二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质

一、知识点梳理

二次函数的概念：

一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换

二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2

h x a y -=；

④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b

x a

=-

.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（a

b a

c a b 4422

--

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 求抛物线的顶点、对称轴的方法

➢ 公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称

轴是直线a

b

x 2-

=. ➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点

为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b

a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数图象的平移

平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

二、典型例题

（一）二次函数的性质 例1 对于抛物线()312

1

2++-

=x y ，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1=x ；③顶点坐标为（－1,3）；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小。其中正确结论的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例2 抛物线2

222

122x y ,x y ,x y =

-==共有的性质是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是y 轴 C 、都有最低点 D 、y 随x 的增大而减小

（二）二次函数性质的应用 例 已知函数()4

2

2-++=m m

x m y 是关于x 的二次函数。

（1）求满足条件的m 值；

（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？

（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？

（三）二次函数值的大小比较

例 已知二次函数()k x y +-=2

12的图像上有A

(

)12y ，，B ()22y ，，C ()

352y ,-三点，则

321y ,y ,y 的大小关系是（ ）

A 、321y y y ＞＞

B 、312y y y ＞＞

C 、213y y y ＞＞

D 、123y y y ＞＞ （四）抛物线的平移问题

例 将抛物线c bx ax y ++=2向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线

322++=x x y ，求c ,b ,a 的值。

（五）二次函数与其他函数相结合

例 已知抛物线bx ax y +=2和直线b ax y +=在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）