奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理

蝴蝶定理和风筝定理
引入
1、蝴蝶定理
在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图）
，蝴蝶三角形的面积相等。

2、风筝定理
在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。

则它们的关系是：
S i x S 4 =S 2 X S 3
即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课
【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小
三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD
练习
1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?
2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。

C
B
A
S i S 2
O S 3
S 4
C
AOD 的面积是3平方厘
【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是
4平方厘米，黄
色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?
练习
1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？
2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求:
(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度
练习 正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米?
4平方厘米，黄色三角形
D
D
F
C
【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形
BDF 面积为多少平方厘米？
2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。

练习
1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
面积。

10厘米和12厘米，求阴影部分的
P
K
蝴蝶定理和风筝定理（A 卷）
1如图，阴影部分的面积是
12 cm 2, 0C=2A0，求梯形的面积。

2、如图，梯形 ABCD 的上底AB 长为3厘米，下底 CD 长为9厘米，而三角形 ADO 的面 积是12平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
3、如图，长方形 ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积是 52平方厘米，OD 的长是16
厘米，OB 的长是4厘米，那么四边形 OECD 的面积是多少平方厘米？
5、在直角梯形 ABCD 中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为 15平方厘米，梯
形ABCD 的面积是多少平方厘米？
4、如图，平行四边形 ABCD 面积是12平方厘米, 交于点F ,则图中阴影部分面积是多少平方厘米？
E 是AD 靠近A 点的中点。

AC 与BE 相
C
C
E
A
6、梯形ABCF的下底BC是12厘米，高AB是18厘米，CE=2DE，求DF。

7、正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6厘米和4厘米，三角形ACG的面积是多少平方厘米？
8、正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6厘米和4厘米，三角形BDF的面积是多少平方厘米？
蝴蝶定理和风筝定理（B 卷）
学生姓名： ____________ 上课时间： ______________ 成绩： ______________
1如图，在梯形 ABCD 中，三角形 ADO 的面积是6平方厘米，且 请问梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?
3、正方形ABCD 的边长是6厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少 平方厘米？ CF 长多少厘米？
4、如图，大、小正方形的边长分别是 8厘米和6厘米，阴影部分面积多少平方厘米?
5、如图，四边形 ABCD 是直角梯形, BOC 的面积是多少平方厘米？
DC 的长是AB 的2倍。

2、如图，平行四边形 ABCD 面积是72平方厘米, CE 相交于点F ,则图中阴影部分面积是多少平方厘米?
E 是AD 靠近D 点的三等分点。

BD 与
C
AB=4厘米,
E
6、如图，四边形 ABCD 是一个平行四边形，已知三角形 ABE 的面积是35平方厘米，阴影
三角形CEF 的面积是多少平方厘米?
7、正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，且正方形 ABCD 边长为8厘米，则图中阴影（三角形 8、已知三角形 ABC 的面积是64平方厘米，是平方四边形 的面积。

9、如图，四边形 ABCD 是直角梯形, 的面积是多少平方厘米？
BDF ）部分的面积为多少平方厘米
?
C
DEFC 面积的2倍，求阴影部分
AB=8 厘米，BF=6。