新教材人教A版高中数学必修第二册学案设计-直线与平面垂直
高中数学教案新人教A版必修2.2.3.4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2
课题:2.2.3.4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课 型:新授课一、教学目标1、知识与技能(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;(2)能运用性质定理解决一些简单问题;(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;(2)性质定理的推理论证。
3、情态与价值通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点两个性质定理的证明。
三、学法与用具(1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。
(2)用具:长方体模型。
四、教学设计(一)、复习准备:1.直线、平面垂直的判定,二面角的定义、大小及求法.2.练习:对于直线,m n 和平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是( )①,//m n m α⊥,//n β②,,m n m n αβα⊥⋂=⊂③//,,m n n m βα⊥⊂④//,,m n m n αβ⊥⊥.3.引入:星级酒店门口立着三根旗杆,这三根旗杆均与地面垂直,这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系?(二)、讲授新课:1. 教学直线与平面垂直的性质定理:①定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直→线线平行)②练习:,,a b c 表示直线,M 表示平面,则//a b 的充分条件是( )A 、a c b c ⊥⊥且B 、////a M b M 且C 、a M b M ⊥⊥且D 、,a b c 与所在的角相等例1:设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内,欲使//a b ,,a b 应满足什么条件?(分组讨论→师生共析→总结归纳)(判定两条直线平行的方法有很多:平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中位线定理、平行四边形等等)2.教学平面与平面垂直的性质定理:①定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(面面垂直→线面垂直)探究:两个平面垂直,过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条. ②练习:两个平面互相垂直,下列命题正确的是( )A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.例2、如图,已知平面,,αβαβ⊥,直线a 满足,a a βα⊥⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系.④练习:如图,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,a αβ⋂=,求证:.a γ⊥(三)、巩固练习:1、下列命题中,正确的是( )A 、过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直B 、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C 、若,a b 异面,过a 一定可作一个平面与b 垂直D 、,a b 异面,过不在,a b 上的点M ,一定可以作一个平面和,a b 都垂直.2、如图,P 是ABC ∆所在平面外一点,,,PA PB CB PAB M PC =⊥平面是的中点,N 是AB 上的点,3.AN NB =求证:.MN AB ⊥3、教材P71、72页(四)巩固深化、发展思维思考1、设平面α⊥平面β,点P 在平面α内,过点P 作平面β的垂线a ,直线a 与平面α具有什么位置关系?(答:直线a 必在平面α内)思考2、已知平面α、β和直线a ,若α⊥β,a ⊥β,a α,则直线a 与平面α具有什么位置关系?五、归纳小结,课后巩固小结:(1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么?(2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系?六、作业:(1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;(2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
高中数学 必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质导学案 新人教A版必修2
2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质【知识链接】当两条直线的夹角为090,这两条直线互相垂直;它们的位置关系是相交或异面.【基础知识】1.如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直,记做l α⊥.l 叫做垂线,α叫垂面,它们的交点P 叫垂足.如图所示.2.直线与平面垂直的判定定理 一条线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简记:线线垂直,线面垂直).判定方法还有:(1)定义法(2)两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么这条直线也垂直于另一个平面.3.直线与平面垂直的性质定理(1)一条直线垂直一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(简记:线面垂直,线线垂直)(2)垂直于同一个平面的两条直线平行.(3)过一点仅有一条直线垂直于已知平面(4)过一点仅有一个平面垂直于已知直线【例题讲解】例1 判断下列命题是否正确,并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线;(√)⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面;(√)⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面;(√)⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行;(√)⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(√)⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. (×)例2 已知a ∥b ,a α⊥,求证:α⊥b .例3 已知直线a ⊥平面α,直线b ⊥平面α,求证:a ∥b .变式训练1:在三棱锥V-ABC 中,,VA VC AB BC ==,求证:VB AC ⊥.【达标检测】1. 直线l 和平面α内两条直线都垂直,则l 与平面α的位置关系是( D ).A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2. 下列四个命题中错误的是( D ).A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 已知直线,a b 和平面α,下列错误的是( D ).A.a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ B.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C.a b b α⊥⎫⇒⎬⊥⎭a ∥α或a α⊂ D.//a b αα⎫⇒⎬⊂⎭a ∥b4. ,a b 是异面直线,那么经过b 的所有平面( A ).A.只有一个平面与a 平行B.有无数个平面与a 平行C.只有一个平面与a 垂直D.有无数个平面与a 垂直5. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是( D ).A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内6. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线,则有( B ).A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线7. 若平面α∥平面β,直线a ⊥α,则a 与β_垂直_.8. 直线a α⊥,直线b β⊥,且α∥β,则a _//_b .9. 如图,在正方体中,O 是底面的中心,B H D O ''⊥,H 为垂足,求证:B H '⊥面AD C '.10求证:三棱锥有两组对棱垂直,第三组对棱一定垂直,顶点在底面的摄影是底面三角形的垂心.【问题与收获】。
人教A版新教材高中数学第二册学案1:8.6.2直线与平面垂直
8.6.2 直线与平面垂直学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义.(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(难点)3.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.(易错点)4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明.(重点) 1.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角,提升直观想象、数学运算的数学素养.『自主预习』1.直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的,平面α叫做直线l的.它们唯一的公共点P叫做图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线 一条直线l 与一个平面α,但不与这个平面α,图中斜足 斜线和平面的,图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P 向平面α引PO ,过O 和A 的直线AO 叫做斜线在这个平面内的射影直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是;一条直线和平面平行或在平面内,它们所成的角是取值范围『0°,90°』思考1:直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?4.直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考2:过一点有几条直线与已知平面垂直?『基础自测』1.若三条直线OA ,OB ,OC 两两垂直,则直线OA 垂直于( ) A .平面OAB B .平面OAC C .平面OBCD .平面ABC2.已知直线a ,b ,平面α,且a ⊥α,下列条件中,能推出a ∥b 的是( ) A .b ∥α B .b ⊂αC.b⊥α D.b与α相交3.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A.平行B.垂直C. 相交不垂直D. 不确定4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于.『合作探究』类型一直线与平面垂直的判定『例1』如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.『规律方法』证线面垂直的方法:(1)线线垂直证明线面垂直:①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直);②判定定理最常用:要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论):①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.『跟踪训练』1.如图,AB是圆O的直径,P A垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求证:AN⊥平面PBM.类型二直线与平面所成的角『探究问题』1.若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角,则需具备哪些条件?2.空间几何体中,确定线面角的关键是什么?『例2』在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.『母题探究』在本例正方体中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.『规律方法』求斜线与平面所成角的步骤:(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.类型三线面垂直性质定理的应用『例3』如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1.『规律方法』证明线线平行常用如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.『跟踪训练』2.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.『课堂小结』1.线线垂直和线面垂直的相互转化:2.证明线面垂直的方法:(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.3.