时间序列分解与趋势外推法
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龚珀兹曲线是预测各种市场容量的最佳拟合线。
二、皮尔曲线模型及其应用
• 皮尔曲线预测模型为：
L yt 1 ae bt
• 皮尔曲线多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于 对产品生命周期做出分析，尤其适用于对处在成熟期
的商品的市场需求饱和量（或称市场最大潜力）进行
分析和与预测。 • 例4-7 P72-73
龚珀兹曲线图形4
k (4) lga>0 b>1
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求从最低水平k迅 速上升。
就整个社会或某个地区来讲，市场总容量是不断
扩大的。但是，就具体商品来讲，总要经过进
入市场、销售量增长、市场饱和、销售量下降
这几个阶段。特别是轻工业产品的销售额，大
部分都遵循“增长缓慢--迅速增加--维持一定水 平--逐步减少”的规律发展变化。
• （2）差分法：
利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。 见课本p58-59,表格
Biblioteka Baidu 第三节 多项式曲线趋势外推法
一、二次多项式曲线模型及其应用
• 二次多项式曲线预测模型为： y ˆt b0 b1t b2t 2
yn ，令 • 设有一组统计数据 y1 ，y2 ，…，
n n
即：
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 ) ( yt y
2 t 1 t 1 n n
即：
y nb0 b1 t b2 t 2 b3 t 3 2 3 4 ty b0 t b1 t b2 t b3 t 2 2 3 4 5 t y b0 t b1 t b2 t b3 t 3 3 4 5 6 t y b0 t b1 t b2 t b3 t
• 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条 件不变或变化不大。
二 、趋势模型的种类
• 多项式曲线预测模型
• 指数曲线预测模型
• 对数曲线预测模型
• 生长曲线预测模型
三、趋势模型的选择
• （1）图形识别法：
• 通过绘制散点图进行，即将时间序列的数据绘制成 以时间t 为横轴、时序观察值为纵轴的图形，观察并 将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较， 以便选择较为合适的模型。
第五节 生长曲线趋势外推法
一、龚珀兹曲线模型及其应用
• 龚珀兹曲线预测模型为： y ˆt kab
t
t
• 对函数模型 y ˆt kab 做线性变换，得：
lg y lg k bt lg a
• 龚珀兹曲线对应于不同的lga与b的不同取值范围而具 有间断点。曲线形式如下图所示：
龚珀兹曲线图形1
第四章 时间序列分解法和趋势外推法
第一节 时间序列分解法 第二节 趋势外推法概述
第三节 多项式曲线趋势外推法
第四节 指数曲线趋势外推法
第五节 生长曲线趋势外推法
第六节 曲线拟合优度分析
第一节 时间序列分解法
一、时间序列的分解
• 长期趋势因素（T）
• 季节变动因素（S）
• 周期变动因素（C）
• 不规则变动因素（I）
长期趋势因素（T）
长期趋势因素反应了经济现象在一个较长时间内的发展方 向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直 线的持续上升或持续向下或平稳的趋势。
季节变动因素（S）
季节变动因素是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。
季节变动因素既包括受自然季节影响所形成的波动，也包 括受工作时间规律如每周5天工作制等所形成的波动。 季节波动和周期波动的区别在于季节波动的波动周期固定。
二、三次多项式曲线预测模型及其应用
ˆt b0 b1t b2t 2 b3t 3 • 三次多项式曲线预测模型为：y
• 设有一组统计数据 y1 ， y2 ，…， yn ，令
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 , b3 ) ( yt y
2
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b0 t b1 t b2 t 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
t 1
t 1
解这个三元一次方程，就可求得参数。 例4-2,P58-60
第六节 曲线拟合优度分析
• 实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型， 而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型， 待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。 • 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差作为优度好坏 的指标：
SE
2 ˆ ( y y )
n
Yt A bt
这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。
例4-4,P63-65
二、修正指数曲线模型及其应用
• 修正指数曲线预测模型为：
ˆt a bc2 y
• 例4-5,P66-68.
