四川省成都市石室中学2020-2021学年高一下学期半期考试数学试题 答案和解析
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11．C
【解析】
试题分析：因为 ， ， 成等比数列，所以可得 ， 有最小值 ，故选C.
考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.
12．B
【解析】
由题意可得, ,
,
则 ,
∵ .
两边同;y−2=0的距离为d,则
.解得 .
故选B.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
12．在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 （ ）交于 两点， 为坐标原点，若圆上一点 满足 ，则 （）
A． B．2C． D．
二、填空题
13． 中，三内角 所对边的长分别为 ，已知 ，不等式 的解集为 ，则 __________．
14．已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方程是__________．
设PQ的中点为M(x,y)
由中点坐标公式：x=1，y=1
∵ ,
∴ .
∴直线l的方程为y−1= (x−1)
即6x−5y−1=0
故答案为：6x−5y−1=0.
8．已知幂函数 的图象过点 ，令 （ ），记数列 的前 项和为 ，则 （）
A． B． C． D．
9．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（）
A． B．1C． D．
10．设 的面积为 ，它的外接圆面积为 ，若 的三个内角大小满足 ，则 的值为()
A． B． C． D．
11．已知实数 ， 满足 ， ，且 ， ， 成等比数列，则 有（）
设公比为q,则 ，选A.
3．C
【解析】
试题分析：对于A，当 时不成立；对于B，当 时不成立；对于D，当 均为负值时，不成立，对于C，因为 在 上单调递增，由 ，又因为 ，所以 即 ，正确；综上可知，选C.
考点：不等式的性质.
4．A
【详解】
为单位向量，所以 ，解得 ，
，故选A.
5．C
【解析】
集合 表示以 为圆心， 为半径的圆上的点；
A． B． C． D．
3．已知 ,则下列推理中正确的是()
A． B．
C． D．
4．设单位向量 ，则 （）
A．0B． C． D．
5．已知 ，集合 ， ，则 的元素个数为（）
A．0B．1C．2D．3
6．数列 中， ， （ ），那么 （）
A．1B．-2C．3D．-3
7．已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
（2）当 边上的高为1时，求 的值.
18．已知向量 ， ，函数 .
（1）求函数 的零点；
（2）若 的三内角 的对边分别是 ，且 ，求 的取值范围.
19．已知以点 （ ）为圆心的圆与 轴交玩点为 ，与 轴交于点 ，其中 为坐标原点.
（1）试写出圆 的标准方程，并证明 的面积为定值；
（2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的标准方程.
20．如图，公园有一块边长为2的等边 的边角地，现修成草坪，图中 把草坪分成面积相等的两部分， 在 上， 在 上.
（1）设 ， ，求用 表示 的函数关系式；
（2）如果 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短， 的位置应在哪里？如果 是参观线路，则希望它最长， 的位置又该在哪里？请说明理由.
21．已知两个等差数列2，4，6……及2，5，8，……由这两个数列的共同项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，数列 的前 项和为 .
15．定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，若直线 （ ）的图象有且仅有三个支点，则 的取值范围为__________．
三、解答题
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
17．已知 三边所在直线方程： ， ， （ ）.
（1）判断 的形状；
（1）求 ，并写 的通项公式（可不用叙述过程）；
（2）求出 的通项公式，并求数列 的前 项和 .
（3）记集合 ，若 的子集个数为8，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： 直线 过点 ， 直线 的斜率为 , 的斜率为 , 直线 与 互相垂直，故选C
考点：两直线垂直的性质.
2．A
【解析】
四川省成都市石室中学【最新】高一下学期半期考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线 过点 ， ，则直线 和 （）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点
2．等比数列 的前n项和为 ，已知 ，则
10．D
【分析】
本题可以先根据 算出 的值，再通过正弦定理计算出 和 的值，再通过三角恒等变换计算出 的值，然后就可以计算出 的面积 ，再通过圆的面积公式计算出外接圆面积 ，最后即可得出结果．
【详解】
因为 ，所以
由正弦定理，得 所以
则 所以 所以 故选D．
【点睛】
本题考查了解三角形、三角恒等变换、圆的面积的相关性质，考查了计算能力与推理能力，考查了解三角形的正弦公式、圆的面积公式、解三角形的面积公式、两角和的正弦公式的应用，考查了化归思想和隐含条件思想，是中等题．
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
13．
【解析】
∵ 的解集为 ，∴ ，
∴
∴ ．
14．
【解析】
∵圆 与圆 关于直线l对称
∴两圆的圆心P(7,−4)，Q(−5,6)关于l对称，即PQ被直线L垂直平分
则 .
故选D.
9．D
【解析】
由题意作平面区域如下，
的几何意义是点P(x,y)与点D(−1,0),连线的直线的斜率,
由 x,解得A(1,1)
故当P在A时, 有最小值，
.
故选：D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
表示以 为圆心，1为半径的圆上的点.
圆心距为 ，得两圆相交，故有两个交点，所以集合有两个公共元素，故选C.
6．A
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以6为周期的周期数列.
∵2019=336×6+3，
∴ ．
故选A
7．A
【详解】
，故选A.
