高等数学第三节 条件概率
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求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
概率统计
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
2. 由条件概率的概念是否可以得出两个 事件乘积的概率？
3. 无条件概率 P(A)、条件概率 P( A B) 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
概率统计
1.定义： 设A, B是两个事件，则称 P( A B) 为在事件
B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率 .
记为 P( A B) P( AB) 其中 P(B) 0
P ( A | B) P ( AB) , P(B)>0 P(B)
概率统计
（2) 在缩减的样本空间中计算:
例如 A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
则:
1 P(A B)
3
B发生后的缩减 样本空间所含样
本点总数
在缩减 样本空 间中A 所含样 本点个
数
掷骰子
概率统计
例1．掷两颗骰子,观察出现的点数, 设 x1 , x2
P(B | A) P( AB) P(B) P( A) P( A)
A
活到
活到
20年 B 25年
以上
以上
0.4 0.5 0.8
概率统计
归纳
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B) 及 P(AB) 的区别
★ 每一个随机试验都是在一定条件下进行的， 若设其样本空间为 S
概率统计
A B AB S
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数, 且设:
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 , B ( x1, x2 ) x1 x2
求： P(B A), P( A B) 解：依题意, 样本空间为：
S {(1,1), (1,2)(1,6)(2,1), (2,2)
(2,6)(6,1), (6,2)(6,6)} ------36种
此题10的0人结为论疑：似该病地人区,有由1疑0人似为病非人典转病为人非,典其病中人5的人概 为由疑似病率人为转5为%非，典要病比人没。有附加条件“疑似病 A: 非典人病”人时的概B率: 疑大似50病倍人。
概率统计
提出三个问题：
1. 对于一般具有附加条件的概率问题是 否也一定具有引例中的表达形式 ？
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S ={1,2,…..,100}，由题意可得：
p
5 100
5 10000
100
该地区既是疑似病人 又是非典病人的概率 该地区疑似病人的概率
10000
P( AB ) P( A B) P(B)
某这一是非附典加疫了情条地件区B有的一概万人率，（某有一条阶件段概发率现）有
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36
样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
A {(5,5),(4,6),(6,4)}
------ 3种
B {(2,1), (3,2), (3,1), (4,3), (4,2), (4,1) (6,5), (6,4)(6,1)} ------ 15种
概率统计
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
第一章知识结构图
基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
独立性
概率统计
来自百度文库
全概率公式与贝叶斯公式
第三节 条 件 概 率
一．条 件 概 率
引例．某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有 100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人 为由疑似病人转为非典病人。
例3 波里亚罐子模型
一个罐子中包含b个白球和 r 个 红球. 随机地抽取一个球观看颜色 后放回罐中，并且再加进 c 个与 所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次。
随机取一个球，观 看颜色后放回罐中， 并且再加进C 个与 所抽出的球具有相 同颜色的球.
概率统计
P( An A1 A2 An1 )
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率 为0.8，活到25年以上的概率为0.4.
问：现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上 的概率是多少？
解：设 A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
则所求为 P(B|A) . 依题意: P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
注
▲ 类似可以定义:
P(B)
P(B A)
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
▲ 条件概率符合概率定义中的三条公理：
非负性
★ 对每个事件B,有: P(B A) 0
★ P(S A) 1
规范性
★ 设 B1 , B2 , 是两两互不相容的事件,
则有
P( Bi A) P(Bi A)
可列可 加性
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
概率统计
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
(2) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
i 1
i 1
概率统计
2．性质 在第二节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立 常用的有：
(1) P( B) 0
(2) P( A B) 1 P( A B) (3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B) 3. 条件概率的计算 （1) 用定义计算:
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
概率统计
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
2. 由条件概率的概念是否可以得出两个 事件乘积的概率？
3. 无条件概率 P(A)、条件概率 P( A B) 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
概率统计
1.定义： 设A, B是两个事件，则称 P( A B) 为在事件
B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率 .
记为 P( A B) P( AB) 其中 P(B) 0
P ( A | B) P ( AB) , P(B)>0 P(B)
概率统计
（2) 在缩减的样本空间中计算:
例如 A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
则:
1 P(A B)
3
B发生后的缩减 样本空间所含样
本点总数
在缩减 样本空 间中A 所含样 本点个
数
掷骰子
概率统计
例1．掷两颗骰子,观察出现的点数, 设 x1 , x2
P(B | A) P( AB) P(B) P( A) P( A)
A
活到
活到
20年 B 25年
以上
以上
0.4 0.5 0.8
概率统计
归纳
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B) 及 P(AB) 的区别
★ 每一个随机试验都是在一定条件下进行的， 若设其样本空间为 S
概率统计
A B AB S
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数, 且设:
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 , B ( x1, x2 ) x1 x2
求： P(B A), P( A B) 解：依题意, 样本空间为：
S {(1,1), (1,2)(1,6)(2,1), (2,2)
(2,6)(6,1), (6,2)(6,6)} ------36种
此题10的0人结为论疑：似该病地人区,有由1疑0人似为病非人典转病为人非,典其病中人5的人概 为由疑似病率人为转5为%非，典要病比人没。有附加条件“疑似病 A: 非典人病”人时的概B率: 疑大似50病倍人。
概率统计
提出三个问题：
1. 对于一般具有附加条件的概率问题是 否也一定具有引例中的表达形式 ？
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S ={1,2,…..,100}，由题意可得：
p
5 100
5 10000
100
该地区既是疑似病人 又是非典病人的概率 该地区疑似病人的概率
10000
P( AB ) P( A B) P(B)
某这一是非附典加疫了情条地件区B有的一概万人率，（某有一条阶件段概发率现）有
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36
样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
A {(5,5),(4,6),(6,4)}
------ 3种
B {(2,1), (3,2), (3,1), (4,3), (4,2), (4,1) (6,5), (6,4)(6,1)} ------ 15种
概率统计
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
第一章知识结构图
基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
独立性
概率统计
来自百度文库
全概率公式与贝叶斯公式
第三节 条 件 概 率
一．条 件 概 率
引例．某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有 100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人 为由疑似病人转为非典病人。
例3 波里亚罐子模型
一个罐子中包含b个白球和 r 个 红球. 随机地抽取一个球观看颜色 后放回罐中，并且再加进 c 个与 所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次。
随机取一个球，观 看颜色后放回罐中， 并且再加进C 个与 所抽出的球具有相 同颜色的球.
概率统计
P( An A1 A2 An1 )
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率 为0.8，活到25年以上的概率为0.4.
问：现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上 的概率是多少？
解：设 A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
则所求为 P(B|A) . 依题意: P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
注
▲ 类似可以定义:
P(B)
P(B A)
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
▲ 条件概率符合概率定义中的三条公理：
非负性
★ 对每个事件B,有: P(B A) 0
★ P(S A) 1
规范性
★ 设 B1 , B2 , 是两两互不相容的事件,
则有
P( Bi A) P(Bi A)
可列可 加性
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
概率统计
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
(2) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
i 1
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概率统计
2．性质 在第二节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立 常用的有：
(1) P( B) 0
(2) P( A B) 1 P( A B) (3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B) 3. 条件概率的计算 （1) 用定义计算: