数学专题 新题原创强化训练
新教材2023年秋高中数学微专题强化练2与圆有关的最值问题新人教A版选择性
微专题强化练(二) 与圆有关的最值问题一、选择题1．(2022·安徽省池州一中期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为( )A．B．C．D．2．(2022·重庆市巴蜀中学月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A．0 B．2 C．2D．43．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l 被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为( )A．±2 B．±C．±D．±34．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A．5 B．10 C．15 D．205．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5，4)且半径为1的动圆，点B 是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．7．在平面直角坐标系xOy中，圆Ω经过点(0，0)，(2，4)，(3，3)，则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为________；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，则的最大值为________．三、解答题9．已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．微专题强化练(二)1．D2．C3．C4．A5．B6．＋2 7．28．－19．解：如图所示，设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)．线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(－y，x)，则|QR|＝＝．∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，∴的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离．连接PM，当|PM|最小时，|QR|也最小；当|PM|最大时，|QR|也最大．连接MC，则|PM|min＝||MC|－r|＝|－r|＝|2－r|，|PM|max＝|MC|＋r＝2＋r．∴|QR|min＝|2－r|，|QR|max＝(2＋r)．。
2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练25函数与导数__大题备考
强化训练25 函数与导数——大题备考第二次作业1．[2022·江苏苏州模拟]已知函数f(x)＝x ln x＋1，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x>1时，函数f(x)>kx恒成立，求实数k的取值范围．2．[2022·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝e x－ax2－x－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围．3．[2022·山东日照三模]已知函数f(x)＝(x－2)e x－ax＋a ln x(a∈R).(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a<e时，讨论f(x)的零点个数．4．[2022·辽宁协作体二模]已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2－x (m ∈R ).(1)若直线y ＝x ＋b 与f (x )的图象相切，且切点的横坐标为1，求实数m 和b 的值； (2)若函数f (x )在(0，＋∞)上存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：ln x 1＋ln x 2>2.强化训练25 函数与导数1．解析：（1）∵f （x ）＝x ln x ＋1，x >0， ∴f ′（x ）＝ln x ＋1，当x ∈（0，1e ）时，f ′（x ）<0；当x ∈（1e ，＋∞）时，f ′（x ）>0.所以函数f （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，＋∞）上单调递增．（2）由于x >1，f （x ）>kx 恒成立，即k <ln x ＋1x恒成立，构造函数k （x ）＝ln x ＋1x，x >1，则求导可得k ′（x ）＝1x －1x 2＝x －1x2，当x >1时，k ′（x ）>0恒成立．所以k （x ）在（1，＋∞）上单调递增，则k （x ）>k （1）＝1， 所以k ≤1.2．解析：（1）因为f （x ）＝e x －x 2－x －1，当x ＝1时，切点为（1，e －3）， 求导f ′（x ）＝e x－2x －1，故切线斜率k ＝f ′（1）＝e －3， 所以所求切线方程为y ＝（e －3）x .（2）f （x ）≥0等价于e x≥ax 2＋x ＋1恒成立， 当a >0时，上式不恒成立，证明如下：当x <0时，e x <1，当x <－1a时，ax 2＋x ＋1＝x （ax ＋1）＋1>1，从而e x ≥ax 2＋x ＋1不恒成立，当a ≤0时，ax 2＋x ＋1≤x ＋1，下面先证明e x≥x ＋1， 令h （x ）＝e x －x －1，则h ′（x ）＝e x－1，当x <0时，h ′（x ）<0，h （x ）单调递减；当x >0时，h ′（x ）>0，h （x ）单调递增， 所以h （x ）min ＝h （0）＝0，即h （x ）≥0，所以e x≥x ＋1，而ax 2＋x ＋1≤x ＋1，故e x ≥ax 2＋x ＋1， 综上，若f （x ）≥0，则实数a 的取值范围为（－∞，0]. 3．解析：（1）当a ＝－1时，f （x ）＝（x －2）e x＋x －ln x ，则f ′（x ）＝（x －1）（e x ＋1x ），当x ∈（0，＋∞）时，e x ＋1x>0恒成立，所以当x ∈（0，1）时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，＋∞）时f ′（x ）>0，f （x ）单调递增，即f （x ）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，＋∞）.（2）由题意，函数f （x ）＝（x －2）e x－ax ＋a ln x ＝（x －2）e x－a （x －ln x ），x >0， 设m （x ）＝x －ln x ，x >0，则m ′（x ）＝1－1x ＝x －1x，当x ∈（0，1）时，m ′（x ）<0，m （x ）单调递减； 当x ∈（1，＋∞）时，m ′（x ）>0，m （x ）单调递增， 又由m （1）＝1，所以m （x ）≥1，令f （x ）＝0，可得（x －2）e x－ax ＋a ln x ＝0，所以a ＝（x －2）e xx －ln x，其中（x >0），令g （x ）＝（x －2）e x x －ln x ，可得g ′（x ）＝e x（x －1）（x －ln x ）2（x －ln x ＋2x－1），令h （x ）＝x －ln x ＋2x －1，则h ′（x ）＝1－1x －2x 2＝x 2－x －2x 2＝（x －2）（x ＋1）x2（x >0）， 可得0<x <2时，h ′（x ）<0，h （x ）单调递减；x >2时，h ′（x ）>0，h （x ）单调递增； 所以h （x ）min ＝h （2）＝2－ln 2>0，即x >0时，h （x ）>0恒成立；故0<x <1时，g ′（x ）<0，g （x ）单调递减；x >1时，g ′（x ）>0，g （x ）单调递增； 所以g （x ）min ＝g （1）＝－e ，又由x →0时，g （x ）→0，当x →＋∞时，g （x ）→＋∞， 函数g （x ）的图象，如图所示，结合图象可得：当a <－e 时，无零点；当a ＝－e 或0≤a <e 时，一个零点；当－e<a <0时，两个零点． 4．解析：（1）由题意，切点坐标为（1，－12m －1），f ′（x ）＝ln x －mx ，所以切线斜率为f ′（1）＝－m ＝1，所以m ＝－1，切线为y ＋12m ＋1＝1·（x －1），整理得y ＝x －32，所以b ＝－32.（2）证明：由（1）知f ′（x ）＝ln x －mx .由函数f （x ）在（0，＋∞）上存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，知⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0ln x 2－mx 2＝0，则m ＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2且m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，联立得ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，即ln x 1＋ln x 2＝x 1＋x 2x 1－x 2·ln x 1x 2＝（x 1x 2＋1）·lnx 1x 2x 1x 2－1，设t ＝x 1x 2∈（0，1），则ln x 1＋ln x 2＝（t ＋1）·ln t t －1，要证ln x 1＋ln x 2>2，只需证（t ＋1）·ln t t －1>2，只需证ln t <2（t －1）t ＋1，只需证ln t －2（t －1）t ＋1<0.构造函数g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1，则g ′（t ）＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0. 故g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1，在t ∈（0，1）上递增，g （t ）<g （1）＝0，即g （t ）＝ln t －2（t －1）t ＋1<0，所以ln x 1＋ln x 2>2.。
2020-2021学年数学第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析
2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析专题强化训练（三)指数运算与指数函数(建议用时:40分钟)一、选择题1．若a〈错误!，则化简错误!的结果是（）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!C［∵a〈错误!，∴2a－1<0，于是，原式＝错误!＝错误!。
］2．若函数f(x)＝错误!·a x是指数函数,则f错误!的值为（) A．2B．－2 C．－2错误!D．2错误!D[∵函数f(x)是指数函数，∴错误!a－3＝1，∴a＝8.∴f（x）＝8x，f错误!＝8错误!＝错误!＝2错误!.]3．函数y＝a x＋1（a＞0且a≠1)的图象必经过点(）A．（0，1) B．（1,0）C．(2，1) D．（0,2）D[因为a0＝1,所以,当x＝0时，y＝1＋1＝2。
]4．已知函数f（x）＝3x－错误!错误!，则f（x)（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数,且在R上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数A [∵函数f (x ）的定义域为R ,f （－x )＝3－x －错误!错误!＝错误!错误!－3x ＝－f (x ），∴函数f （x )是奇函数．∵函数y ＝错误!错误!在R 上是减函数，∴函数y ＝－错误!错误!在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x ）＝3x －错误!错误!在R 上是增函数．故选A 。
]5．函数f （x )＝(错误!)错误!的单调递减区间为( )A ．（－∞，＋∞)B ．［－3,3]C ．（－∞，3］D ．［3，＋∞)D ［令u ＝x 2－6x ＋5＝错误!错误!－4，则u 的单调递增区间为错误!，又y ＝错误!错误!是减函数，所以函数f （x ）＝（错误!）错误!的单调递减区间为［3，＋∞）]二、填空题6．方程3x －1＝19的解为________．－1 ［∵3x －1＝错误!＝3－2,∴x －1＝－2，∴x ＝－1.］7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________．y ＝13×（1＋1%）x ，x ∈N * ［经过1年后人口数为13×(1＋1％)＝13（1＋1%）；经过2年后人口数为13×（1＋1%)2;…经过x年后人口数为13×（1＋1%）x。
2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练3排列组合二项式定理
强化训练3 排列、组合、二项式定理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东泰安模拟](x －1x)22展开式中的常数项为( )A ．C 1122 B ．－C 1122 C ．C 1222D ．－C 12222．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( )A ．72种B ．64种C ．48种D ．36种3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )A ．15种B ．90种C ．540种D ．720种4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )A ．36B ．45C ．72D ．905．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋ax2)6的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( )A ．36B ．30C ．15D ．106．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 8(1＋x )8，则a 6＝( )A ．－448B ．－112C ．112D ．4487．[2022·河北沧州二模](x －2x－1)5的展开式中的常数项为( )A ．－81B ．－80C ．80D ．1618．[2022·湖北十堰三模]甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人报名1个项目，目前有100米短跑、3 000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则不同的报名情况共有( )A．224种B．288种C．314种D．248种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·河北唐山二模]已知(x－2x2)n的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则( )A．n＝9B．n＝11C．常数项是672D．展开式中所有项的系数和是－110．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12 C13C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C12 C12C13D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12 C12＋111．[2022·广东·华南师大附中三模]已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )A．7 B．8C．9 D．1012．[2022·湖北荆州三模]已知二项式(2x－1x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．第4项和第5项的二项式系数最大D ．有理项共3项三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东烟台三模]若(1－ax )8展开式中第6项的系数为1792，则实数a 的值为________．14．[2022·辽宁辽阳二模]某话剧社计划在今年7月1日演出一部红色话剧，导演已经选好了该话剧的9个角色的演员，还有4个角色的演员待定，导演要从8名男话剧演员中选3名，从5名女话剧演员中选1名，则导演的不同选择共有________种．15．[2022·浙江卷]已知多项式(x ＋2)(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 2＝______，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝______．16．[2022·河北保定一模]2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有________种．强化训练3 排列、组合、二项式定理1．解析：（x －1x）22展开式中的常数项为C 1122 （－1）11＝－C 1122 .答案：B2．解析：将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有A 22 种站法，又2名女生都不站在最左端，故有A 13 种站法，剩下3个位置，站3名男生有A 33 种站法，故不同的站法共有A 22 A 13 A 33 ＝36种． 答案：D3．解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有C 26 ＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 24 ＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有C 22 ＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．答案：B4．解析：采用插空法即可：第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法； 第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法，故共有9×10＝90种排法． 答案：D5．解析：令x ＝1，则可得所有项的系数和为（1＋a ）6＝64且a >0，解得a ＝1， ∵（x ＋1x 2）6的展开式中的通项T k ＋1＝C k 6 x 6－k（1x2）k ＝C k 6 x 6－3k ，k ＝0，1， (6)∴当k ＝2时，展开式中的常数项为C 26 ＝15. 答案：C6．解析：（1－x ）8＝（x －1）8＝[（1＋x ）－2]8＝a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋…＋a 8（1＋x ）8，a 6＝C 28 ·（－2）2＝112.答案：C7．解析：（x －2x －1）5＝（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x －1）（x －2x－1），所以展开式中的常数项为（－1）5＋C 15 C 14 ×（－2）×（－1）3＋C 25 C 23 ×（－2）2×（－1）＝－81.答案：A8．解析：分两种情况讨论：①不选100米短跑，四名学生分成2名、1名、1名三组，参加除100米短跑的四个项目中的三个，有C 24 A 34 ＝144种；②1人选100米短跑，剩下三名学生分成2名、1名两组，参加剩下四个项目中的两个，有C 14 C 23 A 24 ＝144种．故他们报名的情况总共有144＋144＝288种． 答案：B9．解析：由C 2n ＝C 7n ，可得n ＝9，则选项A 判断正确；选项B 判断错误； （x －2x2）n 的展开式的通项公式为C k 9 x 9－k （－2）k x －2k ＝（－2）k C k 9 x 9－3k，令9－3k ＝0，则k ＝3，则展开式的常数项是（－2）3C 39 ＝－672.选项C 判断错误； 展开式中所有项的系数和是（1－212）9＝－1.判断正确．答案：AD10．解析：若任意选科，选法总数为C 12 C 24 ，A 错误； 若化学必选，选法总数为C 12 C 13 ，B 正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C 12 （C 12 C 12 ＋1），C 错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C 12 C 12 ＋1，D 正确． 答案：BD11．解析：当（a ＋2b ）n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n ＝7； 当（a ＋2b ）n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n ＝9； 当（a ＋2b ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n ＝8. 答案：ABC12．解析：由题设n ＝7，则T k ＋1＝C k 7 （2x ）7－k（－1x）k ＝（－1）k 27－k C k7 x7－3k2，A ．所有项的二项式系数和为27＝128，正确； B ．当x ＝1，所有项的系数和为（2－1）7＝1，正确；C ．对于二项式系数C k 7 ，显然第四、五项对应二项式系数C 37 ＝C 47 最大，正确； D ．有理项为7－3k2∈Z ，即k ＝0，2，4，6共四项，错误．答案：ABC13．解析：因为T 6＝T 5＋1＝C 58 （－ax ）5＝C 58 （－a ）5x 5＝C 38 （－a ）5x 5， 所以有：C 38 （－a ）5＝－56a 5＝1 792， 所以a 5＝－32, 解得a ＝－2. 答案：－214．解析：依题意，可得导演的不同选择的种数为C 38 ·C 15 ＝280. 答案：28015．解析：因为（x ＋2）（x －1）4展开式中x 2的系数为a 2，所以a 2＝C 34 （－1）3＋2C 24 （－1）2＝8.在多项式（x ＋2）（x －1）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5中，令x ＝0，得a 0＝2；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－a 0＝－2.答案：8 －216．解析：根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2，4，4或3，3，4，所以不同的安排方法共有C 210 C 48 C 44 A 22 A 33 ＋C 410 C 36 C 33 A 22 A 33 ＝22 050. 答案：22 050。
