函数单调性奇偶性经典例题
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
∴原不等式的解集为{x|-3<x<1 }.
变式:定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1, 且对任意的 a,b∈R,有 f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)证明:f(0)=1; (2)证明:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.
设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x) 的图象如图 2-2-5 所示,则不等式 f(x)<0 的解集是 ________.
图 2-2-5
解:注意到奇函数的图象关于原点成中心对称,用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[-5,5]上的图象(如图),数形结 合,得 f(x)<0 的解集为{x|-2<x<0 或 2<x≤5}.
变式:已知 f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当 x >0 时,f(x)=x3+x+1,求 f(x)的解析式.
解:①当 x<0 时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)3-x+1=-x3-x+1.
又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴f(x)=-x3-x+1.
∴f(x)=x-3+x3x-+x1+,1,
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 x, y∈R,有 f(x·y)=xf(y)+yf(x). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
解:(1)在 f(xy)=xf(y)+yf(x)中, 令 x=y=0,得 f(0)=0+0=0,即 f(0)=0. 令 x=y=1,得 f(1)=1·f(1)+1·f(1), ∴f(1)=0;
函数的单调性与奇偶性-练习题-基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1.函数xx f 3)(=在下列区间上不是..减函数的是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D .(1,+∞) 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =-3x +1B .x y 2=C .y =x 2-4x +5D .y =|x -1|+23.设函数y =(2a -1)x 在R 上是减函数,则有 A .21≥a B .21≤a C .21>a D .21<a ~4.若函数f (x )在区间[1,3)上是增函数,在区间[3,5]上也是增函数,则函数f (x )在区间[1,5]上( )A .必是增函数B .不一定是增函数C .必是减函数D .是增函数或减函数 (二)填空题5.函数f (x )=2x 2-mx +3在[-2,+∞)上为增函数,在(-∞,-2)上为减函数,则m =______.6.若函数xax f =)(在(1,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. 7.函数f (x )=1-|2-x |的单调递减区间是______,单调递增区间是______. 8.函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,那么f (a 2-a +1)与)43(f 的大小关系是______。
*9.若函数f (x )=|x -a |+2在x ∈[0,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. -(三)解答题10.函数f (x ),x ∈(a ,b )∪(b ,c )的图象如图所示,有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断:甲说f (x )在定义域上是增函数;乙说f (x )在定义域上不是增函数,但有增区间, 丙说f (x )的增区间有两个,分别为(a ,b )和(b ,c ) 请你判断他们的说法是否正确,并说明理由。
;11.已知函数.21)(-=xx f (1)求f (x )的定义域;(2)证明函数f (x )在(0,+∞)上为减函数.12.已知函数||1)(x x f =. (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式;&(2)画出函数f (x )的图象,并根据图象写出函数f (x )的单调区间及单调性.2 函数单调性(二) (一)选择题1.一次函数f (x )的图象过点A (0,3)和B (4,1),则f (x )的单调性为( )(A .增函数B .减函数C .先减后增D .先增后减 2.已知函数y =f (x )在R 上是增函数,且f (2m +1)>f (3m -4),则m 的取值范围是( ) A .(-∞,5)B .(5,+∞)C .),53(+∞D .)53,(-∞3.函数f (x )在区间(-2,3)上是增函数,则下列一定是y =f (x )+5的递增区间的是( )A .(3,8)B .(-2,3)C .(-3,-2)D .(0,5) 4.已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数,其值域为M ,则下列说法中 ①若x 0∈D ,则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ,则有唯一的x 0∈D !③对任意实数a ,至少存在一个x 0∈D ,使得f (x 0)=a ④对任意实数a ,至多存在一个x 0∈D ,使得f (x 0)=a 错误的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (二)填空题 5.已知函数f (x )=3x +b 在区间[-1,2]上的函数值恒为正,则b 的取值范围是_____. 6.函数])2,1[(12∈-=x xx y 的值域是______. *7.已知函数f (x )的定义域为R ,且对任意两个不相等的实数x ,y ,都有0)()(<--yx y f x f 成立,则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数). -8.若函数y =ax 和x by -=在区间(0,+∞)上都是减函数,则函数1+=x ab y 在(-∞,+∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数).9.若函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(1)1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数,则a 的取值范围是______.(三)解答题10.某同学在求函数]4,1[,)(∈+=x x x x f 的值域时,计算出f (1)=2,f (4)=6,就直接得值域为[2,6].他的答案对吗,他这么做的理由是什么11.用max{a ,b }表示实数a ,b 中较大的一个,对于函数f (x )=2x ,xx g 1)(=,记F (x )=max{f (x ),g (x )},试画出函数F (x )的图象,并根据图象写出函数F (x )的单调区间.|*12.已知函数f (x )在其定义域内是单调函数,证明:方程f (x )=0至多有一个实数根.3 函数的奇偶性·(一)选择题1.下列函数中:①y =x 2(x ∈[-1,1]) ; ②y =|x |; ;1)(xx x f +=③ ④y =x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( ) A .f (x )-f (-x )>0 B .f (x )-f (-x )≤0 C .f (x )·f (-x )<0 D .f (x )·f (-x )≤0¥3.函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x fA .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既不是奇函数也不是偶函数D .既是奇函数又是偶函数 4.下面四个结论中,正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R )。
函数的奇偶性与单调性
练习: 1.若函数 f(x)定义在 R 上,且 对任意 x,y∈R,都有 f(x+y) =f(x)+f(y) (1) 判断函数的奇偶性 (2) 当 x>0 时,f(x)<0,判断 函数的单调性
2. 已知函数 f(x)=1-x ,F(x) =f(f(x) )+mf(x) ,问是否存 在常数 m, 使F (x) 在区间 , 2 上 递增,在[-2,0]上递减?
