线性代数5 PPT课件
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线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数同济大学第五版课件5-3
正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
上页 下页
0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
上页
下页
一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
上页 下页
可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
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可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数课件5-2相似矩阵与二次型
23
解得x2 2 x1 ,
所以,对应的特征向量可取为p2
1 2 .
2
3对应的全部特征向量为k2
p2
k2
1
2
,
(k2
0).
9
2 1 1
例2
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解 特征多项式为 f ( ) A E
2 1 1
2 1
0
2
0
(2 )
4
3
4 1 3
20
于是，得到关于 x1, x2 , , xm 的m个方程 从而，满足下面的方程组：
x1 p1 x2 p2 xm pm 0
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0
1m1
x1
p1
m1 2
x2
p2
m1 m
xm
pm
0
下求该齐次方程组的解
1 1
1
2
1 x1 p1 0
2xx21
x3 x3
,
令x3 1,
基础解系为p1
1 2
1
.
故对应于1 1的全体特征向量为 1
k1 p1
(k1 0).
当2 3 2时, 齐次方程为
1
2
1 2
2 2
1
A
2
2
1 2 2
1 2 2
r3
r1 (1) r2 , r2
2r1
1 0 0
1 x1 0
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
5.对应特征向量 i的特征值即是 齐次方程( A i E)x 0的解pi .
解得x2 2 x1 ,
所以,对应的特征向量可取为p2
1 2 .
2
3对应的全部特征向量为k2
p2
k2
1
2
,
(k2
0).
9
2 1 1
例2
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解 特征多项式为 f ( ) A E
2 1 1
2 1
0
2
0
(2 )
4
3
4 1 3
20
于是，得到关于 x1, x2 , , xm 的m个方程 从而，满足下面的方程组：
x1 p1 x2 p2 xm pm 0
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0
1m1
x1
p1
m1 2
x2
p2
m1 m
xm
pm
0
下求该齐次方程组的解
1 1
1
2
1 x1 p1 0
2xx21
x3 x3
,
令x3 1,
基础解系为p1
1 2
1
.
故对应于1 1的全体特征向量为 1
k1 p1
(k1 0).
当2 3 2时, 齐次方程为
1
2
1 2
2 2
1
A
2
2
1 2 2
1 2 2
r3
r1 (1) r2 , r2
2r1
1 0 0
1 x1 0
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
5.对应特征向量 i的特征值即是 齐次方程( A i E)x 0的解pi .
广东工业大学《线性代数》课件 PPT 5.2线性相关和线性无关
例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
证法二 利用矩阵秩 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
(b1
,
b2
,
b3
)
(a1
,
a2
,
a3
)
1
1
0
0 1 1
记作BAK 因为 |K|20 知K可逆 所以 r(B)r(A)
的数 k1, k2 , , km ,使得
k11 k22 kmm 0 () 则称向量组1,2 , ,m 线性相关, 否则称它们线性无关.
依据前面的分析可得如下重要结论
向量组
A：a1, a2, …, am 线性相关(无关)
m 元齐次线性方程 Ax = 0
有非零解(零解)
r(A) < m (r(A) = m )
其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数．
以上结果，显示了Rn的向量之线性相关性与齐 次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系. 注 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必
居其一; 对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则
线性无关． 两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(对应分量成比例)
看下这个问题 对后面线性相 关和无关的理 解有帮助
向.量b 能由向量 组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
r( A) r( A,b)
问题2′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合 的系数不一定全等于零．
1、线性相关性的概念
定义 设1,2 , ,m 为同维向量, 若存在不全为零
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
《线性代数(修订版)》教学课件 5.1 向量空间的定义
仅由一个零向量组成的向量集合 V 0 ，
对线性运算是封闭的，称为零空间.
除了Байду номын сангаас空间 V 0 外，任何向量空间都含
有无穷多个向量.如上八条也可作为向量空间的 等价定义.
例．1：2维向量的全体 2是一个向量空间
因为任意两个2维向量之和仍然是2维向量，数 乘2维向
量也仍然是2维向量，它们都属于 2．可以用直角坐标平面 内的有向线段形象地表示2维向量，从而向量空间 2也可形 象地看作平面内以坐标原点为起点的有向线段的全体．由于 以原点为起点的有向线段与其终点一一对应，因此 2也可看 作取定坐标原点的点空间．
这是因为 x1 1a 1b , x2 2a 2b 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b L kx1 (k1 )a (k 1 )b L
称这个空间向量为由向量 a, b所生成的空间向量. 一般地，称集合
L x 1a1 2a2 ... mam | 1, 2 , ..., m
同理可证，若 x L2 ，则有 x L1 ，即 L2 L1 所以 L1 L2 .
