山东省菏泽市高考数学一轮专题：第4讲 函数及其表示
高考数学一轮复习 专题04 函数及其表示教学案 理
专题04 函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．高频考点一 函数的概念 例1、有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －表示同一函数；②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③综上可知，正确的判断是②③.【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝－B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x>0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.高频考点二 函数的定义域 例2、(1)函数f (x )＝lnxx －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________．解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 【方法规律】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪ (3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案 (1)C (2)[－1，0]高频考点三、已知定义域求参数范围例3、若函数f(x)R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f(x)的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x2＋2ax －a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围． 【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝＋－x2－3x ＋4的定义域为___________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得：12≤x≤32，所以函数g(x)的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x2－3x ＋4>0，得－1<x<1.高频考点四 求函数解析式例4、(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________． (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________． 解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中， 将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________． 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 高频考点五、分段函数(多维探究)例5、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝78，不合题意舍去．若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，ex －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]【方法规律】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【特别提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________． 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D.（2014·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． （2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】(1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a(1－2|x|)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a(1－2|x|)， 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a<12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x≤12，4a 2（1－x ），x>12.所以f(f(x))＝x 只有一个解x ＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点． 当a ＝12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≤12，1－x ，x>12.所以中的所有点都不是二阶周期点． 当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x≤14a，2a －4a 2x ，14a <x≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a>12.(3)由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a21＋4a2，因为x 3为函数f(f(x))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a.当x 3＝14a 时，S(a)＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2. 所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S(a)＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a>12，从而有S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时S(a)单调递增．（2013·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________． 【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D【解析】设l ，l 2距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝cos x ＋12.△ABC 的边长为23，BE23＝1－t 1，得BE ＝23(1－t)，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x ＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.（2013·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16 【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·四川卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5 【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【解析】(1)当X∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000. 当X∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X<130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1]B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3， 所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 答案 D2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( ) A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2.答案 D3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x－1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x（x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A ，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ， y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立．答案 C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]．答案 (0，1]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －210．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22。
山东省菏泽市高考数学(人教版A版)一轮配套题库：24函数的奇偶性与周期性
第四节 函数的奇偶性与周期性时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析 y ＝1x 是奇函数，选项A 错；y ＝e －x 是指数函数，非奇非偶，选项B 错；y ＝lg|x |是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D 错；只有选项C 是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．答案 C2．(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3，故选B.答案 B3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数． ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)．又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (－1)＝－f (1)．而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A.答案 A4．(2013·湖北卷)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析 当x ∈[0,1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.答案 D5．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1解析 ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a ). ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 答案 A6．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0.而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<f (3).所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0， 或0<x <3}． 答案 D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·东城区期末)若函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－2)的值为________．解析 f (－2)＝－f (2)＝－(4＋2)＝－6. 答案 －68．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案 －19．