2023高考数学专题强化训练(一)
专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022·山东济南二模)函数f(x)=√16-x 2x的定义域是( A )A.[-4,0)∪(0,4]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,0)∪[4,+∞)解析:由{16-x 2≥0,x ≠0,得-4≤x ≤4,且x ≠0,所以函数y=√16-x 2x 的定义域是[-4,0)∪(0,4].故选A.2.(2022·四川绵阳三模)已知函数f(x)=x x -1,则( D )A.f(x)为奇函数B.f(f(2))=1C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为{x|x ≠1},显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A 错误;f(2)=2,则f(f(2))=f(2)=2,B 错误; 由f(x)=1+1x -1,可知f(x)在(1,+∞)上单调递减且图象关于点(1,1)对称,故C 错误,D 正确.故选D.3.(2022·陕西西安二模)设f(x)={2x+1-1,x ≤3,log 2(x 2-1),x >3,若f(x)=3,则x的值为( B )A.3B.1C.-3D.1或3解析:当x ≤3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x>3时,令log 2(x 2-1)=3,解得x=±3,这与x>3矛盾,所以x=1.故选B. 4.(2022·河北石家庄一模)函数f(x)=x 32x +2-x的部分图象大致是( A )解析:函数f(x)=x 32x +2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D 选项;易知当x →+∞时,f(x)=x 32x +2-x>0,2x →+∞,2-x →0,x 3→+∞,因为指数函数y=2x 比幂函数y=x 3增长的速率要快,故f(x)→0,即f(x)在x →+∞时,图象往x 轴无限靠近且在x 轴上方,故A 选项符合.故选A.5.(2022·北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.若f(lg x)>f(1),则x 的取值范围是( C ) A.(110,1) B.(0,110)∪(1,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1,即-1<lg x<1,即lg 110<lg x<lg 10,解得110<x<10,即原不等式的解集为(110,10).故选C.6.(2022·天津河东区一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,则( B ) A.f(log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(2-32)>f(2-23)>f(log 314)C.f(log 314)>f(2-23)>f(2-32)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log 314)解析:因为f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又log 34>1,0<2-32<2-23<1,所以f(2-32)>f(2-23)>f(log 34),即f(2-32)>f(2-23)>f(log 314).故选B.7.(2022·江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R 的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( D ) A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=- [-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f (x )= {-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,若f(2-a 2)>f(-|a|),则实数a 的取值范围是( A ) A.(-2,-√10-23)∪(√10-23,2) B.(-2,-1)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-1,0)∪(0,1)解析:作出函数f(x)={-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0的图象如图,因为-|a|≤0,若2-a 2<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2-a 2)>f(-|a|),则2-a 2>-|a|,解得√2<|a|<2; 若2-a 2≥0,则-12(2-a 2)>-2|a|-a 2,解得√10-23<|a|≤√2. 综上,√10-23<|a|<2,解得-2<a<-√10-23或√10-23<a<2.所以实数a 的取值范围是(-2,-√10-23)∪(√10-23,2).故选A.二、多项选择题9.(2022·山东济南一中模拟预测)设函数f(x)={log 2(x -1),x >2,2x -3,x ≤2,则以下结论正确的为( BC ) A.f(x)为R 上的增函数B.f(x)有唯一的零点x 0,且1<x 0<2C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A 错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x 0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,故B 正确;对于C,当x ≤2时,2x -3≤1,故log 2(m-1)=5,解得m=33,故C 正确; 对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1]=(-3,+∞),故D 错误.故选BC. 10.(2022·重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x -y 1-xy),且当x ∈(-1,0)时,f(x)<0,则有( ABC )A.f(x)为奇函数B.存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12)C.f(x)为增函数D.f(12)+f(13)>f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A 正确;任取-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2),因为x 1-x 21-x 1x 2+1=x 1-x 2+1-x 1x 21-x 1x 2=(1+x 1)(1-x 2)1-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)<0,f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数,C 正确; f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+12×13)=f(57)<f(56),D 错误;若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab )=f(12),则a+b1+ab=12,则2a+2b=1+ab,a=1-2b2-b =2+3b-2,当b∈(-1,1)时,a∈(-1,1),所以存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12),B正确.故选ABC.11.若函数f(x)满足:对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是( ACD )A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x≥0)D.f(x)=tan x(0≤x<π2)解析:若对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f (x1+x22),则点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22))的上方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022·福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x ∈(-1,1)时,f(x)=-x 2+1,则下列结论正确的是( ABD ) A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A 正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为4×2=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)= -f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B 正确;f(x)=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C 错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x 的图象,如图所示,其中y=-lg x 单调递减且-lg 12<-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D 正确.故选ABD.三、填空题13.(2022·广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则k= .解析:由题意知f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则x ∈R,f(-x)=f(x), 即ln(e -x +1)-k(-x)=ln(e x +1)-kx, 即ln(e x +1)-x+kx=ln(e x +1)-kx, 即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R 上的奇函数,且f(x)+ f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x ,则f(2+log 25)的值为 . 解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log 25)=f(2×2+log 254)=f(log 254)=-f(log 245),且-1<log 245<0,所以f(2+log 25)=-2log 245=-45.答案:-4515.(2022·湖南湘潭三模)已知a >0,且a ≠1,函数f (x )= {log a (2x 2+1),x ≥0,a x,x <0,若f(f(-1))=2,则a= ,f(x)≤4的解集为 .解析:①由题可知,f(f(-1))=f(a -1)=log a (2a -2+1)=2,则a 2=2a -2+1,即a 4-a 2-2=0,解得a 2=2,故a=√2.②当x ≥0时,f(x)=log √2(2x 2+1)≤4,解得0≤x ≤√62;当x<0时, f(x)=(√2)x≤4恒成立,故不等式的解集为(-∞,√62]. 答案:√2 (-∞,√62]16.(2022·山东菏泽一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log 3|f(x)+1|<0的解集为 .解析:法一 不等式log 3|f(x)+1|<0等价于0<|f(x)+1|<1,即0<f(x)+1<1或-1<f(x)+1<0,即-1<f(x)<0或-2<f(x)<-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)= f(2×12)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+∞)上也是增函数,故-1<f(x)<0,即f(-2)<f(x)<f(-1)或f(12)<f(x)<f(1),此时x ∈(-2,-1)∪(12,1) ;而-2<f(x)<-1,即f(-4)<f(x)<f(-2) 或f(14)<f(x)<f(12),此时x ∈(-4,-2)∪(14,12),故不等式l o g 3|f (x )+1|<0的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).法二 因为f(x)为奇函数,且f(-2)=-1,所以f(2)=1,又当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x>0时,可设f(x)=log a x(a>0,且 a ≠1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)={log 2x (x >0),-log 2(-x )(x <0),由log 3|f(x)+1|<0可得-2<f(x)<0且f(x)≠-1. 作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).答案:(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1)。
冲刺2020高考数学原创新题强化训练综合强化试卷(附答案解析)
专题四 新题原创强化训练第二关 综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（ ） A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R 2．设12i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （ ）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．216．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（ ）A ．32B ．23C ．14D ．13 7．函数的一段图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式: ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关9．已知函数lg(1),0()1lg ,01x x f x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．恒为0 D ．无法确定10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（ ）A ．1B ．2C ．52 D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOB S S ∆∆=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______. 15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N 是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.22．已知函数21ln 02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.专题四 新题原创强化训练第二关 综合强化试卷（二）一、单选题1．已知集合{}|||1,=<-∈M x x x R ，{}|01,=<<∈N x x x R ，则M ⋂N =（ ）A ．∅B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．R【答案】A【解析】对集合M ，1x <-，则x ∈∅，根据集合的交运算可得M N ⋂=∅.故选A.2．设12i z i-=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．125i + B ．125i - C ．135i + D ．135i - 【答案】C 【解析】因为12i z i -=+()()()()1213225i i i i i ---==+-，故z =135i +.故选C. 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （ ）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4- 【答案】B【解析】由于123,,a a a 成等比数列，即2213a a a =⋅，()()211124a a a +=⋅+，解得18a =-. 4．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 【答案】B 【解析】因为函数解析式为()()1ln 2f x x x =--，则()1303f =-<，()14ln 204f =->，所以()()340f f ⋅<，即零点所在的大致区间为()3,4.故选B.5．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．21【答案】B 【解析】由已知()()()322111214f f f =++=++=，()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，故选B ．6．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥v v v v v（），则t =（ ）A ．32B ．23C ．14D ．13 【答案】B 【解析】(3,1),(1,)2(7,2)a b t a b t =-=⇒+=-r r r r ，2(7,2)(3,1)0212023a b a t t t +⊥⇒-⋅-=⇒-+=⇒=r r r （），故选B.7．函数的一段图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由图像知A=1，,所以函数的解析式为，又函数图像过点（2，1）点，所以，即，将选项代入得答案为D ．8．近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式:()()()()()22,n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关【答案】D【解析】由直方图知，（0.004+0.013+0.014+a+0.027+0.039+0.08）×5=1，解得a=0.023，故月消费金额超过2000元的大学生人数为（0.023+0.014+0.013）×5×1000=250人，由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人，由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，故A选项错误；月消费金额不超过500元的人数为0.004×5×1000=20人，故选项B错误；又由频率分布直方图知，当消费金额小于1750元时，频率为（0.004+0.027+0.039）×5+0.08×5×12=0.55>0.5.选项C错误；由条件可以列出列联表：故K2的观测值()()()()()250010.8289n ad bcka b c d a c b d-==>++++，所以在犯错的概率不超过0.1%的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关.故选D.9．已知函数lg(1),0()1lg,01x xf xxx+≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，且0a b+>，0b c+>，0c a+>，则()()()f a f b f c++的值（）A．