§14-1 几何光学中的基本定律和原理
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PAi Ai P 常量
11
（b）图：A1 、 A2点在椭球面上，镜面上的另一点A2 不在椭球面上。所以，有图可知：PA1P’是实际光线。
PA2' A2' P' PA2 A2 P' PA1 A1P'最小光程
（C）图：同样道理，PA1P’是实际光线，最大光程。
PA3' A3' P' PA3 A3 P' PA1 A1P'最大光程 12
四、全反射 1 、全反射： 如果 n 2> n 1，即光线从折射率较小的介 质射向折射率较大的介质，那么入射角i将大于折射角 r，折射后的光线将向法线靠拢；如果 n2<n1，即光线 从折射率较大的介质射向折射率较小的介质，那么入 射角i1 将小于折射角i2 ，折射后的光线将偏离法线。
把折射率较大的介质 称为光密介质，而把折 射率较小的介质称为光 疏介质。 当光线从光密介质射 向光疏介质时，可能会 发生全反射现象。
介质对光的折射率与介质对波的折射率具有相同涵义，所 不同的是在光的折射率中涉及的是光的传播速率。介质对光
的折射率n定义为
若n2=﹣n1， 可得
c n v
i r
3
可把反射定律看作折射定律在n2=﹣n1情况下的特例。
三、费马原理
1、光程 光线在真空中传播距离 QP 所需的时间为：
tQP QP / c
Q
P
当光线经过几种不同媒质时，由Q经M，N直到P所 需的时间为（如图所示）：
M Q
媒质1 n1 △l2 媒质2 n2
N
媒质3 n3
P
4
M Q
媒质1 n1
△l2 媒质2 n2
N
媒质3 n3
P
tQP
(OMNP )简写成（QP) ni li；称为光线的光程。
i
li ni li (QMNP) L vi c c c c i i
1
二、光的反射定律和折射定律
光线由一种介质向另一种介质传播时，在两种介 质的分界面上，入射光线被分为反射线和折射线， 仍在第一种介质中传播的光线是反射线，进入第二 种介质的光线是折射线。
n1 n2
i
i′ r
入射线与分界面法线所构成的平面称为入射面， 分界面法线与入射线、反射线和折射线所成的角i、 i′和r ，分别称为入射角、反射角和折射角。 2
y
i2 0 i1
n2 x
iC
n1
13
当：n2<n1 ,则i2>i1 ; 与入射光线相比， 折射光线将远离法 线。随着入射角的 增大，折射角增加 的很快。
若媒质的折射率连续变化，则光程应为： （QP) ndl；“光程”可理解为在相同时间内光
P Q
线在真空中传播的距离。
5
2、费马原理 光程的概念对几何光学的重要意义 体现在费马原理中，几何光学的基础本来是三个实 验定律，费马用光程的概念高度概括地把它们归结 成一个统一的原理。
费马原理的表述：光在指定两点间的传播，实际的 光程总是一个极值。也就是说，光沿光程为最小值、 最大值或恒定值的路程传播。 在一般情况下，实际光程大多是取极小值的。 费马本人最初提出的也是最短光程。 数学表达式：
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中最短的一根，从而路径QMP的长度最短。根据 费马原理，QMP是光线的实际路径，由对称性不 难看出 i = i’ 。 3）折射定律： 设两种均匀介质的分 界面是平面，它们的 折射率分别是n1 和n2， 光线通过第一种介质 的A点后经过界面到达 第二种介质的B点。 OO’是两个平面 的交线，用费马原理确定实际光线在界面上的 折射点C。
§14-1 几何光学中的基本定律和原理
一、光的直线传播定律 光在均匀介质中是沿直线传播的。 根据光的衍射特性，如果光通过孔径为d的小孔， 当d接近或小于光波波长时，光将会明显地偏离直线， 偏离角(即衍射角)大致可表示为
d
如果满足 d >> λ，光的实际传播路径与直线相差甚 小，可以近似地认为光是沿直线传播的。 作为几何光学基础的光的直线传播定律，实际上 是光的波动性在一定条件下的近似。在应用几何光 学规律处理具体问题时，应保证d>>λ始终被满足。
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d ACB n1 ( x x1 ) n2 ( x2 x) 2 2 2 2 dx ( x x1 ) y1 ( x2 x ) y2 n1 A C n2CB AC CB n1 sin i1 n2 sin i2 0