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.答案 －x (x ＋1)2三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．11．(2014·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x －2)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x .(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解 (1)当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，故f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， f (x )＝－f (－x )＝－(－2x ＋－x ) ＝2x －－x .若x ＝－1时，f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝f (1－2)＝f (－1)，故f (1)＝－f (1)，得f (1)＝0，从而f (－1)＝－f (1)＝0.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －－x ，x ∈(－1，0)，0， x ＝0，±1，2x ＋x ， x ∈(0，1).(2)∵x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x ，∴f ′(x )＝2＋12x ＞0，故f (x )在(0,1)上单调递增． ∴f (x )∈(0,3)．∵f (x )是定义域为[－1,1]上的奇函数，且f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－3,3)． ∴f (x )的值域为(－3,3)．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
高考数学一轮复习专题04函数及其表示(含解析)
专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．).3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段基础知识融会贯通1．函数与映射2.(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.重点难点突破【题型一】函数的概念 【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C．y＝x和y＝arccos（cos x）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2 已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】已知函数f（2）＝x+45，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x2+1 B．f（x）＝x2+1（x≥2）C．f（x）＝x2D．f（x）＝x2（x≥2）【解答】解：；∴f（x）＝x2+1（x≥2）．故选：B．【再练一题】若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（ ）A ．﹣1B ．3C ．D ．【解答】解：由题意可得，f （） 1∴f （f （））＝f （﹣1）＝3﹣1故选：C ．【再练一题】 设f （x ）则使得f （m ）＝1成立的m 值是（ ） A ．10B ．0，10C ．0，﹣2，10D ．1，﹣1，11【解答】解：当m ＜1时，f （m ）＝（m +1）2＝1 ∴m ＝﹣2或m ＝0 当m ≥1时，f （m ）＝4 1∴m ＝10综上：m 的取值为：﹣2，0，10 故选：C ．命题点2 分段函数与方程、不等式问题 【典型例题】 已知f （x ）则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是（ ）A ．[﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣2]C ．D ．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A． B．C． D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A． B．C． D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B． C． D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D.7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A， =f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D， =f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C． D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。
(山东专用)高考数学一轮复习专题04函数及其表示(含解析)
（山东专用）高考数学一轮复习专题04函数及其表示（含解析）一、【知识精讲】 1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论． 二、【典例精练】 例1.（1）函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】(1)(－1，＋∞) (2)B 【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.【解法小结】1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 例2.(1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )．(3)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； 【解析】(1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． （2）(2)解方程组法 由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)． （3）由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．（4）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.【解法小结】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).例3.（1）(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．例4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1C ． 3D ．3或－ 3【答案】D【解析】f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D ．例 5.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 【解法小结】 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论. 三、【名校新题】1．（2019河北衡水模拟）函数的定义域是（）A.B.C. RD.【答案】D【解析】由即得2．(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43 D ．－43【答案】A【解析】令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x－1D ．y ＝x ＋1x －1【答案】D【解析】对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 5．(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3【答案】B【解析】 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)【答案】D【解析】由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <07．（荆州市2019【答案】B8．（2019湖北调研）已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①【答案】B【解析】对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；A ．1B ．3C ．4D ．9。
函数及其表示高三数学一轮复习考点突破课件
定义域：函数中自变量x的取值范围
值域：函数中因变量y的取值范围
求法：通过解不等b，k≠0，b为常数
反比例函数：y=k/x，k≠0，k为常数
一次函数、二次函数、反比例函数的性质： - 一次函数：单调性、对称性 - 二次函数：开口向上或向下，顶点位置 - 反比例函数：渐近线、对称性
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20XX
汇报人：
Part One
Part Two
Part Three
Part Four
Part Five
函数的定义：函数是映射的一种特殊形式，表示每个输入值对应一个输出值
函数的表示方法：函数可以用解析式、图像、表格等方式表示
函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等
函数的图像：描述函数关系的图形
函数的性质：单调性、周期性、对称性等
常见函数的图像与性质：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等
图像与性质的应用：求解函数问题、分析函数变化趋势等
加法：f(x)+g(x)=h(x)
减法：f(x)-g(x)=h(x)
乘法：f(x)*g(x)=h(x)
除法：f(x)/g(x)=h(x)
函数与不等式：利用函数性质解决不等式问题
函数与方程：利用函数思想解决方程问题
联立问题：将函数、不等式、方程结合起来解决问题
例题分析：通过具体例题讲解函数与不等式、方程的联立问题
数列与函数的关系：数列的通项公式、前n项和公式都可以表示为函数
导数与数列的关系：导数可以用来求解数列的通项公式和前n项和公式
对称变换：将函数沿x轴或y轴翻转，不改变函数的形状
平移变换：将函数沿x轴或y轴移动，不改变函数的形状
高考数学一轮复习课件：函数及其表示ppt
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第二章函数、导数及其应用
一、函数与映射的概念
非空数集
非空集合任意唯一任意唯一确定f：A→Bf：A→B函数与映射有哪些异同点？映射函数相同点
对于f：A→B，都是A 中每一元素都能在B 中找到唯一元素与之对应
提示：映射函数
A、B 可为数集、点集及其他集合
A、B 必须为非空数集
作为A 到B 的映射，A 为原象集合，C 为象集合(C⊆B)
作为A 到B 的函数，A 为定义域，B 不一定为函
数的值域
三要素：对应关系、原
象集合、象集合(C⊆B)
三要素：对应关系、定义域与值域不同点
总之，函数是特殊的映射，当A、B 是非空数集时，f：A→B的映射即为
A 到
B 的函数. 二、函数的有关概念
1.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，
A
叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，
叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集.2.函数的三要。
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诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自 诊断·基础知识变量的取 突破·高频考点 值范围 培养·解题能力
不同而分别用几个不同的式子来并表集示，这种函
并集
数称为分段函数．
•分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
突破·高频考点
培养·解题能力
