高中数学 第二章《解三角形》教案 北师大版必修5

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案
一、教学目标
1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==, A 则sin sin sin a b c c A B C
=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C
==
C a B (图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c
A C
同理，过点C 作⊥j BC ，可得
sin sin =b c B C 从而 sin sin a b A B =sin c C
= 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
[理解定理]：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的
任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理，0
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a
因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
⑴ 当0
64≈B 时，0
180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A
⑵ 当0
116≈B 时，0
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习：课本本节练习1和练习2。

[补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）：（1）定理的表示形式：
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
()
0sin sin sin a b c
k k A B C ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，
sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已
知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业：课本习题2-1 A 组3、4 五、教后反思：
第二课时 §2.1.2余弦定理
一、教学目标
1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠C ，求边c b a
A c
B (图1．1-4)
Ⅱ.探析新课 [探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A
如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c
()()
2
22
2 2c c c a b a b
a a
b b a b a b a b
=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B
从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222
cos 2+-=b c a A bc ；222
cos 2+-=a c b B ac
222
cos 2+-=
b a
c C ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴
解
：
∵
2222cos =+-b a c ac B =222+-⋅cos 045=2121)+-
=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴0
60.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b 2.4 1.4 3.8,+=21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴0
60.=A
评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7
+-=
⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ；
cos 2222+-=c a b B ca 222
134.6161.787.82134.6161.7+-=
⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B Ⅲ.课堂练习：本课本节练习1、2、3
[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）
Ⅳ.课时小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

Ⅴ.课后作业：课本习题2-1 A 组6、7 B 组2 五、教后反思：
第三课时§2．1．3解三角形的进一步讨论
一、教学目标
1、知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2、过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3、情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入
[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.探析新课
[探索研究]：例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况
分析：先由sin sin b A
B a
=
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C
c A
=
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，1
2
c =
，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3
）2x <<
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知
222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆ （注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形∆。

[随堂练习2]
（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）
ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形） 例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为
2，求sin sin sin a b c
A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111
sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
sin sin sin a b c
A B C
++++
解：由1sin 2S bc
A ==得2c =，
则2222cos a b c bc A =+-=3，即a =
从而
sin sin sin a b c A B C ++++2sin a
A
==
Ⅲ.课堂练习
（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S = C （2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积222
4
a b c S +-=，求角C
（答案：（1）060或0120；（2）045）
Ⅳ.课时小结：（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业：（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根， 求这个三角形的面积。

五、教后反思：
第四课时 三角形中的几何计算（一）
一、教学目标：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转
化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒
等式
二、教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
三、教学方法：启发引导式 四、教学过程
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证
结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理
的边角互换作用
（一）、复习引入： 正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 22
2
2
A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
,cos 22
2
2
B ca a c b -+=⇔ca
b a
c B 2cos 2
22-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=，⇔ab
c b a C 2cos 2
22-+=
（二）、范例探析：
例1、在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a 证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例2 、在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45︒ 求A 、C 及c
解：由正弦定理得：232
45sin 3sin sin =
== b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a
∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c 当A=120︒时C=15︒ 2
2645sin 15sin 2sin sin -===
B C b c 例3、 在△ABC 中，BC=a, AC=b, a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积
解：（1）cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-2
1 ∴C=120︒ （2）由题设：⎩⎨⎧=-=+2
32b a b a ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+=
ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10
（3）S △ABC =2
323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例4 、△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ; 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *
∈N k 且1>k ∵C 为钝角 ∴0)
1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去
当3=k 时 109,4
1cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y x
S )4(4
15415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅
-== 当2=x 时S 最大=15 例5、 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为BC 中点，且AD ＝4，求BC 边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以
BD 、DC 可表示为2x ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x ，在△ADB 中，cosADB ＝,2
425)2(42222222x x BD AD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 在△ADC 中，cosADC ＝.2423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cosADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cosADC
∴2
423)2(42425)2(42
22222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA ，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得3
5==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cosA ，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC 三边为a ，b ，c 则Ｓ△ABC ＝B ac sin 2
1 ∴b
B abc B ac abc S AB
C 2sin 2sin ==∆ 又R B
b 2sin =，其中R 为三角形外接圆半径 ∴
R abc S ABC 41=∆, ∴abc ＝4RS △ABC ＝4×1×0．25＝1 所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC ＝B ac sin 2
1发生联系，对abc 进行整体求解 2在△ABC 中，已知cosA ＝53，sinB ＝13
5，求cosC 的值 解：∵cosA ＝53＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°, ∴sinA ＝5
4 ∵sinB ＝135＜2
1＝sin30°，0＜B ＜π∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符∴0°＜B ＜30° cosB ＝13
12 ∴cos （A ＋B ）＝cosA ·cosB －sinA ·sinB ＝65
1613554131253=⋅-⋅，又C ＝180°－（A ＋B ）
∴cosC ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－65 评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
四、小结：通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力。

