高二数学课件 高二数学圆的标准方程课件

练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径
（1） x 12 y2 6 1, 0 6
（2） x 12 y 22 9 （-1，2） 3
（3） x a2 y2 a2 a, 0 | a |
(4) (2x-2)2+(2y+4)2=2
圆心（1，
2），半径
2 2
例1、 求满足下列条件的各圆的方程:
(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.
解:已知圆心是C(1,3),那么只要再求出 圆的半径r,就能写出圆的方程.
Y M(1,3)
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,
所以半径r等于圆心C到这条直线的 距离.根据点到直线的距离公式,得
O
X
r . 31437 16
32 (4)2
设方程得所求解方程.
例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。
解：如图，设切线的斜率为k
半径OM的斜率为k1,
y
因为圆的切线垂直于过切点的
半径，于是 k 1
k1
y0 x0
k
k1
x0
y0
O
经过点M的切线方程是 y y0
整理得，x0x+y0y=x02+y02
解决问题:
已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
令x+y=0.
y
将直线x+y=0进行平移 当到M点时x+y取最大值 当到N点时x+y取最小值
M
o
x
N
O
的半径是r ,则圆的方程是
x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
B （x1
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试
O
说明：
x
1.特点：明确给出了圆心和 半径。
2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。
练习 1.写出Fra Baidu bibliotek列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
x2 y2 9
（2）圆心在点C(3,4)，半径是 5 ；
x 32 y 42 5
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
x 82 y 32 25
14
解得a=-7或3, ∴r2=80或20.
∴所求圆的方程为(x+7)2+(y-6)2=80
或(x-3)2+(y-6)2=20
Y B(1,10)
C (a,6)
A(1,2)
O1
X
X-2y-1=0
评注:
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法. 2.解题时注意充分利用圆的几何性质. 3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为: (1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组; (3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所
所以切线方程为：y = x± 2
（2）在y轴上截距是 2 的切线方程。
y = ± x+ 2
例 3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。
yP （0，4）
析： (x-a)2+(y-b)2=r2
解：建立如图所示的坐标系
，设圆心坐标是（0，b）圆 A （-10，0）
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
小结： 1、求圆的标准方程实质就是求 a、b、r 2、求圆的切线方程实质就是求直线的方程 3、有关圆的实际应用问题关键就是抽象出数 学模型
问题:
已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
解:由题可知 -1≤ X ≤1 -1≤ Y ≤1
x 所以 -2 ≤ X+Y ≤ 2
给他们计算中间两根柱子的长度。
y
F H PD T
x2+(y+10.5)2=14.52
A E G OC R B x
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
圆？
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么 性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它 们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分 别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）．
x0 y0
x
x0
．M(x0,y0)
x
因为点M(x0,y0)在圆上，所以x02+y02=r2 所求切线方程是x0x+y0y=r2
当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
例2 已知圆的方程是 x2 y2 r 2，求经y 过圆上一点
M (x0 , y0 ) 的切线的方程。
P(x , y )
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试
给他们计算中间两根柱子的长度。
x2+(y+10.5)2=14.52
y
F H PD T
A E G OC R B x
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水 面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能， 那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
解法二（利用平面几何知识）：
M (x0 , y0 )
在直角三角形OMP中
O
x
由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2
x0x +y0 y = r2
例2 已知圆的方程是x2 y2 r 2 ，求y经过圆上一点
M (x0 , y0 ) 的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
P(x , y )
M (x0 , y0 )
OM MP
OM MP= 0
O
x
x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2
练习3.(1)写出过圆x2+y2=10上一点M 2, 6 的切线的方程
2x 6y 10
（2）求过点A（5，15）向圆x2+y2=25所引的切线方程。
（2）解：经验证点A在已知圆外 ，设所求切线的切点为M
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？ 其中哪几个步骤必不可少？
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p 的点M的集合P={M|p(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
（x0,y0）,则切线方程为：
x0x+ y0 y=25
又点A在切线上，所以： 5x0+15 y0 =25
又 x02 y02 25
解方程组得xy00
4 ,
3
或xy00
5， 0
所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或x=5
练习4、猜想过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上一点(x。,y。)的切线方程
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
求圆心是C(a, b)，半径是r的圆的方程。
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式，得
y
M
．r
C
x a2 y b2 r ①
把①式两边平方，得
x a2 y b2 r2
5
3x-4y-7=0
因此，所求的圆的方程 是
（x 1)2
(y
3)2
. 256
25
(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的 圆.
解:设圆心在x轴上,半径为5的方程为 (x-a)2+y2=52. ∵点A(2,-3)在圆上, ∴(2-a)2+(-3)2=52, ∴a=-2或6. ∴所求的圆的方程为: (x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25. 方法总结:此方法属于待定系数法.
(3)过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0 相切的圆的方程.
解:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵线段AB的垂直平分线为y=6,
∴圆心坐标为(a,6),
∴圆的方程可以写成(x-a)2+(y-6)2=r2
∵直线x-2y-1=0与圆相切,
∴
a261 (a 1)2 (6 2)2 .
并给予证明。
切线方程为:(ｘ–ａ)(ｘ。–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。–ｂ)=r²
练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求 （1）斜率等于1的切线的方程；
（2）在y轴上截距是 2 的切线的方程。
提示：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半
径1，得： |b|
=1 解得b=± 2
12+(-1)2