•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0， 所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编;函数与方程及其应用(解析版)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间例1. (1)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N，则x 0所在的区间是________.(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】(1)C (2)D【解析】 (1) 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1<0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7>0，所以f (1)f (2)<0，所以x 0∈(1，2). (2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．【解法小结】 掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点． (2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 考点二 函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围例2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意． 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围例3. (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2【解析】 ∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.(1)当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.(2)若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 【答案】(1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】 (1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，解得1<x <2.综上可知，1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4). (2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4， 当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3种方法2.三、【名校新题】1. (2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0， 即a (a －3)<0，解得0<a <3.2.(2019·岳阳二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】 函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.3. (2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1]【答案】A【解析】 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.4.(2019·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C.－78D.－38【答案】C【解析】令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.5.已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <c <aD.b <a <c【答案】A【解析】 令函数f (x )＝2x ＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0； 令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1； 令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2.显然a <b <c .6. (2018·济南月考)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1]D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，所以方程x 2＋2x ＋a ＝0无实根，即Δ＝4－4a <0，由此可得a >1.7.(2019·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1）x 3－3x（x ≥0），（x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【解析】 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减. 又f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增. 则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0，故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点.8.(2019·永州模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( ) A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10)【答案】A【解析】 由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， ∴实数a 所在的区间为(5，6).9.(2018·郑州一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 【答案】C【解析】令g (x )＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，由f (x )的周期性，作出y ＝f (x )在[－1，3]上的图象如图所示. 设直线y ＝k 1(x ＋1)经过点(3，1)，则k 1＝14.∵直线y ＝k (x ＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y ＝k (x ＋1)与y ＝f (x )的图象有4个交点，∴0<k ≤14.10.(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12【解析】依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎨⎧m ≠2，f －f ，f f，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.11.已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.【答案】5【解析】由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y＝f(x)的图象.由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.12. (2019·西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.【答案】[5，10)【解析】令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，10).13.（2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________【答案】【解析】当时，易知x=0不是方程的解，故m=-x在上是减函数，故m即m时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当x时，令得故,即当时，方程f(x)=0在x上有且只有一个解，综上，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是14.(2019·邯郸模拟)若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________.【答案】(2，4]【解析】因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1，依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min＝4，所以实数m的取值范围为(2，4].2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）。
【人教版】2020届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案(无答案)文
C．4D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝ 则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中 只与x的一个值对应的y值的范围是________．
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
2013届高考一轮数学复习课件(人教版)第4讲---函数及其表示概要
第二章 函数与基本初等函数
第1课时 函数及其表示
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了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和 值域；了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要 选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了 解简单的分段函数，并能简单应用．
请注意！
①本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要 素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热 点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．
所以函数的定义域为{x|x≤－1 或 x≥1 且 x≠±2}．
(2)由25－x2≥0 cosx>0
－5≤x≤5 得2kπ－π2<x<2kπ＋π2k∈Z
所以函数的定义域为[－5，－32π)∪(－π2，π2)∪(32π，5]．
探究 1 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，
如分式的分母不等于零， 偶次根式的被开方数为非负数， 零指数幂的底数不为零， 对数的真数大于零且底数为不等于 1 的正数 三角函数的定义等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题． 在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴， 并且要注意端点值或边界值．
【解析】 (1)由1≤3x－1≤2得：23≤x≤1， ∴y＝f(3x－1)的定义域为[23，1]． (2)由1 ≤x≤2得：0≤log2x≤1， ∴y＝f(x)的定义域为[0,1]．
【答案】 (1)[23，1] (2)[0,1]
探究2 ①若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝ f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．
这两个函数才相同．
函数定义： 设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B中都 有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A .