五、课后作业：课本本节习题2-2 A 组3、4、5、6 B 组2、3
八、教后反思：
第五课时 三角形中的几何计算（二）
一、教学目标：1、会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；2、搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；3、理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4、通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力。

二、教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
三、教学方法：启发引导式
四、教学过程：
（一）．复习回顾：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
（二）、探析范例：
例1:某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘ ｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题
解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB ＝21ｘ海里，BC ＝9ｘ 海里，AC ＝10 海里，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°， 根据余弦定理，可得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得
(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，
即36ｘ2－9ｘ2×10＝0
解得ｘ1＝32，ｘ2＝－125 (舍去) ∴AB ＝21ｘ＝14，BC ＝9ｘ＝6
再由余弦定理可得cos ∠BAC ＝,9286.010
1426101422
22222=⨯⨯-+=⋅⋅-+AC AB BC AC AB ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′
所以舰艇方位角为66°47′，32小时即40分钟答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理
例2:如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值 分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC ，Ｓ△OPC 可用2
1·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决
解：设∠POB ＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：
PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ
∴ｙ＝Ｓ△OPC ＋Ｓ△PCD ＝θsin 212
1⨯⨯＋43(5－4cos θ) ＝2sin(θ－3
π)＋435
∴当θ－3π＝2π即θ＝65π时，ｙmax ＝2＋435 评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β的构造及逆用，应要求学生予以重视
（三）．随堂练习：1．已知,A B 两地的距离为10,,km B C 两地的距离为20km ，现测得120ABC ∠=，则,A C 两地的距离为 （ ） A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km
2在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求
AB
解：在△ADC 中，
cosC ＝,14
113725372222222=⨯⨯-+=⋅⋅-+DC AC AD DC AC 又0＜C ＜180°，∴sinC ＝1435 在△ABC 中，C
AB B AC sin sin = ∴AB ＝.2
65721435sin sin =⋅⋅=AC B C 评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
2、 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长。

解：在△ABD 中，设BD=x 则
BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222
即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：
096102=--x x 解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理：
BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135
sin 16=⋅= BC
（四）．小结：通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
(五）、课后作业：课本本节2-1 B 组2、3
补充题：在△ABC 中已知a ＝2bcosC ，求证：△ABC 为等腰三角形 证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝B A b sin sin
∴2bcosC ＝B A
b sin sin ，即2cosC ·sinB ＝sinA ＝sin （B ＋C ）＝sinBcosC ＋cosBsinC
∴sinBcosC －cosBsinC ＝0即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形
证法二：根据射影定理，有a ＝bcosC ＋ccosB ，又∵a ＝2bcosC ∴2bcosC ＝bcosC ＋ccosB ∴
bcosC ＝ccosB ，即.cos cos C B c b =又∵.sin sin C B
c b =∴,cos cos sin sin C B
C B
=即tanB ＝tanC
∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C ∴△ABC 为等腰三角形
五、教后反思：
第六课时§2.3.1解三角形应用举例(一)
一、教学目标：1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

2、过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。

3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学方法：启发引导式
四、教学过程
Ⅰ.课题导入：1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]：请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.探析新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒
75。

求A、B两点的距离
51，∠ACB=︒
(精确到0.1m)
启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

解：根据正弦定理，得ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒= ︒︒54sin 75sin 55≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。

首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得 AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a ，BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )
sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

学生阅读课本，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

Ⅲ.课堂练习：课本本节练习第1、2题
Ⅳ.课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业：课本2-3 A 组第2、3、4题
五、教后反思：。