新教材人教A版高中数学必修第二册学案设计-直线与平面垂直

8.6.2 直线与平面垂直

学习目标

1.理解直线与平面垂直的定义。

2.理解直线与平面垂直的判定定理。

3.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。

4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。

5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。

基础梳理

1.一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂

直，记作l⊥。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点

与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。

3.一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理：定理如果一条直线与一个平面内的

两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

4.如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直

线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上

斜足以外的一点P向平面引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO

叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成

的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

5.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，

我们说它们所成的角是0。直线与平面所成的角的取值范围是。

6.我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行。

7.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到

这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

随堂训练

1、已知m ,n 表示两条不同直线, α表示平面,下列说法正确的是( )

A.若//m α,//n α,则//m n

B. 若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥

C.若m α⊥,m n ⊥,则//n α

D.若//m α,m n ⊥,则n α⊥

2、如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是( )

A.//BD 平面11CB D

B.1AC BD ⊥

C.1AC ⊥平面11CB D

D.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 3、如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则( )

A ．BM EN =，且直线BM EN 、是相交直线

B ．BM EN ≠，且直线BM EN 、是相交直线

C ．BM EN =，且直线BM EN 、是异面直线

D ．BM EN ≠，且直线BM EN 、是异面直线

4、如图,在正四棱锥S ABCD -中, E 是BC 的中点,点P 在SCD ∆内及其边界上运动,并且总有PE AC ⊥,则动点P 的轨迹与SCD ∆组成的图形是( )

A. B. C. D.

5、如图,在正方形123SG G G 中, ,E F 分别是12G G 和23G G 的中点, D 是EF 的中点.分别沿,SE SF 及EF 将132,,AG E SG F G EF ∆∆∆折起,使点123,,G G G 重合,重合后的点记为G ,则下列结论成立的是( )

A. SD ⊥平面EFG

B. SG ⊥平面EFG

C. GF ⊥平面SEF

D. GD ⊥平面SEF

6、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,动点E 在线段11A C 上,F 、M 分别是AD 、CD 的中点,则下列结论中错误的是（ ）

A ．11//FM AC

B ．BM ⊥平面1C

C F

C ．存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC

D D

D ．三棱锥B CEF -的体积为定值

7、如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )

A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

8、在长方体1111ABCD A B C D -中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点1A 到截面11AB D 的距离是( )

A. 83

B. 38

C. 43

D. 34

9、如图,PA O ⊥所在的平面,AB 是O 的直径,C 是O 上的一点,AE PB ⊥于E ,AF PC ⊥于F ,

下列四个命题中：

①BC ⊥面PAC ； ②AF ⊥面PBC ；

③EF PB ⊥； ④AE ⊥面PBC ．

其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号

10、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，111,AA C D 的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．

① 过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②11B D ∥平面EFG ；

③1BD ⊥平面1ACB ；

④ 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2； ⑤ 四面体11ACB D 的体积等于312

a 11、已知90ACB ∠=︒，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．

12、如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面

ABC ,90,1,ACB BE EF FC ∠====2,3BC AC ==.

(1)求证:BF ⊥平面ACFD ;

(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.

13、如图,在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面

PDC ,//AD BC ,PD PB ⊥,1AD =,3BC =,4CD =,2PD =.

(1).求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值;