第四章习题答案

第4章 习 题

4.1 一维无限深势阱中的粒子，受到的微扰如图所示，求一级修正波函数和能量。

解：能量的一级修正

)0(1

2

22

2

222

2220

)0()0()1(20

1)2(21802sin

802sin 802E n n a n dy

y n a

a a dx a

n a a dx H E

n n a

a a

n

n

n

=-⋅==

='=⎰⎰⎰*ππμππ

μπμψ

ψ

π

π

波函数的一级修正 ∑∑

≠≠-'=-'=n l n l n

l l

l

n n

l n

x a

l l n H a a E E H π

πμψψsin 222

2222)

0()0()0()

1(

其中

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡---++=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-++-=

=

='⎰⎰⎰

⎰2)(sin )(2)(sin )(80)(cos )(cos 80sin sin

802ˆ3

22232

2

2

2

2

)

0()

0(ππππμπ

πμππμψψ

n l n l a n l n l a a xdx a n l xdx a n l a xdx a

n x a l a a dx H

H a a a a a

a a a n

l

n l

4.2 在长度为a 的一维无限深势阱中有一个电子。当电场ε

取x 方向时，该电子受力为

ε e -，势函数应加上x e ε 项，如图所示。求（1）考虑微扰x e ε

后，基态的能量是多少？（取

一级近似计算）；（2）一级近似的基态近似波函数（只计算修正级数的第一项）

解：(1) 宽为a 的一维无限深势阱中，质量为μ的粒子的基态能量为2

2

212a E μπ =，波函数

为 (0)

1

2sin x a a

πψ=

能量的一级修正：

a e dy y y a

e dy y y a a e dx x a x e a H E

a

επεπεπεπ

π

2

1)2cos 1(sin 2sin 20

2

2

20211

)

1(1

=

-=⎪⎭

⎫

⎝⎛=='=⎰⎰⎰

能量的一级近似a e a E

E

E εμπ2

12222)1(1

)

0(1

1+=+= （2）一级近似的基态近似波函数为∑

-'+=l

l l

n

l E E H )0()

0()0(1)0(1

1ψψψ 求矩阵元1l H '可采用以下积分公式

[]

1)1()(4sin sin

2)(22220---==+⎰l n a

nl l n anl

dx x a l x a n x a X π

ππ

[]

1)1()1(4sin sin 2122200

)0(1

)0(1---=='='+*

⎰⎰l a

a

l

l l l

ae dx x a

l x a x e a H H π

εππεψ

ψ

一级近似的基态近似波函数为 ∑---+=+l

l x a l a l l ae ππεψψsin 2]1)1[()1(41

2

22)

0(11

4.3 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子，位于外电场ε

中，若电场较弱，势能项

ε ⋅-='D H ˆ可看作微扰，试求转子基态能量的二级修正值。

自由空间转子的能量和波函数lm l l

Y I l l E

=+=)0(2)

0(,2)1(ψ

对于基态 π

ψ41

,000)

0(0)0(0=

==Y E 选择外加电场ε

的方向沿球坐标的极轴方向（z 方向），则微扰哈密顿算符为

θεεcos ˆD D H -=⋅-='

求出矩阵元（基态）

01100000,3

31cos 41)cos (m l lm lm lm lm D d Y Y D d Y D d Y D Y H δδεε

θπ

ε

θε-=Ω-=Ω-=Ω-='⎰⎰⎰*

*

*

由上式可见矩阵元只有3

3001100,10

ε

δδεD D H -

=-='有值，其余为0；基态能量的一级修正值为000

)

1(0='=H E 基态能量的二级修正值

()

()

()

()

2

22

2201002

10

0002

'00

)

0(0

032)11(1)

3(εεD I I D E E H E E H H E E l

l l -=+-

-

=-'=

-'+'+=∑