2斐波那契数列

实验二 斐波那契数列
斐波那契，意大利数学家列昂纳多〃斐波那契 （ Leonardo Fibonacci ， 1170-1240 ，籍贯大概是 比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202 年，他撰写了《珠算原理》（ Liber Abacci ） 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理 论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体 聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔 及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯 老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利 亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
N
由引理2知，当rankA=n时，矩阵M是对称正定阵，
M满足引理1的条件（2），故由引理1知，二次函数Q存
在极小值。
又因方程组（ * ）式有唯一解，故 Q 存在的极小值
就是最小值，线性方程组（*）式的解就是最小值点。
2、画图和多项式拟合命令
plot(x,y,’s’) ：将所给的点列连接成一条折线
N n 2
一定存在最小值。 证明：因为 Q 是 x1,x2,…,xn 的二次函数，故 Q 不仅 是连续函数，且有连续的一阶及二阶偏导数。
因为
n Q 2a1k ( a1 j x j b1 ) xk j 1
2a2 k ( a2 j x j b2 ) 2a Nk ( a Nj x j bN )
引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b 是否有解, 构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。 定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次
函数
Q f ( x1 , x2 , , xn ) aij x j bi i 1 j 1
设齐次线性方程组 Ax 0
因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。 因此，对于任意的 x 0 ，有Ax 0 ，从而
T T T ( Ax ) ( Ax ) x ( A A) x 0
故矩阵ATA是对称正定矩阵。 TA)=n， (2)因为矩阵ATA是正定矩阵，故 rank( A T T 从而线性方程组 A Ax A b 有唯一的解。
aNk ( Ax b )
故
Q x1 Q T T T x 2 A ( Ax b ) 2( A Ax A b ) 2 Q x n
令 即
Q 0 xk T T A Ax A b
是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n 元实函数f(x1,x2,…,xn)的极小（大）值。
引理2：设非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩
阵A=(aij)N×n，若rankA=n，则 (1)矩阵ATA是对称正定矩阵； T T (2)n阶线性方程组 A Ax A b 有唯一的解。 证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。
这是一个二阶常系数线性齐次差分方程 仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解
特征方程
两个特征根
r r 1
2
r1,2 (1 5) / 2
差分方程的通解
1 5 1 5 Fn C1 2 C2 2
1 1 C1 , C2 5 5
n
将上式代入递推公式中得： r 2
r 1 0
解得：r1, 2 (1 5 ) / 2
考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：
Fn C ((1 5) / 2)
n
然而,上式并不满足： F1 F2 1
进一步修正
1 5 2 构造数列：bn Fn Cr (r , r r 1) 2 可得数列bn仍然满足那个递推公式
0
因 为
2Q 2(a1k a1t a2 k a2t a Nk a Nt ) xk xt 2 aik ait
i 1 N
(k , t 1,2, , n)
N 2 故 a i1 Ni 1 a a i1 i 2 M 2 i 1 N ai1ain i 1
一、实验目的
认识Fibonacci数列， 体验发现其通项公式的过程。 了解matlab软件中， 进行数据显示与数据拟合的方式。 提高对数据进行分析与处理的能力。
二、问题描述
一般而言，兔子在出生两个月后，就 有繁殖能力，一对兔子每个月能生出 一对小兔子来。如果所有兔都不死， 那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
拟合效果展示：
代码:
x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];
y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];
p=polyfit (x,y,2);
plot(x,y, 'ro',x,polyval (p,x), 'b') legend('数据点','拟合曲线') ;
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 数据点 拟合曲线

P0
(2)矩阵
2 f 2 x 1 P0 2 f M x2 x1 P0 2 f xn x1 P 0
P 0
2 f x1x2
2 f 2 x2 P0 2 f xn x2 P

0
P0 2 f x2 xn P 0 2 f 2 xn P 0 2 f x1xn
四、背景知识
1、最小二乘和数据拟合
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多项式拟合
当数据点 互异时
* 最小二乘解的存在唯一性
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an) 的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如 果 (1) f
xk 0 ( k 1,2, , n)
x-点列的横坐标，y-点列的竖坐标 s-图形的格式字符串
例:给定数据，x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];描绘其图形 代码：x1=[1,3,4,5,6,7,8,9,10]; y1=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; plot(x1,y1)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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p=polyfit (x,y,n) ：用n次多项式拟合数据列
返回多项式的系数，次序是由高阶到低阶
例:x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];
拟合：p=polyfit (x,y,2) 结果：0.2676 -3.6053 13.4597 即2次多项式为p1=0.2676x2 -3.6053x+13.4597 数值：f = polyval(p,x) 结果： f =10.1219 5.0519 3.3196 2.1224 1.4604 1.3335 1.7417 2.6851 4.1636
n n 1 1 5 1 5 Fn 2 2 5
称为比内公式。(Binet，法国，1843年发现)
6. 推导Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列具有如下递推关系
Fn 2 Fn 1 Fn
将以下点列显示在平面坐标系中：
(n, Fn ), n 1,2,, N
观察其中蕴涵的函数关系
查看代码
结论：曲线的形状象指数函数的曲线
2. 进一步验证上一步得到的结论
再将以下点列显示在平面坐标系中：
(n, log Fn ), n 1,2,, N
观察其中蕴涵的函数关系
查看代码
结论：曲线的形状确实象一条直线
R1 = dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t)) %计算拟合残差
1
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五、实验过程
1. 观察数据间的大概函数关系
2. 进一步验证上一步得到的结论 3. 获得数据的近似函数关系式
4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度 5. 猜测Fibonacci数列的通项公式 6. 证明Fibonacci数列的通项公式
1. 观察数据间的大概函数关系
n
4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度 紅点：( n, Fn ), (n, log( Fn )), n 1,2,, N
蓝线： y 0.4476 1.6180 y 0.7768+0.4799x
x
查看代码
查看代码
5. 猜测Fibonacci数列的通项公式
猜测，通项公式：Fn Cr
a a
i 1 N i 1
N
i1 i 2
a a a
i 1 N i 1 i 1 N
N
i1 i 3

2 a i2
i 2 i3
a
a
i 1
N

i 2 in

i 3 in
a
a
a

ai1ain i 1 N a a i 2 in 2 AT A i 1 N 2 a in i 1
从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈 现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变 慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型 函数或对数型函数做拟合等
2、采用2，4和6阶多项式进行拟合 代码：
p2= polyfit(t,y,2);
p4= polyfit(t,y,4);
p6= polyfit(t,y,6);
n n
取n=1和n=2代入上面的公式中，解得
从而得到
1 5 1 5 2 2 Fn 5