同济材料力学 顾志荣 第十章 - 应力状态理论的基础

即: 2(
σ x −σ y
2 cos 2α −τ x sin 2α) = 0
将 θ0 代 τα 式,得: 方位: 大小: τ
σ x −σ y tg2θ0 = 2 x τ
m ax m in
=± (
σ x −σ y
2
源自文库
2 )2 +τ x
m ax τ min 面上的正应力: σα =θ0 =
σ x+σ y
2
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体
σy
σx
e
σx
f
τx
σy
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力 σα τα
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/ 公式推导使用的符号规定： α角 由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
σy 正 应 力
m o
m o
τ
l
τ
Mn τ= 2 2πro δ
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
σt σm
l
τ
ｐ
pD σm = 4δ
pD σt = 2δ
Mn τ = 2 2πro δ
第十章 应力状态理论基础
二 平面应力状态分析 — 数解法
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/
πD2 σx (πDδ ) = p 4
pD σx = 4δ
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
ｐ × Ｄ×ｌ
∑F = 0
y
σt
ｐ
σt
σt (2δ ×l ) = p(D×l )
pD σt = 2δ
σt (2δ ×l )
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
课堂练习
l
绘图示构件固端S截 面上、下、左、右 切线点处的应力单 元体
S
FP a
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
S
FP
1 4
z
2 3
S平面 平面
x
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
课堂练习
FQy
1
1 4 2 3
Mz
2 + 2
cos 2α −τxy sin 2α
τα =
π
2
σx −σ y
2
sin 2α +τxy cos 2α
用 β =α + 斜截面截取，此截面上的应力为
σβ =
σx +σ y σx −σ y
2 2 − 2
cos 2α +τxy sin 2α
σβ
τβ
τβ = −
σx −σ y
τα
σα
sin 2α −τxy cos 2α
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材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
第十章 应力状态理论基础
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第十章 应力状态理论基础
一 应力状态的概念及其描述 二 平面应力状态分析—数解法 三 平面应力状态分析—图解法 四 三向应力状态 五 广义虎克定律 六 三向应力状态下的变形能
过一点不同方向面上应力的 集合，称之为这一点的应力状 态。
应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位
的截面上的应力及其变化规律。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
3 .一点应力状态的描述
单元体
dx dy dz → 0
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
轴向拉压 F
同一横截面上各点应力相等： = F σ F
σ
A
σα
˚ ˛ 2
σα = σ
同一点在斜截面上时：
2
α
τα
σ τα = sin 2α
此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应 力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
τy f
τx
σ +σ
2
τx
σy
2
τα
α
1+ cos 2α 2 1−cos 2α 2 sin α = 2
τy
f
ξ
τ x =τ y
y cos x y σαdA −σx (dAcosα= α +τ x (dA+ α)sin α+τ y (dAsin −τ x sin−σ y (dAsin α)sin α = 0 σα )cos x cos 2α α) cosα 2α
三 向 应 力 状 态 特例 态 状 力 应 面
平 单向应力状态
特例 纯剪应力状态
例题
α = −30o , 一点处的平面应力状态如图所示。已知 σx = 60MPa, τ xy = −30MPa. σ y = −40MPa,
试求（1）α斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
σ −σ
ταdA−σx (dAcosα)sin α −τ x (dAcosα) cosα +τ y (dAsin α)sin α +σ y (dAsin α) cosα = 0
τα =
σx −σ y
2
sin 2α +τ x cos 2α
公式推导
(2) β 面上的应力：
σα =
σx +σ y σx −σ y
令
= 在何处? 该处 τ = ? 在何处?
