物理竞赛试题-原创模拟题第四套答案及评分标准

【解】：
8
地上的人看到的月亮的角宽度为 ，则青蛙看到的月亮的角宽度为 ' 满足： 'n ' 3 （3 分）
n4 故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的张角之比为 3 : 4 （2 分）
i
γ h
R
②设井半径为 R ，则可得井深 h 满足： sin i nsin r
R
7
1 n
h R
h2 R2
回水中，否则气泡进一步长大，形成 CO2 集中快速逸出，对人畜构成危险，计算出 CO2 快出逸出的最
大深度 h ' （假设你算出的 0 h' H ） ③某人插了一根管子到水底，不断向内鼓气，解决了杀人湖的问题，解释这个原理。 【解】：
① P0 gh C0 （5 分）
h C0 P0 （2 分） g
ω v
a r
【解】：
（1）易知此时滑轮的速度方向与 AB 垂直， vB 2r 以滑轮为系，上段绳子的延绳速度为 v ，因此下段绳子的沿绳速度也为 v 。
所以 2r v 2v （5 分）
2r
v
B
B' A
（2）球心的速度为 v0 2r ，球心加速度为 a0 ，B 相对于 A 的加速度由向心加速度和加速转动加速 度组成。记下段绳子为 n 方向，上段绳子为 方向。轮子的角加速度为 a0 / r
向投影得到
aout 2
2r aB
2
32 2
r
（3 分）
由于绳子长度不变，所以 ain aout
a0
2 2r
2 =2 3 2 r
2
2
（1 分）
解得
a0 =22r
v2 r
（4 分） 只要答案正确，方法没有明显错误给全分
第二题（20 分） 一个长度为 l 的扁平的水槽与水平夹角为 30o ，水槽的质量为 m ，在两端用细线将水槽吊起来。在
分）
② U AC
1 8
i1
lr 2
0 （4
分）
U AB
2 4
i2
l r 0 （4 分） 2
第七题（20 分） 井底之蛙
在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候，青蛙刚好能看见全部天空，水的 折射为 n 1.33 。 ①若此时月亮位于天顶，则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮对人眼的张角之比为多少？ ②当水漏掉一半的时候，青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少？（认为 星星很多，均匀的分布在天空中） ③接上一问，青蛙的视野中，“天空”的边缘与“天空”的中心，星星的密度之比为多少？
由牛顿第二定律 3k x0 m a
x0
F 6k
xˆ
（3
分）
②质心运动方程为：
xC
v0 2
t
k rt （3 分） 2m
4
质点和圆环相对于质心作简谐振动。
由①知沿 x 轴方向的有效劲度系数为 3k 。
折合质量为 m ，故振动角频率为 2
振幅为： A v0 r r （2 分） 3
6k （2 分） m
8 ②从 A 镜为参照系，从激光发出到第一次被 A 镜面反射，经过了多长时间？ ③以 A 镜为参照系，激光先被 B 反射，之后第一次被 A 镜面反射后的频率为多少？
A 0.6c
0.8c
B
l
10
【解】： 地面系中 A 、 B 走过的路程之和（不是相对速度！！！）： (0.6c 0.8c)t 7 l （2 分） 8 故激光走过的路程为： ct 5 l （3 分） 8 ②注意：AB 之间不是相对静止的，不能用尺缩！！
③ 令入射角为 ，折射角为 i ， 令青蛙从 0 到 i 角度为看到的星星数为 N f (i)
令人从 0 到 角度为看到的星星数为 Nh ( )
显然 N f (i) Nh ( ) ，
令密度为 f (i), h ( )
则有 f (i)di h ( )d
（2 分）
其中 为立体角， d 2 sin d （1 分）
②单层薄膜： P 2 r
P0
gh '
2 r
C0 （6
分）
h'
C0
2 r
P0
（2
分）

g
即达到 h ' 之前溶液是过饱和的。到达 h ' 的深度时，一旦出现一个气泡半径超过 r ，则附加压强变
小，气泡进一步变大，多溶解的 CO2 就会集中冒出。
③用管子鼓的气泡半径较大，产生的附加压可以忽略不计，故一但水中溶解的 CO2 溶度较大，就 会持续析出，而不会如第二问中集中冒出。（5 分）
9
C
h
2
R
水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度C 满足：
sin
C
h 2
tan
C
n sin C
h 2