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.『当堂达标』1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直2.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A.垂直 B.相交但不垂直C.平行 D.不确定3.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.——★参*考*答*案★——『自主预习』1.任意一条垂线垂面垂足2.两条相交直线a∩b=P3. 相交垂直直线P A 交点垂线垂足斜足直角0°的角思考1:『提示』定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.4.平行a∥b思考2:『提示』有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.『基础自测』1.C『由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.』2.C『由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α,a⊥α时,a∥b.』3.B『一条直线和三角形的两边同时垂直,则其垂直于三角形所在平面,从而垂直第三边.』4.45°『如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.』『合作探究』类型一直线与平面垂直的判定『例1』『证明』(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中,AD =BD ,由已知SA =SB ,所以△ADS ≌△BDS ,所以SD ⊥BD . 又AC ∩BD =D ,AC ,BD ⊂平面ABC ,所以SD ⊥平面ABC . (2)因为AB =BC ,D 为AC 的中点, 所以BD ⊥AC .由(1)知SD ⊥BD .又因为SD ∩AC =D ,SD ,AC ⊂平面SAC ,所以BD ⊥平面SAC . 『跟踪训练』1.『证明』 设圆O 所在的平面为α, ∵P A ⊥α,且BM ⊂α,∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径,点M 为圆周上一点, ∴AM ⊥BM . 由于直线P A ∩AM =A ,∴BM ⊥平面P AM ,而AN ⊂平面P AM ,∴BM ⊥AN .∴AN 与PM 、BM 两条相交直线互相垂直,故AN ⊥平面PBM .『探究问题』1.『提示』 需要P A ⊥α,A 为垂足,OA 为斜线PO 的射影,这样∠POA 就是斜线PO 与平面α所成的角.2.『提示』 在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确定,则射影确定,线面角确定. 『例2』『证明』 (1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD , ∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角, 设A 1A =1,则AC =2,∴tan ∠A 1CA =22. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于O (见题图), 在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,∴BB 1⊥A 1C 1, 又BB 1∩B 1D 1=B 1,∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1,垂足为O . ∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角, 在Rt △A 1BO 中,A 1O =12A 1C 1=12A 1B ,∴∠A 1BO =30°,即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.『母题探究』『解』 连接AC 交BD 于点O ,过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1,易证AC ⊥平面BB 1D 1D ,∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ,∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影,∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角.设正方体的棱长为a ,∵E 是AB 的中点,EO 1∥AC ,∴O 1是BO 的中点,∴EO 1=12AO =12×2a 2=2a 4, B 1O 1=BO 21+BB 21=⎝⎛⎭⎫2a 42+a 2=32a 4, ∴tan ∠EB 1O 1=EO 1B 1O 1=2a 432a 4=13. 类型三线面垂直性质定理的应用『例3』『证明』 因为四边形ADD 1A 1为正方形,所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD =D ,所以AD 1⊥平面A 1DC .又因为MN ⊥平面A 1DC ,所以MN ∥AD 1.『跟踪训练』2.『证明』 因为EA ⊥α,α∩β=l ,即l ⊂α,所以l ⊥EA .同理l ⊥EB .又EA ∩EB =E ,所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β,a ⊂β,所以EB ⊥a ,又a ⊥AB ,EB ∩AB =B ,所以a ⊥平面EAB .由线面垂直的性质定理,得a ∥l .『当堂达标』1.A 『若l ∥m ,l ⊄α,m ⊂α,则l ∥α,这与已知l ⊥α矛盾.所以直线l 与m 不可能平行.』2.A 『因为梯形两腰所在直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.选A.』3.A 『∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角,在Rt △AOB 中,AB =2BO ,所以cos ∠ABO =12,即∠ABO =60°. 故选A.』 4.『证明』 如图,连接AC ,∴AC ⊥BD ,又∵BD ⊥A 1A ,AC ∩AA 1=A ,AC ,A 1A ⊂平面A 1AC ,∴BD ⊥平面A 1AC ,∵A 1C ⊂平面A 1AC ,∴BD ⊥A 1C ,同理可证BC 1⊥A 1C .又∵BD ∩BC 1=B ,BD ,BC 1⊂平面BC 1D ,∴A 1C ⊥平面BC 1D .。
高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2
∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO,∴ PB⊥AC.
点评: 欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直,欲证线线垂直往往转化为线面垂直
.用
符号语言证明问题显得清晰、简洁 .
例 2 如图 9, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD所成的角 .
3
图9 活动: 先让学生思考或讨论后再回答, 经教师提示、 点拨, 对回答正确的学生及时表扬, 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 . 解: 连接 BC1 交 B1C 于 点 O,连接 A1O. 设正方体的棱长为 a, 因为 A1B1⊥B1C1,A 1B1⊥B1B, 所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C,所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O为斜线 A1B在平面 A1B1CD内的射影, ∠BA1O为直线 A1B 与平面 A1B1CD所成的角 .
面内任意一条不过点 B 的直线 B′C′也是垂直的 .
思路 2. ( 事例导入 )
如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线, 那么这条直线是否与这个平面垂直?举例
说明 .
如图 1,直线 AC1 与直线 BD、EF、GH等无数条直线垂直, 但直线 AC1 与平面 ABCD不垂直 .
图1
(二)推进新课、新知探究、提出问题
0°. 如图 6,l 是平面 α 的
一条斜线, 点 O是斜足, A 是 l 上任意一点, AB 是 α 的垂线, 点 B 是垂足, 所以直线 OB(记
作 l ′)是 l 在 α 内的射影,∠ AOB(记作 θ )是 l 与 α 所成的角 .
直线和平面所成的角是一个非常重要的概念, 在实际中有着广泛的应用, 如发射炮弹时,
人教A版高中数学必修2教学案2.3.3直线与平面垂直的性质
2. 3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】(1)培养学生的几何直观能力和知识的应用能力,使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. (2)掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
(3)掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 【教学重难点】重点:直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点:直线和平面垂直的性质定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。
【教学过程】 (一) 复习引入师:判断直线和平面垂直的方法有几种?师:各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用?师:在空间,过一点,有几条直线与已知平面垂直?过一点,有几个平面与已知直线垂直? 判断下列命题是否正确:1、在平面中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、 在空间中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
3、 垂直于同一平面的两直线互相平行。
4、 垂直于同一直线的两平面互相平行。
师:直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过,这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直,则其应具备的性质是什么?(二) 创设情景如图,长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ,它们之间具有什么位置关系?(三)讲解新课例1 已知:a α⊥,b α⊥。
求证:b ∥a师:此问题是在a α⊥,b α⊥的条件下,研究a 和b 是否平行,若从正面去证明b ∥a ,则较困难。
而利用反证法来完成此题,相对较为容易,但难在辅助线b ’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a. 有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A l BA a bB l B cl l a l c l a l c a c a c a b a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知,,求证证明:设,在内过点取两条直线和且与相交,设,同理在平面中:,又,,同理又下列命题中错误的是(C ) A 、 若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容,红色是回答内容,蓝色是课件内容,紫色是动作内容上课,同学们好!请坐!三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容,红色是回答内容,蓝色是课件内容,紫色是动作内容上课,同学们好!请坐!【提问】有同学认识它吗?(手指着日晷)(学生:认识)(学生:不认识)可能有同学不认识,它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器,日晷通常由晷针指到和晷盘组成(手指着部位)。
如果我们把晷针看成一条直线,晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?(学生:垂直)对,直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个)如:①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面;②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观,桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔,如果把塔身看成一条直线,海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?(学生:不能)对,不能,塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
人教A版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计
