高中数学2.5 圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质111数学
的坐标为 321，2.
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名师解题
求相关动点的轨迹方程
求以 y 轴为左准线，且过定点(3,2)的离心率为12的动椭 圆左顶点的轨迹方程．
[解] 设动椭圆左顶点的坐标为(x，y)，因椭圆的 y 轴为准线，
离心率为12，故左焦点的坐标为23x，y.
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用圆锥曲线的统一定义求轨迹(guǐjì)方程
已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x＝8 的距离 之比为12，求点 M 的轨迹． (链接教材 P47 例 1) [解] 由题意得 x|－x－282＋| y2＝12，整理得1x62＋1y22 ＝1. 故点 M 的轨迹为中心在原点，焦点为(±2,0)，准线为 x＝±8 页，共二十一页。
解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点
坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断(pànduàn)轨迹形状，再
由几何性质得方程．
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1．已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，对应准线 l：x＝－1， 且曲线过点 M(3,2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：∵MF＝ 3－12＋2 3－02＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， ∴MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1,0)． 由p2＝1 得 p＝2.故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．。 求相关动点的轨迹方程
圆锥曲线的共同性质_20121008122215622
四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ）备课时间3．9教学 课题2．5圆锥曲线的共同性质教时计划1教学课时1教学 目标 1．掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。
2．通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
3．培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
重点难点圆锥曲线第二定义的推导对圆锥曲线第二定义的理解与运用教学过程一、知识回顾1、思考：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为：a cx cay c x =-+-222)(， 你能解释这个式子的意义吗？这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线ca x 2=的距离之比等于定值a c，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？二、新课讲解例1、已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线ca x l 2:=的距离之比是常数)0(>>c a ac，求点P 的轨迹。
解：由题意可得a cx cay c x =-+-222)( 化简得)()(22222222c a a y a x c a -=+-。
令222b c a =-，则上式可以化为 )0(12222>>=+b a by a x 这是椭圆的标准方程。
所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。
变式 若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线ca x l 2:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数ac就是双曲线的离心率e 。
2.5 圆锥曲线的共同性质
c
图形
l l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
( (
p 2 p 2
,0 ) ,0y 2 px
2
x 2 py
2
(0,
p 2
)
y
p 2
l l
x 2 py
2
( 0，
p 2
)
y
p 2
例1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x y （1） 1 25 9 x y （ 3） 1 25 9
2 2
x
+ c + y
2 2 2
2
= 2a 2
x
- c + y
2 2
2
x + c + y = 4a - 4a
2
x - c + y
2
x - c + y
2
2
a － c x＝ a
x－ c
2
＋y
2
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a cx a
x
x
a
2
c
常数
c a
就是椭圆的离心率
e ( 0 ,1 ).
变题：若（
a c 0）改为（
c a 0）呢？
已知点P（x，y）到定点F（c，0）
x 的距离与它到定直线l： a
2
比是常数
c a
c
的距离的
(c a 0) ，求点P的轨迹．
(x c) y
2
2
|
a
2
c a
x
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性
跟踪训练 1 已知 A，B 是椭圆ax22＋295y2a2＝1 上的点，F2 是椭圆的右焦点， 且 AF2＋BF2＝85a，AB 的中点 N 到椭圆左准线的距离为32，求此椭圆方程.
解答
类型二 圆锥曲线统一定义的应用 命题角度 1 求有关最值问题 例 2 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆2x52＋y92＝1 内的两个点，M 是椭圆上的动点. (1)求 MA＋MB 的最大值和最小值；
解答
反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计 算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.
跟踪训练 3 已知椭圆的一个焦点是 F(3,1)，相应于 F 的准线为 y 轴，l 是过点 F 且倾斜角为 60°的直线，l 被椭圆截得的弦 AB 的长是156，求椭 圆的方程.
解答
命题角度2 焦点弦问题 例3 椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线方程为x＝8，离心率e＝12 . (1)求椭圆的方程； 解 设椭圆上任一点P(x，y)， 由统一定义得 x|－8－2x2|＋y2＝12， 两边同时平方，得 4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化简得1x62 ＋1y22 ＝1.
则点 M 的轨迹为2x52 ＋y92＝1.( × )
题型探究
类型一 已知准线求圆锥曲线的方程 例 1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 4，且 经过点 A(2 6，3)，求双曲线的方程.
