《微积分》复习题参考答案

华南理工大学广州学院基础部关于10级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知通知要点★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案 一、考试的重点内容与要求考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0ba f x dx =⎰；当a b>时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰）。

理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。

掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。

掌握牛顿—莱布尼茨公式。

掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。

会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。

会求无限区间上的广义积分。

2、无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。

熟悉几何级数（即等比级数）0n n aq ∞=∑（0,a q ≠叫公比）、调和级数11n n ∞=∑与p -级数11(0)p n p n∞=>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。

了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

了解幂级数0n n n a x ∞=∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用函数11x-、x e 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。

注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。

还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。

3、多元函数微积分（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。

（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。

掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。

会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设(,)z f u v =，而(),u x y ϕ=，(),v x y ψ=求偏导数；设(,)z f u v =，而()u x ϕ=，()v x ψ=求全导数；由方程(),0F x y =确定()y y x =，求dy dx ；由方程(),,0F x y z =确定(,)z z x y =，求,z zx y∂∂∂∂等等。

（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手”。

（4）二重积分理解二重积分的概念、熟悉二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

4、微分方程了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

掌握可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程的解法。

会用降阶法求解二阶方程：''()y f x =。

最后我们指出，上述四个部分的内容是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实；同时也要注意各部分知识间的联系与运用，促进自身数学素质的提高。

二、考试的形式与试卷结构1、考试形式为闭卷、笔试，满分100分，考试时间为120分钟。

2、试卷内容比例：定积分及其应用约30%，无穷级数约23%，多元函数微积分约30%，微分方程约17%，。

3、试卷题型比例：填空题15%，单项选择题15%，计算题49%，解答题21%。

三、题型示例与答案 第一部分：题型示例（一） 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

把答案写在横线上。

） 1、定积分()21ln ex dx x=⎰_____________.解：原式=()()⎰eInx d Inx 12=()eInx 1331=()()3313131In Ine - =312、设()f x 是连续函数，且()20x f t dt x =⎰，则()9f =______________.解：两边同时求导得()()''31x t d t f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()122=x x f 由[]+∞∈,0x 3=∴x ()123=⋅⋅q f ()61=q f 3、设2ln(1)z x y x y =+-+，则2z x y∂=∂∂______________.解：由y x yx x Z +--=112' 再次微分得()2112''x y x xy Z +-+= 4、幂级数∑∞=13n n nnx 的收敛半径R =______________.解：由R=1lim+∞→n n n a a =()131131lim +∞→⋅+⋅n n n n n =()n n n 13lim +∞→ 31=+∞→n nn a a lin []+∞∈,03 3=∴R 5、设区域{(,)01,10}D x y x y =≤≤-≤≤，则xy Dxe dxdy =⎰⎰_____________.解： 由题意可知[]1,0∈x []0,1-∈y即⎰⎰Dxy dxdy xe =dy e x dx xy ⎰⎰-0110=dx e xy 0110-⎰ =()⎰--11dx e x =⎰-+110dx e x x =110xe x -+=e1（二） 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设()2,0,,0,x x f x x x ⎧>=⎨≤⎩则()11f x dx -=⎰（ B ）A ．012xdx -⎰B ．10201x dx xdx -+⎰⎰C ．1202x dx ⎰D ．10201xdx x dx -+⎰⎰ 解：因为()⎰-11dx x f =()()⎰⎰+-1001dx x f dx x f所以由题刻知原式=⎰⎰-+01102xdx dx x2、设级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（ D ）A ．21n n u ∞=∑B ．1n n u ∞=∑C ．()110n n u ∞=-∑ D ．11000n n u ∞=∑解：乘以一个常数不改变其收敛性 3、下列级数中收敛的是（ A ）A．n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．()1121n n ∞=+∑ D ．1n ∞=解：根据分母最高次幂减去分子最高次幂可以判断4、设区域D 是单位圆221x y +≤在第一象限的部分，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰（ C） A．0B ．1dx ⎰C ．100dy ⎰ D ．122001sin 22d r dr πθθ⎰⎰解：确定[]1,0∈x 则[]21,0x y -∈或者[]1,0∈y 则[]21,0y x -∈ 5、微分方程0y y '-=满足初始条件02x y==的特解为是（ A ）A ．2x y e =B ．2x y e -=C ．1x y e =+D ．1x y e -=+ 解：因为0'=-y y 所以有y dx dy = dx dy y=11c x Iny +=∴ x c x c x e C e e e e y 211=⋅=+= 20==x y 则22=C（三）计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1、计算定积分0cos3x xdx π⎰。

解：原式=⎰⋅π03sin 31x d x =[]⎰⋅-⋅⋅ππ003sin 3sin 31dx x x x =[]ππ003cos 313sin 31x x x +⋅=92- 2、计算定积分4⎰。

解：令t x =+12 则212-=t x[]4,0∈x 则[]3,1∈t 且dt t dx ⋅=()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅+=∴3031313131322232233121321232232t t dt t dt t dt t t t 原式 3、求微分方程ln 0xdy y ydx -=的通解。

解：由原式可得dx yIny dy x ⋅=⋅两边变形得dy yInydx x11=得()Iny In Inc Inx =+即()x Inc Iny In ⋅=所以cx e y = 4、求方程ln xxy y x'+=满足初始条件112x y ==的特解。

解：由题意可知21'x Inx y xy =+令()x x p 1= ()2x I n xx q =则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-c dx e x Inx e y dx x dx x 121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰c dx x Inx x 1=()x c Inx x +221 211==x y则2=c ()[]1212+=I n x xy 5、判定级数44441231!2!3!!n n +++++ 的敛散性。

解:原式=∑∞=14!n n n ()()!!1144limn n n n n ++∞→ =()431lim n n n +∞→=0 所以原级数收敛 6、用间接方法将函数3x 展开成x 的幂级数，并指出展式成立的区间。

解：利用bInaIna beea b==由题意可得333xIn In xe ex==由'........'212n x x x e nx++++=所以()()!3.........!2!3313n xIn xIn In x en xIn ++⋅+= ()n n n xx n In ⋅=∴∑∞=0!337、计算二重积分2Dxy d σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域。

解：由题意可得422=+y x所以与y 轴所围成的右半闭区域可以表示为4sin cos 2222=⋅+⋅θθr r 即4)sin (cos 222=+θθr 42=∴r 即2=r因为原式=⎰⎰⋅⋅⋅⋅⋅⋅Dd dr r r r θθθ22sin cos =θθθd dr r D⋅⋅⋅⋅⎰⎰24sin cos=⎰⎰-⋅222420sin sin ππθθd r dr =⎰⋅⋅2024sin sin 31θθd r =⎰⋅204231dr r =255132r ⋅⋅ =1564 （四）解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1、设由方程ln0x zz y-=确定隐函数(),z z x y =，求全微分dz 。

解：令yz In zx F -=则zx F 1'= yy F 1'=2'z z x z F --=z x z z z +=∂∂∴ ()yx z z y z +=∂∂2()dx z x z dy y x z z dz +++=∴2=)(2dy yz dx x z z ++2、求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积。