已知系统的开环传递函数.ppt
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轨迹；而负反馈系统的轨迹为 180 根轨迹。
例4-1
如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：
G(s) K s(0.5s 1)
•开环传递函数有两个极点 p1 0, p2 2 。 没有零点，开环增益为K。
闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
•闭环特征方程为 D(s) s2 2s 2K 0
(2k 1)
22 (k 1)
以 s2为试验点，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 900 900
(2k 1)
22
(k=0)
可见， s1, s2 都满足相角方程， 所以， s1, s2 点是闭环极点。
证毕
例4-3
•已知系统开环传递函数 G(s)H (s) K /(s 1)4
（4-7）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
根轨迹方程 G(s)H(s)=-1
式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示 出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
4－1 根轨迹法的基本概念
1、根轨迹概念
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个
参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特 征根在s平面上移动的轨迹。
•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根
•闭环特征根为 s1 1 1 2K , s2 1 1 2K
从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的 变化而变化。例如，设
K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 K=+∞
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j, s2 1 j s1 1 2 j, s2 1 2 j s1 1 j, s2 1 j
i 1 n
1
(s pi )
i 1
（4－8）
不难看出，式子为关于s的复数方程，因
此，可把它分解成模值方程和相角方程。
m
n
相角
(s zi ) (s pi ) (2k 1)
方程 i1
i 1
k 0, 1, 2,
（4－9）
m
K* | s zi |
模值
i 1
方程
n
1
| s pi |
i 1
（4－3）
l
(s zj )
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s pj )
j 1
（4－4）
式中
K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
f
l
(s zi ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs z j )
G(s)H
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 l
(s pi ) (s p j )
i 1
i 1
f
l
(s zi ) (s z j )
（4－1）
将前向通道传递函数G（s）表示为：
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21
2s
1)…
s (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)…
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4－2）
KG
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
试证明复平面上点 s1 2 j4, s2 2 j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点 p1 2, p2 2
若系统闭环极点为 s1 , s2 它们应满足相角方程（4－9）
例4－1开环零、极点分布图
•以 s1为试验点，观察右图，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90
（4－10）
注意
模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K*值。
例4-2 已知系统的开环传递函数:
G(s)H (s) 2K /(s 2)2
①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益；
②闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成；
③闭环系统的极点与开环系统的极点、
零点以及开环根轨迹增益 K* 有关。
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分 布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
4、根轨迹方程
闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
第4章 根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导 极点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增 益和开环增益。
3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增 益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由 闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分 析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有 意义的。
如果把不同 K值的闭环特征 根布置在s平面 上，并连成线， 则可以画出如 图所示系统的 根轨迹。
2、根轨迹与系统性能
• 稳定性 当K由0→∞ ，根轨迹不会
进入s右半边，即系统总是稳定的。
• 稳态特性 坐标原点有一个开环极
点，所以属I型系统，根轨迹上的 K值 就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上 可确定闭环极点取值范围。
•动态特性
当0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统； 当K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
如图所示系统闭环传递函数为
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
K*
i 1 q
j 1 h
(s pi ) (s p j )
i 1
j 1
（4－5）
问：f与l、q与h有什么关系？
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s) KG*
k 1 n
(s pk )
k 1
（4－6）
式中：zk , pk 分别为闭环零、极点。
比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论
例4-1
如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：
G(s) K s(0.5s 1)
•开环传递函数有两个极点 p1 0, p2 2 。 没有零点，开环增益为K。
闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
•闭环特征方程为 D(s) s2 2s 2K 0
(2k 1)
22 (k 1)
以 s2为试验点，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 900 900
(2k 1)
22
(k=0)
可见， s1, s2 都满足相角方程， 所以， s1, s2 点是闭环极点。
证毕
例4-3
•已知系统开环传递函数 G(s)H (s) K /(s 1)4
（4-7）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
根轨迹方程 G(s)H(s)=-1
式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示 出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
4－1 根轨迹法的基本概念
1、根轨迹概念
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个
参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特 征根在s平面上移动的轨迹。
•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根
•闭环特征根为 s1 1 1 2K , s2 1 1 2K
从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的 变化而变化。例如，设
K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 K=+∞
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j, s2 1 j s1 1 2 j, s2 1 2 j s1 1 j, s2 1 j
i 1 n
1
(s pi )
i 1
（4－8）
不难看出，式子为关于s的复数方程，因
此，可把它分解成模值方程和相角方程。
m
n
相角
(s zi ) (s pi ) (2k 1)
方程 i1
i 1
k 0, 1, 2,
（4－9）
m
K* | s zi |
模值
i 1
方程
n
1
| s pi |
i 1
（4－3）
l
(s zj )
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s pj )
j 1
（4－4）
式中
K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
f
l
(s zi ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs z j )
G(s)H
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 l
(s pi ) (s p j )
i 1
i 1
f
l
(s zi ) (s z j )
（4－1）
将前向通道传递函数G（s）表示为：
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s
2
21
2s
1)…
s (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)…
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4－2）
KG
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
试证明复平面上点 s1 2 j4, s2 2 j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点 p1 2, p2 2
若系统闭环极点为 s1 , s2 它们应满足相角方程（4－9）
例4－1开环零、极点分布图
•以 s1为试验点，观察右图，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90
（4－10）
注意
模值方程不但与开环零、极点有关，还与开 环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。
相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要 条件。
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K*值。
例4-2 已知系统的开环传递函数:
G(s)H (s) 2K /(s 2)2
①闭环系统根轨迹增益等于系统前向通 道的根轨迹增益；
②闭环系统零点由前向通道的零点和反 馈通道的极点组成；
③闭环系统的极点与开环系统的极点、
零点以及开环根轨迹增益 K* 有关。
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分 布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
4、根轨迹方程
闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
第4章 根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导 极点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增 益和开环增益。
3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增 益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由 闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分 析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有 意义的。
如果把不同 K值的闭环特征 根布置在s平面 上，并连成线， 则可以画出如 图所示系统的 根轨迹。
2、根轨迹与系统性能
• 稳定性 当K由0→∞ ，根轨迹不会
进入s右半边，即系统总是稳定的。
• 稳态特性 坐标原点有一个开环极
点，所以属I型系统，根轨迹上的 K值 就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上 可确定闭环极点取值范围。
•动态特性
当0< K1 <0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当K1 =0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统； 当K1 >0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。
3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
如图所示系统闭环传递函数为
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
K*
i 1 q
j 1 h
(s pi ) (s p j )
i 1
j 1
（4－5）
问：f与l、q与h有什么关系？
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s) KG*
k 1 n
(s pk )
k 1
（4－6）
式中：zk , pk 分别为闭环零、极点。
比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论