课题:2.3.1 《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学目标教学目标知识目标借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义.能力目标 通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生的空间观念.情感目标 让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 重难点重点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.难点 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理及初步应用.法制渗透 无 教学方法 启发式 教学工具 三角形纸片二、教学设计活动名称 师生互动活动意图活动1[复习旧知引入课题]1.空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?答案:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.2. 直线和平面相交时,有一种特殊的位置关系是什么?(垂直) 是否也可以像直线与平面平行那样,也有一个判定定理呢? →引入课题:直线与平面垂直的判定(板书课题)1、答案让学生回答,教师引导和纠正.2、教师引导学生回忆,并对学生活动进行评价;学生回顾知识点时,可互相交流.结合学生已有知识,启发学生思考,激发学生学习兴趣.活动2[探究和证明判定定理]1.知识探究(一):直线与平面垂直的概念 (1)创设情境请同学们找出下图中线与面垂直的地方?(2)思考:如何定义一条直线与一个平面垂直?→通过动画的展示,让学生明白到底什么叫做直线与平面垂直.直线与平面垂直的定义:如果一条直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.记作 α⊥l .l a若a l a l ⊥⇒⊂⊥αα,(线面垂直⇒线线垂直). (3)深入理解“线面垂直定义”教师引导学生去探索和发现直线与平面垂直的判定的证明方法。
让学生知道数学问题源于实际生活,培养学生证明直线与平面垂直的判定的方法,证明思路。
Pα①.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直( )②.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么它与平面垂直( ) 答案:①√,②×2、知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理 (1)思考:是否把平面中的直线一一找出,才能证明直线与平面垂直,该怎样判定直线与平面垂直呢? (2)探究活动:请同学们拿出一块三角形的纸片,做以下试验:过△ABC 的顶点A 翻折纸片,得到折痕AD ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD 、DC 与桌面接触). ①折痕AD 与桌面垂直吗? ②如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直 答案:当BC AD ⊥时AD 作为BC 边上的高时,AD ⊥α,这时AD ⊥ BC ,即AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,BD ∩CD=D.结论:AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,BD ∩CD=D ,有AD ⊥α. (3) 直线与平面垂直的判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面.n m m n P l l m l n ααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭线线垂直⇒线面垂直活动名称师生互动 活动意图αPnml活动3[学以致用]例1.如图,已知a ∥b 、a ⊥α.求证:b ⊥α.分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式 → 得出结论 证明:在平面α内作两条相交直线n m ,. 因为直线α⊥a ,根据直线与平面垂直的定义知n a m a ⊥⊥,.又因为b ∥a 所以.,n b m b ⊥⊥又因为n m ,是平面α内的两条相交直线, 所以α⊥b .结论:若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.例2.如图,已知OA 、OB 、OC 两两垂直.(1)求证:OA ⊥平面OBC (2)求证:OA ⊥BC.B分析已知条件 → 讨论如何利用直线与平面垂直的判定定理 → 示范格式答案:(1)OC OB OA ,, 两两垂直 OC OA OB OA ⊥⊥∴, 又O OC OB =⋂ ⊥∴OA 平面OBCBCOA OBCBC OBC OA ⊥∴⊂⊥ , )2(平面平面教师引导学生由已知条件,并结合判定定理去解决问题;并让抽学生解答, 教师应该关注并发现学生的做题步骤,对做得好的学生应该给予表扬.同时强调,立体几何是一门数与形结合的学科.教师引导学生发现答案,并让学生上黑板来板书解答过程。
新人教A版必修2高中数学学案教案: 2.3.1直线与平面垂直的判定与性质
数学 2.3.1直线与平面垂直的判定与性质教案新人教A版必修2一、教学目标1、知识与技能(1)掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理;(2)掌握判定直线和平面垂直的方法;掌握直线和平面垂直的性质。
(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法(1)感受直线和平面垂直的定义的形成过程;(2)探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观:培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计(一)创设情景,揭示课题举例:旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示:直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
(二)研探新知1、直线与平面垂直的定义:直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。
记作:l ⊥α。
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,垂线与平面的交点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定:(1)探究:准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)。
①折痕AD与桌面所在平面α垂直吗?②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直?(AD是BC边上的高)(2)思考:①有人说,折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗?②如图,由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什么结论?(3)归纳结论:(直线与平面垂直的判定定理)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
符号语言:ααα⊥⇒⊥⊥=⊂⊂l b l a l A b a b a ,,,,I 。
作用:由线线垂直得到线面垂直。
(线不在多,相交就行。
)强调:① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
高中数学必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定教案 新人教A版必修2
2.3.1 直线与平面垂直的判定一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带,可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.二、教学目标1.知识与技能(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;(2)使学生掌握直线和平面所成的角求法;(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2.过程与方法(1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程;(2)探究判定直线与平面垂直的方法.3.情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.三、教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.(情境导入)日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化,尽管影子BC的位置在移动,但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.如图1,直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直,但直线AC1与平面ABCD不垂直.图1(二)推进新课、新知探究、提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.④探究斜线在平面内的射影,讨论直线与平面所成的角.⑤探究点到平面的距离.活动:问题①引导学生结合事例观察探究.问题②引导学生结合事例实验探究.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生思考其合理性.问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.讨论结果:①直线与平面垂直的定义和画法:教师演示实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线,由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直,得出书脊和桌面上所有直线都垂直,书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交,交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下:如图2,表示方法为:a⊥α.图2 图3②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个实验:过△ABC的顶点A 翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直?容易发现,当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.如图4.(1) (2)图4所以,当折痕AD垂直平面内的一条直线时,折痕AD与平面α不垂直,当折痕AD垂直平面内的两条直线时,折痕AD与平面α垂直.③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为:l⊥α.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为:如图5,图5 图6④斜线在平面内的射影.斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直时,这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足:斜线和平面的交点. 斜线在平面内的射影:从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交,直线与平面的相互位置类同于两条相交直线,也需要用角来表示,但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l 与平面内的线a 、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性,我们必须找到一些角中有确定值的,又能准确描述其位置的一个角,这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角为0°.如图6,l 是平面α的一条斜线,点O 是斜足,A 是l 上任意一点,AB 是α的垂线,点B 是垂足,所以直线OB (记作l′)是l 在α内的射影,∠AOB(记作θ)是l 与α所成的角. 直线和平面所成的角是一个非常重要的概念,在实际中有着广泛的应用,如发射炮弹时,当炮筒和地面所成的角为多少度时,才能准确地命中目标,也即射程为多远?又如铅球运动员在投掷时,以多大的角度投掷,投出的距离最远?⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面内的射影,点在平面内的射影还是一个点.垂线段:上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 点到平面的距离:垂线段的长叫做点到平面的距离.(三)应用示例思路1例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.解:已知a∥b,a⊥α.求证:b⊥α.⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a αα图7证明:如图7,在平面α内作两条相交直线m 、n ,设m∩n=A . ************ 变式训练如图8,已知点P 为平面ABC 外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.