解答
反思与感悟 (1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值2ca2，不论双曲 线位置如何，均可使用. (2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个： ①利用统一定义，②直接列出基本量 a，b，c，e 的关系式.
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
高中数学2.5 圆锥曲线的共同性质
§2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e.这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 ca x 2±=典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a,且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由1()2OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错，设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，221259x y -=的焦点坐标(),而22135x y +=的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθθθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|； （Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a为常数)对称．【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=23x －4，即y 2=23 (x －32)， 可知抛物线顶点为（32，0），准线方程为x=63． 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x=63， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=210（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=232k k-代入⑤② ③整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上． 【例4】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足Q F ||1=点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（Ⅰ）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 |1P F 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记||11r P F =则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得x aca r P F +==11||． 证法三：设点P 的坐标为).,(y x椭圆的左准线方程为.0=+x ac a 由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F += （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时， 由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 设点Q的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是 由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cb y ≤ 上式代入③得于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.③ ④③④当cb a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F MF -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以 规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式来确定解的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 0≠a ； （3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点．2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式1212x x y y k --=得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x x k x x k P P -++=-+=， 或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．。
高中数学第2章2.5圆锥曲线的共同性质课件苏教选修76.ppt
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1(－4,0)，直线 l：x＝－2，动点 M 到 F1 的距离是它到定直线 l 距离 d 的 2倍．设动点 M 的轨迹曲 线为 E. (1)求曲线 E 的轨迹方程； (2)设点 F2(4,0)，若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线，且点 F1，F2 到 m 的距离分别为 d1，d2，试判断 d1d2 是否为常数，并说明理由．
[一点通] (1)解决此类题目有两种方法： ①直接列方程，代入后化简整理即得方程． ②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而 得出方程． (2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进 行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过 点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题， 一般都要通过定义解决．
[思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入 化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．
[精解详析] 法一：由题意得 x|－x－282＋ | y2＝12， 整理得1x62＋1y22 ＝1. 法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭 圆．c＝2，ac2＝8，则 a2＝16，∴a＝4，∴e＝24＝12，与已 知条件相符， ∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线 x＝±8，b2＝12， 其方程为1x62＋1y22 ＝1.
最值问题 [例 2] 若点 P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆1x62＋1y22 ＝1 的右 焦点，点 Q 在椭圆上移动，当 QF＋12PQ 取得最小值时，求点 Q 的坐标，并求出最小值． [思路点拨] 利用定义把 QF 转化成到准线的距离，然后 再求它与12PQ 的和的最小值．
[精解详析] 在1x62＋1y22 ＝1 中 a＝4，b＝2 3，c＝2， ∴e＝12，椭圆的右准线 l：x＝8， 过点 Q 作 QQ′⊥l 于 Q′， 则QQQF′＝e. ∴QF＝12QQ′. ∴QF＋12PQ＝12QQ′＋12PQ＝12(QQ′＋PQ)． 要使 QQ′＋PQ 最小，由图可知 P、Q、Q′三点共线，所以由 P 向 准线 l 作垂线，与椭圆的交点即为 QF＋12PQ 最小时的点 Q， ∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为 x＝2. ∴Q 为(2，－3)，此时 QF＋12PQ＝92.
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质课件苏教版选修1-1
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线 的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或 p，最后 根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
利用圆锥曲线的定义求距离
点的距离.
双曲线x92－1y62 ＝1 上有一点 P，它到右准线的距离为151，求它到左焦
【精彩点拨】 首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把 到准线的距离转化为到焦点的距离求解.
解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利 用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的 圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的 两步过程交换先后顺序来解决.
1.椭圆x32＋y22＝1 的准线方程是________. 【解析】 由方程可知 a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为 x＝±ac2＝ ±3.
【答案】 x＝±3
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
2018学年高中数学选修1-1课件：2.5 圆锥曲线的共同性质 精品
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.
【提示】 易知椭圆的离心率是 e＝12，由PPDF＝12，得 PF＝12PD，故 PA＋12PD ＝PA＋PF≥AF＝3.即 PA＋12PD 的最小值是 3.
已知椭圆x82＋y92＝1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP＋3PF 的值最小.