恒为正B．恒为负C．恒为0D．无法确定【解析】由题意得()()()()1,01,011,0,01lg x x lg x x f x lg x x lg x x ⎧+≥⎧+≥⎪⎪==⎨⎨--<<⎪⎩⎪-⎩， 当0x >时，0x -<，于是()()()lg 1f x x f x -=-+=-．同理当0x <时，可得()()f x f x -=-， 又()00f =，所以函数()f x 是R 上的奇函数． 又根据函数单调性判定方法可得()f x 在R 上为增函数． 由0,0,0a b b c c a +>+>+>，可得,,a b b c c a >->->-， 所以()()()()()(),,f a f b f b f c f c f a >->->-， 所以()()()()()()0,0,0f a f b f b f c f c f a +>+>+>， 以上三式两边分别相加可得()()()0f a f b f c ++>，故选A.10．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线12l l //的一个充分条件是 ( )A ．1//l α且//2l αB ．1l α⊥且2l α⊥C ．1//l α且2l α⊄D ．1//l α且2l α⊂【答案】B【解析】A:1l 与2l 可能相交或异面．B 正确．C ：1l 与2l 可能相交或异面．D:1l 与2l 可能异面．11．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，15AA =，P 是棱1DD 上的动点，则1PA C ∆的面积最小时，DP =（ ） A ．1B ．2C ．52D ．4【解析】根据题意，以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设(),05DP x x =≤≤，故可得()()()10,2,,0,0,5,1,2,0P x A C ，由空间中两点之间的距离公式可得1A P ==PC=1AC 故在三角形1PA C中，由余弦定理可得222211112A P PC AC cos A PC A P PC+-∠==⨯，则1sin A PC ∠==，故11112A PC S sin A PC A P PC =∠⨯⨯n12===当且仅当1x =时，1PA C ∆的面积最小.故满足题意时，1DP =.故选A.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y 轴相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若22AOF AOBS S ∆∆=，则双曲线的离心率为（）AB C．2D【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线by x a=，即0bx ay -=，则过右焦点(c,0)F 与渐近线垂直的直线方程为()ay x c b=--，即0ax by ac +-=，又由焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay -=的距离为2d F A b ===，又由22AOF AOBS S ∆∆=，所以22F A AB b ==，即12AB b =，又由原点到0ax by ac +-=的距离为OA a ==，在直角2F OB ∆中，由射影定理得22OA F A AB =⋅，即222b a =，又由222bc a =-，整理得223c a =，所以c e a == B.二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________．【答案】7-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝x +2y 得y 12=-x 2z +，平移直线y 12=-x 2z +，由图象可知当直线y 12=-x 2z+经过点A 时，纵截距最小，z 也最小，由3310x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得A （﹣3，﹣2），Ⅰ目标函数2z x y =+的最小值为7-.14．已知抛物线的方程为()220x py p =>，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，8AB =，则p =______，M 为抛物线弧AOB 上的动点，AMB ∆面积的最大值是______.【答案】2【解析】(1)抛物线焦点为(0,)2p F ，设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程为：2p y x =+，代入抛物线方程得22304p y py -+=，则123y y p +=，因为1248y p p A y B ++===，所以2p =；(2)抛物线方程为：24x y =，直线方程为：1y x =+，联立得2440x x --=，解得1222x x =-=+设点20(,)4x M x ，(022x -≤≤+，点M 到直线AB的距离为d =， 20(2121)2AMB x AB d S ∆-==-，当02x =时，面积取得最大值. 故答案为：2；15．如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点A ，B 测得山顶的仰角分别为α，β，且该两点间的距离是l 米，则此山的竖直高度h 为__________米（用含α，β，l 的式子表达）．【答案】h=()sin sin sin αββα-l ． 【解析】如图所示，在ⅠABC 中，ⅠACB=β﹣α，由正弦定理得，BC sin α=AB sin ACB∠， ⅠBC=()lsin sin αβα-；在ⅠBCD 中，sinⅠCBD=CDBC，Ⅰh=CD=BC•sinβ=()lsin sin sin αββα-．16．已知函数()2ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1[,)2+∞【解析】 由题意，可得()2ln 1f x ax x -'=-，若()f x 在1[,)e +∞递增，则()0f x '≥在1[,)e +∞恒成立， 则ln 12x a x +≥在1[,)e+∞恒成立， 令()ln 12x g x x +=，1[,)x e ∈+∞，则()22ln 4x g x x -'=，令()0g x '>，解得1x <，令()0g x '<，解得1x >， 所以()g x 在1[,1)e 递增，在(1,)+∞递增，故()()max 112g x g ==， 故12a ≥，所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞.三、解答题17．如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【答案】xⅠ（0，20）.(2)截取时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .【解析】（1）Ⅰy=f （x ），xⅠ（0，20）.（2）2200,y x x ===2max 400y cm =.Ⅰ截取ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-+【解析】(1)因为122n n S +=-,所以当1n =时,112S a ==,当2n …时,1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=,上式对1n =也成立,所以2nn a =.(2)由(1)知(21)(21)2n n n b n a n =-=-g ,所以23123252(21)2n n T n =+++⋯+-g g g g ,23412123252(21)2n n T n +=+++⋯+-g g g g ,两式相减,得23122(222)(21)2n n n T n +-=+++⋯+--g 114(12)22(21)212n n n -+-=+---g g ,所以16(23)2n n T n +=+-g .19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.【答案】（1）2πC .3=；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-，因为sin 0A >，故1cos 2C =-，又0C π<<，所以23C π=． (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以周长的最大值为224++=+20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190BAC CAA ∠=∠=︒，11AA B===.（Ⅰ）求证：1A B BC ⊥；（Ⅰ）若M 是棱11B C 的中点，求二面角M AB C --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ 【解析】（Ⅰ）因为AB AC ⊥，1AC AA ⊥，又1AB AA A ⋂=，所以AC ⊥平面11ABB A .又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1AC A B ⊥.设1AA =12AB A B ==，所以22211AB A B AA +=，所以1A B AB ⊥. 又AC AB A ⋂=，所以1A B ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1A B BC ⊥. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，直线11A C ，11A B ，1BA 两两互相垂直.如图，以1A 为原点，分别以11A C ，11A B ，1BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.设1AA =()10,0,0A ，()0,2,2A --，()1,1,0M ，()0,0,2B -， 所以()0,2,0AB =u u u v ，()1,1,2MB =---u u u v.设平面MAB 的法向量为(),,n x y z =v，则00n AB n MB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，所以2020y x y z =⎧⎨---=⎩. 取1z =，则()2,0,1n v=-.而平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =v，所以cos ,5m n m n m n v v v v v v ⋅==. 易知二面角M AB C --为锐角，所以二面角M AB C --21．如图，圆22 If. (16x y ++=，)N是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v(O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）2，32y x =±+（3）存在，x +8y ﹣8=0或x =0【解析】（1）由题意可知，Q 在PN 的垂直平分线上，所以|QN |=|QP |，又因为|QM |+|QP |=r =4，所以|QM |+|QP |=4>|MN |，所以Q 点的轨迹为椭圆，且2a =4即a =2，由题意可知b =1，Ⅰ曲线E 的方程为2214x y +=（2）因为OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OACB 为平行四边形，当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意； 当直线m 的斜率存在时，设直线 的方程为y =kx +3，直线m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立方程组22314y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ， 整理得(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Ⅰ=(24k )2﹣128(1+4k 2)>0 得k 2>2. x 1+x 2=﹣22414k k +，x 1x 2=23214k+， 因为S ⅠOAB =12|OD ||x 1﹣x 2|=32|x 1﹣x 2|，所以S ⅠOACB =2S ⅠOAB =3|x 1﹣x 2令k 2﹣2=t ，则k 2=t +2(由上式知t >0)，所以S ⅠOANB，当且仅当t =94，即k 2=174时取等号，Ⅰ当k时， 平行四边形OACB 的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±2x +3 （3）若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为3344(,),(,)G x y H x y ，满足曲线E 的方程223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()3434343404x x y y x y y x +--++=，G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，则有()34342y y x x +=+代入可得343418y y x x -=--，直线方程可以设为18y x m =-+与抛物线方程联立， 得21218y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得方程2440y y m +=﹣， 直线与抛物线相切则有16160m ∆==﹣，所以1m =，则直线的方程为x +8y ﹣8=0，与椭圆方程联立:2214880x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消元可得方程17y 2﹣32y +15=0，Ⅰ=322﹣4×17×15>0， 所以直线x +8y ﹣8=0满足题意.若直线斜率不存在时，直线x =0满足题意.所以，综上这样的直线存在，方程是x +8y ﹣8=0或x =0.22．已知函数21ln02f x ax x a x=-+≥（）（）. （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数；（2）若f （x ）有两个极值点1x ，2x ，证明：1234ln 2f x f x +>-（）（）. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意，函数221ln ln 22f x ax x x ax x x=-+=--+（）， 得2121'21ax x f x ax x x -+-=--+=（），0x ∈+∞（，）， （i ）若0a =时；1x f x x-'=（）， 当01x ∈（，）时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ∈+∞（，）时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以当1x =，函数()f x 取得极小值，1x =是()f x 的一个极小值点；（ii ）若0a >时，则180a ∆=-≤，即18a ≥时，此时0f x '≤（），()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x '无极值点，当108a <<时，则180a ∆=->，令0f x （）'=，解得114x a =，214x a+=， 当10x x ∈（，）和2x x ∈+（，）∞时，0f x '<（），当12x x x ∈（，）时，0f x '>（）， Ⅰ()f x 在1x 取得极小值，在2x 取得极大值，所以()f x 有两个极值点， 综上可知：（i ）0a =时，()f x 仅有一个极值点；(ii).当18a ≥时，()f x 无极值点； (iii)当108a <<，()f x 有两个极值点.（2）由（1）知，当且仅当108a ∈（，）时，()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程2210ax x -+=的两根，Ⅰ1212x x a +=,1212x x a=， 则222121121211ln ln 22f x f x ax x ax x x x +=-++-+（）（） 22121212ln 2ln 2x x a x x x x =-+-+++（）（）（）22111ln[]42a a a a a=---+11ln 1242a a a =++-1ln 1ln 24a a =+--，设1ln ln 24g a a a =++-（）1，1(0,)8a ∈，则221141044a g a a a a -'=-=<（），Ⅰ10,8a ∈（）时，()g a 是减函数，1()()8g a g >，Ⅰ1ln3ln 234ln 28g a >+-=-（）， Ⅰ1234ln 2f x f x +>-（）（）. 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C :1x y +=与曲线2C :22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕπ∈）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线l :θα=（0ρ≥）与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值.【答案】（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos ρθ=（2）2+ 【解析】（1）因为曲线1C :1x y +=，所以曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；因为曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=， 所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2） 由（1）知1cos sin A OA ραα==+，4cos B OB ρα==，()()4cos cos sin 21cos 2sin 2224OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，由02πα≤≤知52444πππα≤+≤，当242ππα+=，即8πα=时，OB OA 有最大值2+.。
人教版八年级数学强化练习题及答案20题
人教版八年级数学强化练习题及答案20题随着国家对数学教育的日益重视，各类数学练习题也得到了广泛应用。
在八年级这个学习阶段，学生需要通过练习题来巩固和提高数学知识。
在本文中，我们将提供人教版八年级数学强化练习题及答案20题，供学生们参考。
1. 一个数减去6，再乘上3，结果是36，这个数是多少？解答：设这个数为x，则根据题意可得：(x - 6) × 3 = 36。
解这个方程可得x = 18。
2. 一盒香糖共有48颗，小明拿了其中三分之一，小刚拿了其中四分之一，还剩下多少颗？解答：小明拿了48 × 1/3 = 16颗，小刚拿了48 × 1/4 = 12颗。
剩下的香糖数量为48 - 16 - 12 = 20颗。
3. 一条绳子长12米，小明用这条绳子剪成3段，第1段比第2段短2米，第2段比第3段短4米，那么第1段、第2段、第3段各是多长？解答：设第1段为x，第2段为x + 2，第3段为x + 2 + 4。
则根据题意可得：x + (x + 2) + (x + 2 + 4) = 12。
解这个方程可得x = 2，所以第1段长2米，第2段长4米，第3段长8米。
4. 甲乙两人一起用时10天做完一项工作，甲单独做需要15天，甲、乙两人合作多少天可以完成？解答：设甲、乙两人合作x天可以完成工作。
根据题意可得：1/15 + 1/x = 1/10。
解这个方程可得x = 30，所以甲、乙两人合作30天可以完成。
5. 若一个数的6倍加上4等于40，这个数是多少？解答：设这个数为x，则根据题意可得：6x + 4 = 40。
解这个方程可得x = 6。
6. 用绳子围成一个三角形，已知两边分别为5cm和8cm，这个三角形的周长是多少？解答：根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边。
所以，这个三角形的周长为5 + 8 + 未知边的长度。
7. 一个矩形的长是3倍宽，如果宽是4cm，这个矩形的面积是多少？解答：设矩形的宽为x，则矩形的长为3x。
【新高考】数学 强化训练--专题04 如何由数列前n项和Sn求数列通项an(含答案解析)
b1
6 ， bn
Sn
1 an
4
n N*
.
（I）求数列an 的通项公式；
1 （Ⅱ）记数列
bn
的前 n 项和为 Tn ，来自明： Tn1 2.
16．（2020·福建省高三期末）记 Sn 为数列an 的前 n 项和.已知 an 0 ， 6Sn an2 3an 4 .
（1）求an 的通项公式；
于（ ）
A． 2
B．0
C．2
D．4
5．（2020·河南省高三期末）已知数列an 满足 a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n ，则
a2a3 a3a4 a21a22 （ ）
5
A．
8
3
B．
4
二、填空题
C． 5 4
5
D．
2
6．（2020·山西省高三期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2 2n1 ，则 an ______.
