高中数学2.5 圆锥曲线的共同性质

§2.5圆锥曲线的共同性质

要点精讲

椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：

圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线． 椭圆的离心率满足01，抛物线的离心率e =1．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲

线，准线方程都是 c

a x 2

±=

典型题解析

【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=

则动点P 的轨迹为椭圆；

③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135********=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得

【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由1()2

OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错， 设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 22

1259x y -=的焦点坐标(),而2

2135

x y +=的焦点坐标(),故④正确. 【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.

【例2】设,20π

θ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．

【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．

【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.

sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩

⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθθθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π

（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 ),4

0(cos 222πθθ<<=+y x 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2π

θθ<<=r

因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.2

24cos ,10cos ==π

知r 的取值范围是).2,2(4 【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．

（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；

（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；

（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；

（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称．

【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=23x －4，即y 2=23 (x －3

2)， 可知抛物线顶点为（3

2，0），准线方程为x=63． 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（

32，0），右准线x=63， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+===33

213363322222c b a b a c c a c

∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1

（Ⅱ）由0241)12(3131

222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y

∴|AB|=210

（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121

212121x x a y y x x k y y ka

由022)3(1

312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤

由④知：x 1＋x 2=232k

k -代入⑤ 整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．

【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．

【例4】已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a F 2||1=，

点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且 满足0||,022≠=⋅TF TF ．

（Ⅰ）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x a

c a P F +

=||1； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程； （Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求

∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．

【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应

用，以及综合运用数学知识解决问题的能力

..

② ③