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1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
2.5圆锥曲线的共同性质
2．5圆锥曲线的共同性质教学目标：（1）掌握圆锥曲线的共同性质，理解离心率、焦点、准线的意义（2）通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质（3）通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力重点：圆锥曲线第二定义的推导难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用一．知识回顾二．数学探究问题1：圆锥曲线有什么共同性质？它们的离心率有什么联系？从抛物线的定义出发来研究：1．抛物线离心率e=1:准线方程：2．椭圆的离心率0<e<1：准线方程：3．双曲线的离心率e>1：准线方程：三．数学应用例1：已知动点P满足到定直线的距离和它到定点F的距离比为，那么动点P的轨迹是_________________.例2：若椭圆的一条准线为，则________.例3：已知动点P满足，那么动点P的轨迹是什么？问题2：椭圆和双曲线的准线方程各是什么？练习：求下列曲线的准线方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例4．在椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使的值最小，求这个最小值.巩固练习:1.双曲线的准线方程是____________.2.已知平面内动点P到一条定直线的距离和它到定点F的距离的比等于，则点P 的轨迹是__________.3.椭圆上一点到其左准线的距离等于，则P到右焦点的距离等于_______4.以椭圆的右准线为准线的抛物线的标准方程是___________.问题探究：设A，是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“AF,BF,CF成等差数列”是“”的____________条件.课堂小结：1．知识小结：2．数学思想方法：课外练习：1.双曲线的准线方程为____________,两准线间的距离为_____________.2.椭圆的一条准线方程为，那么__________.3.若抛物线的准线是椭圆的一条准线，则=_______.4.已知点是椭圆上的一点，若点到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是__________.5.若双曲线的一条准线与两条渐近线交点确定的线段长恰好等于双曲线的实半轴长，则双曲线的离心率为__________________.6.已知定点F（-4,0），动点P到F的距离是P到定直线的距离的倍，则点P的轨迹方程为___________.7.若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_____.8.方程表示的曲线是________________.9.求圆心在抛物线上且与轴及抛物线的准线都相切的圆的方程.10.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上，且,,求点P到椭圆左准线的距离.。
圆锥曲线的共同性质
课堂互动讲练
考点突破 利用共同性质求方程
平面上， 动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 MF 线 l 的距离 d 之比 d ＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
例1 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，
x2 y2 例3 (本题满分 14 分)已知椭圆 ＋ 25 16 ＝1， 为椭圆上任意一点， 1， 2 为左、 P F F 右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求 点 P 的坐标．
【思路点拨】 出x. 设点P(x，y)，由焦半径公式求
【规范解答】 设点 P 的坐标为(x， y)． x2 y 2 ∵椭圆 ＋ ＝1， 25 16 ∴a＝5，b＝4，c＝3. 3 25 ∴e＝ ，准线方程为 x＝± .6 分 5 3 3 由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝ 5
圆锥曲线的焦半径、焦 点弦问题
圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的 问题常应用统一定义来解决． 圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题， 可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利 用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为 AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为 弦的两端点到准线的距离．
2． 圆锥曲线的焦点、 准线与曲线的相对 位置，曲线中与坐标系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心 c 率 e＝a，中心到焦点的距离 c，中心到 a2 准线的距离 c 等都是与坐标系无关的不 变量．
p 抛物线中焦点到顶点的距离 ，焦点到 2 准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不 变量．
25 3 x＋ ＝ x＋5， 3 5
2.5 圆锥曲线的共同性质
2.5圆锥曲线的共同性质班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【教学重点】解决与准线相关的简单的圆锥曲线问题． 【教学难点】根据标准方程求圆锥曲线准线方程． 【教学过程】 一、引入：1．椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别在何处？2．离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？二、新授内容：问题1．在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子2a cx -=，ca x c=-，你能解释这个式子的几何意义吗?问题2．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与到定直线l ：2a x c =的距离之比是常数(0)ca c a>>，求点P 的轨迹方程．变式：将条件0a c >>改为0c a >>呢？1．圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当 时，它表示椭圆； 当 时，它表示双曲线； 当 时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．2．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程是_________________________；双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的准线方程是_____________________．例2．求下列曲线的焦点坐标和准线方程：（1）22416x y +=； （2）22832y x -=； （3）20x y +=．【变式拓展】求下列曲线的准线方程：①2222153x y +=； ②222516400x y +=； ③22832x y -=；④224x y -=-； ⑤216y x =； ⑥23x y =-．【变式拓展】（2）焦点坐标为，(，准线方程为x =±的椭圆方程为 ．（3）顶点坐标为(0,2)，(0,2)-，准线方程为43y =±的双曲线方程为 ．反思：例3．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，求点P 到椭圆右准线的距离．【变式拓展】已知双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例3．填空题专项：（1）到定点(5,0)A 及定直线165l x =：的距离之比为5:4的点的轨迹方程为 ．（2）设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分，则此双曲线的离心率为 ．（3）已知P 是椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6，12，则椭圆方程为__________________．*（4）椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使2MP MF +最小，则点M 坐标为 ．三、课堂反馈：1．中心在原点，准线方程为4y =±，离心率为12的椭圆方程是 ．2．已知双曲线的焦点为(，渐近线方程为32y x =±，则它的两条准线间的距离是________．3．已知双曲线22194x y -=上一点P 到右焦点的距离为3，则点P 到左准线的距离为 ．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点到相应准线的距离等于a ，则椭圆的离心率为 ．*5．椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 ．2．双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则双曲线的离心率为_________．