tan
C
R
（2
分）
tanC
3 4
sin
C
1
9 16
sin
2
C
6 7
数值解列表（2 分）
数值解得：C 55.9o （2 分） 星星数之比值为立体角的比值：
9
2π(1 cosC ):(2π)=0.44:1（2 分）
第六题（20 分） 如图，用八根单位长度电阻为 r 的电阻线焊接成两个正方形（焊接点电阻为零）。大正方形边长为
l 。在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场 B k 。 t
①求 AC 、 AB 导线上的电流
②求 AC 两点电势差U A UC 和 AB 两点电势差U A UB 。
7
A C B
【解】：
大正方形的感应电动势为： 1 l2k （以逆时针为正方向）（3 分）
小正方形感应电动势为： 2
l2 2
k
（3
分）
由对称性知外圆电流相等，内圈电流也相等，没有电流从内圈到外圈。
故：
AC
上电流： i1
1 4rl
lk 4r
（3
分）（逆时针为正方向）
AB
上电流为： i2
2
2 2rl
lk 4 2r
（3
T2
T1 θ
θ
【解】：
（1）重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为 g g sin 1 g 2
和 g g cos
3g 2
沿水槽运动方程：
l
v0
cos t
g∥
1 2
t2
（2
分）
垂直于水槽
：0
v0
sin t
1 2
gt2
（2
分）
v0
3 gl 1.22 gl （2 分） 2
（2）以整体为对象，水的冲量是内部作用，不必计算。
其中 M sv0 (
2l l )
g u1
s
3gl ( 2
2l l )
g u1
第三题（20 分） 在光滑平面上放有一个质量为 m 的匀质圆环，内径为 r 。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻
质弹簧，原长几乎为 0，劲度系数为 k ，三根弹簧连到一个质量为 m 的质点上。 ①用一个恒力 F 沿着 x 方向作用于圆环，稳定时质点与圆环保持相对静止，则质点 m 相对圆心位移为 多少？
CO2 的饱和气压。湖的深度为 H ，水密度为 。（溶解气体后密度几乎不变）
6
①在湖底 CO2 浓度恒定为 C0 ，大气压为 P0 ，假设只要水中压强小于 CO2 的溶解平衡压强，就有 CO2 逸
出，计算出开始有 CO2 逸出的深度 h 。（假设你算出的 0 h H ）
②实际上在 h 的位置并不会有 CO2 逸出。由于涨落水中可能出现一些半径为 r 的小气泡，气泡中 CO2 与 溶液保持溶解平衡。（水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略）液体的表面张力为 ，若外压过大则气泡被压
喷出的水在水平方向的分速度不变，故其中心在中间。
水槽中的水匀速运动，故其重心也在中间。
即：空中的水+水槽中的水+水槽的重心，在两绳中间所在的垂直线上。（3 分）
求水的总量
单位时间内喷出的水质量为： m0 sv0 水在空中和在水槽中运行的时间分别为：
l cos t1 v0 cos 2
l 3
v0
2l g
水槽最下端有一个质量为 m 的喷水机，从水槽中抽水，以速度 v0 将水沿着与水槽夹角为 30o 的方向 喷出，水则刚好能喷到水槽上端，水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响，匀速流到水槽底端，形成 稳定的水流。
①重力加速度为 g ，求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度 v0 。
2
②喷水出口的面积为 S ，水密度为 ，水槽中水下流速度为 u1 ，为了保持平衡，两根绳上的拉力各为 多少？（两根绳子保持竖直方向）
N
2r B a0
1
r a0 M
在地面上看 B 的加速度：
aBn a0
2 2r
2 2
， aB
2r
2 2
（3 分）
选 M 点为研究点，在地面参考系中，速度和加速度均为 0；选滑轮为平动参考系， M 点的相对
速度沿 BM 方向分量为 vin v ，垂直 BM 方向分量为 0，加速度的 BM 方向分量为 ain ，根据加速度
②初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使其速度为 v0
2k r ，求之后圆 m
环和质点的运动方程。
y
m
m
x
【解】： ①系统的加速度为： a F 2m 设 m 相对圆心位移为 x0 ，设从原点到三个弹簧连接点的矢