8．D
【解析】
函数 的图象过点 ，
可得 ,解得 ，
，
则 ，
【解析】
试题分析：因为 ， ， 成等比数列，所以可得 ， 有最小值 ，故选C.
考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.
12．B
【解析】
由题意可得, ,
,
则 ,
∵ .
两边同;y−2=0的距离为d,则
.解得 .
故选B.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
12．在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 （ ）交于 两点， 为坐标原点，若圆上一点 满足 ，则 （）
A． B．2C． D．
二、填空题
13． 中，三内角 所对边的长分别为 ，已知 ，不等式 的解集为 ，则 __________．
14．已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方程是__________．
设PQ的中点为M(x,y)
由中点坐标公式：x=1，y=1
∵ ,
∴ .
∴直线l的方程为y−1= (x−1)
即6x−5y−1=0
故答案为：6x−5y−1=0.
8．已知幂函数 的图象过点 ，令 （ ），记数列 的前 项和为 ，则 （）
A． B． C． D．
9．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（）
A． B．1C． D．
10．设 的面积为 ，它的外接圆面积为 ，若 的三个内角大小满足 ，则 的值为()
A． B． C． D．
11．已知实数 ， 满足 ， ，且 ， ， 成等比数列，则 有（）
设公比为q,则 ，选A.
3．C
【解析】
试题分析：对于A，当 时不成立；对于B，当 时不成立；对于D，当 均为负值时，不成立，对于C，因为 在 上单调递增，由 ，又因为 ，所以 即 ，正确；综上可知，选C.
考点：不等式的性质.
4．A
【详解】
为单位向量，所以 ，解得 ，
，故选A.
5．C
【解析】
集合 表示以 为圆心， 为半径的圆上的点；
A． B． C． D．
3．已知 ,则下列推理中正确的是()
A． B．
C． D．
4．设单位向量 ，则 （）
A．0B． C． D．
5．已知 ，集合 ， ，则 的元素个数为（）
A．0B．1C．2D．3
6．数列 中， ， （ ），那么 （）
A．1B．-2C．3D．-3
7．已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
（2）当 边上的高为1时，求 的值.
18．已知向量 ， ，函数 .
（1）求函数 的零点；
（2）若 的三内角 的对边分别是 ，且 ，求 的取值范围.
19．已知以点 （ ）为圆心的圆与 轴交玩点为 ，与 轴交于点 ，其中 为坐标原点.
（1）试写出圆 的标准方程，并证明 的面积为定值；
（2）设直线 与圆 交于点 ，若 ，求圆 的标准方程.
20．如图，公园有一块边长为2的等边 的边角地，现修成草坪，图中 把草坪分成面积相等的两部分， 在 上， 在 上.
（1）设 ， ，求用 表示 的函数关系式；
（2）如果 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短， 的位置应在哪里？如果 是参观线路，则希望它最长， 的位置又该在哪里？请说明理由.
21．已知两个等差数列2，4，6……及2，5，8，……由这两个数列的共同项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，数列 的前 项和为 .
15．定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，若直线 （ ）的图象有且仅有三个支点，则 的取值范围为__________．
三、解答题
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
17．已知 三边所在直线方程： ， ， （ ）.
（1）判断 的形状；
（1）求 ，并写 的通项公式（可不用叙述过程）；
（2）求出 的通项公式，并求数列 的前 项和 .
（3）记集合 ，若 的子集个数为8，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： 直线 过点 ， 直线 的斜率为 , 的斜率为 , 直线 与 互相垂直，故选C
考点：两直线垂直的性质.
2．A
【解析】
四川省成都市石室中学【最新】高一下学期半期考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线 过点 ， ，则直线 和 （）
A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点
2．等比数列 的前n项和为 ，已知 ，则
10．D
【分析】
本题可以先根据 算出 的值，再通过正弦定理计算出 和 的值，再通过三角恒等变换计算出 的值，然后就可以计算出 的面积 ，再通过圆的面积公式计算出外接圆面积 ，最后即可得出结果．
【详解】
因为 ，所以
由正弦定理，得 所以
则 所以 所以 故选D．
【点睛】
本题考查了解三角形、三角恒等变换、圆的面积的相关性质，考查了计算能力与推理能力，考查了解三角形的正弦公式、圆的面积公式、解三角形的面积公式、两角和的正弦公式的应用，考查了化归思想和隐含条件思想，是中等题．
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
13．
【解析】
∵ 的解集为 ，∴ ，
∴
∴ ．
14．
【解析】
∵圆 与圆 关于直线l对称
∴两圆的圆心P(7,−4)，Q(−5,6)关于l对称，即PQ被直线L垂直平分
则 .
故选D.
9．D
【解析】
由题意作平面区域如下，
的几何意义是点P(x,y)与点D(−1,0),连线的直线的斜率,
由 x,解得A(1,1)
故当P在A时, 有最小值，
.
故选：D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
表示以 为圆心，1为半径的圆上的点.
圆心距为 ，得两圆相交，故有两个交点，所以集合有两个公共元素，故选C.
6．A
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以6为周期的周期数列.
∵2019=336×6+3，
∴ ．
故选A
7．A
【详解】
，故选A.
8．D
【解析】
函数 的图象过点 ，
可得 ,解得 ，
，
则 ，