《微积分》复习题参考答案

华南理工大学广州学院基础部

关于10级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知

通知要点

★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案 一、考试的重点内容与要求

考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、

定积分及其应用

理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0b

a f x dx =⎰；当a b

>时，()()b a

a

b

f x dx f x dx =-⎰⎰）。理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。掌

握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。会求无限区间上的广义积分。 2、

无穷级数

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。熟悉几何级数（即等比级数）0

n n aq ∞

=∑（0,a q ≠叫公比）、

调和级数11n n ∞

=∑与p -级数11

(0)p n p n

∞

=>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及

比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

了解幂级数0n n n a x ∞

=∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、

收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会

利用函数

1

1x

-、x e 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。

注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。 3、

多元函数微积分

（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程概念，平面、球面、圆柱

面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。

（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设(,)z f u v =，而(),u x y ϕ=，

(),v x y ψ=求偏导数；设(,)z f u v =，而()u x ϕ=，()v x ψ=求全导数；由方程

(),0F x y =确定()y y x =，求dy dx ；由方程(),,0F x y z =确定(,)z z x y =，求,z z

x y

∂∂∂∂等等。

（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、矛盾是高阶、关键是动手”。 （4）二重积分

理解二重积分的概念、熟悉二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 4、

微分方程

了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程的解法。会用降阶法求解二阶方程：''()y f x =。

最后我们指出，上述四个部分的内容是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实；同时也要注意各部分知识间的联系与运用，促进自身数学素质的提高。

二、考试的形式与试卷结构

1、考试形式为闭卷、笔试，满分100分，考试时间为120分钟。

2、试卷内容比例：定积分及其应用约30%，无穷级数约23%，多元函数微积分约30%，微分方程约17%，。

3、试卷题型比例：填空题15%，单项选择题15%，计算题49%，解答题21%。 三、题型示例与答案 第一部分：题型示例

（一） 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案写在横

线上。） 1、

定积分()2

1

ln e

x dx x

=⎰_____________.

解：原式=()()⎰e

Inx d Inx 12=()e

Inx 133

1=()()3313

13

1In Ine - =3

1

2、

设()f x 是连续函数，且()2

0x f t dt x =⎰，则()9f =______________.

解：两边同时求导得

()()''

31x t d t f =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰ ()

122=x x f 由[]+∞∈,0x 3=∴x ()123=⋅⋅q f ()6

1=q f 3、

设2

ln(1)z x y x y =+-+，则2z x y

∂=∂∂______________.

解：由y x yx x Z +--=11

2' 再次微分得()

2

112''x y x xy Z +-+= 4、

幂级数∑∞

=13n n n

n

x 的收敛半径R =______________.

解：由R=1

lim

+∞

→n n n a a =()1

31131lim +∞→⋅+⋅n n n n n =()n n n 13lim +∞→ 31

=+∞→n n

n a a lin []+∞∈,03 3=∴R 5、

设区域{(,)01,10}D x y x y =≤≤-≤≤，则xy D

xe dxdy =⎰⎰_____________.

解： 由题意可知[]1,0∈x []0,1-∈y

即⎰⎰D

xy dxdy xe =dy e x dx xy ⎰⎰-0

11

0=dx e xy 011

0-⎰ =()⎰--1

1dx e x =⎰-+1

10dx e x x =1

10x

e x -+=e

1

（二） 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、设()2,0,

,0,

x x f x x x ⎧>=⎨≤⎩则()11

f x dx -=⎰（ B ）

A ．012xdx -⎰

B ．10

2

01x dx xdx -+⎰⎰

C ．1202x dx ⎰

D ．10

201xdx x dx -+⎰⎰ 解：因为()⎰-11dx x f =()()⎰⎰+-1

001dx x f dx x f

所以由题刻知原式=⎰⎰-+0

11

02xdx dx x