练习: 1.偶函数 y=f(x)在[-1,0]上单 调递增,且满足 较 f(1.5),f(5.1)与 f(-2)的大 小
1 f ( x 1) f ( x) ,试比
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x) +f(x—1)=1,当x∈[0,1]时, f(x)=x2,下列命题正确的是: (1)f(x)是周期函数 (2)当x∈[1,2]时,f(x)=2x-x2 (3)f(x)是偶函数 (4)f(x)在[2005,2006]上是减函数, 且f(-2005.5)=
1 [0、 ] 2 2
1 2 1 2
f x x) f ( x ) f ( x ),且() f 1 a 0。 恒有 (
(1)求:
1 1 f ( ), f ( ) 2 4
(2)求证: f ( x) 是周期函数
1 an f (2n ) lim(ln an ) (3)若 2n ,求 n
2
3 .函数
x2 2x a f ( x) x
,若
f ( x) >0 对任意 x>3 恒成立, 求实数 a 的x) x bx (b 为常数) , 且 y f ( x) 在(0,1)上单调递增, 并且方程 f ( x) 0 的根都在[-2,2]内, 求 b 的取值范围
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.举一反三:【变式1】用定义证明函数上是减函数.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间;(1)y=x2-3|x|+2;(2)举一反三:【变式1】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|;(2)(3).类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.4. 求下列函数值域:(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]..举一反三:【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.举一反三:【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)举一反三:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;(4).举一反三:【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).举一反三:【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).11. 求下列函数的值域:(1)(2)(3).12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3..14. 判断函数上的单调性,并证明.15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性(含解析)一、单选题1.函数1()lg(21)f x x =-的定义域为( ) A .1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B .12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C .12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D .1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2.函数()f x = ) A .1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B .1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D .1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3.已知函数,若方程有两个实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .(−1,−12] B .[−12,0) C .[−1,+∞) D .[−12,+∞) 4.设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数,则实数b 的取值范围为( ) A .(),1-∞ B .[)0,+∞ C .(],0-∞ D .(]1,1- 5.下列函数既是偶函数,又在(),0-∞上单调递减的是()A .12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .23y x -=C .1y x x =-D .()2ln 1y x =+ 6.设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()2f f =( ) A .-2B .2C .5D .267.集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ,则()U P Q ⋂是( ) A .[)1,+∞B .∅C .[)0,1D .[)1,1- 8.函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是( )A .)2,(--∞B .)2,2(-C .),2(∞+D .),2()2,(+∞⋃--∞9.已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣,集合{B y y ==∣,则A B =( ) A .11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .[1,1]- C .[0,1] D .1[0,]210.若函数()f x 满足()2f x x =+,则()32f x +的解析式是( )A .()3298f x x +=+B .()3232f x x +=+C .()3234f x x +=--D .()3234f x x +=+11.函数f (x )是定义域为R 的奇函数,当x>0时,f (x )=x+1,则当x<0时,f (x )的 表达式为( )A .1)(+-=x x fB .1)(--=x x fC .1)(+=x x fD .1)(-=x x f12.已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩, 则[(2)]f f -的值为( ) A .1B .2C .4D .5二、多选题13.已知函数()f x 是一次函数,满足()()98ff x x =+,则()f x 的解析式可能为( ) A .()32f x x =+B .()32f x x =-C .()34f x x =-+D .()34f x x =-- 14.已知函数2,[1,2)x y x ∈-=,下列说法正确的是( )A .函数是偶函数B .函数是非奇非偶函数C .函数有最大值是4D .函数的单调增区间是为(0,2)15.下列函数中,与y x =是同一个函数的是( ) A .3log 3x y = B.3log 3x y = C.y = D .2y = 16.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做:“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义,已知集合-{}1,1,2,4M =-,{}1,2,4,16N =,给出下列四个对应法则,请由函数定义判断,其中能构成从M 到N 的函数的是( )A .2y x =B .2y x =+C .2x y =D .2y x三、填空题17.函数()f x =_______.18.偶函数()f x 满足当0x >时,()34f x x =+,则()1f -=_____.19.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20.设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21.已知()222f x x x =-+.(1)画出()f x 的图象.(2)根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22.用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23.求解下列函数的定义域(1)(2) 24.求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25.已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
函数的单调性奇偶性综合应用练习
函数的单调性、奇偶性综合应用一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)= -32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大、小值。
思维分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用。
解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令x=-y 可得:f(-x)= -f(x),在R 上任取x 1<x 2,则x 2-x 1>0,所以f(x 2) -f(x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2-x 1).因为x 1<x 2,所以x 2-x 1>0。
又因为x>0时f(x)<0,所以f(x 2-x 1)<0,即f(x 2)<f(x 1).由定义可知f(x)在R 上是减函数.(2)因为f(x)在R 上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数.所以f(-3)最大,f(3)最小。
所以f(-3)= -f(3)=2即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间,并对其中一种情况证明。
思维分析:要求出y=322--x x 的单调区间,首先求出定义域,然后利用复合函数的判定方法判断.解:设u=x 2-2x -3,则y=u .因为u ≥0,所以x 2-2x -3≥0.所以x ≥3或x ≤-1.因为y=u 在u ≥0时是增函数,又当x ≥3时,u 是增函数,所以当x ≥3时,y 是x 的增函数。
又当 x ≤-1时,u 是减函数,所以当x ≤-1时,y 是x 的减函数。
所以y=322--x x 的单调递增区间是[3,+ ∞),单调递减区间是(-∞,-1]。
证明略三、利用奇偶性,讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数,且图象与x 轴四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定 思维分析:因为f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点,这四个交点每两个关于原点一定是对称的,故x 1+x 2+x 3+x 4=0.答案:C四、利用奇偶性,单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当x ≥0时,f(x)单调递减,若f(1-m)<f(m)成立,求m 的取值范围。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间;(1)y=x2-3|x|+2;(2)解:(1)由图象对称性,画出草图∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三:【变式1】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|;(2)(3).解:(1)画出函数图象,∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞);(2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数;(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则.4. 求下列函数值域:(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].1)f(x)在[5,10]上单增,;2);(2)画出草图1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6];2).举一反三:【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.解:(1)上单调递增,在上单调递增;(2)故函数f(x)在[1,3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值,f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1,3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.解:(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知只需;(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三:【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.解:单调递减且值域(0,1],单调递增且值域为,由图象知,若有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解:(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;(5),∴f(x)为奇函数;(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(7),∴f(x)为奇函数.举一反三:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;(4).思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.解:(1);(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数;(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数;(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时,f(0)=-f(0) ∴x∈R时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).解:法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三:【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:解:,又为奇函数,所以.8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.解:∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0,,如图9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.解:∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|,|a|∈[0,3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案:①③.11. 求下列函数的值域:(1)(2)(3)思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t 的范围.解:(1);(2)经观察知,,;(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.解:(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-13°当a>1时,如图3,g(a)=f(1)=a2-2a,如图13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3.解:令x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性,并证明.证明:任取0<x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,上是增函数.15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 解:当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.(1)当x≥a时,[1]且[2]上单调递增,上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时,[1]上单调递减,上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上:.。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间;(1)y=x2-3|x|+2;(2)解:(1)由图象对称性,画出草图∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三:【变式1】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|;(2)(3).解:(1)画出函数图象,∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞);(2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数;(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则.4. 求下列函数值域:(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].1)f(x)在[5,10]上单增,;2);(2)画出草图1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6];2).举一反三:【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.解:(1)上单调递增,在上单调递增;(2)故函数f(x)在[1,3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值,f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1,3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.解:(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知只需;(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三:【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.解:单调递减且值域(0,1],单调递增且值域为,由图象知,若有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解:(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;(5),∴f(x)为奇函数;(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(7),∴f(x)为奇函数.举一反三:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;(4).思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.解:(1);(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数;(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数;(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时,f(0)=-f(0) ∴x∈R时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).