图8证明:过P 作PO⊥平面ABC 于O ,连接OA 、OB 、OC. ∵PO⊥平面ABC ,BC 平面ABC , ∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC,∴BC⊥平面PAO. 又∵OA 平面PAO ,∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O 是△ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证PO⊥AC. ∴AC⊥平面PBO.又PB 平面PBO ,∴PB⊥AC.点评:欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直,欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图9,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.图9活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解:连接BC 1交B 1C 于点O ,连接A 1O. 设正方体的棱长为a ,因为A 1B 1⊥B 1C 1,A 1B 1⊥B 1B,所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影,∠BA 1O 为直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.⊂⊂⊂在Rt△A 1BO 中,A 1B=,BO=,所以BO=,∠BA 1O=30°. 因此,直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.变式训练如图10,四面体A —BCD 的棱长都相等,Q 是AD 的中点,求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.图10解:过A 作AO⊥面BCD ,连接OD 、OB 、OC ,则可证O 是△BCD 的中心, 作QP⊥OD,∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.连接CP ,则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为a ,∵在正△ACD 中,Q 是AD 的中点,∴CQ=. ∵QP∥AO,Q 是AD 的中点, ∴QP=,得 sin∠QCP=. 点评:求直线与平面所成的角,是本节的又一重点,作线面角的关键是找出平面的垂线.思路2例1 (2007山东高考,文20)如图11(1),在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知DC=DD 1=2AD=2AB ,AD⊥DC,AB∥DC.(1)(1)求证:D 1C⊥AC 1;(2)设E 是D C 上一点,试确定E 的位置,使D 1E∥平面A 1BD ,并说明理由.a 2a 22B A 121a 23a a a a AO 663621)33(212122=⨯=-=32=CQ QP(1)证明:在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 连接C 1D ,如图11(2).(2)∵DC=DD 1,∴四边形DCC 1D 1是正方形. ∴DC 1⊥D 1C.又AD⊥DC,AD⊥DD 1,DC∩DD 1=D,∴AD⊥平面DCC 1D 1,D 1C 平面DCC 1D 1. ∴AD⊥D 1C.∵AD、DC 1平面ADC 1,且AD∩DC 1=D, ∴D 1C⊥平面ADC 1.又AC 1平面ADC 1,∴D 1C⊥AC 1. (2)解:连接AD 1、AE ,如图11(3).(3) 图11设AD 1∩A 1D=M,BD∩AE=N,连接MN ,∵平面AD 1E∩平面A 1BD=MN , 要使D 1E∥平面A 1BD , 需使MN∥D 1E ,又M 是AD 1的中点, ∴N 是AE 的中点.又易知△ABN≌△EDN, ∴AB=DE,即E 是DC 的中点.综上所述,当E 是DC 的中点时,可使D 1E∥平面A 1BD. 变式训练如图12,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,G 为CC 1的中点,O 为底面ABCD 的中心.求证:A 1O⊥平面GBD.⊂⊂⊂图12证明:BD⊥A 1O.又∵A 1O 2=A 1A 2+AO 2=a 2+()2=,OG 2=OC 2+CG 2=()2+()2=, A 1G 2=A 1C 12+C 1G 2=(a)2+()2=, ∴A 1O2+OG 2=A 1G 2.∴A 1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A 1O⊥平面GBD.点评:判断线面垂直往往转化为线线垂直,勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例2 如图13,ABCD 为正方形,过A 作线段SA⊥面ABCD ,又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ,求证:E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.图13证明:∵SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE. 又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影. 变式训练已知Rt△ABC 的斜边BC 在平面α内,两直角边AB 、AC 与α都斜交,点A 在平面α内的射影是点A′,求证:∠BA′C 是钝角.证明:如图14,过A 作AD⊥BC 于D ,连接A′D,⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AO A O A AO A BD BD AC BD A A 1111面平面 a 22223a a 222a 243a 22a 249a ⎭⎬⎫⊂⊥ABCD BC ABCD SA 平面平面 ⇒图14∵AA′⊥α,BC α,∴AA′⊥BC. ∴BC⊥A′D.∵tan∠BAD=<tan∠BA′D=,tan∠CAD=<tan∠CA′D=,∴∠BAD<∠BA′D,∠CAD<∠CA′D.∴∠BAC<∠BA′C,即∠BA′C 是钝角.(四)知能训练如图15,已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线,线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交,线段AB 的长为定值m ,定长为n (n >m )的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动,M 、N 分别是AB 、PQ 的中点.图15求证:(1)AB⊥MN; (2)MN 的长是定值.证明:(1)取PB 中点H,连接HN,则HN∥b. 又∵AB⊥b,∴AB⊥HN. 同理,AB⊥MH.∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN. (2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.在Rt△PBQ 中,BQ 2=PQ 2-PB 2=n 2-PB 2, ①在Rt△PBA 中,PA 2=PB 2-AB 2=PB 2-m 2, ②①②两式相加PA 2+BQ 2=n 2-m 2,∵a⊥b,∴∠MH N=90°.∴MN=(定值).(五)拓展提升1.如图16,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA 1=4,点D 是AB 的中点.⊂AD BD D A BD 'AD CD DA CD'⎭⎬⎫⊥⊥a b AB b ⇒22222221)2()2(m n BQ PA NHMH -=+=+图16(1)求证:AC⊥BC 1;(2)求证:AC 1∥平面CDB 1;(1)证明:∵在△ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形.∴AC⊥CB.又∵CC 1⊥面ABC,AC 面ABC,∴AC⊥CC 1.∴AC⊥面BCC 1B 1.又BC 1面BCC 1B 1,∴AC⊥BC 1.(2)证明:连接B 1C 交BC 1于E ,则E 为BC 1的中点,连接DE,则在△ABC 1中,DE∥AC 1. 又DE 面CDB 1,则AC 1∥面B 1CD.(六)课堂小结知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. (七)作业课本习题2.2 B 组3、4.⊂⊂⊂。
人教新课标版数学高一人教A版必修二直线与平面垂直的性质导学案
2.3.3直线与平面垂直的性质学习目标:(1)明确直线与平面垂直的性质定理。
(2)利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点:直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
学习难点:直线和平面垂直的性质定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。
学习过程:一、课前检测1:①什么是二面角?什么是二面角的平面角?②当两个平面所成的二面角____________时,这两个平面互相垂直.2:两个平面垂直的判定定理是_______________________________________________________.3:①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________;②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、课堂问题问题1:直线与平面垂直的性质定理小问题1:东升汇景酒店门口竖着三根旗杆,它们与地面的位置关系如何?你感觉它们之间的位置关系又是什么样的?小问题2:如图12-1,长方体的四条棱AA'、BB'、CC'和DD'与底面ABCD是什么关系?它们之间又是什么关系?.图12-1小问题3:反思:由以上两个问题,你得出了什么结论?自己能试着证明吗?和其它同学讨论讨论,看看难在哪里?三、例题与变式例1 如图12-2,已知直线a⊥平面α,直线b⊥平面α,求证:a∥b.图12-2小结:由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明a∥b,我们假设,a b不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论,说明假设不正确,即原命题正确:a∥b.这种证明命题的方法叫做“反证法”.新知:直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.反思:这个定理揭示了什么?变式1. 如图12-3,CA α⊥于点A ,CB β⊥于点B ,l αβ=,a α⊂,且a AB ⊥,求证:a ∥.例2 判断下列命题是否正确,并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线;⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面;⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面;⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行;⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行;⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.变式2. 如图12-4,AB 是异面直线,a b 的公垂线(与,a b 都垂直相交的直线),a α⊥,b β⊥,c αβ=,求证:AB ∥c .六、目标检测1.若,,a b c 表示直线,α表示平面,下列条件中,能使a α⊥的是 ( )()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2.已知与m 是两条不同的直线,若直线l ⊥平面α,①若直线m l ⊥,则//m α;②若m α⊥,则//m l ;③若m α⊂,则m l ⊥;④//m l ,则m α⊥。
人教版数学高一-2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》学案(新人教A版必修2)
学习目标:
1、线面垂直的判定定理;
2、线面平行的性质定理;
3、定理的应用。
学习的重点与关键:
1、定理应用。
课前预习要求及内容:
1、命题:“如果两条直线垂直,那么两条直线一定相交”是否正确?
线线垂直分垂直和垂直。
2、线面垂直的定义:
这条直线叫做,这个平面叫做,交点叫做。垂线上任意一点到垂足间的线段叫做,它的长度叫做。
3、如果一条直线垂直于一个平面,那么
。
画直线和平面垂直时应。
4、线面垂直判定定理:
思考:若将判定定理中的条件“两条相交直线”改为“两条平行直线”,定理是Fra bibliotek成立?画图验证。
推论1:
5、线面垂直的性质定理:
思考:垂直于同一直线的两个平面是否垂直?如何定义两个平行平面的距离?
例一:教材例二,用符号语言写出证明过程。
例二:直线 平面 ,垂足为A,直线AP 。求证:AP在 内。
例三:空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC。求证:BC⊥AD。
学习方法指导:
课后作业:
学生作业后的反思与体会:
《直线与平面垂直的性质》教学设计、导学案、同步练习
《8.6.2 直线与平面垂直》教学设计第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》(人教A版)第八章《立体几何初步》,本节课主要直线与平面垂直的性质及其应用,直线到平面的距离、两平行平面间的距离。
