函数奇偶性经典例题

函数的奇偶性

一、典型例题

例1 判断下列函数的奇偶性

（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)

()|2|2

x f x x -=--

（3）2

2(0)()(0)x x x f x x x

x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22

()11f x x x =--

（5）()11f x x x =-+- （6）22

11()11

x x f x x x ++-=

+++

例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3

()(1)f x x x =+，则()f x 的解析

式为________________.

例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则)2

5

(f 的值是________________.

②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21x

f x =- ,则

=)2(f _____,21log 24f ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭的值是_________ .

例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且

21

()()1

f x

g x x x +=

-+，求()()f x g x 的取值范围。

二、课后练习

1、判断下列函数的奇偶性

（1）x x

y a a -=+ （2）x x

y a a

-=-

（3）x x x x

a a y a a ---=+ （4）1

1

x x a y a -=+

（5）1log 1a x y x

-=+ （6）2

log (1)a y x x =+-

（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12x

G x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭

的奇偶性。

2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x

f x x b =++ (b 为常数)，则

(1)f -=（ ）

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f

4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____

5、函数1

(1)1

y x x =

≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____

6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2

)1()(-=x x f ;若当⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡--∈2

1,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 4

3