同济材料力学 顾志荣 第十章 - 应力状态理论的基础
材料力学第8章-应力状态与强度理论及其应用
3
钢材的应力应变关系
钢材的应力应变关系是非线性的，这意味着在不同应力值下，材料的应变表现不 同。
强度理论的具体应用
极限强度理论
极限强度理论是以材料的极限应 力为依据，计算材料最大承受载 荷的一种方法。
能量法及其应用
能量法通过计算材料受力时产生 或储存的各种形式的能量，来计 算结构的承载能力。
变形理论及其应用
1 平面应力状态
在某个平面内的应力状态称为平面应力状态。
2 平面问题和轴对称问题的转化
通过对于平面应力状态的处理，可以将平面问题转化为轴对称问题。
3 三维应力状态
三维应力状态是指存在三个方向的应力状态。
材料的应力应变关系
1
应力的基本定义
应力是单位面积受到的力的大小。
2
应变的基本定义
应变是物体各个方向的长度变化之比。
材料力学第8章-应力状态 与强度理论及其应用
本章将对强度理论、应力状态和材料应力应变关系进行详细介绍，并探讨其 在实际中的应用。
强度理论的基本概念和原理
什么是强度理论？
强度理论是衡量材料承受载荷能力的方法。
强度理论的原理
强度理论的原理是通过材料的极限应力来衡量材料所能承受的最大载荷。
常见的应力状态
材料科学的快速发展
随着各种新材料的出现，强度理论和应力状态分析方法将迎来更加广阔的发展空间。
应用范围逐渐扩大
应力状态分析方法已经逐渐应用于建筑、地质等领域，并将在未来继续扩大应用范围。
变形理论是以材料的变形形式为 基础，分析材料在不同应力下的 表现。
实例分析
1
应力状态分析
我们可以通过有限元分析的方法，对特定应力状态下的材料表现进行模拟和态分析广泛应用于工程领域，特别是机械、航空等行业。
材料力学之应力状态
30°
= 58.3MPa
n
27
30 =
0
x y
2
sin 2 xy cos 2
40 60 = sin( 60 ) (50) cos( 60 ) = 18.3MPa 2
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α ：逆时针转动为正
16
A cos
平衡条件的应用 — 微元局部的平衡方程 平衡对象 — 用 斜截面截取的 微元局部 参加平衡的量 — 应力乘以其 作用的面积 平衡方程
A sin
A
x
A
α
xy
t yx
y
F
n
=0
，
F = 0
t
17
F
x
22
三.最大切应力及方位 x y x y = cos 2 xy sin 2 2 2 x y = sin 2 xy cos 2 2 1. 最大切应力的方位: x y d = 2[ cos 2 xy sin 2 ] = 0 令 d 2
x y tan 21 = 2 xy
1 90 1
1 和 1+90o 确定两个互相垂直的平面,一个是最大 切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面。
23
2. 最大切应力
将 1 和 1+90°代入公式
=
x y
2
sin 2 xy cos 2
4 薄壁圆筒的横截面面积
F = p
D 2
F p 4 pD = = = A D 4
第十章 -应力状态分析 强度理论(材料力学课件)
§10-2 平面应力状态下的应力分析
y y
yx xy x
x
y
y y x
x x
CL10TU8
一、解析法
y
y y
n
x
x
xx x
y
y
CL10TU9
n
x
x
Acos
A
y
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
CL1
y
2
cos 2 x
sin 2
CL10TU25
解：(一)使用解析法求解
x 80MPa, y 40MPa
x 60MPa, = 30
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
102MPa
x
2
y
sin 2
x
cos 2
22.0MPa
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
105 MPa
65
1 105MPa, 2 0, 3 65MPa
的平面，其中一个是最大正应力所在 平面，另一个是最小正应力所在平面
max x y
min
2
x
2
y
2
2 x
用完 全 相x似2 的y方法 x可2确 定 y c剪os应 2力 的x 极sin值2
x
y
2
sin 2 x
cos 2
d d
( x y ) cos2 2 x sin 2
若
1时，能使
d d
0
( x y ) cos2 1 2 x sin 2 1 0
材料力学精品课件《应力状态和强度理论》
h b
解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。
F FS 2
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
1
2 0
3
（c）
（b）
y
由广义胡克定律 1 K 1 1 ( 2 3 ) E
1
y
应力圆的作法：
y
x
x
x
x
D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A
max 1 2 2 min
x
§7-4 三向应力状态简介
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
一、 三向应力圆
已知受力物体内某一点处三个 主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大 正应力和最大切应力。
3
2 1
2
1
3 1
3
2
首先研究与主应力 3 平行的斜截面上的应力，由于 3 作用 平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 3 平行的斜截 面上的应力与 3 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 ·a3(1+3
a2
2
3
工程力学 应力状态分析
3
1 s 3 s 2 s 1 E
方向一致
tg2 0
xy
x y
2t xy
s x s y
tg2 0
四、平面状态下的应力应变关系: s t t 0 z yz zx
s x
