(完整版)定积分的分部积分法
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
定积分的分部积分公式
1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
定积分的分部积分法
t
)dt
2(t
ln
|
t
1|)
c
回代2[ x ln |1 x |] c
于是
4 dx 2[ 0 1 x
x ln(1
x )] |04 4 2 ln 2.
解法2 设 x t即x t2 (t 0) 当x 0时，t 0; 当x 4时,t 2.
2.
2
cos
xdx
2
2 0
cos xdx.
2
2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．
2
(1)
4－x2 dx;
－2
4
(2)
4x x2 dx.
0
3．利用定积分估值定理，估值定积分
2
(4 1
x2
)dx
的值．
第二节 微积分基本公式
一、变上限的定积分
对应于每一个值,积分 x f (t)dt都有一个确定的值, a
(x) d
x
f (t)dt f (x),
(a x b).
dx a
推论 连续函数的原函数一定存在．
例1 计算 (x) x sin t2dt 在x 0, 处的导数.
0
2
解 因为 d x sin t2dt sin x2, dx 0
故
(0) sin 02 0;
4
( )
4
.
2
3. 1 cos2 x
2sin2 x
2 | sin x |
2
1 cos 2xdx
2
0
2
高数,定积分的分部积分法
例4 设 f ( x) x2 sin t d求t,
1t
1
xf ( x)dx.
0
解 因为sin t 没有初等形式的原函数， t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
1 2
1
0
f
(
x )d (
x2
)
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 f (1) 2
,
直到下标减到0或1为止
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
1 2 I0,
I2m1
2m 2m
1
2m 2m
2 1
6 7
4 5
2 3
I1 ,
(m 1,2,)
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 5 26
3 4
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin
n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n
n
1
I
n
2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。
定积分分部积分
定积分的分部积分法
定积分的分部积分法：分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
扩展资料：
不定积分的公式
1、∫adx=ax+C，a和C都是常数。
2、∫x^adx = [x^（a + 1）]/（a + 1）+C，其中a为常数且a≠-1。
3、∫1/xdx =ln|x|+C。
4、∫a^xdx =（1/lna）a^x+C，其中a\u003e0且a≠1。
5、∫e^xdx =e^x+C。
定积分的计算 分部积分
例6： 设f x 在[0,1] 上连续，且 F x f t dt, 证 明
x 0
F x dx 1 x f x dx
1 1 0 0
解： F x dx xF x 0 xF x dx
1 1 1 0 0
f x dx x f x dx
n3 3 1 , n为 正 偶 数 ； n2 4 2 2 n3 4 2 , n为 大 于 1的 正 奇 数 。 n2 5 3
证 令u sinn1 x, dv sinxdx,
则du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x.
解 设u arctanx, dv dx,
例2 计算
1
0
e
x
dx.
x 1, t 1.
1 t
解 令 x t , x t 2 , 则dx 2tdt,
x 0, t 0;
e
0
1
x
dx 2 te dt 2 td (e ) 2 te 0
t
依次进行下去，可得
I 2m
2m 1 2 m 3 2 m 5 5 3 1 I0 , 2m 2 m 2 2 m 4 6 4 2
I 2 m 1
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
1
2
, 故
2 n 2n 2 （ 1 － x ） d x cos t cos t d t 0 0
2 cos 2 n 1 t d t
0
定积分分部积分法
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
f
(1)
1
1
sin t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
(1)
11
4、 sinn1 x cos(n 1)xdx . 0
三、已知 f ( x) tan 2 x ,求 4 f ( x) f ( x)dx . 0
四、若 f ( x)在 0 , 连续， f (0) 2 , f () 1 ,
证明：
[ f (x)
f ( x)]sin xdx
22[t[etet]t1]010220101eettddtt22ee22[[eett]]1010 22
1
例2 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
b
uv
b
vdu.
a
aa
◆定积分的分部积分法
例1 1 2 xexdx 1
定积分的分部积分公式
避免计算错误
01
在使用分部积分公式时，应注意运算的顺序和符号，确保每一 步计算都是正确的。
02
在计算过程中，应仔细核对每一步的计算结果，避免因为粗心
大意而导致的计算错误。
对于一些复杂的积分，可以使用数学软件进行验证，以确保计
算结果的准确性。
注意公式的适用范围
01
分部积分公式适用于可积函数，即被积函数在积分区间内连续 或存在有限个间断点的情况。如果被积函数不满足这些条件，
分部积分公式可以与定积分结合使用，通过 将定积分转化为不定积分的形式，再利用分 部积分公式进行计算，可以简化计算过程。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
分部积分公式在实变函数中也有广泛的应用，实变函 数是研究可测函数的数学分支。通过分部积分公式， 可以解决实变函数中的一些积分问题。
在复变函数中的应用
公式推导过程
首先，根据乘积法则，(uv)' = u'v + uv'
接着，将不定积分的结果进行展开， 得到∫u'vdx + ∫uv'dx
然后，对等式两边分别进行不定积分， 得到∫(uv)'dx = ∫(u'v + uv')dx
最后，根据不定积分的性质，将等式 右边的两个不定积分相加，得到定积 分的分部积分公式：∫(uv)'dx = ∫u'vdx + ∫uv'dx
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
分部积分公式的注意事项
正确选择u和v'
选择u和v'时，应尽量选择容易 计算不定积分的函数作为u， 而将其他函数作为v'。这样可 以简化计算过程，减少出错的 可能性。
定积分的分部积分法
例4 求
∫
π
2 0
3cos 2 x sin xdx.