课本从长方体的侧棱垂直与底面,考虑侧棱之间的关系入手,通过用反证法证明垂直与一个平面的两直线平行,引入直线与平面垂直的性质定理,通过例题引入直线到平面的距离的定义以及两平行平面之间的距离定义。
直线与平面垂直的性质定理是判断两直线平行的一种方法。
【教学目标与核心素养】【教学重点】:直线与平面平行的性质定理,直线到平面的距离,两平行平面的距离;【教学难点】:用直线与平面平行的性质定理解决相关问题。
【教学过程】2.直线与平面垂直的判定定理【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
二、探索新知观察:如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱AA 1,BB 1,CC 1,DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?【答案】平行思考:如图,已知直线a ,b 和平面α,如果a ⊥α,b ⊥α,则那么直线a ,b 一定平行吗?已知:a ⊥α, b ⊥α 求证:a ∥b . 证明:假设b 不平行于a,是经过点O 与直线a 平行的直线。
因为。
即经过同一个点O 的两条直线b,c 都垂直于平面,这是不可能的。
因此,a//b.1.直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言:图形语言:作用:证线线平行。
例1.如图,直线平行于平面,求证:直线上各点到平面的距通过观察与思考,得到直线与平面平行性质定理,的提高学生的解决问题、分析问题的能力。
通过符号语言与图形语言,让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理,提高学生的概括能力。
c O b ,=α αα⊥⊥c a c a 所以,,//αb a b a //,⇒⊥⊥ααl αl α离相等。
人教A版高中数学必修二第二章直线、平面垂直的判定及其性质导学案新
数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;(2)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论;(3)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念;(4)使学生掌握两个平面垂直的判定定理;(5)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点:直线与平面垂直的定义和判定定理的探究;平面与平面垂直的判定;难点:如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察,类比归纳,语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义:如果一条直线l和平面α内的,我们就说直线l和平面α互相垂直,记作,其中直线l叫做平面的垂线,平面α叫做直线l的 , 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理:3.平面的斜线:4.直线和平面所成的角:5.二面角:6.二面角的平面角:7.面面垂直两个平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理:8.直线和平面垂直的性质定理:9.两平面垂直的性质定理:二.典型例题例1. 已知PA ⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过A 点作AE ⊥PC 于点E ,求证:AE ⊥平面PBC点评:证明直线与平面垂直的常用方法有:利用线面垂直的定义;利用线面垂直的判定定理;利用“若直线a ∥直线b ,直线a ⊥平面α,则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,B 1C 1=A 1C 1,A 1B ⊥AC 1,求证:A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1,CD 的中点 (1)求证:AD ⊥D 1F ;(2)求AE 与D 1F 所成的角;(3)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P-ABCD 中,AB =4,高为2,求二面角P-BC -D 的大小.三.课堂检测1.若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线 ( ) A .只有一条 B .有无数条 C .所有直线 D .不存在12.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ( )A .0个B .1个C .无数个D .1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α,直线⊂n 平面β,下列说法正确的有 ( )①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥,则m //n ③若m //n ,则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A .1个B .2个C .3个D .4个4.下列命题,其中正确的命题有①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α,直线n ⊥m ,则n ∥α④a 、b 是异面直线,则存在唯一的平面α,使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中,E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G ,那么,在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,当底面四边形ABCD 满足条件_______时,有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中,N 是S 在底面ABC 上的射影,且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上,点M ∈SC ,截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ,求证:SC ⊥截面MAB 8.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,E PC 的中点.求证:平面PAC ⊥平面BDE .四.归纳小结 五.课外作业1.已知直线a 、b 和平面βα,,下列命题中错误的是( ) A .若αα⊥⊥b a b a 则,,//B .若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C .若b a b a //,//,//,//则βαβαD .若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点,P 是面β内一点,PB ⊥l 于点B ,PA 和l 所成的角为450,PA 和面α所成的角为300,则二面角α—l —β 的大小为( )A .45B .30C .600D .7503.若直线l 与平面所成角为3π,直线a 在平面内,且与直线l 异面,则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0,B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0,C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π,D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π,4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为CC 1的中点,AC 交BD 于点O ,求证:A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证:面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图,在正三棱锥S —ABC 中,E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点,且平面CEF ⊥平面SAB . (1)若G 为EF 的中点,求证:CG ⊥平面SAB ;(2)求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AB =2,BC =a ,又侧棱PA ⊥底面ABCD (1)当a 为何值时,BD ⊥平面PAC ?试证明你的结论;(2)当a =4时,求证:BC 边上存在一点M ,使得PM ⊥DM ;(3)若在BC 边上至少存在一点M ,使PM ⊥DM ,求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题 例3 例4.(2)900 例5. 450三.课堂检测⊥1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD五.课外作业a≥2a= (2)M为中点时(3)4。
高中数学教案新人教A版必修2.2.3.2直线和平面垂直(2)教案 新人教A版必修2
课题:2.2.3.2直线和平面垂直(2)一、教学目标:1.进一步掌握线面垂直的定义和判定定理;2.熟练应用定理解决有关问题.二、教学重、难点:定理应用.三、教学过程:(一)复习:1.直线与平面垂直的定义;2.直线与平面垂直的判定定理;3.练习:平行四边形ABCD 所在平面α外有一点P ,且PA PB PC PD ===,求证:点P 和平行四边形对角线交点O 的连线PO 垂直于BC 和AB .(二)新课讲解:例1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条.已知:平面α和一点P求证:过点P 与α垂直的直线只有一条.证明:不论P 在平面α内或外,设直线PA α⊥,垂足为A (或P )若另一直线PB α⊥,设,PA PB 确定的平面为β,且a αβ=∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内,与平面几何中的定理矛盾所以过点P 与α垂直的直线只有一条。
例2.定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.(线面垂直的性质定理)已知:如图,,a b αα⊥⊥ 求证://a b证明:(反证法)假定b 不平行于a ,则b 与a 相交或异面;(1)若a 与b 相交,设a b A =,∵,a b αα⊥⊥ ∴过点A 有两条直线与平面α垂直,此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾,∴a 与b 不相交;(2)若a 与b 异面,设b O α=,过O 作//b a ',∵a α⊥ ∴b α'⊥ 又∵b α⊥且b b O '=,∴过点O 有直线b '和b 垂直于α与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, ∴b 与a 不异面,综上假设不成立,∴//a b .βαa P B A βαa P A B αb'b a O说明:例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中.例3.已知直线l ⊥平面α,垂足为A ,直线AP l ⊥,求证:AP 在平面α内. 证明:设AP 与l 确定的平面为β,如果AP 不在α内,则可设AM αβ=, ∵l α⊥,∴l AM ⊥,又∵AP l ⊥,于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l , 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾,所以AP 一定在平面α内.点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足间线段的长,叫做点到平面的距离。
人教版高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)