§5.1.2 向量空间的子空间
定义2
设向量空间 v1 ，v2 ，若 v1 v2 ，称 v1 是 v2 的子空间
例3 中齐次线性方程组的解空间 S x | Ax 0 ， 是 n维向量的全体向量空间 n 的一个子空间.事实上,例2到
（3） V中有零向量 ，对 V中任意向量 α 都有 0 ；
(4) 对 V中任意向量 ，都有一个向量 V ，使得 0 ， 记 ，称为 α 的负向量.
(5) 1 ;
(6) k(l ) (kl);
(7) (k l)α kα lα ; (8) k( ) k k ;
注：
应注意，非齐次线性方程组的解集
对线性运算是封闭的，称为零空间.
除了Байду номын сангаас空间 V 0 外，任何向量空间都含
有无穷多个向量.如上八条也可作为向量空间的 等价定义.
例．1：2维向量的全体 2是一个向量空间
因为任意两个2维向量之和仍然是2维向量，数 乘2维向
量也仍然是2维向量，它们都属于 2．可以用直角坐标平面 内的有向线段形象地表示2维向量，从而向量空间 2也可形 象地看作平面内以坐标原点为起点的有向线段的全体．由于 以原点为起点的有向线段与其终点一一对应，因此 2也可看 作取定坐标原点的点空间．
这是因为 x1 1a 1b , x2 2a 2b 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b L kx1 (k1 )a (k 1 )b L
称这个空间向量为由向量 a, b所生成的空间向量. 一般地，称集合
L x 1a1 2a2 ... mam | 1, 2 , ..., m
同理可证，若 x L2 ，则有 x L1 ，即 L2 L1 所以 L1 L2 .
§5.1.2 向量空间的子空间
定义2
设向量空间 v1 ，v2 ，若 v1 v2 ，称 v1 是 v2 的子空间
例3 中齐次线性方程组的解空间 S x | Ax 0 ， 是 n维向量的全体向量空间 n 的一个子空间.事实上,例2到
（3） V中有零向量 ，对 V中任意向量 α 都有 0 ；
(4) 对 V中任意向量 ，都有一个向量 V ，使得 0 ， 记 ，称为 α 的负向量.
(5) 1 ;
(6) k(l ) (kl);
(7) (k l)α kα lα ; (8) k( ) k k ;
注：
应注意，非齐次线性方程组的解集
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
5对称矩阵的对角化
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P 1 AP P 1 P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
工程数学线性代数同济第五版课件1-4
是否都是六阶行列式中的项. 解 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 下标的逆序数为
t 431265
01 2 2 01 6
所以 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 是六阶行列式中的项. a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 下标的逆序数为 t 452316 8
所以 a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 不是六阶行列式中的项.
上页 下页
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1 ) a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 ; (1 ) (2) a 32 a 43 a 14 a 51 a 66 a 25 .
t
( 1) ( 1) 1 ( 1)
t t
r t1
( 1)
r t1
a 1 p1 a j p j a i p i a n p n
上页 下页
上式表明：对换两个元素，行标排列与列标排 列的逆序数之和并不改变奇偶性。 经一次对换是如此，经多次对换还是如此。于 是，经若干次对换后，得到：
列标排列 p1 p 2 p n 变为标准排列（逆 序 数为 0）
行标排列由标准排列变为某个新的排列，设为
q 1 q 2 q n , 其逆 序 数为 s , 则有
（ - 1 a 1 p1 a 2 p 2 a np n ( 1 ) a q1 1 a q 2 2 a q n n ）
a 1 a l ab 1 b m bc 1 c n
现在对换 a 与 b .
上页 下页
a 1 a l a b1 bm b c1 c n
线性代数同济大学第五版课件5-2张
~
1 p1 , 1
所以对应于 1 2的全部特征向量为
k1 p1 (k1 0)
上页 下页
当2 4时, 解方程组 A 4 E ) x 0.由 (
3 4 A 4E 1 1 1 3 4 1 1 1
1 A E 4 1
1 3 0
0 0 2 ( 2 ) (1 ) ,
2
所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当1 2时, 解方程组 A 2 E ) x 0.由 (
上页 下页
1 0 3 1 0 1 2 A 2E 4 32 0 4 1 0 1 0 2 2 1 0 0
~
1 0 0 0 1 0 , 0 0 0
得基础解系
0 p1 0 1
所以对应于 1 2的全部特征向量 .
k1
p (k
1
1
0)
上页
下页
当 2 3 1时, 解方程( A E ) x 0.由
1 0 2 1 0 11 A E 4 31 0 4 2 0 1 0 2 1 1 0 1
一、特征值与特征向量的概念
定 义6
方 非 设 A 是 n 阶 矩 阵, 如 果 数 和 n 维 非 零 阵 零
Ax Ax x x
列 向 量x 使 关 系 式
成 立, 那末, 这样的数 称为方阵 的特征值 (eigenvalue) A
非零向量x 称为 A 的对应于特征值 的 特征向量(eigenvector)
2 2
故 是矩阵A 的特征值, 且 x 是 A 对应于 的特