解 设 u
u = cos x， 则du = sin xdx，当x = 0时，
= 1；当x =
π
2
时，u = 0.于是
∫
π
2 0
0 3cos 2 x sin xdx = ∫ 3u 2 dux )在区间[ a , a ]上连续, 证明 :
si ≈ v (ξ i ) ti
s≈
∑ v (ξ ) t
i =1 i
n
n
i
s = lim ∑ v(ξi )ti
λ →0
i =1
二 定积分的定义 设函数 y = f ( x ) 在[a，b] 上有定义, 任取分点
a = x0 < x1 < x2 < < xn 1 < xn = b 将[ a，b]分为n个小区间[ x i 1， x i ],
a x
在[ a, b]上可导, 且其导数是
Φ′( x ) = dx ∫ d
x a
f (t ) dt = f ( x ),
(a ≤ x ≤ b).
推论 连续函数的原函数一定存在． 例1 计算 Φ ( x) =
∫
x
0
sin t 2 dt 在x = 0,
故
π
2
π
2
π
4
处的导数.
d x 解 因为 sin t 2 dt = sin x 2 , dx ∫0
∫
1
1
e
2
x2
dx 的值．
x 解 先求 f ( x) = e 在[－1，1]上的最大值和最小值． [ 1 1]
f ′( x) = 2 xe x ,
6.5.1定积分分部积分法
△ 冗1
冗In 2
——llnsec x 10 =-82 0 8 4
经济数学--微积分
o
定积分分部积分法
三、举例-幕函数乘对数函数
经济数学
例5 计算 J： (In x)3 dx
：一 解原式=x (In x )3
J 3(ln x)2 dx
】 =e _ 3 x(In x)2
-1J2 In xdx
J =e - 3(e - 2 In xdx)
) =1 [[xf '(2 x )]1 -1 (2 x dx
1
1
=2 f'(2) - 4 [f (2 x )]0
=2 - 4 [f (2) - f (0)] = 2.
经济数学
fx2 sin t i
“ ——d t, 求[xf (x )dx.
*
解因为沖没有初等形式的原函数， t
无法直接求出f (x),所以釆用分部积分法
f兀
2
2x
Jo o
si1n 2 ■xdxd
cos2x
x sin 2 xdx = 2 Jo
=1
JO
x cos
2
x
兀1
2
1,
cos 2 xdx
2 Jo o
= ——sin2 x71
n
24
02
3
勿 2 1 + cos 2x ,
例3计算f x dx.