高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修(二)》人教A版直线与平面垂直的判定姓名:单位:《直线与平面垂直的判定(第一课时)》教学设计一、内容和内容解析:本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修(二)》第二章第三节:2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时),属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续,也为平面与平面垂直的研究做了准备;判定定理的教学,尽管新课标在必修课程中不要求证明,但通过定理的探索过程,培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力,是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内,线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中,我们研究了定义、判定定理以及性质定理,为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展,又是面面垂直的基础,后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义,在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究,可进一步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力,体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析:《数学课程标准》中与本节课相关的要求是:① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面垂直位置关系的定义;② 通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面垂直的判定定理;③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下:(1)从认知角度进行分解:(2)从能力角度进行分解:根据《课程标准》,依据教材内容和学生情况,确定本课时的学习目标为:(1)在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出直线与平面垂直的定义;(2)通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理;(3)能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标,我设计了如下的评价任务:评价任务一:能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象,并将其抽象出直线与平面垂直的概念;评价任务二:学生积极参与,通过影子实验,在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三:能够从正反例中,通过对比归纳出直线与平面垂直的定义,并用自己的语言描述定义内容.评价任务四:能够根据定义得到直线与平面垂直时,直线与平面内任意一条直线垂直的结论,并写出符号语言,了解定义的双向叙述功能.评价任务五:能够利用将无限转化为有限的思想,寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六:能在实验操作中,确认直线与平面垂直的判定定理,能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七:能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析:1、学生已有基础:学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系,学习了直线、平面平行的判定及性质,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有了一定的几何直观能力、推理论证能力等,具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题:高一学生仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维.认识到这点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程.因此我确定本节课的难点为:直线与平面垂直的定义的生成,操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此,在教学过程中我抓住学生好奇心强,学习积极性较高的特点,我让学生以小组为单位进行合作,通过动手操作,观察、思考、归纳总结,发现直线与平面垂直时,直线与平面内的直线有怎样的位置关系;再通过操作,反向验证,当直线与平面内的直线具有上述位置关系时,能否得到直线与平面垂直,让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时,让学生从寻找合理假设出发,通过操作验证假设的正确性,从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程,在形成理解上的可能会有思维障碍,所以强调关于定理的证明,会在后续学习中获得.四、教学策略分析:新课程标准明确指出:数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下,主要采用的是引导发现教学法.教学中,我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象,抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点,从而自发地生成定义;接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法,通过折纸活动,让学生在游戏中学习,在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动,通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用,使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中,深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣,最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备:多媒体课件、三角形纸片(多种形状)、三角板、手电筒、彩色手环、笔(表直线)、纸(表平面)等.六、教学过程:验证跨栏的支架与地面是否垂直,七、教学设计说明:兴趣是最好的老师,它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此,本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下,以激发学生的学习兴趣为出发点,设置了一系列的动手操作、自主探索的活动,引导学生通过感受、思考、交流、总结,真正对所学内容有所感悟,进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动,增加了学生学习的兴趣;加入了影子实验、折纸环节,使学生体会到了学数学的乐趣,达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维,要注重培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外,在整个教学过程中,“学生是学习的主体”这一理念,“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之,本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展,成长过程和长期发展也得到了一定的关注,体现了新课程的要求.八、教学反思:本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发,对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析;对学生学习本节课的难点进行了深入思考,并精心设计了重点、难点知识的教学解释;评估了学生的知识理解水平等方面,以达到教学设计的科学、完整和精细,具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学,本质与核心是“以学生的发展为本”,这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中,不仅要看到所教的学科知识,而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用;不仅要研究学生的发展规律,思考学习与发展的关系,而且要研究学生是如何学习的;不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直(第一课时)》教学设计授数学知识,而且要在教学过程中时刻体现思想性,从而在提高学生在知识水平的同时,提高他们的素质,丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气,一气呵成,如沐春风。
8.6.2直线与平面垂直的判定教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版2019必修二
《直线与平面垂直》教学设计一、教材内容分析本节课是由人民教育出版社出版的《普通高中教科书·数学·必修(第二册)》(2019年版A版)第八章“立体几何初步”的第六节“空间直线、平面的垂直”的第2小节第1课时,是继直线与直线垂直之后,对空间中垂直关系的进一步探索。
垂直关系是几何关系中的一种重要位置关系,主要以线线垂直、线面垂直和面面垂直三种方式呈现在高中数学立体几何的学习过程中。
从内容上来看,线面垂直是连接线线垂直与面面垂直的桥梁,起着承上启下的作用。
用线面垂直的定义解释线面垂直的判定定理的过程以及线面垂直的判定定理本身,都是线面垂直前承线线垂直的重要体现;而面面垂直的判定定理,又是线面垂直后启面面垂直的重要体现。
从数学核心素养来看,本节内容注重从现实生活情境中抽象出线面垂直的模型,然后通过直观想象逐步得出线面垂直的定义,接着回到情境中用定义没办法直接解决的问题,去探索更便捷的判定定理,并用它来解决情境提出的问题,最后求解线面角突出了线面垂直的应用。
这一系列的过程对学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的提升有着重要的帮助。
二、学情分析1.面向对象为高一年级的学生,已经学习过空间中点、线、面之间的位置关系,知道垂直关系是空间中一种特殊的位置关系;已经学习了空间中直线、平面的平行关系,对“降维”思想有了初步的认识和体会;还学习了空间中直线与直线的垂直,对空间中的垂直关系有了更进一步的理解。
2.学生虽已了解到线面垂直是线面相交的一种特殊情况,但对线面垂直的概念还很模糊,也不清楚如何去判定线面垂直。
3.学生已经具备了一定的观察、抽象、概括和语言转换能力,渴望通过自己的探索实现由直观感知到准确定义和表达的跨越。
三、教学目标1.从生活实例中抽象出线面垂直的概念,掌握线面垂直的定义,提高数学抽象的核心素养。
2. 掌握线面垂直的判定定理,能应用其进行简单的证明,提高逻辑推理的核心素养。
【教案】直线、平面的垂直关系单元教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
单元教学设计单元基本信息课程标准模块几何与代数——立体几何初步使用教材版本人教A版教材单元名称8.6空间直线、平面的垂直单元课时数5一、单元学习主题分析(体现学习主题的育人价值)主题名称空间直线、平面的垂直主题概述本单元内容的核心是空间直线、平面的垂直,主要包括直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的概念、判定及性质等.本单元内容是前面所学知识的延续和拓展,也是后面继续学习内容的依靠(如空间的角和距离等),起着承上启下的作用.本单元是在平行的基础上继续研究空间直线与平面的另一种特殊位置关系——垂直.研究时本着“直观感知-操作确认-思辨论证”的认识过程,继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直?”以及“空间直线、平面的垂直时,直线与平面有什么确定的不变关系”;同时充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系,研究的对象尽量让学生通过观察、猜想去提出,研究的内容要学生动手探究、类比学习去确定,由此培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养.具体来讲,教学时,可以先回顾前面关于空间直线、平面平行的研究过程:再引导学生类比出空间直线、平面垂直的学习内容:本单元内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先要定义异面直线所成的角的概念,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直.对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直,主要研究它们的判定定理和性质定理.在经历对经典实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后,概括出直线与直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面的垂直的概念、判定和性质定理,再对性质定理进行逻辑论证.在学生经历观察、抽象、概括等一系列过程中,培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.另外,教学活动中通过观察、思考、探究等方式向学生提出问题,以问题引导学生进行更加主动的思维活动,经历从实际背景中抽象出数学模型,从现实生活空间抽象出几何问题的过程,发展他们的直观想象素养.通过本单元的学习与探究,可进一步完善学生数学知识的认知,更好地培养学生观察能力、动手能力,以及空间想象及推理归纳能力,体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法,增强“平面化”和“以简驱繁”的转化思想,因此学习这部分知识有着举足轻重的意义.主题学情分析经过前面的学习,学生已掌握了两条直线的位置关系,学习了线面平行的判定及性质,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有了一定的几何直观能力、推理论证能力等,能较准确的使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系;已了解“平行关系”的性质和判定方法;已基本掌握解决空间问题的一般方法——“平面化”,具备学习本节课所需的知识.