解:法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三:【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:解:,又为奇函数,所以.8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.解:∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0,,如图9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.解:∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|,|a|∈[0,3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案:①③.11. 求下列函数的值域:(1)(2)(3)思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t 的范围.解:(1);(2)经观察知,,;(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.解:(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-13°当a>1时,如图3,g(a)=f(1)=a2-2a,如图13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3.解:令x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性,并证明.证明:任取0<x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,上是增函数.15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 解:当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.(1)当x≥a时,[1]且[2]上单调递增,上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时,[1]上单调递减,上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上:.。
高中数学:函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学:函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中,既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是()A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$,则函数()A。
是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数,且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$,则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数,在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数,在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数,则下列结论一定正确的是()A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$,下列大小关系正确的是()A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数,对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$,都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$,则下列关系式中成立的是()A。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、(1)函数f(x)=x-2,x∈{1,2,4}的最大值为3.在区间[1,5]上的最大值为9,最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)=(2/x)在(-∞,0)上是减函数。
证明:对于x1<x2.由于x1和x2都小于0,所以有x1<x2<0,因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此,f(x)在(-∞,0)上是减函数.3、函数f(x)=|x|+1的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,0]和[0,∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线,单调区间为(-∞,+∞).5、已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,比较大小:(1)f(6)与f(4);(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x>3,f(x)是减函数,对于x<3,f(x)是增函数。
因此,f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x3,f(x)是增函数。
因此,f(2)>f(15).6、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(3a-2),求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1,1)上是减函数,所以对于0f(3a-2)。
因此,实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间:1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线,单调区间为(-∞,-3]和[1,+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,1]和[1,+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线,单调区间为(-∞,-1]和[1,+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线,单调区间为(-∞,-4]和[-1,1]和[5,+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.因为f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以对于x>1,有f(x)>f(1)。
函数的单调性及奇偶性经典练习及答案
[基础巩固]1.(多选)下面四个选项,不正确的有( )A .偶函数的图象一定与y 轴相交B .奇函数的图象一定通过原点C .偶函数的图象关于y 轴对称D .既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ).解析 偶函数的图象关于y 轴对称,但不一定与y 轴相交,如y =1x 2,故A 错误,C 正确.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,如y =1x,故B 错误.若y =f (x )既是奇函数又是偶函数,由定义可得f (x )=0,但未必x ∈R ,如f (x )=1-x 2+x 2-1,其定义域为{-1,1},故D 错误.故选A 、C 、D.答案 ACD2.函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=-x +1,则当x <0时,f (x )的解析式为( )A .f (x )=-x +1B .f (x )=-x -1C .f (x )=x +1D .f (x )=x -1解析 设x <0,则-x >0.∴f (-x )=x +1,又函数f (x )是奇函数.∴f (-x )=-f (x )=x +1,∴f (x )=-x -1(x <0).答案 B3.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1x,则f (-1)=________. 解析 当x >0时,f (x )=x 2+1x, ∴f (1)=12+11=2. ∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=-2.答案 -24.若f (x )为R 上的奇函数,给出下列四个说法:①f (x )+f (-x )=0;②f (x )-f (-x )=2f (x );③f (x )·f (-x )<0;④f (x )f (-x )=-1. 其中一定正确的为________.(填序号)解析 ∵f (x )在R 上为奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∴f (x )+f (-x )=f (x )-f (x )=0,故①正确.f (x )-f (-x )=f (x )+f (x )=2f (x ),故②正确.当x =0时,f (x )·f (-x )=0,故③不正确.当x =0时,f (x )f (-x )分母为0,无意义,故④不正确. 答案 ①②5.函数f (x )=x 3-x 图象的一部分如图所示,根据f (x )的奇偶性画出它在y 轴左侧的图象.解析 函数f (x )=x 3-x 的定义域是R ,定义域关于坐标原点对称,对任意的x ∈R ,都有f (-x )=(-x )3-(-x )=-(x 3-x )=-f (x ),∴f (x )=x 3-x 是奇函数.∴函数的图象关于原点对称.将函数f (x )=x 3-x 图象上位于y 轴右侧的部分作关于原点对称的对称图象,得函数f (x )=x 3-x 在y 轴左侧的图象,如图所示.[能力提升]6.