第2章第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用

基础知识整合

1．常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

对数函数型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)

2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

函数

性质

y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减性

□01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表

现为与□04y轴平行

随x的增大逐渐表

现为与□05x轴平行

随n值变化而各有

不同值的比较

存在一个x0，当

x>x0时，有

log a x

形如f(x)＝x＋a

x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]

上单调递减．

(2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .

1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private －Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1

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”，解密后得到的明文是( )

A ．12

B ．14

C ．2

D ．18

答案 A

解析 由已知，可得当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ·43，解得k ＝243＝1

32，故y ＝132x 3.令y ＝132x 3＝1256，即x 3＝18，解得x ＝1

2.故选A ．

2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：

x 0.50 0.99 2.01 3.98 y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x

答案 D

解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D ．

3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，

税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝ ⎛

⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税

不少于128万元，则R 的取值范围是( )

A ．[4,8]

B ．[6,10]

C ．[4%,8%]

D ．[6%,10%]

答案 A

解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．

4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0

A ．100台

B ．120台

C ．150台

D ．180台 答案 C

解析 设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3000＋20x －0.1x 2) ＝0.1x 2＋5x －3000(0

所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C ．

5．(2019·湖北黄冈模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x (x ∈R ，x ≥0)年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )

答案 D

解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .故选D ．

6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示)．

答案 14a 2

解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2

＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫t －12a 2＋14a 2

.

∴当t ＝12a ，即A ＝1

4a 2时，D 取得最大值．

核心考向突破

考向一 利用函数图象刻画实际问题

例1 (2019·广西钦州第三次质量检测)图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是( )

A ．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期

B ．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少

C ．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述

D ．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少 答案 C

解析 由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第