E x y 2 1 E s y y x 2 1
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
sy
y
单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
sz
z
txy
sx
x
b、平行面上，应力相等。
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直 的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定 等值、方向相对或相离。
s x s y 2 2 （ ）t xy 2
§ 三向应力状态研究:应力圆法
1、空间应力状态
y
s1 s2 s3
x
t
s
z
s3
s2
s1
2、三向应力分析
y
t
t max
s1 s2 s3
s
s3
x
图a
s2
s1
图b
z
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
txy
s
对上述方程消去参数（2），得：
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2 n
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
《材料力学》课件7-1应力状态和强度理论
塑性材料的屈服
塑性材料的屈服
塑性材料在受到外力作用时，会发生塑性变形，而不会立即断裂。屈服点是塑性 材料开始发生屈服时的应力值，强度理论可以用来预测材料的屈服点。
塑性材料屈服的预防
为了防止塑性材料的屈服，可以采用高强度材料、优化结构设计、改善加工工艺 等方法。此外，对材料进行热处理和合金化也是提高材料屈服强度的重要手段。
02
强度理论
强度理论的概念
强度理论是分析材料在复杂应力状态下发生断 裂或屈服失效的准则，用于评估材料在不同受 力条件下的承载能力。
强度理论基于对材料内部微观结构和性能的认 识，通过建立数学模型来描述材料的应力-应变 关系，从而预测其失效行为。
强度理论是材料科学和工程领域的重要基础， 广泛应用于结构设计、材料选择和工艺优化等 方面。
Байду номын сангаас
最大拉应力理论
01
最大拉应力理论认为材料在复杂应力状态下发生断裂失效的主 要原因是最大拉应力达到材料的极限抗拉强度。
02
该理论适用于脆性材料，如玻璃、陶瓷等，这些材料的断裂主
要受拉应力控制。
在实际应用中，最大拉应力理论常用于指导材料的选择和结构
03
设计，以确保在各种受力条件下结构的安全性和稳定性。
《材料力学》课件71应力状态和强度理
论
目录
• 应力状态 • 强度理论 • 强度理论的应用
01
应力状态
应力概念
应力
物体受力时内部单位面积上的正应力。
应力分类
根据作用力的方向和大小，可分为拉应力和压应 力。
应力单位
单位面积上的力，常用单位为帕斯卡（Pa）。
主应力与主方向
主应力
在三维空间中，物体受到三个相互垂直的应力分量，这三个应力 分量中最大的和最小的应力分量被称为主应力。
第十章强度理论(讲稿)材料力学教案(顾志荣).
第十章强度理论同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标掌握强度理论的概念。
了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。
了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。
掌握常用的四个强度理论的相当应力。
了解莫尔强度理论的基本观点。
会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。
二、教学内容讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。
讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。
介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。
简单介绍莫尔强度理论。
三、重点难点重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。
难点：常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时 2学时 六、实施学时 七、讲课提纲(一)为什么需要强度理论及强度理论的概念？1、为什么需要强度理论(回顾基本变形下强度条件的建立）2、复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？3、强度理论的概念4、四个强度理论及其相当应力 (二)四个强度理论第一强度理论——最大拉应力理论 第二强度理论——最大拉应变理论 第三强度理论——最大剪应力理论第四强度理论——⎪⎩⎪⎨⎧形状改变比能理论均方根剪应力理论 (三)相当应力11σσ=r-=12σσr μ)(32σσ+ 313σσσ-=r2132322214)()()(21σσσσσσσ-+-+-=r (四)复杂应力状态下强度条件的表达式 σr ≤[σ](一)为什么需要强度理论？强度理论的概念1、回顾构件处于简单变形下的强度条件的建立 [拉、压] （单向）图10-1强度条件：[]nA F o N σσσ=≤=，b S oσσσ由试验得[扭转]（双向）图10-2强度条件：[]nW M on n τττ=≤=max ，b S o τττ由试验得[弯曲]（二向）强度条件（上下边缘点）：[]σσ≤=zW M maxmax 中性层处：[]ττ≤⋅=bI S F Z z Q *maxmax max （[]σ、[]τ由试验得）为什么可以这样来建立强度条件？ 因为：⑴构件内的应力状态比较简单；⑵用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现。
工程力学材料力学之应力应变状态分析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
第四章扭转(讲稿)材料力学教案(顾志荣)