(2022·珠海模拟)已知f ()x 是R 上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f (2)=0,则下列不等式成立的是( )A .0<f ()1<f ()5<f ()-3B .f ()5<f ()-3<0<f ()1C .f ()-3<f ()-1<0<f ()1D .f ()-3<0<f ()1<f ()5解析 因为f ()x 是R 上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,所以f ()x 在()0,+∞上单调递减,f ()-3=f (3).又f (2)=0,且1<2<3<5,f ()x 在(0,+∞]上单调递减,所以f ()1>f ()2>f ()3>f ()5,即f ()5<f ()-3<0<f ()1.故选B.答案 B7.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,且f (1)=0,则不等式f (x )-f (-x )x<0的解集为( )A .(-1,0)∪(1,+∞)B .(-∞,-1)∪(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-1,0)∪(0,1)解析 因为f (x )为奇函数,f (x )-f (-x )x<0, 即f (x )x<0, 因为f (x )在(0,+∞)上为减函数且f (1)=0,所以当x >1时,f (x )<0.因为奇函数图象关于原点对称,所以在(-∞,0)上f (x )为减函数且f (-1)=0,即x <-1时,f (x )>0.综上,使f (x )x<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案 C8.已知函数f (x )=x +m x 2+nx +1是定义在(-1,1)上的奇函数,则常数m ,n 的值分别为________.解析 由题意知f (0)=0,故得m =0.由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),即-x x 2-nx +1=-x x 2+nx +1, ∴x 2-nx +1=x 2+nx +1,∴n =0.答案 0,09.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是________.解析 偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,所以函数f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.由于f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ),则f ⎝⎛⎭⎫-13=f ⎝⎛⎭⎫13. 由f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -1≥0,2x -1<13①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -1<0,2x -1>-13②, 解①得12≤x <23,解②得13<x <12. 综上,得13<x <23,故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13,23. 答案 ⎝⎛⎭⎫13,2310.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围. 解析 (1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a -2>-1,a -2≤1,所以1<a ≤3, 故实数a 的取值范围是(1,3].[探索创新]11.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ∈R ,当a +b ≠0时,都有f (a )+f (b )a +b>0.(1)若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小关系;(2)若f (1+m )+f (3-2m )≥0,求实数m 的取值范围.解析 (1)因为a >b ,所以a -b >0,由题意得f (a )+f (-b )a -b>0, 所以f (a )+f (-b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-b )=-f (b ),所以f (a )-f (b )>0,即f (a )>f (b ).(2)由(1)知f(x)为R上的增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),所以1+m≥2m-3,所以m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞,4].。
函数单调性及奇偶性练习(含答案)
1、已知函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,且其定义域为[a -1,2a ],则( )A .31=a ,b =0 B .a =-1,b =0 C .a =1,b =0 D .a =3,b =0 2、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x ,则f (x )在R 上的表达式是( )A .y =x (x -2)B .y =x (|x |-1)C .y =|x |(x -2)D .y =x (|x |-2)3、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是( )A .偶函数B .奇函数C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数4、若)(x ϕ,g (x )都是奇函数,2)()(++=x bg a x f ϕ在(0,+∞)上有最大值5, 则f (x )在(-∞,0)上有( )A .最小值-5B .最大值-5C .最小值-1D .最大值-35、已知()f x 是偶函数,x R ∈,当0x >时,()f x 为增函数,若120,0x x <>,且12||||x x <, 则 ( )A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-6、定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,并且在(-1,1)上f(x)是减函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)<0的a取值范围. ( )A.(0,1) B.(-2,1) C.[0,1] D.[-2,1]7、已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x) 是减函数,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,求实数m的取值范围.( ) A.1[1,)2- B.[1,2] C.[-1,0] D.(11,2-) 8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根 之和为________10、已知偶函数y =f(x)在区间[0,4]上是单调增函数,则f(-3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足:对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1,则下列 说法一定正确的序号是__________.①f(x)为奇函数 ;②f(x)为偶函数 ;③f(x)+1为奇函数 ;④f(x)+1为偶函数12、若(1)()()x x a f x x++=是奇函数,则a =___13、已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是________.14、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为15、 设函数y =f (x )(x ∈R 且x ≠0)对任意非零实数x 1、x 2满足f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),求证f (x )是偶函数.16、设函数f(x)=21xb ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(21)=52,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f ( t -1)+ f (t) < 0。
函数的单调性及奇偶性测试题(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道,每道10分)1.已知函数是上的增函数,若,则下列不一定正确的是( )A. B.C. D.答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义2.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若,则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.无减区间答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性7.若是奇函数,则实数a的值为( )A.1B.-1C.0D.±1答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数,则a的值为( )A.±1B.1C.-1D.-3答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2,2]上的奇函数,若在[-2,0]上单调递减,则使成立的实数a的取值范围是( )A.["-1,2"]B.C.(0,1)D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数,且在上单调递增,若,则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:奇偶函数图象的对称性。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、(2023·广东·高三统考学业考试)已知函数()f x 对任意,R x y ∈,都有()()()f x y f x f y +=+成立.有以下结论:①()00f =;②()f x 是R 上的偶函数;③若()22f =,则()11f =;④当0x >时,恒有()0f x <,则函数()f x 在R 上单调递增.