振动系统的运动微分方程题解

习 题

3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ

其中

)(22

a g

P J C O +=

ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕ

ρcos )(22

Pa a g

P C =+ 或

0cos )(22

=-+ϕϕ

ρga a C

3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为：

222

1

21ωC C J mv T +=

用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =

2

C C m J ρ=

故

222222

1)cos 2(21θρθθ C

m Re R e m T +-+=

系统具有理想约束，重力的元功为

题3-1图

题3-2图

θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式

W dT δ=

θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθ

ρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，

θθθθθθθθθθ

ρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ

故微分方程为

0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθ

ρθmge mRe Re R e m C ①

若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为

0])[(22=++-θθρge r R C

要点及讨论

（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程

⎪⎩⎪

⎨⎧--=-=-=④③②

θ

θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C

上述方程包含C

x

，C

y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系

⎩⎨

⎧-=-=θθ

θcos sin e R y e R x C C ， ⎩⎨⎧=-=θθθθθ

sin cos e y e R x C

C 所以

⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=⑥

⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ

e e y e e R x C C

运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能

222222

1)cos 2(21θρθθ C

m Re R e m T +-+=

选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能

θcos mge V -=

由 E V T =+

E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 2

1)cos 2(2122222 两边对时间t 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。

3-3 均质杆AB ，长l ，质量为m ，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光

滑的。列写该系统的运动微分方程。

题3-3图

解：系统具有一个自由度，选ϕ为广义坐标。系统在任一位置的动能为

222

1

21ωC C J mv T +=

由瞬心法求质心的速度

ϕ 2l v C =，2121

ml J C =，ϕω = 所以

223

1

21ϕ

ml T ⋅= 系统的主动力图为图（a ）所示。重力的元功为

ϕϕδd l mg d m W C sin 2

=⋅=r g

由动能定理 W dT δ=

所以

ϕϕϕ

d sin l

mg )ml (

d 2312122=⋅ 系统的运动微分方程为

023=-

•

•ϕϕsin l

g

要点及讨论

（1）平面运动刚体可用式2*2

1

ωC J T =

计算刚体动能，式中2*md J J C C +=为刚体对瞬心的转动惯量，d 为质心与瞬心间的距离。

在本题中质心的速度C v 也可用式2

22C C C y x v +=计算。其中

⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕ

cos 2sin 2l

y l x C C ⎪⎩⎪⎨⎧-==ϕϕϕϕ

sin 2

cos 2 l

y l x C C （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角θ为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为

θ 2l v C =，θd l

dr C 2=

系统的动能

223

121θ ml T ⋅=

主动力的元功

θθδd l mg W cos 2

-=

根据动能定理建立的方程为

θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=⋅ 所以

θθ

cos 23l

g

-= “—”号说明当θ取正值时θ

为负，即反时针方向。 （3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。

3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m ，半径为r ，沿倾斜角为α的三角块作无滑动滚动，质量为M 的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。

题3-4图

解：系统具有两个自由度，选r x x 、为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：

E V T =+