第四章扭转同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标与教学内容1、教学目标(1)掌握扭转的概念；(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容(1) 扭转的概念和工程实例；(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；(6) 圆轴受扭破坏分析；(7) 矩形截面杆的只有扭转；(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。
通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时6学时五、实施学时六、讲课提纲工程实例：图4-1**扭转和扭转变形1、何谓扭转？如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。
换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
杆件的这种变化形式称为扭转变形。
换言之，受扭转杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算nP T p⨯=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）nP T kW⨯=55.9 KN ·m (7-2)P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法图4-30=∑x M0=-A n T M 左 A n T M =左0=∑x M0=+-B n T M 右 B n T M =右（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则图4-43、扭矩图扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
【材力】10应力状态分析
x
x y
2
2
2
x y 2
2
2 x
材料力学
平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应
力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态。
材料力学
平面应力状态 的一般形式
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
简单平面 形式表示
材料力学
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立
例如 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
材料力学
三、应力状态的研究方法
由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点 处取出的微小直角六面体── 单元体的三对相互垂直面 上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state
of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。
2 sin 2
单向应力状态
材料力学
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸 时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚ 斜截面上材
料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在
45˚ 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。
式中，[ ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。
应力状态分析2,同济大学材料力学课件
s1 s3
2
t max
(s1, s 3, t13 ) s 2
s3
ta
s
o s
sa
s
3
例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，
最大切应力tmax及作用面。
y
20MPa
20
20MPa
40MPa
20MPa
x
z
20 40
(a)
(b)
解：由图示应力状态可知sz=20MPa为一主应力，
s3 s1
1
1 E
s 1
s3
3
1 E
s 3
s1
s1
E
1
2
1
3
210109 1 0.32
(240
0.3160) 106
44.3MPa
s 3
E
1 2
3
1
210109 1 0.32
(160
0.3 240) 106
E
1 2
3
1
20.3MPa
s1 44.3 MPa ; s 2 0; s 3 20.3 MPa ;
2
E
s
3
s1
0.3 210 109
(22.3
44 .3) 10 6
34.3106
17
平面问题广义胡克定律的一般形式:
sy
t max
s
o s
sa
s
图a
结论 ——
图b
1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对
同济大学材料力学第九章应力状态理论的基础3学时PPT课件
a
20MPa
c
30MPa
30
b60 n2
n1
x
2
y x
y
2
co2sxsin2
10M60P0 a103200301012302030c10o23s10c2o0 06s2000 s2in 0s1 in620000422..3322M MP P
x y sin2
2
xco2s
6003100 0 21300 2s3in 0s1i2 6n00 00220 c0co o 6ss100210 .033M 1.3P3M a Pa
相差
90
第九章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法
max min
?
将 o 代入 式,得
max min
x 2
y
(x 2 y)2x 2
显然,在
max min
面上
0
3、
max min
=
?