则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,解得()00f =,①正确;对于②令y x =−,则()()()00f f x f x =+−=,∴()()f x f x −=−,∴()f x 是R 上的奇函数,②错误;对于③令1x y ==,则()()()()211212f f f f =+==,∴()11f =,③正确;对于④设12x x >,则120x x −>,∴()()()12120f x x f x f x −=+−<,则()()()122f x f x f x <−−=,∴()f x 在R 上单调递减,④错误.故答案为:①③.例2、(2022·山东聊城·二模)已知()f x 为R 上的奇函数,()22f =,若对1x ∀,()20,x ∈+∞,当12x x >时,都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦,则不等式()()114x f x ++>的解集为( ) A .()3,1−B .()()3,11,1−−−C .()(),11,1−∞−− D .()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<,得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<, 因为121200x x x x −>>,,所以()()11220x f x x f x −<,即()()1122x f x x f x <,设()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递减,而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==,则012x <+<,解得:11x −<<;因为()f x 为R 上的奇函数,所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==,则()g x 为R 上的偶函数,故()g x 在(,0)−∞上单调递增,()()()()11142g x x f x g +=++>=−,则210x −<+<,解得:31x −<<−;综上,原不等式的解集为(),111)3(,−−−.故选:B .例4、(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且()y f x =在[]0,1上单调递增,若()3a f =−,12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,()2c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−,结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=,()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增, 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭, 所以b c a <<.故选:C例5、(2022·黑龙江大庆·三模(理))已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=,当01x ≤≤时,()1e 1x f x −=−,则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为( ) A .8B .7C .6D .5【答案】A【解析】 解:因为函数()f x 满足()()2f x f x −=,所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称, 又函数()f x 为偶函数,所以()()()2−==−f x f x f x ,所以函数()f x 是周期为2的函数, 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称, 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像,如图所示:由图可知,函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点,且关于直线1x =对称, 所以方程。
函数单调性奇偶性-带有答案
函数单调性奇偶性-带有答案1.若)(x f y =为偶函数,则下列点的坐标在函数图像上的是 ( )A.))(,(a f a --B. ))(,(a f a -C. ))(,(a f a -D. ))(,(a f a ---2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) A. x y = B. x y -=3 C. xy 1= 42+-=x y 3.下列判断中正确的是 ( )A .2)()(x x f =是偶函数 B. 2)()(x x f =是奇函数C .1)(2-=x x f 在[-5,3]上是偶函数 D.23)(x x f -=是偶函数4.若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数,则cx bx ax x g ++=23)(是 ( )A .奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数5.已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,-1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集 ( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1]∪[4,+ ∞)D .(-∞,-1]∪[2,+ ∞)6.已知函数)(x f y =为奇函数,且当0>x 时32)(2+-=x x x f ,则当0<x 时,)(x f 的解析式为 ( )A. 32)(2-+-=x x x fB. 32)(2---=x x x fC. 32)(2+-=x x x fD. 32)(2+--=x x x f7.定义在R 上的偶函数)(x f 在(-∞,0]上单调递增,若21x x >,021>+x x ,则 ( )(A ))()(21x f x f >(B ))()(21x f x f >- (C ))()(21x f x f -<(D ))(1x f ,)(2x f 的大小与1x ,2x 的取值有关8.下列判断正确的是 ( )A.定义在R 上的函数f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)在R 上不是减函数C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数, 则f(x)在R 上是减函数D. 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个9、奇函数()f x 在区间[,]a b 上是减函数且有最小值m ,那么()f x 在[,]b a --上是( )A 、减函数且有最大值m -B 、减函数且有最小值m -C 、增函数且有最大值m -D 、增函数且有最小值m -10.设)(x f 、)(x g 都是单调函数,有如下四个命题:①若)(x f 单调递增,)(x g 单调递增,则)()(x g x f -单调递增;②若)(x f 单调递增,)(x g 单调递减,则)()(x g x f -单调递增;③若)(x f 单调递减,)(x g 单调递增,则)()(x g x f -单调递减;④若)(x f 单调递减,)(x g 单调递减,则)()(x g x f -单调递减;其中正确的命题是 ( )A .① ③B 。
函数的单调性和奇偶性 典型例题
函数的单调性和奇偶性例1(1)画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间.解:函数图像如下图所示,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(-∞,-1]和[0,1]上,函数是增函数:在[-1,0]和[1,+∞)上,函数是减函数.评析函数单调性是对某个区间而言的,对于单独一个点没有增减变化,所以对于区间端点只要函数有意义,都可以带上.(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,此二次函数的对称轴是x =1-a.因为在区间(-∞,1-a]上f(x)是单调递减的,若使f(x)在(-∞,4]上单调递减,对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合,即1-a≥4,a≤-3.评析这是涉及逆向思维的问题,即已知函数的单调性,求字母参数范围,要注意利用数形结合.例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-(2)f(x)=(x-1).解:(1)f(x)的定义域为R.因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x).所以f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下:(1)求函数的定义域,并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f(-x),并与f(x)比较,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时,可考查f(-x)±f(x)=0是否成立,从而判断函数的奇偶性.例3已知函数f(x)=.(1)判断f(x)的奇偶性.(2)确定f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?在区间(0,+∞)上呢?证明你的结论.解:因为f(x)的定义域为R,又f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.(2)f(x)在(-∞,0)上是增函数,由于f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.其证明:取x1<x2<0,f(x1)-f(x2)=- ==.