费马原理在其他几个例子中的应用： 镜面M是旋转椭球面，通过一个焦 点P的入射光线被球面上的任一点 Ai(i=1，2，3…)反射后总是通过另 ' 一点P’点，且：
8
根据费马原理，可以 确定C点比在交线OO’ 上，，假设在C’点， 位于OO’线外,对应于 C’，必可在OO’线 上找到它的垂足C”； 由于：AC’>AC”,
C’B>C”B;所以：光 程（AC’B)总是大于 光程 （AC”B)而非极小值。证明了入射面和折射面在同 一平面内。其次确定C点在OO’上的位置。作直角 坐标系OXY,并设：A、B两点的坐标为（x1 ,y1)和 （x2 ,y2)，未知点的坐标为（x ,0).由图可知，C点在 9
反射线和折射线满足下面的规律：
(1) 反射线处于入射面内，且反射角等于入射角，即i=iˊ; (2) 折射线处于入射面内，而且入射角的正弦与折射角的正 弦之比，等于第二种介质的折射率n2与第一种介质的折射率 n1之比: sin i n2 u1
sin
n1
u2
n21
式中n21是第二种介质相对第一种介质的折射率。
Q
P
ndl 极值（极小值、极大值或恒定值）
6
3、由费马原理推导几何光学三定律 1）在均匀媒质中光的直线传播定律是费马原理的 显然推论（两点之间直线距离最短）。 2）反射定律： 考虑由Q出发，经 反射面Σ到达P的光 线，相对于Σ取P的 对称点P’（如图所 示)，从Q到P任一可 能路径QM’P的长 度与QM’P’相等。 显然，直线QMP’ 是其
A’ 、B’之间的光程必小
于C点在A’ 、B’以外的
光程，即：x1<x<x2 。所以
光程（ACB)等于：
( ACB) n1 AC n2CB n1 ( x x1 ) 2 y12 n2 ( x2 x) 2 y2 2
根据费马原理，这个光程取极小值，对上式取一阶 导数等于零：
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PAi Ai P 常量
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（b）图：A1 、 A2点在椭球面上，镜面上的另一点A2 不在椭球面上。所以，有图可知：PA1P’是实际光线。
PA2' A2' P' PA2 A2 P' PA1 A1P'最小光程
（C）图：同样道理，PA1P’是实际光线，最大光程。
PA3' A3' P' PA3 A3 P' PA1 A1P'最大光程 12
四、全反射 1 、全反射： 如果 n 2> n 1，即光线从折射率较小的介 质射向折射率较大的介质，那么入射角i将大于折射角 r，折射后的光线将向法线靠拢；如果 n2<n1，即光线 从折射率较大的介质射向折射率较小的介质，那么入 射角i1 将小于折射角i2 ，折射后的光线将偏离法线。
把折射率较大的介质 称为光密介质，而把折 射率较小的介质称为光 疏介质。 当光线从光密介质射 向光疏介质时，可能会 发生全反射现象。
介质对光的折射率与介质对波的折射率具有相同涵义，所 不同的是在光的折射率中涉及的是光的传播速率。介质对光
的折射率n定义为
若n2=﹣n1， 可得
c n v
i r
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可把反射定律看作折射定律在n2=﹣n1情况下的特例。
三、费马原理
1、光程 光线在真空中传播距离 QP 所需的时间为：
tQP QP / c
Q
P
当光线经过几种不同媒质时，由Q经M，N直到P所 需的时间为（如图所示）：
M Q
媒质1 n1 △l2 媒质2 n2
N
媒质3 n3
P
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M Q
媒质1 n1
△l2 媒质2 n2
N
媒质3 n3
P
tQP
(OMNP )简写成（QP) ni li；称为光线的光程。
i
li ni li (QMNP) L vi c c c c i i
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二、光的反射定律和折射定律
光线由一种介质向另一种介质传播时，在两种介 质的分界面上，入射光线被分为反射线和折射线， 仍在第一种介质中传播的光线是反射线，进入第二 种介质的光线是折射线。
n1 n2
i
i′ r
入射线与分界面法线所构成的平面称为入射面， 分界面法线与入射线、反射线和折射线所成的角i、 i′和r ，分别称为入射角、反射角和折射角。 2