31 A．
16
B． 31 2
1
C．
32
31
D．
32
3．（2020·全国高三专题练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn 2an 3n ，则 a2018 （ ）
A． 22018 1
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3
10 3
4．（2020·海南省高三）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn1 Sn n2 25n n N * ，则 a12 a13 等
B． 32018 6
C．
1 2
2018
7 2
D．
1 2018 3
专题3.1 第01关-2018年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)(原卷版)
新题原创强化训练第一关一、 填空题1． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．2．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．3．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．4．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ．5．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 6．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ．二、解答题 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点F ．（1）求a b ，的值； （2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．2． 设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，． AB CM N（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．3．已知函数()e (1)x f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．。
冲刺2020高考数学新题原创强化训练试卷(附答案解析)
专题四 新题原创强化训练第一关 综合强化试卷（一）一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}220B x x x =->，则A B =I （ ）A ．{}13x x <<B ．{}23x x <<C ．{}02x x <<D ．{}12x x <<2．2(2)(13)i i --+=（ ） A ．2i +B ．27i -C ．47i -D ．4i +3．关于函数ln ()xf x x=的极值的说法正确的是（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1eC ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小e 值4．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,,A B C 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3AB BC π==，则m ω+=（ ）A ．52B ．2+C ．3D ．25．若向量a r ，b r的夹角为60︒，且1a b ==r r ，则a b +r r =( )A ．2B CD ．16．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是（ ） A ．单调增函数，且()0f x <B ．单调减函数，且()0f x >C ．单调增函数，且()0f x >D ．单调减函数，且()0f x <7．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,8．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）A ．163B ．263C ．283D ．129．已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B．3CD ．2310．设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ） A ．0ab >且0a b +> B ．0ab <且0a b +> C ．0ab >且0a b +<D ．0ab <且0a b +<11．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N ⋃=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．C ．3D ．二、填空题13．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．14．已知tan()24x π+=，x 是第三象限角，则cos x =__________．15．已知A ，B ，C 三点在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin 1sin sin A bB C a c+=++，则C 为_．三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S .18．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC ，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，AQ CQ ==30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面P AB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.19．椭圆()22112x y m m m+=>+的左、右顶点分别为A ，B ，过点B 作直线l 交直线2x =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求该椭圆的离心率的取值范围；（2）若该椭圆的长轴长为4，证明：2OM OP m ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）．20．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(]0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.21．设函数()ln 1xf x e x =--.（1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线1C 的方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是1C 上的动点，点M 满足2OP OM =u u u v u u u u v（O 为极点），点M 的轨迹为曲线2C ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是32x ty t=+⎧⎨=⎩，（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程与直线l 的普通方程； （Ⅰ）求点M 到直线l 的距离的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =+--.（1）对x R ∀∈，都有()f x x m ≥+恒成立，求m 的取值范围；（2）设不等式()0f x <的解集为A ，若,a b A ∈，求证：124a b ab+<+.专题四 新题原创强化训练第一关 综合强化试卷（一）一、单选题1．已知集合{}13A x x =<<，{}220B x x x =->，则A B =I （ ）A ．{}13x x <<B ．{}23x x <<C ．{}02x x <<D ．{}12x x <<【答案】B【解析】因为{}{2202B x x x x x =->=>或}0x <，又因为{}13A x x =<<，所以A B =I {}23x x <<，故选B.2．2(2)(13)i i --+=（ ） A ．2i + B ．27i - C ．47i -D ．4i +【答案】B【解析】()()()2213341327i i i i i --+=--+=-. 故选B.3．关于函数ln ()xf x x=的极值的说法正确的是（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1eC ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小e 值【答案】A【解析】21ln ()0(0,),()0;(,),()0;xf x x e x e f x x e f x x-==∴=∈>∈+∞'''<Q Q 因此x e = 时()f x 有极大值1e，故选 A. 4．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,,A B C 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3AB BC π==，则m ω+=（ ）A ．52B ．2+C ．3D ．2【答案】C【解析】由题意||||||T AC AB BC π==+=，得2ω=，设()()002sin 22f x x ϕ=+=，得022,2x k k Z πϕπ+=+∈，则002sin 22sin 21636m f x x k πππϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3m ω+=，故选C .5．若向量a r ，b r的夹角为60︒，且1a b ==r r ，则a b +r r =( )A ．2 BCD ．1【答案】B【解析】因为向量a r ，b r 的夹角为60︒，且1a b ==r r ，所以1cos602a b a b ⋅==or r r r ，则a b +r r === B.6．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是（ ） A ．单调增函数，且()0f x <B ．单调减函数，且()0f x >C ．单调增函数，且()0f x >D ．单调减函数，且()0f x <【答案】A【解析】△f （x+1）=f （x ﹣1），△f （x+2）=f （x ）即f （x ）是周期为2的周期函数 △当x △（0，1）时，()211f x log x=-＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f （x ）是奇函数， △当x △（﹣1，0）时，f （x ）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增根据函数的周期性可知y=f （x ）在（1，2）内是单调增函数，且f （x ）＜0，故选A ．7．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U .故选A 8．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）A ．163B ．263C ．283D ．12【答案】A【解析】由三视图还原几何体如图所示，该几何体为组合体，下半部分为直三棱柱，上半部分为三棱锥， 三棱锥的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2．∴该几何体的体积111162222222323V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选A.9．已知实轴长为的双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则△BF 1F 2的重心到双曲线C 的渐近线的距离为（ ）A ．13B ．3C D ．23【答案】A【解析】实轴长为C ：22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），可得a c ＝2，则b ，不妨B （0），则△BF 1F 2的重心G 0,3⎛ ⎝⎭，双曲线的渐近线方程为：y ＝x 的距离为：d 13=．故选A ． 10．设3log 0.4a =，2log 3b =，则（ ）A ．0ab >且0a b +>B ．0ab <且0a b +>C ．0ab >且0a b +<D ．0ab <且0a b +<【答案】B 【解析】Q10.413<<，31log 0.40∴-<<.又2log 31>，即10a -<<，1b >，0ab ∴<，0a b +>． 故选B.11．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N ⋃=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】若,M N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()1195420P M N ⋃=+=，故（1）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN ===，则由相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（2）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN ===，则()()()()()11,2P M P M P MN P M P N =-==⋅ 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（3）正确； 若()()()111,,236P M P N P MN === ，当,M N 为相互独立事件时，()()()11211,=2233P N P N P MN =-==⨯，故（4）错误；若()()()115,,236P M P N P MN ===，则()()()()()1,16P MN P M P N P MN P MN =⋅==-，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知,M N 为相互独立事件，故（5）正确.故选D. 12．如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4 B．C ．3D．【答案】A【解析】ⅠSM ,SN 是圆C 的切线,SA ⅠON ,ⅠSM =SN ,SN ⅠOM . Ⅰ四边形SMON 是菱形，又ⅠSMN =ⅠMON ， ⅠⅠSMN 是等边三角形．设A (x 0,y 0),由()220x py p =->得22x y p=-,Ⅰ0'A x y p =-=又2000032y x py x -==-，Ⅰ032y p =-=，. Ⅰ点A 到抛物线的准线的距离042pd y =-+=.故选A. 二、填空题13．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---，令2r ﹣6＝0可得r ＝3，常数项为（﹣1）33362C =-160.14．已知tan()24x π+=，x 是第三象限角，则cos x =__________．【答案】 【解析】因为tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan tan421tan tan 4x x ππ+=-⋅，解得1tan 3x =，即1sin cos 3x x =， 又22sin cos 1x x +=，所以29cos 10x =，又x是第三象限角，所以cos x =. 15．已知A ，B ，C 三点在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π【解析】设球的半径为r ，O ′是ⅠABC 的外心，外接圆半径为R =Ⅰ球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， Ⅰ得r 219-r 2＝43，得r 232=．球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π． 16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin 1sin sin A bB C a c+=++，则C 为_．【答案】π3【解析】Ⅰsin 1sin sin A bB C a c +=++，Ⅰ1a b b c a c+=++，可得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ，Ⅰcos C ＝2221222a b c ab ab ab +-==，ⅠC Ⅰ（0，π），ⅠC ＝3π．故选π3． 三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314m S a S ，，成等比数列，求2m S .【答案】（1）21n a n -＝（2）324【解析】（1）n S Q 为等差数列{}n a 的前n 项和，9238S a a +＝81，＝.Ⅰ()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩，解得112a d ＝，＝，()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝. （2）由（1）知，()21212n n n S n +-==.314m S a S Q ，，成等比数列，2314m S S a ∴=，即22927m ＝解得9m ＝， 2218324m S =∴=18．已知平面PAB ⊥平面ABC ，P 、P 在平面ABC 的同侧，二面角Q AC B --的平面角为钝角，Q 到平面ABC，PAB △是边长为2的正三角形，4BC =，AQ CQ ==30ACB ∠=︒.（1）求证：面PAC ⊥平面P AB ；（2）求二面角P AC Q --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】（1）424sin sin 30BAC ==∠︒，所以sin 1BAC ∠=，90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥，又Q 平面PAB ⊥平面ABC ，AB =平面PAB ABC I ，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面P AB ，AC ⊂Q 面P AC ，∴面PAC ⊥面P AB（2）以A 为坐标原点，AB u u u r ，AC u u ur 方向为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()2,0,0B，()C，(1,P，(Q ，设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =u r，则0AC m AQ m ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =，)m ∴=u r设平面P AC 的法向量为(),,n x y z =r，则00AC n PA n x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v， 令1z =：()n ∴=r，设二面角P AC Q --的平面角为θ，则cos cos ,m n θ==u r r而此二面角为锐角，故二面角P AC Q --的平面角的余弦值为619．椭圆()22112x y m m m+=>+的左、右顶点分别为A ，B ，过点B 作直线l 交直线2x =-于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求该椭圆的离心率的取值范围；（2）若该椭圆的长轴长为4，证明：2OM OP m ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）解：c e a ====Q ， 又1m >，0e ∴<<=，0,3e ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）证明：Q 椭圆的长轴长为4=，2m ∴=， 易知()2,0A -，()2,0B ，设()02,M y -，()11,P x y ，则()11,OP x y =u u u r ，()02,OM y =-u u u u r，直线BM 的方程为()024y y x =--，即00142y y x y =-+， 代入椭圆方程2224x y +=，得2222000140822y y y x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭．由韦达定理得()20124828y x y -=+．()20120288y x y -∴=+，012088y y y ∴=+， ()222000101222000488432242888y y y OP OM x y y m y y y -+∴⋅=-+=-+===+++u u u r u u u u r ．20．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(]0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【答案】（1）见解析； （2）75. 【解析】（1）因为2K 的观测值()210048842250509010k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4 3.841=>，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关. （2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时， 得计件工资为26001200 1.2⨯+⨯ 20013100+⨯=元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为125p =， 女员工实得计件工资不少于3100元的概率为212p =， 设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为Y ，则1~2,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2~1,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Z 的所有可能取值为0，1，2，3， ()()00,0P Z P X Y ==== 2123112520⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()11,0P Z P X Y ==== ()0,1P X Y +=== 1211211225C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21221255⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，()()22,0P Z P X Y ==== ()1,1P X Y +=== 22212125C ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121127122520C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()()32,1P Z P X Y ===== 21212510⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以Z 的分布列为故01205EZ =⨯+⨯+ 2320105⨯+⨯=. 