在何处？ 该处σ=？
令
d
d
0,
x 2y2co 2 s2 xsi2 n0
mo
mo
l
Mn 2pro2
第九章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述
t
ｐ
m
l
m
pD
4
t
pD
2
Mn 2pro2
第九章 应力状态理论基础
二 平面应力状态分析 — 数解法
第九章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法
1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体
y
e
x
x
单元体
d,x d,y dz 0
第九章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述
《材料力学》应力状态 ppt课件
x-y坐标系
ppt课件
x'－y'坐标系 xp-yp坐标系
主应力单元体 15
（四）、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。10
xy
yx
y
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可 确定任意方向面上的正应力和切应力。
4 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
示例一
S平面
F
F
1
1
ppt课件
F
A
1
5
S平面
应力状态/应力状态的概念及其描述 n
F
1
F
1
90
研究应力状态的目的：
找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当 的强度条件。
3 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
（二）、一点应力状态的描述
• 微元 （Element）
dx,dy,dz 0
z
zx zy
xz yz
x
x (pDt )
p
pD
4
2
x
pD 4t
11 ppt课件
应力状态/
ｐ×Ｄ×ｌ
Fy 0
t
ｐ
t
t (2t l)
应力状态——材料力学资料
土体应力计算补充一、力学基础知识材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。
一、材料力学的研究对象材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。
二、材料力学的任务材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。
强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。
刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。
稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。
如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题；大型桥梁的强度、刚度、稳定问题强度、刚度、稳定性三、基本假设1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。
（可用微积分数学工具）2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。
3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。
（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。
）4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。
假设四、杆件变形的基本形式五、内力?截面法?轴力1、内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。
2、截面法内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。
求内力的一般方法是截面法。
（1）截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）截面法例如：截面法求N截开：代替：平衡：3、轴力轴向拉压杆的内力，用N 表示。
轴力的正负规定:N与外法线同向,为正轴力(拉力）N与外法线反向,为负轴力(压力)六、截面上应力1、应力的概念定义：由外力引起的内力集度。
材料力学10应力状态理论基础
2 σ x σ y 2
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
由数解法中任意斜面上的 σ α ,τ α 二式可处理成圆的方程 式,即
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σα + τα = + τ x (10 11) 2 2
τ max 1 = ± (σ max σ min ) (10 8 ) τ min 2
2τ x (10 4 ) σ x σ y σ x σ y tan 2α 1 = (10 6 ) 2τ x tan 2α 0 =
比较式( 比较式(10-4)和式(10-6)得: )和式( )
表示剪应力取得极值的方位,上式可化为: 以 α 1 表示剪应力取得极值的方位,上式可化为:
σ x σ y tan 2α 1 = (10 6 ) 2τ x
由式( 由式(10-6)可得到 α 1和 α 1 + )
π
2
两个剪应力极值所在的平
面,最大,最小剪应力所在平面是相互垂直的,其值为: 最大,最小剪应力所在平面是相互垂直的,其值为:
图10-3
面相互垂直, ② 单元体中 x 面和 y 面相互垂直,应力圆中 Dx , D y 两 夹角两倍数整). 点沿圆弧所夹的圆心角为 π (夹角两倍数整). 2 σ x +σ y σ x σ y 2 +τ x 半径: 半径:R = CDx = 圆心坐标: 圆心坐标: OC = 2 2 与数解法完全相同. 与数解法完全相同.
tan 2α 0 tan 2α 1 = 1 (10 9 )
式(10-9)说明 2α 1 = 2α 0 ± - ) 或 α1 = α 0 ±
最新第九章应力状态理论基础(讲稿)材料力学教案(顾志荣)
第九章应力状态理论基础同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。
二、教学内容1、应力状态的概念；2、平面应力状态分析--数解法3、平面应力状态分析—图解法4、三向应力状态下的最大应力；5、广义胡克定律•体应变；6、复杂应力状态的比能；7、梁的主应力•主应力迹线的概念。
三、重点难点重点：1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。
2、广义胡克定律及其应用。
难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。
2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。
3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。
4、广义胡克定律及其应用。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时6学时六、实施学时七、讲课提纲本章与前几章在研究对象上的不同之处。
回顾：内力图：N F 、n M 、Q F 、M --一根（杆、轴、梁）强度计算⎪⎩⎪⎨⎧一面（危险截面）一段—、—、max max max max M F M F Q n N 本章：应力状态— 一点。
(一)应力状态的概念一、为什么要研究一点的应力状态？简单回顾：拉压：图9-1强度条件：[]⎪⎩⎪⎨⎧=≤=nn A F bs N σσσσ 扭转：图9-2 强度条件：[]⎪⎩⎪⎨⎧=≤=nn W M bs n n ττττmax弯曲：图11-3强度条件：[][]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=≤⋅=⎪⎩⎪⎨⎧=≤=*n n b I S F n n W M b s z z x ma Q x ma bs z x ma ττττσσσσmax 但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：1、为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据。
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中 轴 性
σ
=
M(x) W
≤ σ
τmax
… © τ ∪=
F Sz Q Izb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
对于横截面上既有正应力又有剪应力的一 些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险 应力如何确定?