(0 c 1)
• 指数曲线预测不能预测接近极限值时的特性值，因为 当趋近极限值时，特性值已不按指数规律增长。如果 考虑极限值的影响，就会发现事物经历发生、发展到 成熟的过程，因为这条曲线形状近似于S，所以又称为 S曲线。S曲线有龚珀兹曲线和皮尔曲线。
解这个四元一次方程，就可求得参数。 例4-3,P64-63
第四节 指数曲线趋势外推法
一、指数曲线模型及其应用
• 指数曲线预测模型为： y ˆt aebt
(a 0)
ˆt aebt 做线性变换，得： 对函数模型 y
ln yt ln a bt
令 Yt ln yt , A ln a ，则
第二节 趋势外推法概述
一、趋势外推法的概念和假定条件
• 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没 有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反 映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
y f (t )
• 当有理由相信这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量 t
所需的值，就可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就 是趋势外推法。
Yt f (Tt , St , Ct , It )
• 加法模型 • 乘法模型
Yt Tt St Ct It
Yt Tt * St * Ct * It
三、时间序列的分解方法
• 长期趋势T 的计算 • 季节指数S 的计算 • 周期变动因素C 的计算 • 不规则变动因素I 的计算 • 例题：见课本p51
k
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求已逐渐接近饱 和状态。
(1) lga<0 0<b<1
龚珀兹曲线图形2
k
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求已由饱和状态 开始下降。
(2) lga<0 b>1
龚珀兹曲线图形3
k (3) lga>0 0<b<1
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求下降迅速，已 接近最低水平k 。
周期变动因素（C）
周期变动因素也成为循环变动因素，它是受各种经济因素 影响所形成的上下起伏不定的波动。 不规则变动因素（I）
不规则变动因素又称为随机波动，它是受各种偶然因素影 响所形成的不规则波动。如股票价格受突然出现的利 好或利空消息的影响产生波动等。
二、时间序列的分解模型
• 当将时间序列分解成长期趋势、季节变动、周期变动 和不规则变动四个因素后，可以认为时间序列 Y 是这 四个因素的函数，即：
二、皮尔曲线模型及其应用
• 皮尔曲线预测模型为：
L yt 1 ae bt
• 皮尔曲线多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于 对产品生命周期做出分析，尤其适用于对处在成熟期
的商品的市场需求饱和量（或称市场最大潜力）进行
分析和与预测。 • 例4-7 P72-73
龚珀兹曲线图形4
k (4) lga>0 b>1
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求从最低水平k迅 速上升。
就整个社会或某个地区来讲，市场总容量是不断
扩大的。但是，就具体商品来讲，总要经过进
入市场、销售量增长、市场饱和、销售量下降
这几个阶段。特别是轻工业产品的销售额，大
部分都遵循“增长缓慢--迅速增加--维持一定水 平--逐步减少”的规律发展变化。
• （2）差分法：
利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。 见课本p58-59,表格
Biblioteka Baidu 第三节 多项式曲线趋势外推法
一、二次多项式曲线模型及其应用
• 二次多项式曲线预测模型为： y ˆt b0 b1t b2t 2
yn ，令 • 设有一组统计数据 y1 ，y2 ，…，
n n
即：
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 ) ( yt y
2 t 1 t 1 n n
即：
y nb0 b1 t b2 t 2 b3 t 3 2 3 4 ty b0 t b1 t b2 t b3 t 2 2 3 4 5 t y b0 t b1 t b2 t b3 t 3 3 4 5 6 t y b0 t b1 t b2 t b3 t
• 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条 件不变或变化不大。
二 、趋势模型的种类
• 多项式曲线预测模型
• 指数曲线预测模型
• 对数曲线预测模型
• 生长曲线预测模型
三、趋势模型的选择
• （1）图形识别法：
• 通过绘制散点图进行，即将时间序列的数据绘制成 以时间t 为横轴、时序观察值为纵轴的图形，观察并 将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较， 以便选择较为合适的模型。
第五节 生长曲线趋势外推法
一、龚珀兹曲线模型及其应用
• 龚珀兹曲线预测模型为： y ˆt kab
t
t
• 对函数模型 y ˆt kab 做线性变换，得：