因为x1<x2<0,所以x2-x1>0,x1+x2<0,x21+1>0,x22+1>0,得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在(-∞,0)上为增函数.评析奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同,偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.例4已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.分析根据函数的增减性的定义,可以任取x1<x2<0,进而判定F(x1)-F(x2)=- =的正负.为此,需分别判定f(x1)、f(x2)与f(x2)的正负,而这可以从已条件中推出.解:任取x1、x2∈(-∞,0)且x1<x2,则有-x1>-x2>0.∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,∴f(-x2)<f(-x1)<0.①又∵f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1)②由①、②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数.评析本题最容易发生的错误,是受已知条件的影响,一开始就在(0,+∞)内任取x1<x2,展开证明.这样就不能保证-x1,-x2,在(-∞,0)内的任意性而导致错误.避免错误的方法是:要明确证明的目标,有针对性地展开证明活动.例5讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)内的单调性.分析根据函数的单调性定义求解.解:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-=∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x21)(1-x22)>0于是,当a>0时,f(x1)<f(x2);当a<0时,f(x1)>f(x2).故当a>0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a<0时,函数在(-1,1)上为减函数.评析根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是:(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值,且x1<x2;(2)作差f(x1)-f(x2),并将此差式变形;(3)判断f(x1)-f(x2)的正负,从而确定函数的单调性.例6求证:f(x)=x+ (k>0)在区间(0,k]上单调递减.解:设0<x1<x2≤k,则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2-=∵0<x1<x2≤k,∴x1-x2<0,0<x1x2<k2,∴f(x1)-f(x2)>0∴f(x1)>f(x2),∴f(x)=x+ 中(0,k]上是减函数.评析函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质.因此,若要证明f(x)在[a,b]上是增函数(减函数),就必须证明对于区间[a,b]上任意两点x1,x2,当x1<x2时,都有不等式f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))类似可以证明:函数f(x)=x+ (k>0)在区间[k,+∞]上是增函数.例7判断函数f(x)=的奇偶性.分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.解:由得函数的定义域为[-1,1].这时,|x-2|=2-x.∴f(x)=,∴f(-x)===f(x).且注意到f(x)不恒为零,从而可知,f(x)=是偶函数,不是奇函数.评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性,若不作深入思考,便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后,函数的奇偶性就非常明显了.这样看来,解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误,而且有时还可以避开讨论,简化解题过程.【下载本文档,可以自由复制内容或自由编辑修改内容,更多精彩文章,期待你的好评和关注,我将一如既往为您服务】。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$,则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数,若$x>0$,则下列不一定正确的是()答案:D解题思路:$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增,所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足:对任意不同的$x_1$,$x_2$,都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$,则实数$a$的取值范围是()答案:C解题思路:根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数,即$a>0$,$b^2-4ac<0$,所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$,选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足:对任意不同的$x_1$,$x_2$,都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,则实数$a$的取值范围是()答案:B解题思路:根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数,且在$(0,+\infty)$上单调递增,所以$a>0$,$b^2-4ac<0$,且$b\geq0$,所以$a\leq\frac{1}{4}$,选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案:A解题思路:求出$f'(x)$,令其小于0,解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$,即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减,选项A正确。
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函数的性质的运用1.若函数y f x x R =∈()()是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是( )A.(())a f a ,-B.(())--a f a ,C.(())---a f a ,D.(())a f a ,-2. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数,则a 的值为( )A .1-B .2-C .1D .2 3.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,若11)()(-=+x x g x f ,则f (x )的解析式为_______.4.已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有 实根之和为________.5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y ). (1)求证f (x )为奇函数;(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立, 求实数k 的取值范围.6.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2),且当x >1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值;(2)判断f(x )的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R 上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)<3.8.设f (x )的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,)()()(y f x f yxf -=(1)求证:f (1)=0,f (xy )=f (x )+f (y ); (2)设f (2)=1,解不等式2)31()(≤--x f x f 。
9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根,则这6个实根的和为( )A . 0B .9C .12D .1810.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<,则实数m 的取值范围11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+,且x ∈[-1,1]时,()||f x x =, 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )A .3B .4C .5D .612.已知函数()f x 满足:4x ≥,则()f x =1()2x;当4x <时()f x =(1)f x +,则2(2log 3)f +=A124 B 112C 18D 38 13.已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (21)=-1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、 y ∈(-1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数;(2)f (x )在(-1,1)上单调递减.14.函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称15.函数f (x )在R 上为增函数,则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.16.