然而,学生的能力发展正处于形象思维向抽象思维的转折阶段,但更注重形象思维,对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段,还没有上升到理性认识.学生还未能建立起各种垂直关系之间的联系,还没有形成完整的空间知识结构体系,学生内在的知识网络还有待进一步清晰化.学习条件支持多媒体课件、空间几何体模具、三角板、笔(表示直线)、课本或草稿本(表示平面)等.二、单元学习目标设计(基于标准、分析教材、结合学情,体现素养导向)单元学习目标(1)通过生活中的实例直观感知直线、平面垂直,在此基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,发展直观想象素养.(2)从定义和基本事实出发,借助长方体,通过小组合作探究发现直线、平面垂直的判定,并能应用其解决直线、平面垂直的简单问题,提升直观想象和数学归纳的素养,在探究的过程中,感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想,进一步感悟教学中“以简驱繁”的转化思想.(3)从定义和基本事实出发,借助长方体,通过小组合作探究发现、归纳并证明直线、平面垂直的性质定理,并能应用其解决直线、平面垂直的简单问题,提升直观想象和数学归纳的素养.三、各课时学习目标学习目标解析第1课时1.通过长方体模型,发现两条异面直线的位置关系可以用异面直线所成角来刻画,会用所成角的定义将异面直线所成角的问题,转化为同一平面内两条相交直线所成的角,体会把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法.2.能借助异面直线所成的角定义空间直线与直线垂直,体会从一般到特殊的研究过程.3.会求简单异面直线所成的角,先通过平移作出所求角,再在特殊三角形中求角,发展直观想象、逻辑推理素养.1.能在常见几何体如正方体、长方体中找出两条异面直线中一条或两条的平行线,从而作出异面直线所成的角,并能在初中熟悉的三角形中求出所成角,注意所成角的范围.2.根据异面直线垂直的定义能够判断异面直线垂直,从而可以判断空间两条直线垂直.第2课时1.借助生活中大量的实例,抽象出直线与平面垂直的定义,提升数学抽象素养;2.通过折纸试验,借助定义,概括出直线与平面垂直的判定定理,会用图形语言和符号语言表述定理,并能运用定义和定理进行线面垂直的证明,体会直线与平面垂直的相互转化,提升数学抽象、直观想象和逻辑推理素养;3.了解直线与平面所成的角的定义,并能在简单图形中求出线面所成角,体会空间问题平面化的转化思想.1.能通过实例,类比直线与平面平行的定义方式(线面平行转化为线线平行),抽象出直线与平面垂直的定义,能说出直线与平面垂直的条件和结论;能用“三种语言”表达直线与平面垂直的定义;能利用定义研究点到平面的距离.2.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发,明确判定定理所研究的问题,探究并得出直线与平面垂直的判定定理,能说出判定定理的条件和结论,能用判定定理证明空间基本图形位置关系的简单命题.3.能说出平面的斜线与平面所成角的定义;能解释定义中蕴含的数学思想,能利用定义在简单的情题中求出直线与平面所成的角.第3课时1.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发,明确性质定理所研究的问题.探究并证明直线与平面垂直的性质定理,能说出性质定理的条件和结论,熟悉定理的三种语言的相互转化,体会垂直与平行之间的内在联系.2.能用性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题,发展直观想象、逻辑推理素养.3.能利用直线与平面垂直的作质定理证明与给定平面平行的直线(或平面)上各点到平面的距离相等,并由此给出直线到平面的距离,两个平行平面间的距离的定义.体会化归与转化思想,提升直观想象素养.1.能从直线与平面垂直的定义和基本事实出发,明确性质定理所研究的问题.探究并证明直线与平面垂直的性质定理,能说出性质定理的条件和结论,能用性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题.2.能利用直线与平面垂直的作质定理证明与给定平面平行的直线(或平面)上各点到平面的距离相等,并由此给出直线到平面的距离,两个平行平面间的距离的定义.第4课时1.能通过类比直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程,构建平面与平面垂直的定义过程,能说出二面角及二面角的平面角概念,能说出定义二面角的平面角的基本原则.2.类比直线与直线垂直的研究过程,能在定义二面角的平面角的基础上,给出两个平面互相垂直的定义,体会有一般到特殊的研究过程.3.类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定,通过直观感知、操作确认、推理论证,合作探究出平面与平面垂直关系的判定方法,领悟研究几何问题的基本思路,提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力,培养直观想象、数学抽象和逻辑推理素养.1.学生能通过类比直线与直线垂直的定义过程——先研究异面直线所成角,再定义直线与直线垂直,构建平面与平面垂直的定义过程,线学习二面角及二面角的平面角概念,能说出定义二面角的平面角的基本原则.2.学生能在定义二面角的平面角的基础上,给出两个平面互相垂直的定义.3.学生能利用生活经验,借助长方体,归纳出平面与平面垂直的判定定理,能说出定理的条件与结论,并会用三种语言转化,体会垂直的内在联系,无限化有限,由繁入简的学习过程.第5课时1.能在两个平面相互垂直的条件下,探索空间直线、平面之间的相互关系,得出平面与平面垂直的性质,并能进行证明,体1.学生能类比已有的直线、平面位置关系的性质,猜想出平面与平面垂直的性质,并给出会面面垂直与线面垂直的相互转化关系.2.能用已获得的性质定理证明空间基本图形位置关系的简单命题,发展直观想象、逻辑推理素养. 证明.2.学生能用平面与平面垂直的判定定理和性质定理证明空间中直线、平面位置关系的简单命题.四、各课时任务设计及学习活动第1课时任务/活动1活动1.复习旧知.通过复习前面所学两条直线位置关系,引入本节新课.建立知识间的联系,提高学生概括、类比推理的能力.任务1.探索异面直线所成的角通过观察与思考,引入异面直线所成角的定义,提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考,进一步理解异面直线所成的角,提高学生分析问题、概括能力.任务二:探索异面直线垂直及异面直线所成角的范围是什么?用两条异面直线所成角定义异面直线垂直,进而得到空间两条直线垂直,体会从特殊到一般的研究过程.任务三:典例分析通过例1讲解,让学生理解怎样求两异面直线所成的角,初步掌握依据定义、定理对空间图形进行论证、计算的方法.通过例2讲解,让学生理解怎样证两异面直线垂直,同样转化为同一个平面内的相交直线来证明,体现了解决立体几何问题的重要思想——转化思想.任务/活动2任务/活动3······第2课时任务/活动1活动1.复习回顾,创设情境通过举例感知生活中直线与平面垂直的位置关系,激发学生学习数学的兴趣.任务一:探索直线与平面垂直的概念通过“具体形象—几何图形—数学语言”的学习过程,引导学生体会直线与平面垂直定义的合理性.任务二:探究直线与平面垂直的判定通过操作确认,引导自主、合作发现直线和平面垂直的条件;根据直观感知以及已有的经验,进行合情推理,获得判定定理,提高几何直观能力和理性说理能力.任务三:学以致用,熟练掌握通过例3,进一步强化对直线与平面垂直的判定定理的理解,规范解题过程,初步形成解题思路,引导学生养成用定义、定理思考问题、解决问题的习惯.通过例4,会初步应用直线与平面所成角的定义求角的大小.理解直线与平面所成角的求法,关键是找直线A1B在平面内的射影,进而转化为确定垂足,即研究线面角需要先研究线面垂直,这是研究问题的基本方向.任务/活动2任务/活动3·······第3课时活动1.复习回顾,温故知新通过复习上节所学,引入本节新课.建立知识间的联系,提高学生概括、类比推理的能力.任务一:发现、证明线面垂直的性质定理通过观察与思考,得到直线与平面平行的性质定理,提高学生的解决问题、分析问题的能力.任务二:探究直线到平面的距离及两平面之间的距离通过例的5讲解,让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理,关键是通过线面垂直性质定理构造一个矩形,体会平行与垂直的关系,为后续引入直线到平面的距离及平面与平面间的距离做好铺垫.通过例题6进一步理解两平行平面间的距离,提高学生解决问题的能力.第4课时教学活动1.二面角平面角及做法探究教学活动2.面面垂直判定的探究通过对实例的直观感知、操作确认、推理论证,可以透过垂直现象、发现本质原因,并用定义去证明垂直成立;2.通过探究活动,训练和提升学生的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑推理能力.任务:迁移拓展、学以致用通过例7熟悉判定定理、体会平面与平面的垂直到直线与平面的垂直,再到直线与直线的垂直的空间位置关系的变化,规范格式;例8进一步熟悉转化思想.体现直观想象、数学抽象、逻辑推理的素养的培养.第5课时活动1.复习回顾,温故知新通过回顾面面垂直的定义和判定定理,引入本节新课.建立知识之间的联系,提高学生的概括、类比推理的能力.活动2.观察操作,探索新知学生自己总结定理内容,加深印象,锻炼口头表达能力.学生通过合作探究,自己得出定理的证明过程促使学生深入思考,从定理的证明过程中提炼出证明几何问题的一般思想方法活动3.典例分析,巩固提高由学生小组合作探究完成,加强了交流合作的能力.通过例题学习,让学生进一步理解平面与平面垂直的性质定理的运用,提高学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识.五、单元学习评价设计(教师或同伴对学生的评价,指向学习目标的达成)(备注:方案1、方案2选择其一)需要评价的活动方案1:针对任务/活动描述活动A名称依据单元学习目标,针对挑战性学习任务/活动,呈现评价内容、评价指标、评价方法和赋值方法等.活动B名称活动C名称评价内容选择和评价指标设计时,无需面面俱到,尽可能抓住关键,倡导伴随学习任务/活动的评价.活动A. 在已知条件(1)(2)(3)(4)中任选一个,证明后面的三种垂直(线线、线面、面面).······这里有丰富的线线垂直、线面垂直、面面垂直,通过证明各种垂直的过程来检测单元目标的达成情况,为后续教学提供指导方向.评价要素方案2:针对单元整体描述评价内容简述单元评价内容评价指标简述针对单元评价内容的关键表现评价方法简述针对单元评价内容或者评价指标的评价方法赋值方法简述针对评价内容或者评价指标的赋值方法与标准五、单元作业设计可以是各课时作业的汇总或者单元学业评价(单元结束后的测试).单元作业设计需要体现单元学习目标的达成.单元作业设计要关注实践性、综合性及长周期作业.A组1.填空题:(1)过直线外一点,可以作________条直线与已知直线平行;(2)过直线外一点,可以作________条直线与已知直线垂直;(3)过平面外一点,可以作________个平面与已知平面平行;(4)过平面外一点,可以作________个平面与已知平面垂直;(5)过平面外一条直线,可以作_________个平面与该平面平行;(6)过平面外一条直线,可以作_________个平面与该平面垂直.2.已知直线a,b异面,下列判断正确的是(),并画图说明.A.过b的平面不可能与a平行B.过b的平面不可能与a垂直C.过b的平面有且仅有一个与a平行D.过b的平面有且仅有一个与a垂直3.下列命题正确的是(),并说明理由:A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.不存在四个面都是直角三角形的四面体D.若两条斜线段在同一个平面上的投影数量相等,则这两条斜线段的长也相等4.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,判断下列命题的正误,并画图说明.(1)若a// α, b⊥β,则a⊥b;(2)若a⊥α, b⊥β,则a//b;(3)若a⊥α,b⊂α,则a⊥b;(4)若a⊥α,a⊥β,则α// β.5.设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,判断下列命题的正误,并画图说明理由:(1)若α⊥γ,β⊥γ,则α// β;(2)若m⊂α,n⊂α,m// β,n// β,则α// β;(3)若则α// β,l⊂α,则l // β;(4)若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l // γ,则m// n.6.如图,已知三角形ABC是正三角形,EA,DC都垂直于平面ABC,且EA=BC=2a,DC=a,F,G分别是EB和A B的中点.求证:(1)FG⊥平面ABC;(2)FD//平面ABC.7.在平面几何里,有勾股定理:“设ΔABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则_____________”.B组1.下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥平面MNP的图形序号是_______________.2.如图,在圆锥PO中,已知PO=√2,圆O的直径AB=2,点C在弧AB上,且∠CAB=300,点D为AC的中点.(1)证明:AC⊥平面POD(2)求二面角P-AC-O的正弦值.3.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD//BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD.(1)判断CD是否与平面P AD垂直,证明你的结论;(2)证明:平面P AB⊥平面ABCD.4.如果一个四面体的三个面是直角三角形,那么,第四个面可能是:①直角三角形;②锐角三角形;③钝角三角形;④等腰三角形;⑤等腰直角三角形;⑥等边三角形.