lg y lg k bt lg a
• 龚珀兹曲线对应于不同的lga与b的不同取值范围而具 有间断点。曲线形式如下图所示：
龚珀兹曲线图形1
第四章 时间序列分解法和趋势外推法
第一节 时间序列分解法 第二节 趋势外推法概述
第三节 多项式曲线趋势外推法
第四节 指数曲线趋势外推法
第五节 生长曲线趋势外推法
第六节 曲线拟合优度分析
第一节 时间序列分解法
一、时间序列的分解
• 长期趋势因素（T）
• 季节变动因素（S）
• 周期变动因素（C）
• 不规则变动因素（I）
长期趋势因素（T）
长期趋势因素反应了经济现象在一个较长时间内的发展方 向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直 线的持续上升或持续向下或平稳的趋势。
季节变动因素（S）
季节变动因素是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。
季节变动因素既包括受自然季节影响所形成的波动，也包 括受工作时间规律如每周5天工作制等所形成的波动。 季节波动和周期波动的区别在于季节波动的波动周期固定。
二、三次多项式曲线预测模型及其应用
ˆt b0 b1t b2t 2 b3t 3 • 三次多项式曲线预测模型为：y
• 设有一组统计数据 y1 ， y2 ，…， yn ，令
ˆt ) ( yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ) 2 最小值 Q(b0 , b1 , b2 , b3 ) ( yt y
2
y nb0 b1 t b2 t 2 2 3 ty b0 t b1 t b2 t 2 2 3 4 t y b t b t b t 0 1 2
t 1
t 1
解这个三元一次方程，就可求得参数。 例4-2,P58-60
第六节 曲线拟合优度分析
• 实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型， 而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型， 待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。 • 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差作为优度好坏 的指标：
SE
2 ˆ ( y y )
n
Yt A bt
这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。
例4-4,P63-65
二、修正指数曲线模型及其应用
• 修正指数曲线预测模型为：
ˆt a bc2 y
• 例4-5,P66-68.
(0 c 1)
• 指数曲线预测不能预测接近极限值时的特性值，因为 当趋近极限值时，特性值已不按指数规律增长。如果 考虑极限值的影响，就会发现事物经历发生、发展到 成熟的过程，因为这条曲线形状近似于S，所以又称为 S曲线。S曲线有龚珀兹曲线和皮尔曲线。
解这个四元一次方程，就可求得参数。 例4-3,P64-63
第四节 指数曲线趋势外推法
一、指数曲线模型及其应用
• 指数曲线预测模型为： y ˆt aebt
(a 0)
ˆt aebt 做线性变换，得： 对函数模型 y
ln yt ln a bt
令 Yt ln yt , A ln a ，则
第二节 趋势外推法概述
一、趋势外推法的概念和假定条件
• 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没 有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反 映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
y f (t )
• 当有理由相信这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量 t
所需的值，就可以得到相应时刻的时间序列未来值。这就 是趋势外推法。
Yt f (Tt , St , Ct , It )
• 加法模型 • 乘法模型
Yt Tt St Ct It
Yt Tt * St * Ct * It
三、时间序列的分解方法
• 长期趋势T 的计算 • 季节指数S 的计算 • 周期变动因素C 的计算 • 不规则变动因素I 的计算 • 例题：见课本p51
k
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求已逐渐接近饱 和状态。
(1) lga<0 0<b<1
龚珀兹曲线图形2
k
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求已由饱和状态 开始下降。
(2) lga<0 b>1
龚珀兹曲线图形3
k (3) lga>0 0<b<1
• 渐近线（k）意味着 市场对某类产品的 需求下降迅速，已 接近最低水平k 。
周期变动因素（C）
周期变动因素也成为循环变动因素，它是受各种经济因素 影响所形成的上下起伏不定的波动。 不规则变动因素（I）
不规则变动因素又称为随机波动，它是受各种偶然因素影 响所形成的不规则波动。如股票价格受突然出现的利 好或利空消息的影响产生波动等。
二、时间序列的分解模型
• 当将时间序列分解成长期趋势、季节变动、周期变动 和不规则变动四个因素后，可以认为时间序列 Y 是这 四个因素的函数，即：