振动系统的运动微分方程题解

习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。

列写微分方程⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=④③②θθθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C上述方程包含Cx，Cy ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。

建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系⎩⎨⎧-=-=θθθcos sin e R y e R x C C ， ⎩⎨⎧=-=θθθθθsin cos e y e R x CC 所以⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=⑥⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθe e y e e R x C C运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能θcos mge V -=由 E V T =+E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 21)cos 2(2122222 两边对时间t 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。

3-3 均质杆AB ，长l ，质量为m ，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。

设水平面也为光滑的。

列写该系统的运动微分方程。

题3-3图解：系统具有一个自由度，选ϕ为广义坐标。

系统在任一位置的动能为222121ωC C J mv T +=由瞬心法求质心的速度ϕ 2l v C =，2121ml J C =，ϕω = 所以223121ϕml T ⋅= 系统的主动力图为图（a ）所示。

重力的元功为ϕϕδd l mg d m W C sin 2=⋅=r g由动能定理 W dT δ=所以ϕϕϕd sin lmg )ml (d 2312122=⋅ 系统的运动微分方程为023=-••ϕϕsin lg要点及讨论（1）平面运动刚体可用式2*21ωC J T =计算刚体动能，式中2*md J J C C +=为刚体对瞬心的转动惯量，d 为质心与瞬心间的距离。

在本题中质心的速度C v 也可用式222C C C y x v +=计算。

其中⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕcos 2sin 2ly l x C C ⎪⎩⎪⎨⎧-==ϕϕϕϕsin 2cos 2 ly l x C C （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。

广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角θ为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。

如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为θ 2l v C =，θd ldr C 2=系统的动能223121θ ml T ⋅=主动力的元功θθδd l mg W cos 2-=根据动能定理建立的方程为θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=⋅ 所以θθcos 23lg-= “—”号说明当θ取正值时θ为负，即反时针方向。

（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。

3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m ，半径为r ，沿倾斜角为α的三角块作无滑动滚动，质量为M 的三角块置于光滑的水平面上。

列写该系统的运动微分方程。

题3-4图解：系统具有两个自由度，选r x x 、为广义坐标。

系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：E V T =+2222221111[(cos )(sin )]2222r r r x T Mx m x x x mr r αα=++++⨯⨯22221111cos 2224r r r Mx mx mx mxx mx α=⨯+⨯+⨯++ 222131cos 242r r Mx mx mx mxx α=+++ sin r V mgx α=-，水平方向动量守恒。

C p x =C x x m xM r =++)cos (α 整理后可分别列写两个方程 E mgx x x m x m xm M r r r =-+⋅++ααsin cos 2321)(2122 ①C x x m x M r =++)cos (α ②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t 求导后，即可得到系统运动微分方程。

23()sin [1]02cos cos m M g x m ααα+-+= 要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t 求导一次可得到系统的运动微分方程。

（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。

②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。

③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。

④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。

⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。

（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。

（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。

3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。

刚性基础质量为m ，刚性建筑的质量为M ，对质心C 的转动惯量为I C 。

两刚体在O 处铰接并附有刚度系数为k 1的扭转弹簧。

其他参数如图示。

设地基有水平运动z (t )，试建立系统微幅运动微分方程。

图中2,212cc k k ==。

解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。

对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为Ox F z x c z x k xm +----=)()( (1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为 Ox C F xM -= (2) Mg F yM Oy C -= (3)θθθθcos sin 1C a F a F k I OxOy ++-= (4)其中x C 、y C 及x 均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 θθa x a x x C +≈+=sin(5)a a y C ≈=θcos(6)由方程(1)、(2)消去未知力，F Ox 并考虑式(5)得kz z c kx x c Ma xm M +=++++ θ)( (7)题3-5图又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力F Oy 、F Ox ，并考虑式(5)和(6)，得0)()(12=-+++θθMga k Ma I x Ma C (8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x 和?为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=θx q那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++0)(0000)()(12kz z c x Mga k k x cx Ma I Ma Ma m M C θθθ (9)由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。

然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。

另解：由动静法得,以整体为研究对象∑=0X 2()()cos sin 0mx Mx k x z c x z Ma M a θθθθ-------+=以M 为研究对象：0om=∑1cos sin 0c Mxa Ma a I Mga k θθθθθ++-+=sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝又忽略高阶小量2θ，所以以上两式化简后得：()()()0m M x Ma c x z k x z θ+++-+-= 21()()0c Max I Ma k Mga θθ+++-=化成矩阵形式为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0)(00000)()(12kz z c x Mga k k x c x Ma I Ma Ma m M C θθθ3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI ，单位长度的质量为m ，分布载荷为F (y , t )。