量为 a,b,c ，则质点受到的合外力为
F k(a x0 ) k(b x0) k(c x0) 3kx0 （4 分） 等价于一个 3k 的弹簧
原创物理竞赛模拟题第四套
答案及评分标准
满分 160 分 命题人 蔡子星 第一题（20 分）
一个半径为 r 的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮， 某时刻滑轮恰好处于水平位置。在距离滑轮 r 处有一墙高为 2r 的墙，一根不可伸长的绳子从墙根连出， 绕过滑轮，从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边），某人在 墙顶处以速度 v 匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛，则此刻 ①圆环的角速度 为多少？ ②圆环中心相对地面加速度 a 为多少？
Bq
第五题（20 分） 非洲杀人湖
非洲有一个由火山口形成的湖泊，由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底 溶有大量 CO2 ，由于扰动 CO2 大量集中涌至湖面，造成人畜窒息。为了简单起见，假设温度恒定为 T0
时，CO2 达到溶解平衡时气相中 CO2 的分压 P 与液相中 CO2 的摩尔浓度 C 满足 P=C 。其中 P 被称为
， t2
l u1
故水的总质量为： M m0 (t1 t2 ) sv0 (
2l l ) （3 分） g u1
受力平衡：T1+T2 (M m m)g 以水槽中间为参考点，力矩：(T1 mg)
l cos 2
T2
l 2
cos
（2分）
3
T1 T2
M M
2 2
3m g mg
(2分) (2分)
Bq
①当衰变的两个粒子质量比为 m1 : m2 1:1 时，求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态经历
的时间，并画出粒子轨迹。
②令 m1 : m2 1: 2 重做上一问。
【解】： 虚线：正电荷 实线：负电荷 轨迹如图
5
故时间为：
t
2 3
T0
T0 为粒子转一周的时间
T0
2 R v
2 m Bq
第八题（18 分） 两面平行放置的镜子 A 、B 分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动，在地面参照系中某时刻两镜相距
l ，此时从 A 镜面向着 B 发出一束激光，在 A 镜参照系中，激光频率为 f0 ，激光在两面镜子间来回反
射。 ①在地面看来，当 A 、 B 间距变为 l 时，激光走过的路程为多少？
（3
分）
（2） m1 : m2 1: 2 v1 : v2 2 :1 不失去一般性，令正电荷为 m1 ，在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣 负电荷走左下一个花瓣。此时发生正碰，和初始状态相比，粒子速度方向转了 60 度。
此时时间为：
t
2 3 T1
4 m1 3Bq
之后要重复走 6 次，粒子状态才能还原，周期 T 8 m1
故质点， x1
k r t A sin(t π) （3 分）
2m
2
环的中心： x2
k r t A sin(t) （3 分）
2m
2
其中 A r 3
第四题（20 分） 如图一个绝缘的刚性的固定圆筒，沿着轴向有匀强磁场 B 。有一个电中性的粒子静止在圆筒中心，
粒子突然衰变成为两个带电量为 q 的粒子，粒子出射方向在平面内，动量大小为 P 。粒子之间发生 碰撞时交换动量，不考虑静电作用，电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的，圆筒 的半径满足 R= P
由折射定律 nsin i sin
得 ncosi di cos d
因此 f
(i)
h
n
d di
hn2
cos i cos
（3 分）
（1、人看到的密度是不变的，2、用了正弦定理）
由此 i 0 时 f hn2
“天空”的边缘C 55.9o ， i 38.4 时 f 1.40hn2
（3 分）
合成法则然后再沿 BM 方向投影得到
ain aBn a0
2 2r 2 2
（3 分）
选上段绳子上靠近滑轮的点为研究点，在地面参考系中，该点的速度垂直 BN 方向分量等于 vB ，
得到这个点加速度 BN 方向分量为2 2r (1 分)
选滑轮为平动参考系，该点的加速度沿 BN 方向分量为 aout ，根据加速度合成法则然后再沿 BN 方