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 ．4．双曲线的渐近线方程为2y x =±，焦点在x ， 则双曲线的方程为 ．5．椭圆2212516x y +=上的点A 到右焦点的距离等于4，则点A 到两条准线的距离分别为__________．6．已知双曲线22x a －22y b＝1（0,0a b >>）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （o 为原点），则渐近线的方程为_______________．*7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； （4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 其中适合抛物线210y x =的是 (要求写出所有适合条件的序号)____________．8．若双曲线22116x y k-=的一条准线恰好为圆2220x y x ++=的一条切线，则实数k 为________．9．已知点P 在抛物线24x y =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2,3)， 求PA PF +的最小值及此时点P 的坐标．*10．已知(A -是椭圆2211612y x +=内一点，2F 是椭圆的上焦点，点M 在椭圆上移动，当22MA MF +取最小值时，求点M 的坐标．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质3111数学
c
a
求点P的轨迹 .
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归纳 提升
形成 定义
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常 数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
离相等的点的轨迹叫抛物线.
即:若
,则点 的轨迹是抛物线.
当比值是一个不等于1的常数时，动点M的轨 迹又是什么呢？
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提出 问题
探究 新知
问题一：曲线上点M（x,y）到定点F
（2,0）的距离和它到定线l:x=8的距离 的比是常数0.5， 求曲线的方程。
问题二：曲线上点M（x,y）到定点F（-
选做题：
动点P( x, y)到定 点A(3,0)的距离比 它到定直线x=-5 的距离小2,求点P 的轨迹方程 。
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板书设计
第一版 第二版 第三版 第四版
思考1 思考2 探究
圆锥曲线 的统一定
义
例题
变式训练 变式训练
（1）
（2）
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12/13/2021
创设情景 引入新课
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复习 回顾
引出 新课
（一）平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。
（二）平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
（三） 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距
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§2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线． 椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 ca x 2±=典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线135********=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且2||a AB <,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由1()2OP OA OB =+,得P 为弦AB 的中点,故②错， 设22520x x -+=的两根为12,x x 则12125,12x x x x +==可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 221259x y -=的焦点坐标(),而22135x y +=的焦点坐标(),故④正确. 【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθθθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 ),40(cos 222πθθ<<=+y x 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4 【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称．【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=23x －4，即y 2=23 (x －32)， 可知抛物线顶点为（32，0），准线方程为x=63． 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x=63， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1（Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=210（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤由④知：x 1＋x 2=232kk -代入⑤ 整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a F 2||1=，点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且 满足0||,022≠=⋅TF TF ．（Ⅰ）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x ac a P F +=||1； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程； （Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】本小题主要考查平面向量的概，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力..② ③（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得 .)()()(||222222221x a c a x a b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x ac a F += 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F == 则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得x ac a r F +==11||． 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a 由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x ac a P F +=（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时， 由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0， 由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M. 当c b a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅， 22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得 .2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是 ③ ④⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cb y ≤ 上式代入③得 .0))((2224220≥+-=-=c b a c b a c b a x 于是，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M. 当c b a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式来确定解的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 0≠a ；0=∆（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式1212x x y y k --=得 弦长公式为：()()[]21221212221411x x x x k x x k P P -++=-+=， ③ ④或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为： ()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．。