y
i2 0 i1
n2 x
iC
n1
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当：n2<n1 ,则i2>i1 ; 与入射光线相比， 折射光线将远离法 线。随着入射角的 增大，折射角增加 的很快。
若媒质的折射率连续变化，则光程应为： （QP) ndl；“光程”可理解为在相同时间内光
P Q
线在真空中传播的距离。
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2、费马原理 光程的概念对几何光学的重要意义 体现在费马原理中，几何光学的基础本来是三个实 验定律，费马用光程的概念高度概括地把它们归结 成一个统一的原理。
费马原理的表述：光在指定两点间的传播，实际的 光程总是一个极值。也就是说，光沿光程为最小值、 最大值或恒定值的路程传播。 在一般情况下，实际光程大多是取极小值的。 费马本人最初提出的也是最短光程。 数学表达式：
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中最短的一根，从而路径QMP的长度最短。根据 费马原理，QMP是光线的实际路径，由对称性不 难看出 i = i’ 。 3）折射定律： 设两种均匀介质的分 界面是平面，它们的 折射率分别是n1 和n2， 光线通过第一种介质 的A点后经过界面到达 第二种介质的B点。 OO’是两个平面 的交线，用费马原理确定实际光线在界面上的 折射点C。
§14-1 几何光学中的基本定律和原理
一、光的直线传播定律 光在均匀介质中是沿直线传播的。 根据光的衍射特性，如果光通过孔径为d的小孔， 当d接近或小于光波波长时，光将会明显地偏离直线， 偏离角(即衍射角)大致可表示为
d
如果满足 d >> λ，光的实际传播路径与直线相差甚 小，可以近似地认为光是沿直线传播的。 作为几何光学基础的光的直线传播定律，实际上 是光的波动性在一定条件下的近似。在应用几何光 学规律处理具体问题时，应保证d>>λ始终被满足。
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d ACB n1 ( x x1 ) n2 ( x2 x) 2 2 2 2 dx ( x x1 ) y1 ( x2 x ) y2 n1 A C n2CB AC CB n1 sin i1 n2 sin i2 0
费马原理在其他几个例子中的应用： 镜面M是旋转椭球面，通过一个焦 点P的入射光线被球面上的任一点 Ai(i=1，2，3…)反射后总是通过另 ' 一点P’点，且：
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根据费马原理，可以 确定C点比在交线OO’ 上，，假设在C’点， 位于OO’线外,对应于 C’，必可在OO’线 上找到它的垂足C”； 由于：AC’>AC”,
C’B>C”B;所以：光 程（AC’B)总是大于 光程 （AC”B)而非极小值。证明了入射面和折射面在同 一平面内。其次确定C点在OO’上的位置。作直角 坐标系OXY,并设：A、B两点的坐标为（x1 ,y1)和 （x2 ,y2)，未知点的坐标为（x ,0).由图可知，C点在 9
反射线和折射线满足下面的规律：
(1) 反射线处于入射面内，且反射角等于入射角，即i=iˊ; (2) 折射线处于入射面内，而且入射角的正弦与折射角的正 弦之比，等于第二种介质的折射率n2与第一种介质的折射率 n1之比: sin i n2 u1
sin
n1
u2
n21
式中n21是第二种介质相对第一种介质的折射率。
Q
P
ndl 极值（极小值、极大值或恒定值）
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3、由费马原理推导几何光学三定律 1）在均匀媒质中光的直线传播定律是费马原理的 显然推论（两点之间直线距离最短）。 2）反射定律： 考虑由Q出发，经 反射面Σ到达P的光 线，相对于Σ取P的 对称点P’（如图所 示)，从Q到P任一可 能路径QM’P的长 度与QM’P’相等。 显然，直线QMP’ 是其
A’ 、B’之间的光程必小
于C点在A’ 、B’以外的
光程，即：x1<x<x2 。所以
光程（ACB)等于：
( ACB) n1 AC n2CB n1 ( x x1 ) 2 y12 n2 ( x2 x) 2 y2 2
根据费马原理，这个光程取极小值，对上式取一阶 导数等于零：