21．设函数()ln 1xf x e x =--. （1）求证：函数()f x 存在极小值；（2）若1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)121 e ln2,.2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭【解析】证明：()()x1f x e lnx 1Q =--，()x1f'x e (x 0)x∴=->，()x 21f x e 0x∴"=+>， ∴函数()f'x 在()0,∞+是增函数，1f'202⎛⎫=< ⎪⎝⎭Q ，()f'1e 10=->，且函数()f'x 的图象在()0,∞+上不间断，01x ,12⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f'x 0=，结合函数()f'x 在()0,∞+是增函数，有：∴函数()f x 存在极小值()0f x .()12x ,2∞⎡⎫∃∈+⎪⎢⎣⎭，使得不等式xem lnx 0x x--≤成立，等价于1x ,2∞⎡⎫∃∈+⎪⎢⎣⎭，使得不等式x m e xlnx ≥-成立()*令()x h x e xlnx =-，1x ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，则()()xh'x e lnx 1f x =--=，∴结合()1得：()()0x min 00[h'x ]f x e lnx 1==--，其中01x ,12⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足()0f'x 0=，即0x01e 0x -=， 0x 01e x ∴=，00x lnx =-，()0x min 0001[h'x ]e lnx 1x 1110x ∴=--=+->=>， ()1x ,,h'x 0,2∞⎡⎫∴∈+>⎪⎢⎣⎭()h x ∴在1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭内单调递增， ()1122min 1111[h x ]h e ln e ln22222⎛⎫∴==-=+ ⎪⎝⎭， 结合()*有121m e ln22>+，即实数m 的取值范围为121e ln2,.2∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线1C 的方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是1C 上的动点，点M 满足2OP OM =u u u v u u u u v （O 为极点），点M 的轨迹为曲线2C ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程是32x t y t =+⎧⎨=⎩，（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程与直线l 的普通方程； （Ⅰ）求点M 到直线l 的距离的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=, 260x y --=．（Ⅰ）max d =． 【解析】（Ⅰ）设在极坐标系中(),M ρθ，据2OP OM =u u u v u u u u v 有()2,P ρθ， 代入1C 的方程()2213sin 16ρθ+=整理得：()2213sin 4ρθ+=，再化为直角坐标方程是：2214x y +=即为所求．直线l 的参数方程32x t y t =+⎧⎨=⎩，（t 为参数）化为普通方程是260x y --=．（Ⅰ）由222:14x C y +=知，在直角坐标系中设()2cos ,sin M αα，a R ∈， 点M 到直线l的距离d==Ⅰmax 5d ==．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =+--.（1）对x R ∀∈，都有()f x x m ≥+恒成立，求m 的取值范围； （2）设不等式()0f x <的解集为A ，若,a b A ∈，求证：124a bab+<+.【答案】（1）1m ≤-（2）见解析【解析】（1）Ⅰ()()122131221x x f x xx x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩，Ⅰ()()()1222121221x x g x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-=-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩Ⅰ()g x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，当1x ≥时为常数Ⅰ()min 112g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，Ⅰ1m ≤- （2）Ⅰ()0f x <，Ⅰ20x -<< Ⅰ()22222222222816441612421616a b ab a ab b a b ab a b a b ⎛⎫++++++--⎛⎫-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()224416a b --= Ⅰ,a b A ∈,Ⅰ20a -<<,20b -<<,Ⅰ240a -<,240b -> Ⅰ()()2244016a b --<，Ⅰ()22144a b ab +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，Ⅰ124a bab+<+。
2020高中数学 专题强化训练(二)一元二次函数、方程和不等式(含解析)第一册
专题强化训练(二) 一元二次函数、方程和不等式（建议用时：60分钟）［合格基础练］一、选择题1．设a<0，0<b<1，则A＝a，B＝ab,C＝a2b的大小关系是( ）A．A〉B>C B．A〉C〉BC．C>B〉A D．C〉A>BC［可以用特殊值法：取a＝－1，b＝错误!。
∴A＝－1，B＝－错误!，C＝错误!，∴C>B〉A.］2．若错误!＜错误!＜0，则下列不等式不正确的是( )A．a＋b＜ab B。
错误!＋错误!＞0C．ab＜b2D．a2＞b2D［由错误!＜错误!＜0，可得b＜a＜0，故选D。
］3．已知x≥错误!，则y＝错误!有( )A．最大值错误!B．最小值错误!C．最大值1 D．最小值1D［y＝错误!＝错误!＋错误!.∵x≥错误!，∴x－2>0，∴y≥2错误!＝1。
当且仅当错误!＝错误!，即x＝3时，取等号．]4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1 C．－1 D．3A[由题意：A＝{x｜－1＜x＜3｝,B＝{x|－3＜x＜2｝．A∩B＝｛x|－1＜x＜2},由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2,∴a＋b＝－3。
]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件B［设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝错误!＋错误!≥2错误!＝20.当且仅当错误!＝错误!（x〉0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]二、填空题6．不等式－3x2－x＋10〈0的解集为________．错误
一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置．（1）若160∠=︒，求23∠∠，的度数；（2）若48AB AD ==，，求四边形ABFE 的面积．2．如图，矩形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线分别交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE DF ，．（1）判断四边形BEDF 的形状，并说明理由；（2）若510AB BC ==，，求四边形BEDF 的周长．3．如图，直线经过矩形ABCD 的对角线BD 的中点O ，分别与矩形的两边相交于点E F 、．（1）求证：OE OF =；（2）若EF BD ⊥，则四边形BEDF 是形，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若8AD =，10BD =，求BDE V 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使C ，A 两点重合，点D 落在点G 处，已知48AB BC ==，．（1）求证：△AEF 是等腰三角形；（2）求线段BE 的长．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线交AB 的延长线于点E ．（1）求证：AC CE =．（2）若120BOC ∠=︒，4CE =，求AB 的长．3．如图，矩形AEBO 的对角线AB OE ，交于点F ，延长AO 到点C ，使CO AO =，延长BO 到点D ，使DO BO =，连接AD DC BC ，，．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若1016OE AC ==，，求菱形ABCD 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，将矩形沿EF 折叠，使点C 与点A 重合．（1）若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；（2）求证：△AGE ≌△ABF ；（3）若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ．（1）若45OAB ∠=︒，求证：矩形ABCD 是正方形；（2）请添加一个异于（1）的条件，使矩形ABCD 成为正方形，不用说明理由．3．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形的边长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别与AC 、BC 、AD 交于点O 、E 、F ，连接AE 和CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =3，BC =3，求菱形AECF 的边长．2．如图，在ABC V 中AB AC =，D 为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形，AC ，D 相交于点O ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若60AOE =︒∠，4AE =，求B 的长．3．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥交BC 边于点E ，点F 在边AD 上，且DF BE =．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）若BF 平分ABC ∠，且1DF =，3AF =，求线段BF 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．已知：如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，CE BD ∥，BE AC ∥．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）在矩形OBEC 中，4BE =，3CE =，求菱形ABCD 的面积．2．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF =9，BF =12，DF =15，求证：AF 平分∠DAB ．3．如图所示，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：OE ⊥DC ．（2）若∠AOD ＝120°，DE ＝2，求矩形ABCD 的面积．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，已知 ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，AC ，EF 相交于O ，连接AE ，CF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若∠FOC ＝2∠OCE ，求证：四边形AECF 是矩形．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，EO =FO ，DF ∥BE ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若AC =2OD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．3．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若10,2,AB BD ==求OE 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在四边形ABCD 中，,,AB CD AD BC AB BC =∥∥，过点D 分别作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）猜想AE 与CF 的数量关系，并说明理由．2．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BE AC ∥，AE BD ∥，连接EO ，交AB 于点F ．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明理由；（2）若6EB =，8AE =，求四边形AEOD 的周长．3．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，CE ，AF 与对角线BD 分别相交于点G ，H ，连接EH 、FG ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）如果AD BD ⊥，求证：四边形EGFH 是菱形．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD ＝60°，菱形ABCD 的周长为24．（1）求对角线BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积．2．如图在四边形ABEC 中，90ACB ∠=︒，点D 是BA 边的中点，点E 恰是点D 关于BC 所在直线的对称点．（1）证明：四边形CEBD 为菱形；（2）连接DE 交BC 于点O ，若8AC =，求线段OE 的长．3．如图，在ABC V 中，90BAC D ∠=︒，为BC 的中点，E 为AD 的中点．过点A 作AF BC ∥交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若8AC =，菱形ADCF 的面积为40，求AB 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，2AB BC CD ==，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ．（1）求证：四边形CDEF 为菱形；（2）连接DF 交EC 于G ，若6DF =，5CD =，求四边形CDEF 的面积．2．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，BE CF =，连接AF ，DE 交于点G ，求证：（1）ADF DCE ≌△△；（2）AF D E ⊥．3．如图．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形．（2）若连接DE ，交AC 于点F ，试判断四边形ABDE 的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC 再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE 是正方形．并证明你的结论．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在Rt ABC △中，90C AD ∠=︒，是BAC ∠的平分线，过D 作DE AC DF AB ∥，∥分别交AB AC 、于点E 、F ．（1）求证：四边形AEDF 为菱形；（2）若84AC DC ==，，连接EF ，求EF 的长．2．如图，在ABC V 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，DE AB ∥，DF AC ∥．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且22AD =，求四边形AFDE 的面积．3．如图，已知在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，9AD =，5AE =．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC V 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并证明（3）在矩形ADCE 中内部有一动点P ，满足13CDP ADCE S S =矩形△，直接写出PD PC +的最小值．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，垂足为O ，连接AE 、CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝时，四边形AECF 为正方形．2．如图，在ABC V 中，A B BC ＝，BD 平分ABC ∠，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．（1）求证：四边形BECD 是矩形．（2）若90BFE ∠=︒，2BE =，求矩形BECD 对角线的长．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =.（1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG =.一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过A 作AF ⊥AE ，交CB 延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若DE ＝1，求△AFE 的面积．2．如图，在ABC V 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，DE AB ∥，DF AC ∥．（1）求证：四边形AFDE 是菱形；（2）若90BAC ∠=︒，且12AD =，求四边形AFDE 的面积．3．如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上两点，BE 交AF 于点G ，且DE ＝CF ．（1）写出BE 与AF 之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB ＝2，点E 为AD 的中点，求AG 的长度；（3）在（2）的条件下，连接GD ，试证明GD 是∠EGF 的角平分线，并求出GD 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．在菱形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥于点E ，点F 在边AB 上，CD AF DE -=，连接BD 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若25BD =，4BE =，求BC 的长．2．在矩形ABCO 中，延长AO 到D ，使DO AO =，延长CO 到E ，使EO CO =，连接AE 、ED 、DC 、AC ．（1）求证：四边形AEDC 是菱形；（2）若23CD =，120CDE ∠=︒，求菱形AEDC 的面积．3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，在DA 上截取DF CE =，连接CF ．（1）求证：四边形FCED 是矩形；（2）若13BC =，10AC =，求DE 的长．一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若45BD =，5MD =，求AB 的长．2．如图，四边形ABCD 中，AC BD 、交于点O ，AD BC ∥，OA OC =，若8AC =，65BD AB DE BC ==⊥，，于E ，解决下列问题：（1）求证：OB OD =；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）写出DE 的长．3．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若10,2,AB BD ==求OE 的长．特殊的平行四边形专题强化训练（1）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）260360∠=︒∠=︒，（2）16【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ∥，∴2160∠=∠=︒，由折叠的性质可知，260BEF ∠=∠=︒，∴3180606060∠=︒-︒-︒=︒；（2）解：∵长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，∴BE DE DEF BEF =∠=∠，，设AE x =，则8DE BE x ==-，∵222AE AB BE +=，∴()22248x x +=-，解得3x =，∴35AE BE ==，，由（1）知BEF BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴ABFE S =四边形()()113541622AE BF AB +⨯=+⨯=．