00 2
解原式万 d ( x + § sin 2 x)
经济数学--微积分
—厂 f X x)=
-2 x = ,
xx
1
1
.・J0 xf(x)dx = 2 f⑴ _ -J： x2f，(x)dx
分部积分法公式定积分计算
分部积分法公式定积分计算一、分部积分法公式。
1. 不定积分的分部积分公式。
- 设u = u(x)，v = v(x)具有连续导数，则∫ udv=uv - ∫ vdu。
- 例如，计算∫ xcos xdx，令u = x，dv=cos xdx。
- 那么du=dx，v=sin x。
- 根据分部积分公式∫ xcos xdx=xsin x-∫sin xdx=xsin x +cos x + C（C为常数）。
2. 定积分的分部积分公式。
- ∫_a^budv=<=ft.uv right_a^b-∫_a^bvdu。
- 例如，计算∫_0^πxsin xdx。
- 令u = x，dv=sin xdx。
- 则du=dx，v =-cos x。
- 根据定积分的分部积分公式∫_0^πxsin xdx=<=ft[-xcos x]_0^π-∫_0^π(-cos x)dx- 先计算<=ft[-xcos x]_0^π=-πcosπ - (- 0×cos0)=π。
- 再计算∫_0^πcos xdx=<=ft[sin x]_0^π=0。
- 所以∫_0^πxsin xdx=π。
二、分部积分法计算定积分的步骤及要点。
1. 选择u和dv- 一般原则：- 对于∫ f(x)g(x)dx（定积分同理），如果f(x)求导后形式变得简单，g(x)容易积分，那么可令u = f(x)，dv = g(x)dx。
- 例如在∫ xe^xdx中，令u = x（因为x求导后为1，形式简单），dv=e^xdx （e^x积分还是e^x）。
2. 计算du和v- 根据所选的u求导得到du，对dv积分得到v。
- 如在∫ x e^xdx中，u = x，则du=dx；dv=e^xdx，则v=e^x。
3. 代入分部积分公式。
- 对于定积分∫_a^bf(x)dx，代入∫_a^budv=<=ft.uvright_a^b-∫_a^bvdu计算。
- 如∫_0^1xe^xdx=<=ft[xe^x]_0^1-∫_0^1e^xdx。
定积分的分部积分法
b
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) ( x
2 2 2 2
2 b a
)
2
(1 b ) ln(1 b ) (1 a ) ln(1 a ) (b a )
2 2 2 2 2
例3 计算 解 设
x
2
4 0
特别： sin x dx
2 0 2
2 0
1 2 dx 2 0 4
sin x dx
4
1 cos x dx I 2 I 0 2
2
2 0
2 0
3 3 1 cos x dx I 4 I 2 I 0 4 4 2
4
3 3 dx 8 16
ln( 2 1) 2 1
例5：计算定积分 ln( 1 x 2 )dx
0
1
解：原式 ( x) ln( 1 x )dx
2 0
1
x ln( 1 x ) x[ln( 1 x )]dx
2 1 0 2 0
1
2x (1 x ) 1 ln 2 dx ln 2 2 dx 2 2 0 1 x 0 1 x
“反” “对”
反三角函数. 对数函数.
“幂” “指”
“三”
幂函数. 指数函数.
三角函数.
基本类型及分部方式:
(1) Pn ( x)e
a b ax b
dx
b
a
1 ax b Pn ( x)[ e ]dx a
b a
(2) Pn ( x) cos( ax b)dx
定积分的分部积分法
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0
1
预科部：melinda
例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2
十四 定积分的分部积分法、广义积分
dx
dx
６．
2
1 x x 1
2
1
答案
lim
1.
0 b
b 0
e dx e dx
ax
ax
(a 0)
1 ax b lim e 0 b a 1 ab 1 lim (e 1) b a a
2.
1
b 1 1 dx lim dx b 1 x x
1
e
1
ln xdx x ln x
e 1
e 1
e 1
xd ln x
1
e
x ln x d x e x
e 1
e (e 1) 1
练习:
1
0
ln( x 1 x )dx
2
x ln( x 1 x )
2
1 0
xd ln( x 1 x )
6.
x
2
1 x 1
2
dx
2
x x
2
x 1
2
dx
设
x 1 t
x t 1
2
xdx tdt
t 2 dt arctgt c (t 1)t
arctg x 1 c
2
2
1 x x 1
2
1
dx lim
2
2
1 x x 1
2
0 1
dx
2 2
0
dx)
a lim arcsin 0 2 a
x lim arcsin 0 a
a 0
例2
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n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
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(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对
二、例题
例1 计算 1 xexdx . 0
解
1 xexdx 1 xdex
0
0
xex
1 0
1exdx
0
e
ex
1 0
1
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2
例2
计算
4
0
sin
xdx .
2
解
4
0
sin
xdx
x
t 0, t
x, dx 2tdt
0; x 2 ,t
2 2 0
t
sin
tdt
42
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
2 ,n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
证
In
2
0
sin n1
xd cos
x
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sin n1
x cos
x
2 0
n
102
sin n2
x cos2
xdx
n 102 sin n2 x1 sin 2 xdx
202 td cost
2t
cos
t
2 0
2 2 0
cos tdt
预科部：melinda
2sin
t
2 0
2
例3
设
f
x
x
1
2
sin t
t
dt
，求
1
0
xf
x
dx
.
解
f x sin x2 2x 2sin x2
x2
x
f
1
1
1
sin t
tdt
0
1
0
xf
xdx
1
0
f
xd
x2 2
预科部：melinda
于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
差，另一项
b
a
vdu
仍按定积分继续计算.
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u和v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
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2 , n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
预科部：melinda
x2 2
f
1
x0
1
0
x2 2
df
x
f
1
2
1
0
x2 2
f xdx
1 0
x2 2
2sin x
x2
dx
1
0
x sin
x2dx
1 2
01sin
x2dx2
1 2
cos
x2
1 0
1 cos11
2
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例4 证明定积分公式
In
2
0
sin
n
xdx
2
0
cosn xdx
n n
n
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