dσα σx − σ y =0, − ⋅ 2sin 2α − τ x 2α ⋅ 2 = 0 dα 2 ⊇ ∈ σx − σ y 则: − 2 ⋅ sin 2α + τ x 2α = 0 2
即:
τα = 0 面上有 σ
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/
课堂练习 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面 的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的 应力。
a
F
F
a
A
A
B
B
C
C
A
B
C
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
FP
S’平面 平面
课堂练习 绘图示梁S’平面上 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
40
30M Pa
α
60M Pa
解、(1) α斜面上的应力 斜面上的应力
（1）α斜面上的应力
40
30M Pa
α
2 2 60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) +30sin( −60o ) 2 2
σα =
σx +σ y σx −σ y
+
cos 2α −τxy sin 2α
60M Pa
Mz
F Q
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同 一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。 。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
哪一个面上 哪一点？
应 力
指明
哪一点 哪个方向面？ 哪个方向面？
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
2
30M Pa
60 + 40 2 + (−30)2 2
第十章 应力状态理论基础
一 应力状态的概念及其描述
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
1 问题的提出 2 应力的三个重要概念 3 一点应力状态的描述
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 拉(压): ( ):
公式推导 (3)
α β
面上的应力之间的关系：
σβ
σα +σβ =σx +σ y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
σx
τβ
σα
τα
τα = −τβ
τ yx
τ xy
σy
即又一次证明了剪应力的互等定理。
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/
2.σ
σx
压应力为负 拉应力为正
σx
n
α α
x
τx
τα
切应力 使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为 负。
τ
τy
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/
公式推导
(1)
a 面上的应力： e
σx
e
σx
α
σy
α
b
σα
n
{ ∑Fn =0 ∑Fξ = 0
cos2 α =
= 9.02M Pa
τα = σx −σ y
2 60 + 40 = sin( −60o ) −30cos(−60o ) 2 sin 2α +τxy cos 2α
= −58.3M Pa
（2）主应力
∪ σx +σ y … © ⊗ ⊃ = σ∪ ±
2
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+ τ xy
中 轴 性
σ
=
M(x) W
≤ σ
τmax
… © τ ∪=
F Sz Q Izb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
对于横截面上既有正应力又有剪应力的一 些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险 应力如何确定?
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
⊇ ∈ σx − σ y 令 ⋅ sin 2α + τ x 2α = 0
2
τα = 0 在何处?
得: 任意(为方便)令:
− 2τ x tg2αo = σx − σ y
tg2αo = 1
可发现:①正应力极值有两个方面
2αo = 45o → αo = 22 5o
2α o = 225o → α o = 112 5o
5、应力状态的分类： 应力状态的分类：
三向（空间）应力状态
σ3
σ1
σ2
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
平面（二向）应力状态
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
σx
y
τ yx τxy
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
FP
S平面 平面
l/2
5 4 3 2 1
l/2
5
F P 2
Fl Mz = P 4 S平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
3
τ3
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
②
σ
相差 90o
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/
σ
将
=
αo 代入 σα 式,得
=
σ
σx + σ y
2
±
σx − σ y
2
2
2 + τx
显然,在 σ
面上
τ =0
3、τ
令
m ax m in
= ?
在何处？ 该处σ= σ=？ 在何处？ 该处σ=？
σ x −σ y dτα = 0, ⋅ 2cos 2α − 2 x sin 2α = 0 τ dα 2
4
x
z
Mx
3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/ 课堂练习
承受内压、扭转的薄壁圆筒,试从加强肋之间取应力单元体
m o
m o
ｐ
l
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
σx
σ x (π D)δ
ｐπD２ ４
ｐ
δ Ｄ
σx
∑F = 0
x
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4 S’平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4
5 4 3 2 1
S’平面 平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
τ2
3
τ3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除 了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会 发生斜向裂纹?
这些问题都要通过应力状态的分析来解决.
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
2.应力状态的三个重要概念
(1)应力的面的概念 (2)应力的点的概念 (3)应力状态的概念
F
σ
F σ = ≤ σ A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
τmax
Mmax = ≤[τ ] W P
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
σ
M M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
+
σx −σ y
2
cos 2 0 −τ x sin 2 θ θ
主平面、主应力、 4、主平面、主应力、主应力的排列
主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主 平面。 主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。 主应力的排列：
σ1 、σ2 、σ3
σ1 fσ2 fσ3
用代数值确定，排列为
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/