2．（1）菱形，理由见解析；（2）25．【详解】（1）解：四边形BEDF 是菱形理由：由作图可知：OB OD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴EDO FBO ∠=∠，∵EOD FOB ∠=∠，∴()ASA EOD FOB ≌，∴ED FB =，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF ⊥BD ∴四边形BEDF 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，10BC =，∴90,10A AD BC ∠=︒==，由（1）可设BE ED x ==，则10AE x =-，∵5AB =，在Rt ABE △中222AB AE BE +=，即()222510x x +-=，解得： 6.25x =，∴四边形BEDF 的周长4 6.25425BE ==⨯=．3．（1）证明见解析；（2）菱，理由见解析；（3）754．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴EDO FBO ∠=∠，∵点O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF 与DOE 中，FBO EDO BO DO BOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BOF DOE ≌，∴OE OF =；（2）四边形BEDF 是菱形，理由：∵OE OF =，OB OD =，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF BD ⊥，∴平行四边形BEDF 是菱形；故答案为：菱；（3）∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵8AD =，10BD =，∴AB 6==，设BE DE x ==，则8AE x =-，∵222AB AE BE +=，∴()22268x x +-=，解得：254x =，∴25BE 4=，∵152BO BD ==，∴154OE =，∴BDE V 的面积1157510244=⨯⨯=．特殊的平行四边形专题强化训练（2）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）3【详解】（1）证明：由折叠性质可知，AEF CEF ∠=∠，由题意可得AD BC ∥，∴∠=∠AFE CEF ．∴AEF AFE ∠=∠．∴AE AF =．∴AEF △是等腰三角形．（2）解：由折叠可得AE CE =，设BE x =，则8AE C E x ==-．∵90B Ð=°，∴在Rt ABE △中，有222AB BE AE +=，即()22248x x +=-，解得3x =.∴3BE =．2．（1）见解析（2）【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴∥，AC BD =，BE CD ∴∥．BD CE ∥，∴四边形BDCE 是平行四边形，BD CE ∴=，AC CE ∴=．（2）解： 四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90ABC ∠=︒，60OAB OBA ∴∠=∠=︒．∴30ACB ∠=︒4CE = ，4AC CE ∴==，2BC ∴=．3．（1）见解析（2）菱形ABCD 的面积为96【详解】（1）证明：∵CO AO DO BO ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵四边形AEBO 是矩形，∴90AOB ∠=︒，∴BD AC ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：∵四边形AEBO 是矩形，∴10AB OE ==，∵四边形ABCD 是菱形，∴OB OD =，90AOB ∠=︒，1116822OA AC ==⨯=，在Rt AOB 中，由勾股定理得：6OB ===，∴22612BD OB ==⨯=，∴1116129622ABCD S AC BC =�创=菱形．特殊的平行四边形专题强化训练（3）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）20︒；（2）证明见解析；（3）74BF =．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD C D ∠=∠=∠=︒，由翻折可知:90FAG C ==︒∠∠，∴9020GAE EAF BAF ∠=︒-∠=∠=︒，∴GAE ∠度数为20︒；（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD C D ∠=∠=∠=︒，AB CD=由翻折可知:90G D ∠=∠=︒，AG CD =，∴90G B ∠=∠=︒，AG AB =，在AGE 和ABF △中，90G B AG AB GAE BAF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AGE ABF ≌；（3）解：设cm BF x =，则()8cm CF BC BF x =-=-，∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，∴()8cm AF CF x ==-，在Rt ABF 中，由勾股定理得222AB BF AF +=，即()22268x x +=-，解得74x =，∴74BF =．2．（1）见解析（2）AB AD =．（答案不唯一）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵45OAB ∠=︒，∴9045ACB OAB CAB ∠=︒-∠=︒=∠，∴AB BC =，∴矩形ABCD 是正方形；（2）解：添加的条件可以是AB AD =．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，AB AD =，∴矩形ABCD 是正方形．3．（1）证明见解析；（2）5【详解】证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，∴OA =OC ，EF ⊥AC ，EA =EC ，∵AD ∥AC ，∴∠FAC =∠ECA ，在△AOF 和△COE 中，∵∠FAO =∠ECO ，AO =CO ，∠AOF =COE∴△AOF ≌△COE ，∴OF =OE ，∵OA =OC ，AC ⊥EF ，∴四边形AECF 为菱形；（2）设菱形的边长为x ，则BE =BC -CE =8-x ，AE =x ，在Rt △ABE 中，∵BE 2+AB 2=AE 2，∴（8-x ）2+42=x 2，解得x =5，即菱形的边长为5．特殊的平行四边形专题强化训练（4）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）2【详解】（1）证明：∵AC 的垂直平分线EF 分别与AC 、BC 、AD 交于点O 、E 、F ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO ＝∠ECO ，在△AOF 和△COE 中，∵∠FAO ＝∠ECO ，OA =OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF ＝CE ，∴AE ＝EC ＝CF ＝AF ，∴四边形AECF 为菱形；（2）解：设AE ＝CE ＝x ，则BE ＝3﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AB 2+BE 2＝AE 2，2+（3﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝2，即AE ＝2，∴菱形AECF 的边长是2．2．（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD AE ∥，BD AE =，∵D 为BC 中点，∴DC AE =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB AC =，D 为BC 中点，∴AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴平行四边形ADCE 是矩形；（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，∴AO CO DO EO ===，DC AE =，∵60AOE =︒∠，4AE =，∴AOE △是等边三角形，∴4AO EO AE ===，∴28AC OA ==，∵90ADC ∠=︒，∴AD =3．（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，即有AF EC ∥，∵BE DF =，∴AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．（2）解：∵BF 平分ABC ∠，AD BC ∥，∴ABF CBF AFB ∠=∠=∠，∴3AB AF ==，∴4AD BC ==，在Rt ABE △中，AE CF ===在Rt BFC △中，BF =．特殊的平行四边形专题强化训练（5）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）证明见解析（2）菱形ABCD 的面积为24【详解】（1）证明： CE BD ∥，BE AC ∥，∴CE OB ∥，BE OC ∥，即四边形OBEC 是平行四边形， 菱形ABCD 对角线交于点O ，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴四边形OBEC 是矩形；（2）解： 四边形OBEC 是矩形，∴4OC BE ==，3OB CE == 四边形ABCD 是菱形，∴28AC OC =⋅=，26BD OB =⋅=，即11862422ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形．2．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，即DF ∥BE ，又∵DF =BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB =90°，∴四边形DEBF 为矩形；（2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠BFC =90°，RtΔBCF 中CF =9，BF =12，∴BC ，∴AD =BC =15，∴AD =DF =15，∴∠DAF =∠DFA ，∵AB ∥CD ，∴∠FAB =∠DFA ，∴∠FAB =∠DAF ，∴AF 平分∠DAB ．3．（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：∵DE ∥AC ,CE ∥BD∴DE ∥OC ,CE ∥OD∴四边形ODEC 是平行四边形∵四边形ODEC 是矩形∴OD =OC∴四边形ODEC 是菱形∴OE ⊥DC（2）解：∵DE =2,由（1）知，四边形ODEC 是菱形∴OD =OC =DE =2∵∠AOD =120°∴∠DOC =60°∴△ODC 是等边三角形∴DC =OD =OC =2∵四边形ABCD 是矩形∴AC =2CO =4在Rt △ADC 中，由勾股定理得AD∴S 矩形ABCD特殊的平行四边形专题强化训练（6）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）见解析【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵BE ＝DF ，∴AF ＝CE ，AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ＝CF ．（2）∵∠FOC ＝∠OEC ＋∠OCE ＝2∠OCE ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∴OE ＝OC ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OE ＝OF ，∴AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．2．（1）见解析；（2）矩形【详解】（1）证明：∵DF ∥BE ，∴∠FDO =∠EBO ，∠DFO =∠BEO ，∵O 为AC 的中点，即OA =OC ，OE =OF ，∴OA ﹣AE =OC ﹣CF ，即AE =CF ，在△BOE 和△DOF 中，FDO EBO DFO BEO AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）若OD =AO ，四边形ABCD 是矩形，理由为：证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB =OD ，∴OA =OB =OC =OD ，即BD =AC ，∴四边形ABCD 为矩形．3．（1）详见解析（2）3【详解】（1）证明：∵AB DC ，OAB DCA ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，OAB DAC ∴∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，CD AD AB ∴==，∵AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，= AD AB ，∴四边形ABCD 是菱形；（2） 四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，BD AC ⊥，CE AB ⊥ ，12OE AC OA OC ∴===，2BD = ，112OB BD ∴==，在Rt AOB中，AB =1OB =，3OA ∴==，3OE OA ∴==．特殊的平行四边形专题强化训练（7）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）AE CF =，理由见解析【详解】（1）证明：∵,AB CD AD BC ∥∥，∴四边形ABCD 为平行四边形．又∵AB BC =，∴四边形ABCD 为菱形．（2）解：AE CF =．理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴,AD CD A C =∠=∠．∵,DE AB DF BC ⊥⊥，∴90DEA DFC ∠=∠=︒，∴()AAS ADE CDF △≌△，∴AE CF =．2．（1）矩形，理由见解析（2）36【详解】（1）解：四边形AEBO 是矩形．理由： BE AC ∥，AE BD ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形，又 菱形ABCD 对角线交于点O ，AC BD ∴⊥，即90AOB ∠=︒，∴四边形AEBO 是矩形；（2）解：6EB = ，8AE =，10AB ∴=， 四边形AEBO 是矩形，AE OB ∴=，四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AE OD ∴=，AE BD ∥，∴四边形AEOD 是平行四边形，10AD AB OE ===，∴四边形AEOD 的周长为81081036+++=．3．【详解】（1）证明：连接EF ，交BD 于点O ，如图：AB CD ，AB CD =，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，12112CDFO OD DF EO BO BE AB ∴====，FO EO ∴=，DO BO =，DH GB = ，OH OG ∴=，∴四边形EGFH 是平行四边形．（2）证明：由（1）知，四边形EGFH 是平行四边形， 点E ，O 分别是AB ，BD 的中点，OE AD ∴∥，AD BD ⊥ ，EF GH ∴⊥，∴平行四边形HEGF是菱形．特殊的平行四边形专题强化训练（8）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）6（2）【详解】（1）解： 菱形ABCD 的周长为24，2464AB AD BC CD ∴=====，又 ∠BAD ＝60°，ABD ∴∆是等边三角形，6BD AB AD ∴===，故对角线BD 的长为6；（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC 与BD 互相垂直且平分，116322OB BD ∴===，90AOB ∠=︒，又 6AB =，AO ∴===，2AC AO ∴==∴菱形ABCD的面积11622AC BD =⋅=⨯=ABCD的面积是2．（1）证明见解析；（2）4．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，点D 是AB 边的中点，∴12CD AB BD ==，∵点E 是点D 关于BC 所在直线的对称点，∴CE CD =，BE BD =，∴CD BD BE EC ===，∴四边形CEBD 为菱形；（2）解：∵四边形CEBD 为菱形；∴OB OC =，OE OD =，即O 为BC 中点，∵点D 是BA 边的中点，∴OD 是ABC 中位线，∴12DO AC =，∴4OE OD ==．3．（1）见解析（2）10【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，在AEF △和DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AEF DEB ≌；∴AF DB =，∵AD 为BC 边上的中线，∴DB DC =，∴AF CD =，∵AF BC ∥，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BC CD ==，∴平行四边形ADCF 是菱形；（2）解：∵D 是BC 的中点，∴2ADC ABC ADCF S S S == 菱形1184022AC AB AB =⋅==，∴10AB =．特殊的平行四边形专题强化训练（9）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）四边形CDEF 的面积为24．【详解】（1）证明：∵E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，∴12EF AB =，EF AB ∥，12CF BC =，AE CE =，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∵2AB BC CD ==，∴EF CF CD ==，∵AB CD EF ∥∥，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴四边形CDEF 为菱形；（2）解：如图，连接DF 与EC 交于点G ，∵四边形CDEF 为菱形，6DF =，∴DF CE ⊥，DG DF ==132，EG GC =，∵5CD =，在Rt CDG △中，4GC ==，∴28CE GC ==，∴四边形CDEF 的面积为：11862422CE DF ⋅=⨯⨯=．2．【详解】（1） 四边形ABCD 是正方形，·AD CD BC ∴==，90ADC DCB ∠=∠=︒，BE CF = ，BC BE CD CF ∴-=-，即CE DF =，在ADF △和DCE △中，DF CE ADC DCB AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADF DCE ∴ ≌；（2）由（1）知ADF DCE ≌△△，DAF CDE ∴∠=∠，90ADC ∠=︒ 即90CDE EDA ∠+∠=︒，90DAF EDA ∴∠+∠=︒180()90AGD DAF EDA ∴∠=︒-∠+∠=︒，AF DE ∴⊥．3．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ADC ＝90°，∵AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠MAN ＝∠CAN ，∴∠DAE ＝90°，∵CE ⊥AN ，∴∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE 为矩形，则AE ＝CD ，AC ＝DE ．又∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝DE ，AE ＝BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形；（3）当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形，理由：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，∴AD ＝CD ＝BD ，又∵四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．特殊的平行四边形专题强化训练（10）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）证明见解析（2）EF 的长为【详解】（1）证明：∵,DE AC DF AB ∥∥，∴四边形AEDF 是平行四边形．由AD 是BAC ∠的平分线知，∠∠EAD FAD =，由∥DE AC 知∠∠EAD ADF =，∴FAD ADF ∠=∠∴AF FD =∴四边形AEDF 是菱形．（2）解：∵9084C AC DC ∠=︒==，，∴AD =．由菱形AEDF 的对角线互相垂直平分的性质知，1122OA AD ==⨯OF AD ⊥，12OE OF EF ==．设A F DF x ==，则8CF AC x x =-=-．在Rt CDF △中，222DF CF DC =+∴()22284x x =-+解得：5x =．即5AF =．∴OF ==2EF OF ==2．（1）答案见解析（2）242【详解】（1）解：四边形AFDE 是菱形，理由是：DE AB ∥，DF AC ∥，∴四边形AFDE 是平行四边形. AD 平分BAC ∠FAD EAD ∴∠=∠．DE AB ∥，∴EDA FAD ∠=∠，EDA EAD ∴∠=∠，AE DE ∴=，∴平行四边形AFDE 是菱形．（2）90BAC =︒ ，∴四边形AFDE 是正方形，∴AF DF =.22AD = ，根据勾股定理，得222AD =，即22222AF =，解得AF =，∴四边形AFDE 的面积为∶1212242⨯=．3．