 球面 2 自由度机构 CAD 模型及坐标系建立
定坐标系 Ob xb yb zb 的原点位于该球面机构动平
台的中心， xb 指向 Ob E ， yb 指向 Ob A ， zb 由右手 螺旋法则确定；动坐标系 Om xm ym zm 的原点固接于动 平台中心，与定坐标系的原点重合， xm 的方向与
0
⎜⎝ 0
0 cosα sin α
0 ⎞⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞
− sin α cosα
⎟ ⎟⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
cosα sin α
⎟ ⎟⎟⎠
当电动机 A 转过一个角度 β 时， $2 在固定坐标系 Ob xb yb zb 下的坐标为
⎛ cos β 0 sin β ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ − sin β ⎞
图 3 底面三个 2 自由度球面机构的排列
2 球面 2 自由度机构的运动学分析
球面 2 自由度并联机构为空间五杆机构，所有 的运动副均为转动副，其轴线皆汇交于一点 O ；两 个主动转动副即旋转电动机放置于同一平面且固 定，电动机轴互相垂直，相交于球心 O 。弧 AB 和 BC 分别对应 90D 的圆心角， DF 垂直于 OC ，动平台只 能做围绕球心 O 的旋转运动，如图 4 所示。
0 前言
奇异位形是当机构运动进入某种临界状态时所 具有的特定位形，在这种临界状态下，机构的实际 自由度数不再与其理论自由度数相等，即存在两种 情况：机构丧失了应有的自由度；机构获得了额外 的自由度[1-2]。GOSSELIN 等[3-4]从运动学求解的角 度对机构的奇异位形进行研究和分类，将机构奇异
d = $1 × $2 = 1 − sin2 (α ) cos2 (β )
整理得
$3
=
⎛ ⎜⎝
−
cosα d
cos
β
− sinα sin β d
cosα sin β ⎞T d ⎟⎠
如图 4 所示，xm = −$3 ，ym = $1 ，而 zm=−$3 ×$1/e ， 其中 e = $3 × $1 = 1 ，所以，动坐标系到定坐标系的
$2
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟⎜ ⎟⎜
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ − sin β 0 cos β ⎟⎠⎜⎝ −1⎟⎠ ⎜⎝ − cos β ⎟⎠
期 2008 年 1 月
高 征等：新型并联机器人的奇异位形分析
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由 2 自由度球面机构的结构特点，$3 既垂直于 $1 也 垂直于 $2 ，所以 $3' = $1 × $2 ，而 $3 = $3' / d 为 $3' 的 单位矢量，其中
⎝ pz ⎠
β
=
⎛ arctan ⎜⎜⎝
px py py2 + pz2
⎞ ⎟⎟⎠
3 3-UrPS 运动学反解
位置反解就是当机构的运动平台位姿已知时, 求各支链 2 自由度球面机构两个驱动电动机的输入 转角。
在上三角平台的中心建立动坐标系 O'x'y'z' ，如
图 2 所示，由上平台的几何关系可以求出球铰 Si (i = 1, 2, 3) ， 在 动 坐 标 系 O'x'y'z' 下 的 坐 标 为
摘要：奇异是并联机器人的固有性质，对机器人的工作性能有着种种影响，因此对于确定的机构，找出它的所有奇异位形具 有重要的意义。从运动学角度分析，奇异位形有三类形式，每种形式都具有不同的物理意义。基于以上原因，研究一种新型 6 自由度 3 支链并联机器人 3-UrPS 的奇异位形，其中 Ur 为复合胡克铰，即 2 自由度球面并联机构，P 为移动副，S 为球副。 根据机构自身的几何特点，非常方便地得出反解的唯一解析形式。对机构的反解方程进行求导，得出有规律的速度雅可比矩 阵，然后通过求解雅可比矩阵的行列式，使奇异位形的解析形式很容易得出。讨论该并联机器人的第 1 类和第 2 类奇异位形， 并得出 3 种特殊位置的奇异位形。奇异位形的分析对该并联机器人的轨迹规划和控制具有重要的意义。 关键词：奇异位形 并联机器人 反解 雅可比矩阵 中图分类号：TP24
第 44 卷第 1 期期
1 机构说明与坐标系建立
3-UrPS 并联机器人机构的驱动装置(电动机)安 装在 2 自由度球面机构上，且固定在同一平面。机 构的下平台 A1 A2 A3 是一等边三角形；动平台的顶点 S1S2S3 也构成等边三角形。上下平台由 3 个相同的 UrPS 分支相连， Ai (i = 1 ~ 3) 点表示第 i 个 2 自由度 球面机构的转动中心，并且为下平台三角形的顶点。 CAD 模型如图 1 所示，结构简图如图 2 所示。
转换矩阵为：
b m
R
=
(
xm
ym
zm ) ，整理得
⎛ cosα cosБайду номын сангаасβ
⎜ ⎜
d
b m
R
=
⎜ ⎜
⎜
sinα sin β d
⎜ − cosα sin β
⎜⎝
d
0 cosα sin α
sin β
⎞
d
⎟ ⎟
−sinα cosα cos β ⎟
d
⎟ ⎟
(1)
cos2 α cos β ⎟
d
⎟⎠
设 点 P 在 动 坐 标 系 Om xm ym zm 下 的 坐 标 为 mP = (0 0 zp )T ，当给定输入转角 α ， β 后，点 P
∗ 国家自然科学基金(60534020)、国家重点基础研究发展计划(973 计划， 2006CB705400) 和 河 北 大 学 自 然 科 学 基 金 (Y2007095) 资 助 项 目 。 20070223 收到初稿，20070923 收到修改稿
分为边界奇异、位形奇异和复合奇异三种情况。 FICHTER[5]和曲义远等[6]发现 Stewart 平台机构的奇 异位形是上平台相对于下平台转过 90° 的位置。 BHATTACHARYA 等[7]通过在奇异区域附近重新构 造一预先规划的路径，从而避开了 Stewart 平台的奇 异点。DASGUPTA[8]等用公式表述了 Stewart 平台 机构无奇异点的路径规划问题，提出了在工作空间 中规划理想路径的策略。