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
FP
S平面 平面
l/2
5 4 3 2 1
l/2
5
F P 2
Fl Mz = P 4 S平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
3
τ3
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
= 9.02M Pa
τα = σx −σ y
2 60 + 40 = sin( −60o ) −30cos(−60o ) 2 sin 2α +τxy cos 2α
= −58.3M Pa
（2）主应力
∪ σx +σ y … © ⊗ ⊃ = σ∪ ±
2
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+ τ xy
2 + 2
cos 2α −τxy sin 2α
τα =
π
2
σx −σ y
2
sin 2α +τxy cos 2α
用 β =α + 斜截面截取，此截面上的应力为
σβ =
σx +σ y σx −σ y
2 2 − 2
cos 2α +τxy sin 2α
σβ
τβ
τβ = −
σx −σ y
τα
σα
sin 2α −τxy cos 2α
4
x
z
Mx
3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/ 课堂练习
承受内压、扭转的薄壁圆筒,试从加强肋之间取应力单元体
m o
m o
ｐ
l
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
σx
σ x (π D)δ
ｐπD２ ４
ｐ
δ Ｄ
σx
∑F = 0
x
πD2 σx (πDδ ) = p 4
pD σx = 4δ
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
ｐ × Ｄ×ｌ
∑F = 0
y
σt
ｐ
σt
σt (2δ ×l ) = p(D×l )
pD σt = 2δ
σt (2δ ×l )
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
过一点不同方向面上应力的 集合，称之为这一点的应力状 态。
应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位
的截面上的应力及其变化规律。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
3 .一点应力状态的描述
单元体
dx dy dz → 0
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
即: 2(
σ x −σ y
2 cos 2α −τ x sin 2α) = 0
将 θ0 代 τα 式,得: 方位: 大小: τ
σ x −σ y tg2θ0 = 2 x τ
m ax m in
=± (
σ x −σ y
2
2 )2 +τ x
m ax τ min 面上的正应力: σα =θ0 =
σ x+σ y
2
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4 S’平面 平面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出 应力状态的概念及其描述/1
5 4 3 2 1
F P 2
Fl Mz = P 4
5 4 3 2 1
S’平面 平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
2
τ2
3
τ3
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除 了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会 发生斜向裂纹?
这些问题都要通过应力状态的分析来解决.
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
2.应力状态的三个重要概念
(1)应力的面的概念 (2)应力的点的概念 (3)应力状态的概念
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
轴向拉压 F
同一横截面上各点应力相等： = F σ F
σ
A
σα
˚ ˛ 2
σα = σ
同一点在斜截面上时：
2
α
τα
σ τα = sin 2α
此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应 力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
课堂练习 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面 的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的 应力。
a
F
F
a
A
A
B
B
C
C
A
B
C
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
FP
S’平面 平面
课堂练习 绘图示梁S’平面上 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
τy f
τx
σ +σ
2
τx
σy
2
τα
α
1+ cos 2α 2 1−cos 2α 2 sin α = 2
τy
f
ξ
τ x =τ y
y cos x y σαdA −σx (dAcosα= α +τ x (dA+ α)sin α+τ y (dAsin −τ x sin−σ y (dAsin α)sin α = 0 σα )cos x cos 2α α) cosα 2α
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材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
第十章 应力状态理论基础
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第十章 应力状态理论基础
一 应力状态的概念及其描述 二 平面应力状态分析—数解法 三 平面应力状态分析—图解法 四 三向应力状态 五 广义虎克定律 六 三向应力状态下的变形能
Mz
F Q
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同 一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。 。
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
哪一个面上 哪一点？
应 力
指明
哪一点 哪个方向面？ 哪个方向面？
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
三 向 应 力 状 态 特例 态 状 力 应 面
平 单向应力状态
特例 纯剪应力状态
例题
α = −30o , 一点处的平面应力状态如图所示。已知 σx = 60MPa, τ xy = −30MPa. σ y = −40MPa,
试求（1）α斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
课堂练习
l
绘图示构件固端S截 面上、下、左、右 切线点处的应力单 元体
S
FP a
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
S
FP
1 4
z
2 3
S平面 平面
x
第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述 应力状态理论基础/
y
课堂练习
FQy
1
1 4 2 3
Mz
σ −σ
ταdA−σx (dAcosα)sin α −τ x (dAcosα) cosα +τ y (dAsin α)sin α +σ y (dAsin α) cosα = 0
τα =
σx −σ y
2
sin 2α +τ x cos 2α
公式推导
(2) β 面上的应力：
σα =
σx +σ y σx −σ y
⊇ ∈ σx − σ y 令 ⋅ sin 2α + τ x 2α = 0
2
τα = 0 在何处?
得: 任意(为方便)令:
− 2τ x tg2αo = σx − σ y
tg2αo = 1
可发现:①正应力极值有两个方面
2αo = 45o → αo = 22 5o
2α o = 225o → α o = 112 5o
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
已知受力构件中的应力单元体
σy
σx
e
σx
f
τx
σy
求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力 σα τα
第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 — 数解法 应力状态理论基础/ 公式推导使用的符号规定： α角 由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。