山东省菏泽市高考数学(人教版A版)一轮配套题库：21函
第一节 函数及其表示时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )解析 y ＝x 2x ＝x (x ≠0)；答案 C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，∵2x ＞0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3，所以选A. 答案 A3．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析 令1－2x ＝12，∴x ＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.答案 C4．(2014·安徽名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x (x ＞0)，3x (x ≤0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝( )A ．9 B.19 C ．－9D ．－19解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 4116＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (－2)＝3－2＝19，选B. 答案 B5．(2014·太原市测评)已知f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12D.12<m ≤1解析由题得⎩⎨⎧－1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎨⎧0<2m －1≤1，(2m －1)2－2(2m －1)<12，解得12<m ≤1，选D.答案 D6．(2013·陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析 令x ＝1.5，而[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 项错．[2x ]＝3,2[x ]＝2，则B 项错．令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y ]＝[3.7]＝3，而[x ]＝1，[y ]＝1，[x ＋y ]>[x ]＋[y ]，故C 项错，从而选D.答案 D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值是________． 解析 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，∴f (t )＝3t －32－2，即f (x )＝32x －72，又32a －72＝4，∴a ＝5.答案 58．设函数f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x lg x ＋1，则f (10)的值为__________．解析 分别令x ＝10，110，得⎩⎪⎨⎪⎧f (10)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－f (10)＋1，两式相加，得f (10)＝1.答案 19．(2014·天津一中模拟)已知∀x ∈R ，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ≥1时，f (x )＝ln(x ＋1)，则当x <1时，f (x )＝________.解析 由f (1＋x )＝f (1－x )，可知函数关于x ＝1对称当x <1时，2－x >1，∴f (x )＝f (2－x )＝ln[(2－x )＋1]＝ln(3－x )．答案 ln(3－x )三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16. 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)； 若x <1，则x 2＋2＝16.解得x ＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.11．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．解 (1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2. (2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x .∴f (x )＝x 2＋x －2.12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解 (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ＞0，x 2－4x ＋3， x ＜0.当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1.。
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山东省菏泽市高考数学一轮专题：第4讲函数及其表示
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
2. （2分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2-1，值域为{1,17}的“孪生函数”共有（）
A . 10个
B . 9个
C . 8个
D . 4个
3. （2分）已知在映射f下的象是，那么(3,1)在f下的原象为（）
A . （-3，-4）
B . （-4，-6）
C . （1，1）
D . （1，-1）
4. （2分）下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）可作为函数y=f（x）的图象的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2017高一上·巢湖期末) 函数f（x）= +lg（2x﹣4）的定义域是（）
A . （2， ]
B . [2， ]
C . （2，+∞）
D . [ ，+∞]
9. （2分） (2019高一上·河南月考) 若的定义域为R，值域为，则的值域为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高一上·顺德月考) 下列对应关系：
① 的平方根；② 的倒数；③
④ 其中是A到B的函数的是（）
A . ①③
B . ②④
C . ②③
D . ③④
11. （2分）下列各组函数是同一函数的是（）
①与；②与；
③与；④与。
A . ①②
B . ①③
C . ③④
D . ①④
12. （2分） (2019高一上·雅安月考) 已知某函数的图像如图所示，则该函数的值域为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共7分)
13. （1分）已知映射A→B的对应法则f：x→3x+1，则B中的元素7在A中的与之对应的元素是________
14. （1分）函数的定义域是________．（用区间表示）
15. （2分）设对应法则f是从集合A到集合B的函数，则下列结论中正确的是 ________．
①B必是由A中数对应的输出值组成的集合；
②A中的每一个数在B中必有输出值；
③B中的每一个数在A中必有输入值；
④B中的每一个数在A中对应惟一的输入值．
16. （1分）下列各组函数中，表示同一函数的是：________；
①y=1，y=
②y=
③y=x，y=
④y=|x|，．
17. （1分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为________．
18. （1分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）= ，则f（f（4））=________．
三、解答题 (共2题；共20分)
19. （5分）已知集合A到集合B={0，1， }的映射f：x→ ，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A．
20. （15分） (2019高一上·河南月考) 已知函数的图象经过点 .
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域和值域；
（3）判断函数的奇偶性并证明.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共2题；共20分)
19-1、
20-1、
20-2、
20-3、。