北师大中考数学复习专题_数学思想方法复习专题

数学思想方法复习专题

一、考点，热点分析：

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。

分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。

常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。 二、知识点归纳：

常用的数学思想（数学中的四大思想）

1.函数与方程的思想

用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

2．数形结合思想

在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3．分类讨论思想

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

4.等价转化思想

等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。 常用的数学方法

主要有换元法、配方法和待定系数法三种。 三、例题解析

【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -3

x+1=2．

解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-3

y

=2

去分母，得y 2

-2y-3=0．

解这个方程，得y 1=-1,y 2=3．

当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2； 当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．

经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．

〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。 【例2】已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则 该抛物线的解析式为 。

)

〖解析〗∵函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax 2+bx+c 得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故抛物线的解析式为y=-12x 2+2x+52

.

〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、

代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。 【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系． ⑴求y 关于x 的函数关系式； ⑵

试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4)

∴⎩⎨⎧5=60k+b 4=80k+b

解得⎩⎪⎨⎪⎧k=-1

20b=8

∴y=-120x+8,

⑵z=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x 2

＋10x-440;

∴当x=100元时，最大年获得为60万元． ⑶令z=40，得40=-120

x 2

＋10x-440，整理得：

x 2

-200x ＋9600=0 解得：x 1=80,x 2=120， 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元

到120元之间．…(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80

元．

〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）

【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD ，AB=3，BC=3，在BC 上取两点E 、F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE 、PF 分别交AC 于点G 、H ． （1）求△PEF 的边长；

（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由； （3）若△PEF 的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论． [解] （1）过P 作PQ ⊥BC 于Q

)

B

矩形ABCD

∴∠B=90°，即AB ⊥BC ，又AD ∥BC ∴PQ=AB=3 ∵△PEF 是等边三角形 ∴∠PFQ=60° 在Rt △PQF 中 Sin60°=3

PF

,∴PF=2

∴△PEF 的边长为2． （2）正确找出一对相似三角形 正确说明理由 △ABC ∽△CDA

理由：∵矩形ABCD,∴AB ∥BC,∴∠1=∠2 ∴∠B=∠D ∴△ABC ∽△CDA

（3）猜想：PH 与BE 的数量关系是：PH-BE=1 证：在Rt △ABC 中，AB=3,BC=3

∴tan ∠1=AB BC =3

3

,∴∠1=30°∴△PEF 是等边三角形

∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°

∴∠1=∠3 ∴FC=FH ∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3 ∴PH-BE=1

〖点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。

四、【能力测试】 (一)、选择题

1．若a 的值使得x 2+4x+a=（x+2）2

-1成立，则a 的值为……………………………………（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 2．（2005.杭州市）在右图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图中和下底面平行的直线有: ………………（ ） (A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条

3．方程2x-x 2=2

x

的正根的个数为……………………………（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．以下四个图案中,既是轴对称又是中心对称图形的有……………………………………（ ）

B

B