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在[x 2,+∞)上单调递增,则b 的取值范围是_________. 17.已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.18.求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1,+∞)上是减函数.19设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足: (i)f (x 1-x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅;(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证: (1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数,且有一个周期是4a .20.已知函数f (x )的定义域为R ,且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )-1,且 f (-21)=0,当x >-21时,f (x )>0. (1)求证:f (x )是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.21.已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0, 设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5}, 求函数g (x )=-3x 2+3x -4(x ∈B )的最大值.22.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.523.已知定义域为(-1,1)的奇函数y =f (x )又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2)<0,则a 的取值 范围是( ) A.(22,3) B.(3,10) C.(22,4)D.(-2,3)24.若f (x )为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f (-3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 25.如果函数f (x )在R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f (x +2)=-f (x ), 试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________.参考答案6.(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
(2)当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。
故f 单调减。
(3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f (|x |)<-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x >9或x <-97.(1)设x1,x2∈R ,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f (x2)>f(x1).即f(x)是R 上的增函数.(2)∵f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m < ,故解集为 . 13.证明:(1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (21x xx --)=f (0)=0 ∴f (x )=-f (-x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0,1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)-f (-x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,∴12121x x x x -->0,又(x 2-x 1)-(1-x 2x 1)=(x 2-1)(x 1+1)<0 ∴x 2-x 1<1-x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0,即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0,1)上为减函数,又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(-1,1)上为减函数.14.解析:f (-x )=-f (x ),f (x )是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C15.解析:令t =|x +1|,则t 在(-∞,-1]上递减,又y =f (x )在R 上单调递增,∴y =f (|x +1|)在(-∞,-1]上递减. 答案:(-∞,-1]34⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,116.解析:∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x -x 1)(x -x 2)=ax 3-a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x , ∴b =-a (x 1+x 2),又f (x )在[x 2,+∞)单调递增,故a >0.又知0<x 1<x ,得x 1+x 2>0, ∴b =-a (x 1+x 2)<0. 答案:(-∞,0)17.证明:(1)设-1<x 1<x 2<+∞,则x 2-x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)-f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(-1,+∞)上为递增函数.(2)证法一:设存在x 0<0(x 0≠-1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0<0x a <1得0<-1200+-x x <1,即21<x 0<2与x 0<0矛盾,故f (x )=0没有负数根.证法二:设存在x 0<0(x 0≠-1)使f (x 0)=0,若-1<x 0<0,则1200+-x x <-2,0x a <1,∴f (x 0)<-1与f (x 0)=0矛盾,若x 0<-1,则1200+-x x >0, 0x a >0,∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾,故方程f (x )=0没有负数根. 18.证明:∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1<x 1<x 2<+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1,+∞)上是减函数. 19.证明:(1)不妨令x =x 1-x 2,则f (-x )=f (x 2-x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=-f (x 1-x 2)=-f (x ).∴f (x )是奇函数.(2)要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f [x -(-a )]=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f [(x +2a )+2a ]=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.20.证明:设x 1<x 2,则x 2-x 1-21>-21,由题意f (x 2-x 1-21)>0, ∵f (x 2)-f (x 1)=f [(x 2-x 1)+x 1]-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1=f (x 2-x 1)+f (-21)-1=f [(x 2-x 1)-21]>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解:f (x )=2x +1.验证过程略.21.解:由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数,∴f (x -3)<-f (x 2-3)=f (3-x 2),又f (x )在(-3,3)上是减函数, ∴x -3>3-x 2,即x 2+x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=-3x 2+3x -4=-3(x -21)2-413知:g (x )在B 上为减函数,∴g (x )max =g (1)=-4.22.解析:f (7.5)=f (5.5+2)=-f (5.5)=-f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=-f (1.5)=-f (-0.5+2)= f (-0.5)=-f (0.5)=-0.5. 答案:B23.解析:∵f (x )是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2)<0. ∴f (a -3)<f (a 2-9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案:A24.解析:由题意可知:xf (x )<0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 25.解析:∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=-f (-31),f (32)=-f (-32),f (1)=-f (-1),又f (x )在(-1,0)上是增函数且-31> -32>-1. ∴f (-31)>f (-32)>f (-1),∴f (31)<f (32)<f (1).答案:f (31)<f (32)<f (1)。