请写出你认为正确的序号_________________________.5.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,求证:(1)B1D⊥平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是∆A1C1B的重心.6.某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图).上面为花篮,支架为三根细钢管.考虑到钢管的受力和花篮质量等因素,设计支架应满足:①支架高度为108cm,②架面是边长为30cm的正三角形,③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面.(1)三只支架与地面所成的角均为60°,确定节点O分细钢管上、下两段的比值;(精确到0.01)(2)节点O分细钢管上、下两段之比为1:2,确定细钢管的长度.(精确到0.1cm)拓展性作业:《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图,在堑堵111ABC A B C -中,AC BC ⊥,且12AA AB ==.下列说法正确..的序号是________. ①四棱锥11B A ACC -为“阳马”; ②四面体1A B AC -为“鳖臑”;③过A 点作1AE A B ⊥于点E ,过A 点作1AF A C ⊥于点F ,则1A E ⊥面1A CB ;④若AC BC =,则四面体1A B AC -的外接球体积为823π. 六、反思性教学改进(实施后填写)基于各课时反思性教学改进,汇总形成单元反思性教学改进设想. 明确主要经验或者需改进的方面. 七、单元教学结构图图示学科核心素养、单元学习目标、核心问题串、学习活动设计、学习评价任务以及课时数的对应关系.垂直关系的相互转化线线 平行线线 垂直线面 垂直面面 垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角 二面角 范围及求法 范围及求法 范围及求法点到面的距离直线与平面的距离 平行平面之间的距离相互之间的转化空间的距离直观想象 逻辑推理逻辑推理 数学运算空间想象 数学运算。
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8.6.2 直线与平面垂直学习目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
基础梳理1.一般地,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l⊥。
直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面。
直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P 叫做垂足。
2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
3.一般地,我们有如下判定直线与平面垂直的定理:定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直。
4.如图,一条直线l与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂足PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影,平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
5.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0。
直线与平面所成的角的取值范围是。
6.我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:定理垂直于同一个平面的两条直线平行。
7.一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
随堂训练1、已知m ,n 表示两条不同直线, α表示平面,下列说法正确的是( )A.若//m α,//n α,则//m nB. 若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C.若m α⊥,m n ⊥,则//n αD.若//m α,m n ⊥,则n α⊥2、如图,1111ABCD A B C D -为正方体,下面结论错误的是( )A.//BD 平面11CB DB.1AC BD ⊥C.1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 3、如图,点N 为正方形ABCD 的中心,ECD △为正三角形,平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点,则( )A .BM EN =,且直线BM EN 、是相交直线B .BM EN ≠,且直线BM EN 、是相交直线C .BM EN =,且直线BM EN 、是异面直线D .BM EN ≠,且直线BM EN 、是异面直线4、如图,在正四棱锥S ABCD -中, E 是BC 的中点,点P 在SCD ∆内及其边界上运动,并且总有PE AC ⊥,则动点P 的轨迹与SCD ∆组成的图形是( )A. B. C. D.5、如图,在正方形123SG G G 中, ,E F 分别是12G G 和23G G 的中点, D 是EF 的中点.分别沿,SE SF 及EF 将132,,AG E SG F G EF ∆∆∆折起,使点123,,G G G 重合,重合后的点记为G ,则下列结论成立的是( )A. SD ⊥平面EFGB. SG ⊥平面EFGC. GF ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,动点E 在线段11A C 上,F 、M 分别是AD 、CD 的中点,则下列结论中错误的是( )A .11//FM ACB .BM ⊥平面1CC FC .存在点E ,使得平面//BEF 平面11CCD DD .三棱锥B CEF -的体积为定值7、如图,AB 是O 的直径,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,PA ⊥平面ABC ,则四面体P ABC -的四个面中,直角三角形的个数有( )A.4个 B .3个 C .2个 D .1个8、在长方体1111ABCD A B C D -中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点1A 到截面11AB D 的距离是( )A. 83B. 38C. 43D. 349、如图,PA O ⊥所在的平面,AB 是O 的直径,C 是O 上的一点,AE PB ⊥于E ,AF PC ⊥于F ,下列四个命题中:①BC ⊥面PAC ; ②AF ⊥面PBC ;③EF PB ⊥; ④AE ⊥面PBC .其中正确命题的是______ 请写出所有正确命题的序号10、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,点E ,F ,G 分别为棱AB ,111,AA C D 的中点.下列结论中,正确结论的序号是______.① 过E ,F ,G 三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;②11B D ∥平面EFG ;③1BD ⊥平面1ACB ;④ 异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为2; ⑤ 四面体11ACB D 的体积等于312a 11、已知90ACB ∠=︒,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为___________.12、如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,90,1,ACB BE EF FC ∠====2,3BC AC ==.(1)求证:BF ⊥平面ACFD ;(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.13、如图,在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC ,//AD BC ,PD PB ⊥,1AD =,3BC =,4CD =,2PD =.(1).求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值;(2).求证: PD ⊥平面PBC ;答案随堂训练1答案及解析:答案:B解析:对于选项A, m 与n 还可以相交或异面;对于选项C,还可以是n α⊂;对于选项D,还可以是 //n α或n α⊂或n 与α相交.2答案及解析:答案:D解析:A 中因为11//BDB D ,正确;B 中因为AC BD ⊥,由三垂线定理知正确;C 中由三垂线定理可知111AC BD ⊥,11AC B C ⊥,故正确;D 中显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒故选:D .A 中因为11//BDB D 可判,B 和C 中可由三垂线定理进行证明;而D 中因为11//CB D A ,所以1D AD ∠即为异面直线所成的角,145D AD ∠=︒.本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角,考查逻辑推理能力.3答案及解析:答案:B解析: 作EO CD ⊥于O ,连接ON ,过M 作MF OD ⊥于F .连BF ,平面CDE ⊥平面ABCD .,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ,EO ∴⊥平面ABCD ,MF ⊥平面ABCE ,MFB ∴△与EON △均为直角三角形.设正方形边长为2,易知3,012EO N EN ===, 35,,72MF BF BM ==∴=.BM EN ∴≠,故选B .4答案及解析:答案:A解析:取CD 的中点F ,SC 的中点 Q .连接,,,BD EQ FQ EF ,则11//,//22EQ SB EF BD ,∵在正四棱锥S ABCD -中, SB 在平面ABCD 内的射影在BD 上,且AC BD ⊥,∴AC SB ⊥,故AC EQ ⊥.又AC BD ⊥,∴AC EF ⊥,∴AC ⊥平面EQF ,∴当点P 在FQ 上移动时,总有AC PE ⊥.故选A.5答案及解析:答案:B解析:折起后, ,,SG GE SG GF GF GE G ⊥⊥⋂=,∴SG ⊥SG 平面EFG ,故选B. 6答案及解析:答案:C解析:在A 中,因为F 、M 分别是AD 、CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确; 在B 中,F,M 是底面正方形边的中点,由平面几何得BM CF ⊥,又1CC ⊥底面ABCD ,所以1CC BM ⊥,,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确;在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误.在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高为上下底面的距离,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确.7答案及解析:答案:A解析:∵AB 是圆O 的直径,∴AC BC ⊥,∴ABC △是直角三角形;又PA ⊥平面ABC ,∴PA AB ⊥,,PA AC PA BC ⊥⊥;∴PAC PAB 、△△是直角三角形; 又AC PA A =,∴BC ⊥平面PAC ,∴BC PC ⊥,∴PBC △是直角三角形;∴四面体P ABC -的四个面中,直角三角形有4个。
故答案为:A.8答案及解析:答案:C解析:点1A 到截面11AB D 的距离是h ,由111111A AB D A A B D V V --=可得1111111133AB D A B D S h S AA ∆∆⋅=⋅解得43h =. 9答案及解析:答案:①②③解析: ∵PA O ⊥所在的平面,∴PA BC ⊥,又∵AB 是O 的直径∴AC BC ⊥,由线面垂直的判定定理,可得BC ⊥面PAC ,故①正确;又由AF ⊂平面PAC∴AF BC ⊥,结合AF PC ⊥于F ,由线面垂直的判定定理,可得AF ⊥面PBC ,故②正确;又∵AE PB ⊥于E ,结合②的结论我们易得EF ⊥平面PAB由PB ⊂平面PAB ,可得PB EF ⊥,故③正确;由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误;故答案为:①②③根据已知中,PA O ⊥所在的平面,AB 是O 的直径,C 是O 上的一点,AE PB ⊥于E ,AF PC ⊥于F ,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案.10答案及解析:答案:①③④解析:延长EF 分别与111,B A B B 的延长线交于,N Q 连接GN 交11A D 于H,设HG 与11B C 的延长线交于P,连接PQ 交1CC 于I ,交BC 于M ,连FH ,HG ,GI ,IM ,ME ,则截面六边形EFHGIM 为正六边形,故①正确;11B D 与HG 相交,故11B D 与平面EFG 相交,所以②不正确;∵111,BD AC BB B C ⊥⊥,且AC 与1B C 相交,所以1BD ⊥平面1ACB ,故③正确;以D 为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD ,故④正确; 四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为3331114323a a a -⨯⨯=,故⑤不正确。