(完整版)定积分的分部积分法

二、例题
例1 计算 1 xexdx . 0
解
1 xexdx 1 xdex
0
0
xex
1 0
1exdx
0
e
ex
1 0
1
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2
例2
计算
4
0
sin
xdx .
2
解
4
0
sin
xdx
x
t 0, t
x, dx 2tdt
0; x 2 ,t
2 2 0
t
sin
tdt
42
于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
差，另一项
b
a
vdu
仍按定积分继续计算.
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u和v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
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定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
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一、分部积分法
1.分部wenku.baidu.com分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
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(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对
2 , n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
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n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
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In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
2 ,n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
证
In
2
0
sin n1
xd cos
x
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sin n1
x cos
x
2 0
n
102
sin n2
x cos2
xdx
n 102 sin n2 x1 sin 2 xdx
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
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I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
x2 2
f
1
x0
1
0
x2 2
df
x
f
1
2
1
0
x2 2
f xdx
1 0
x2 2
2sin x
x2
dx
1
0
x sin
x2dx
1 2
01sin
x2dx2
1 2
cos
x2
1 0
1 cos11
2
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例4 证明定积分公式
In
2
0
sin
n
xdx
2
0
cosn xdx
n n
n
1 1
202 td cost
2t
cos
t
2 0
2 2 0
cos tdt
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2sin
t
2 0
2
例3
设
f
x
x
1
2
sin t
t
dt
，求
1
0
xf
x
dx
.
解
f x sin x2 2x 2sin x2
x2
x
f
1
1
1
sin t
tdt
0
1
0
xf
xdx
1
0
f
xd
x2 2
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