【详解】（1）证明：AB AC = ，AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠，90ADC ∠=︒，AN 是ABC V 外角CAM ∠的平分线，CAE MAE \Ð=Ð，1902DAC CAE BAD MAE BAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，CE AN ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：当ABC V 是等腰直角三角形时，四边形ADCE 是一个正方形，理由如下：由（1）知四边形ADCE 为矩形，ABC 是等腰直角三角形，AD BC ⊥，12AD BC DC ∴==，∴四边形ADCE 是正方形；（3）解：9545ADCE S =⨯=矩形，11451533CDP ADCE S S ∆∴==⨯=矩形，即15152h ⨯⨯=，解得6h =，即点P 在平行于DC 且到DC 的距离为4的直线上，如图：作点C 关于点P 所在直线的对称点F ，连接DF ，此时PD PC +的值最小为DF 的长，12CF ∴=，13DF ∴=，PD PC ∴+的最小值为13．特殊的平行四边形专题强化训练（11）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵EF 垂直平分AC ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ⊥AC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝CE ＝CF ，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴当∠AEC ＝90°时，四边形AECF 是正方形，则∠AEB ＝90°，设AE ＝EC ＝x ，则BE ＝7－x ，AC ，在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，∴222(7)5x x +-=，解得13x =，24x =，∴AC ＝或2．（1）证明见解析（2）【详解】（1）证明：∵在ABC V 中，AB BC =，BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，AD DC =，∵四边形ABED 是平行四边形，∴AD BE =，AD BE ，∴DC BE =，DC BE ，∴四边形BECD 是平行四边形，又∵BD AC ⊥，∴四边形BECD 是是矩形．（2）解：∵四边形BECD 是矩形，90BFE ∠=︒即四边形BECD 的对角线互相垂直，∴四边形BECD 也是菱形，即四边形BECD 是正方形．∴90DBE ∠=︒，2BD BE ==，∴在Rt BDE △中，由勾股定理得：222DE BD BE =+，∴DE =即矩形BECD 对角线的长为3．（1）CE =12；（2）见解析.【详解】根据题意，得AD =BC =CD =1，∠BCD =90°.（1）设CE =x （0<x <1），则DE =1－x ，因为S 1=S 2，所以x 2=1－x ，解得x =512-（负根舍去），即CE =512-（2）因为点H 为BC 边的中点，所以CH =12，所以HD =52，因为CG =CE =512-，点H ，C ，G 在同一直线上，所以HG =HC +CG =12＋512-=52，所以HD =HG特殊的平行四边形专题强化训练（12）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析；（2）172【详解】（1）证明：AF AE ⊥ ，90FAB EAB ∴∠+∠=︒，90DAE EAB ∠+∠=︒ ，FAB DAE ∴∠=∠．= AD AB ，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ABF ∴∆≅∆．（2）解：ADE ABF ∆≅∆ ，AF AE ∴=．1DE = ，4=AD ，90D Ð=°，221417AE ∴=+=．AFE ∴∆的面积为：117171722创=．2．（1）见解析（2）72【详解】（1）证明： DE AB ∥，DF AC ∥，∴四边形AFDE 是平行四边形． AD 平分BAC ∠，FAD EAD ∴∠=∠，DE AB ∥，∴EDA FAD ∠=∠，EDA EAD ∴∠=∠，AE DE ∴=，∴平行四边形AFDE 是菱形．（2）解：90BAC =︒ ，四边形AFDE 是菱形，∴四边形AFDE 是正方形，12AD =∵，22126222AF AD ∴==⨯=，∴四边形AFDE 的面积为∶626236272⨯=⨯=．3．（1）BE =AF ，BE ⊥AF ，证明见解析；（2）255AG =；（3）证明见解析；GD =2105.【详解】（1）BE =AF ，BE ⊥AF ，理由：四边形ABCD 是正方形，∴BA =AD =CD ，∠BAE =∠D =90°，∵DE =CF ，∴AE =DE ，∴△BAE ≌△ADF （SAS ），∴BE =AF ，∠ABE =∠DAF ，∵∠ABE +∠AEB =90°，∴∠DAE +∠AEB =90°，∴∠BGA =90°，∴BE ⊥AF ．（2）在Rt △ABE 中，∵AB =2，AE =1，∴BE =2222==152AB AE ++，∵S △ABE =12•AB •AE =12•BE •AG ，∴212555AB AE AG BE ⋅⨯===．（3）如图，过点D 作DN ⊥AF 于N ，DM ⊥BE 交BE 的延长线于M ，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，AF ==∵S △ADF =12AD ×FD =12AD ×DN ，∴DN =AG AG =DN ，易证，△AEG ≌△DEM （AAS ），∴AG =DM ，∴DN =DM ，∵DM ⊥BE ，DN ⊥AF ，∴GD 平分∠MGN ，∴∠DGN =12∠MGN =45°，∴△DGN 是等腰直角三角形，∴GD 特殊的平行四边形专题强化训练（13）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）5BC =．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD AB CD ∥，=，∵CD AF DE -=，-=AB AF BF ，∴DE BF =，∴四边形BFDE 为平行四边形，又∵BE CD ⊥，∴90BED ∠=︒，∴四边形BFDE 为矩形；（2）解：在Rt BDE △中：2DE ===，设BC 的长为x ，则CD x =，2CE x =-，由勾股定理得：222BC BE CE =+，即：()22242x x =+-，解得：5x =，∴5BC =．2．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵DO AO =，EO CO =，∴四边形AEDC 是平行四边形，∵四边形ABCO 是矩形，∴=90AOC ∠︒，即AD EC ⊥，∴平行四边形AEDC 是菱形．（2）解： 四边形AEDC 是菱形，120CDE ∠=︒，∴18060DCA CDE ∠=︒-∠=︒，∴1302DCO DCA ∠=∠=︒，∵90COD ∠=︒，CD =12OD CD ==，∴3OC ==，∴2AD OD ==26EC OC ==，∴菱形AEDC 的面积为11622AD EC ⋅=⨯=3．（1）矩形（2）12013【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD BC ∥，∵DF CE =，∴四边形FCED 是平行四边形，又DE BC ⊥，∴平行四边形FCED 是矩形；（2）解：在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，152CO AC ==，12BO BD =，∵13BC =，∴12BO ，∴24BD =，∵12AC BD BC CF ⋅=⋅，∴11024132CF ⨯⨯=，∴12013CF =，∵四边形FCED 是矩形，∴12013DE CF ==．特殊的平行四边形专题强化训练（14）参考答案一、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1．（1）见解析（2）4AB =【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，MN 垂直平分BD ，∴AD BC ∥，90A ∠=︒，OB OD =，∴MDO NBO ∠=∠，DMO BNO ∠=∠，在DMO △和BNO 中，MDO NBO DMO BNO OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DMO BNO ≌△△，∴OM ON =，又 OB OD =，∴四边形BNDM 是平行四边形MN 垂直平分BD ，即MN BD ⊥，∴平行四边形BNDM 是菱形；（2）解： 四边形BNDM 是菱形，∴5BM MD ==，设AM x =，则5AD AM MD x =+=+，在Rt ABM 和Rt ABD △中，222AB BM AM =-，222AB BD AD =-，∴(()222255x x -=-+，解得：3x =，∴4AB ==．2．（1）见解析（2）见解析（3）245【详解】（1）证明：AD BC ，OAD OCB ∠=∠∴，在AOD △和COB △中，OAD OCBOA OC AOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AOD COB ∴ ≌，OB OD ∴=；（2）证明：由（1）可知，OB OD =，OA OC = ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴142OA AC ==，132==OB BD ，又5AB = ，2225OA OB ∴+=，225AB =，222OA OB AB ∴+=，AOB ∴ 是直角三角形，90AOB ∠=︒，AC BD ∴⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形；（3）解：由（2）可知，四边形ABCD 是菱形，5BC AB ∴==，DE BC ⊥ ，12ABCD S BC DE AC BD ∴=⋅=⋅菱形，即15862DE =，245DE ∴=．3．【详解】（1）证明：∵AB DC ，OAB DCA ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，OAB DAC ∴∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，CD AD AB ∴==，∵AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，= AD AB ，∴四边形ABCD 是菱形；（2） 四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，BD AC ⊥，CE AB ⊥ ，12OE AC OA OC ∴===，2BD = ，112OB BD ∴==，在Rt AOB 中，AB =1OB =，3OA ∴==，3OE OA ∴==．。
2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练(含答案)
2024中考数学模型复习专题与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练类型一点圆最值1. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，P A⊙PB，且P A，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 8第1题图2. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝6，BC＝2 3 ，半径为1的⊙O在Rt⊙ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．第2题图类型二线圆最值3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan ⊙BOD的值是()A. 2B. 3C. 4D. 5第3题图4. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，⊙ACB ＝60°，则⊙ABC面积的最大值为()第4题图A. 6 3B. 12 3C. 18D. 205. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．第5题图类型三定点定长作圆6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C 重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A. 2B. 52 C.3 D. 10第6题图7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足⊙MPN＝45°的⊙PMN中，边PM的长的最大值是()第7题图A. 4 2B. 6C. 210D. 3 58. 如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将⊙ABE沿BE翻折得到⊙FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是________．第8题图9. 如图，在⊙ABC中，⊙BAC＝30°，⊙ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．第9题图类型四定弦定角(含直角对直径)10. 如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝2 3 ，BC＝3.点P为⊙ABC内一动点，且满足P A2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，⊙ACP的面积是()第10题图A. 3B. 33C. 334 D.33211. (2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，⊙ADM＝⊙BAP，则BM的最小值为()A. 52B. 125C. 13 －32D. 13 －2第11题图12. 如图，在边长为6的等边⊙ABC 中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE ＝CF ，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为________．第12题图13.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接CF ，DF ，且⊙ADF ＝⊙DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ，EF ，则EB ＋EF 长度的最小值为________．第13题图类型五 阿氏圆14. 如图，在Rt⊙ABC 中， AB ＝AC ＝4, 点E ，F 分别是AB , AC 的中点，点P 是扇形AEF的EF 上任意一点，连接BP , CP ，则12BP ＋CP 的最小值是________．第14题图15. 如图，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，点P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为________．第15题图16. 如图，正方形ABCD 的边长为4，内切圆记为⊙O ，P 为⊙O 上一动点，则 2 P A ＋PB 的最小值为________．第16题图参考答案与解析1. C 【解析】如解图，连接PO ，∵P A ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵AO ＝BO ，∴AB ＝2PO ，若要使AB 取得最小值，则PO 需取得最小值，连接OM ，交⊙M 于点P ′，当点P 位于P ′位置时，OP 取得最小值，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ，则OQ ＝3，MQ ＝4，∴OM ＝5，又∵MP ′＝2，∴OP ′＝3，∴AB ＝2OP ′＝6.第1题解图2. 27 ＋1 【解析】如解图，当⊙O 与AB ，BC 边相切时OA 最大．设⊙O 与AB 边的切点为M ，连接OM ，OA ，OB ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝23 ，∴AB ＝43 ，∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠OBA ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △OBM 中，OM ＝1，∴BM ＝3 ，∴AM ＝AB －BM ＝33 ，在Rt △AOM 中，AO ＝AM 2＋OM 2 ＝27 ，此时点A 到⊙O 上的点的最大距离为27 ＋1.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接AB ，过点P 作PE ⊥BO ，并延长EP 交⊙P 于点D ，此时点D 到弦OB 的距离最大，∵A (8，0)，B (0，6)，∴AO ＝8，BO ＝6，∵∠BOA ＝90°，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝82＋62 ＝10，则⊙P 的半径为5，∵PE ⊥BO ，∴BE ＝EO ＝3，∴PE ＝52－32 ＝4，∴ED ＝9，∴tan ∠BOD ＝ED EO＝3.第3题解图4. B 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为点D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则AE ＝BE ，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12AB ·h ，易得当点C 与点E 重合时，h 取得最大值，即DE 的长，此时△ABC 的面积也取得最大值，即△ABE 的面积．∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°，∴△ABE 为等边三角形，∴∠EAB ＝∠AEB ＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝23 ，∴AB ＝2AD ＝43 ，DE ＝OE ＋OD ＝4＋2＝6.此时S △ABE ＝12 AB ·DE ＝12×43 ×6＝123 .第4题解图5. 3 【解析】如解图，连接QC 和PC ，过点C 作CH ⊥AB 于点H .∵PQ 和⊙C 相切，∴CQ ⊥PQ ，即△CPQ 始终为直角三角形，CQ 为定值，∴当CP 最小时，PQ 最小．∵△ABC 是等边三角形，∴当CP ⊥AB 时，CP 最小，此时点P 与点H 重合，∵AB ＝BC ＝AC ＝4，∴AH ＝BH ＝2，∴CH ＝AC 2－AH 2 ＝23 ，∴CP 的最小值为23 ，∵⊙C 的半径CQ ＝3 ，∴PQ ＝CP 2－CQ 2 ＝3.第5题解图6. A 【解析】如解图，连接AM ，AC ，∵点B 和点M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴点M 在以点A 为圆心，3为半径的圆弧上，∵AC ＝32＋42 ＝5，AM ＝AB ＝3，∴CM ≥AC －AM ＝5－3＝2，即MC 的最小值为2.第6题解图7. C 【解析】如解图，取格点O ，连接OM ，ON ，易得OM ＝ON ＝10 .又∵MN ＝42＋22 ＝25 ，∴OM 2＋ON 2＝MN 2，即△OMN 为等腰直角三角形．以O 为圆心，OM 长为半径作圆．∵∠MPN ＝45°，∴点P 在优弧MN 上．延长MO 交⊙O 于点P ，连接PN ，易知P 为格点，则此时PM 取最大值，PM 最大＝210 .第7题解图 8. 55 －5 【解析】如解图，∵BA ＝BF ＝BC ，∴点F 在以点B 为圆心，BA 长为半径的14圆上，∴当G ，F ，B 三点共线时，GF 最小．设AE ＝x ，则EF ＝x ，DE ＝10－x ，∵BG ＝CG 2＋BC 2 ＝55 ，∴GF ＝55 －10，连接EG ，则(10－x )2＋52＝x 2＋(55 －10)2，解得x ＝55 －5，∴AE 的长为55 －5.第8题解图9. 3＋12 ；(1＋32)π－1－3 【解析】由题意得点A ′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 长为半径的圆上，∵点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，∠ACB ＝45°，点A 关于直线CP 的对称点为A ′，∴∠ACA ′最大为90°.当CA ′⊥AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，如解图①，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，A ′C 交AB 的延长线于点F ，∵∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝2，∴在Rt △ABE 中，BE ＝1，AE ＝3 .在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝1，∴CA ′＝CA ＝3 ＋1.又∵CA ′⊥AB ，∴在Rt △ACF 中，CF ＝12 AC ＝3＋12，∴A ′F ＝CA ′－CF ＝3＋12 ，即点A ′到直线AB 距离的最大值是3＋12；如解图②，当点P 到达点B 时，线段A ′P 扫过的面积为S 扇形A ′CA －2S △ABC ＝π（3＋1）24 －2×12 ×(3 ＋1)×1＝(1＋32 )π－1－3 .第9题解图10. D 【解析】∵P A 2＋PC 2＝AC 2，∴∠APC ＝90°，如解图，取AC 的中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆，连接PO ，由题意知，当B ，P ，O 三点共线时，BP 最短，∴AO ＝PO ＝CO ，∵AC ＝23 ，BC ＝3，∴CO ＝12AC ＝3 ，∴BO ＝BC 2＋CO 2 ＝23 ，∴BP ＝BO －PO ＝3 ，∴点P 是BO 的中点，∴在Rt △BCO 中，CP ＝12BO ＝3 ＝PO ，∵OP ＝OC ，∴△PCO 是等边三角形，∴∠ACP ＝60°，∴在Rt △APC 中，AP ＝CP ·tan 60°＝3，∴S △APC ＝12 AP ·CP ＝3×32 ＝332.第10题解图11. D 【解析】如解图，取AD 的中点为O ，以AD 为直径作⊙O ，连接OB ，OM ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP ＋∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM ＋∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM ＝12AD ＝2，∴点M 的运动轨迹在以O 为圆心，2为半径的圆弧上，∵OB ＝AB 2＋AO 2 ＝32＋22 ＝13 ，∴BM ≥OB －OM ＝13 －2，∴BM 的最小值为13 －2.第11题解图12. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠ACF AE ＝CF，∴△ABE ≌△CAF (SAS)，∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB ＋∠ABE ＝∠P AB ＋∠CAF ＝60°，∴∠APB ＝120°，如解图，过点A ，P ，B 作⊙O ，连接CO ，PO ，AO ，BO ，OC 交AB 于点P ′，∴点P 在劣弧AB 上运动，∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP ＝∠OP A ，∠OPB ＝∠OBP ，∠OAB ＝∠OBA ，∴∠AOB ＝360°－∠OAP －∠OP A －∠OPB －∠OBP ＝120°，∴∠OAB ＝30°，∴∠CAO ＝90°.∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴CO 垂直平分AB ，∴∠ACO ＝30°，∴cos ∠ACO ＝AC CO ＝32，CO ＝2AO ，∵AC ＝6，∴CO ＝43 ，∴AO ＝23 ，在△CPO 中，CP ≥CO －OP ，∴当点P 与点P ′重合，即C ，P ，O 三点共线时，CP 有最小值，∴CP 的最小值为CO －OP ＝CO －AO ＝43 －23 ＝23 .第12题解图 13. 313 －3 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∵∠ADF ＝∠FCD ，∴∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠DFC ＝90°，∴点F 在以DC 为直径的半圆上运动，如解图，设DC 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形AB ′C ′D ，则点B 的对应点是B ′，连接B ′O 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，∴BE ＋EF ＝B ′E ＋EF ＝B ′F ，则线段B ′F 的长即为BE ＋EF 长度的最小值，OF ＝3，∵∠C ′＝90°，B ′C ′＝C ′D ＝CD ＝6，∴OC ′＝9，∴B ′O ＝B ′C ′2＋OC ′2 ＝62＋92 ＝313 ，∴B ′F ＝313 －3，∴EB ＋EF 长度的最小值为313 －3.第13题解图14. 17 【解析】如解图，在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT .∵P A ＝2，AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT ·AB ，∴P A AT ＝AB P A ，∵∠P AT ＝∠P AB ，∴△P AT ∽△BAP ，∴PT BP＝AP AB ＝12 ，∴PT ＝12 PB ，∴12PB ＋CP ＝PT ＋CP ≥TC ，在Rt △ACT 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∴CT ＝AT 2＋AC 2 ＝17 ，∴12 PB ＋PC ≥17 ，∴12PB ＋PC 的最小值为17 .第14题解图 15. 106 【解析】如解图，连接BP ，在BC 上取一点G ，使得BG ＝4，连接PG ，DG ，∵PB BG ＝64 ＝32 ，BC PB ＝96 ＝32 ，∴PB BG ＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝23 ，∴PG ＝23 PC ，∴PD ＋23PC ＝PD ＋PG ，∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，G ，P 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92 ＝106 .第15题解图16. 25 【解析】如解图，连接OP ，OB ，设⊙O 的半径为r ，则OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2 r ＝22 ，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI ＝IB ＝2 ，∵OP OI ＝22＝2 ，OB OP ＝222 ＝2 ，∴OP OI ＝OB OP ，∵∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI BP ＝OI OP ＝22 ，∴PI ＝22PB ，∴AP ＋22 PB ＝AP ＋PI ，∴当A ，P ，I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，最小值为AI 的长，过点I 作IE ⊥AB 于点E ，∵∠ABO ＝45°，∴IE ＝BE ＝22 BI ＝1，∴AE ＝AB －BE ＝3，∴AI ＝32＋12 ＝10 ，∴AP ＋22 PB 最小值为10 ，∵2 P A ＋PB ＝2 (P A ＋22 PB )，∴2 P A ＋PB 的最小值是2 AI ＝2 ×10 ＝25 .第16题解图。
高一数学(上)强化训练题、附答案
高一数学强化训练题一 、选择题：1．已知函数()则，x x x x x f ⎩⎨⎧>+-≤+=1,31,1()=]2[f f ( )A. 3 B, 2 C. 1 D. 0 2．下列函数是偶函数的是( )A. x y =B. 322-=x y C. 21-=xy D. ]1,0[,2∈=x x y3．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是( )A. x y =B. x y -=3C. xy 1=D.42+-=x y 4．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值范围是( )A. （-2,6）B. [-2,6]C. {}6,2-D. ()(),2 6.-∞-⋃+∞5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对6．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是（ ） A ．①②③B ．②④C ．②③④ D. ③④7．正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长都相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ）A ． 090B ． 060C ． 045D ． 0308．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A.2221+B. 22+C. 21+D. 221+ 9．定点P 不在ΔABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ）Ａ １个 Ｂ ２个 Ｃ ３个 Ｄ ４个10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( ) A. 4B. 3C. 2D. 5二、填空题： 11．计算 21log 2log aa ++25log 20lg 100+=_______ . 12．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =___________ . 13．若函数)a 3ax x (log y 25.0+-=在),2[+∞-上是减函数，则a 的取值范围是____.14． 已知ａ、ｂ为不垂直的异面直线，α是一个平面，则ａ、ｂ在α上的射影有可能是.①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).15．平面α ∥平面β ，过平面α 、β 外一点P 引直线PAB 分别交α 、β 于A 、B 两点，PA =6，AB =2，引直线PCD 分别交α 、β 于C 、D 两点．已知BD =12，则AC 的长等于____ .16．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知1:2::::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的________ .三、解答题：17．已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a且 （1）求()x f 的定义域; （2）证明()x f 为奇函数; （3）求使()x f >0成立的x 的取值范围.SFCB AD E18．如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F分别是AB、CD的中点.（1）求线段EF的长;(EF是两异面直线AB与CD的公垂线)；（2）求异面直线BC、AD所成角的大小.19．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，PQ分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.(1) 求证PQ∥平面CDD1C1； (2) 求证PQ⊥AD；参考答案：1-10、BBADA DCBDB 11．2 12．⎪⎭⎫⎝⎛==-x y x y 11或 13．]4,1(-- 14．①②④ 15．9 16．4/27 17．（1）（-1，1）（2）()()()x f xxx x x x x f x x x f aa a a -=-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+-=-∴-+=-11log 11log 11log ,11log 1（3）当a>1时，（0,1）10<<a 当时，（-1,0）. 18．(1) EF=22CF EC -=22a (2)取BC 中点G ，易知BC ⊥AG 、BC ⊥DG ， ∴BC ⊥面AGD ，∴BC ，AD 所成角为90019．在平面AD 1内，作PP 1∥AD 与DD 1交于点P 1，在平面AC 内，作QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵ 1251==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 .PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q 1而P 1Q 1⊂平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C 1（2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q 1PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ.。
人教版七年级数学强化练习题及答案20题
人教版七年级数学强化练习题及答案20题只提供正文部分：题目：人教版七年级数学强化练习题及答案20题1. 填空题（1）17÷3=_______（2）2.5 km=_______ m（3）(45+13)×2=_______（4）-8-(-2)×4=_______（5）2.3×(6-2×2)=_______2. 计算题（1）若a=3，b=4，c=2，则a + b ÷ c 的结果是多少？（2）若x=2，y=5，则(x+y)×2 ÷ (x-y) - 1 的结果是多少？3. 判断题（1）0 是整数。
（）（2）3 是奇数。
（）（3）-5 比 -3 大。
（）4. 解答题（1）在数轴上标出数 -3.4 和 -3.8，并指出它们之间的大小关系。
（2）小猪的体重是36千克，比大猪的体重少21千克，大猪的体重是多少千克？（3）某小组有7个男生和8个女生，男生占全组人数的几分之几？女生占全组人数的几分之几？答案：1. 填空题（1）17÷3=5余2（2）2.5 km=2500 m（3）(45+13)×2=116（4）-8-(-2)×4=-8+8=-16（5）2.3×(6-2×2)=2.3×(6-4)=2.3×2=4.62. 计算题（1）若a=3，b=4，c=2，则a + b ÷ c 的结果是 3 + 4 ÷ 2 = 3 + 2 = 5（2）若x=2，y=5，则(x+y)×2 ÷ (x-y) - 1 的结果是 (2 + 5)×2 ÷(2-5) - 1 = 14 ÷ (-3) - 1 = -4 - 1 = -53. 判断题（1）0 是整数。
（正确）（2）3 是奇数。
（正确）（3）-5 比 -3 大。
（错误）4. 解答题（1）在数轴上标出数 -3.4 和 -3.8，并指出它们之间的大小关系。
数学专题 新题原创强化训练
专题 新题原创强化训练综合强化试卷一、选择题 1．若复数为纯虚数，其中为实数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】为纯虚数，故.2．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，则球面面积为（ ）A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π 【答案】C【解析】如图,设球的半径为r ,O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R ， 则OO ′⊥面ABC .在Rt △ACD 中, 1,3cosA =则sinA =1a iz i+=-a z =()()()()()i 1i 11i1i 1i 2a a a z ++-++==-+10,1a a -==在△ABC 中,由正弦定理得62,R R sinA ==，即O ′C=4.再'Rt OCC V 中， 221812416r r ⨯-=，得2r = 964544S ππ⨯=⨯=球表. 故选C.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x +1与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则cos ∠AOB =（ ）A. √510 B. −√510 C. 910 D. −910 【答案】D【解析】圆心O 到直线y =2x +1距√5以cos∠AOB 2=1√52=2√5cos ∠AOB =2×(25)2−1=−910.选D.4．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|<π)的一个零点是x =π3，x =−π6是y =f(x)的图像的一条对称轴，则ω取最小值时，f(x)的单调增区间是（ ） A. [−73π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈Z B. [−53π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈Z C. [−23π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z D. [−13π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z 【答案】B【解析】由条件得，sin(ωπ3+φ)=12,sin(−ωπ6+φ)=±1⇒ω=2(2k −t)±23 ，又因为ω>0,k,t ∈Z ⇒ωmin =23，此时2π9+φ=2kπ+5π6,t =2k ⇒φ=2kπ+11π18，又因为|φ|<π⇒φ=11π18⇒f(x)=2sin(23x +11π18)−1 ，由−π2+2kπ≤23x +11π18≤π2+2kπ⇒−5π3+3kπ≤x ≤−π6+3kπ(k ∈Z),故选B.5．设是半径为1的圆上的三点，且，则的最大值是（ ）A.D. 1 【答案】A【解析】以OA,OB 所在直线分别为轴， 轴，则,设，且，所以，由于，所以，当时， 有最大值A.6．已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 满足()*12n n n n b a a a n N ++=∈,设n S 为{}n b 的前n 项和.若125308a a =>,则当n S 取得最大值时n 的值为( ) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由125308a a =>，即()1131148a d a d +=+且0d <， 整理得17605a d d =-<，，所以815n a n d ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 从而当116n ≤≤时， 0n a >；当17n ≥时， 0n a <．所以当114n ≤≤时， 1515161716161718000n b b a a a b a a a >==，，， 当17n ≥时， 0n b <，,,A B C O OA OB ⊥u u u v u u u v ()()•OC OA OC OB --u u u v u u u v u u u v u u u v 1+11x y ()()10,01A B ，，(),C x y 221x y +=()()()()()221,,11OC OA OC OB x y x y x y x y x y -⋅-=-⋅-=+--=-+u u u v u u u v u u u v u u u v221x y +=x y ≤+≤x y +=()()OC OA OC OB -⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v1故1413114151516161718S S S S S S S S S S >>>>>>L L ，，，．因为1518690055a d a d =->=<，， 所以15186930555a a d d d +=-+=<，所以()1516161715180b b a a a a +=+>， 所以1614S S >．故当n S 取得最大值时16n 的值为．选B ．7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多1斤 B. 少1斤 C. 多13斤 D. 少13斤 【答案】C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C8. 已知函数f(x)=ax +xlnx,g(x)=x 3−x 2−5，若对任意的x 1,x 2∈[12,2]，都有f(x 1)−g(x 2)≥2成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1,+∞)B. (0,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,−1] 【答案】A【解析】由题意，g ′（x ）=3x 2−2x =x （3x −2）， ∴函数g （x ）在[12，23] 上递减，在[23，2] 上递增，g （12）=18−14−5＝−418，g （2）=8−4−5=−1， 若对任意的x 1,x 2∈[12,2]，都有f （x 1）−g （x 2）≥2 成立，即当12≤x ≤2 时，f （x ）≥1 恒成立，即ax +xlnx ≥1 恒成立，即a ≥x −x 2ln x 在12≤x ≤2上恒成立，令ℎ（x ）=x −x 2lnx ，则ℎ′（x ）=1−2xlnx −x ，ℎ′′（x ）=−3−2lnx ，当12≤x ≤2时，ℎ′′（x ）=−3−2lnx ＜0，即ℎ′（x ）=1−2xlnx −x 在12≤x ≤2上单调递减，由于ℎ′（1）=0， ∴当12≤x ≤1时，ℎ′（x ）＞0， 当1≤x ≤2时，ℎ′（x ）＜0，∴ℎ（x ）≤ℎ（1）=1，∴a ≥1． 故选A ．9．已知实数x ， y 满足2{2 36x y y x x y +≤-≥-≥-记该不等式组所表示的平面区域为Ω，且12z x y =-，214y z x +=-， ()2231z x y =-+，现有如下说法： ①()x y ∀∈Ω，， 11z ≤；②()x y ∃∈Ω，， 213z ≤-；③()x y ∃∈Ω，， 32z ≤. 则上述说法正确的有（ ）个.A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】 由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分， 依题意[]()22123111925,2,,,1,134562y z x y z z x y x +⎡⎤⎡⎤=-∈--=∈--=-+∈⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 所以①②是正确的，故选C.10. 已知ΔABC 的外接圆半径为2，D 为该圆上的一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ΔABC 的面积的最大值为 （ ）A. 3B. 4C. 3√3D. 4√3 【答案】B【解析】解析：由题设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知四边形ABDC 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知∠BAC =900，且当AB =AC 时，四边形ABDC 的面积最大，则ΔABC 的面积的最大值为S max =12AB ×ACsin900=12×(2√2)2=4，应选答案B 。
数学专题 新题原创强化训练
专题四 新题原创强化训练一、选择题1．若，其中， 是虚数单位，则（ ）A.D.【答案】C【解析】原方程可化为，故，故. 2．函数f (x )=sin (−2x )|x+1|的部分图像大致为（） A. B.C. D.【答案】B【解析】∵函数f(x)=sin(−2x)|x+1|∴当x =0时，可得f(0)=0，即f(x)图象过原点，排除A ．∴当−π4<x <0时，sin(−2x)>0，|x +1|>0，f(x)图象在x 轴上方，故排除C ，D ，故答案选B ．3．设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，已知cos 0b a C +=，()sin 2sin A A C =+，则2bca =（ ） ()121ai i bi +=-,ab R ∈i a bi +=12i +542i 1i a b -+=-1,12a b =-=-1i i 22a b +=--==A.4 B. 2【答案】A【解析】由题意b+acosC=0，即b=﹣acosC ，∵sinA=2sin （A+C ），∴sinA=2sinB ，即a=2b ．那么： 2a=﹣acosC ．即cosC=12-．由余弦定理可得： 222ab c a b =++，又a=2b∴c =，∴2bc a =故选:A4．如图所示，在ABC ∆中， 2AC =， 6AB =， CA AB ⊥， AD BC ⊥，点E 是线段AB 的中点，则CD DE ⋅=u u u v u u u v（ ）A.75 B. 710 C. 95 D. 910【答案】C【解析】2AC =Q ， 6AB =，且CA AB ⊥BC ∴== cos AB B BC == AD BC ⊥Q12ABC S BC AD ∆∴=⋅，12ABC S AC AB ∆=⋅Q ， BC AD AC AB ∴⋅=⋅5AD ∴=， 5CD ==cos CD C AC ==Q 点E 是线段AB 的中点，则12AE AB =由向量加法法则： 故选C5．在平行四边形ABCD 中，点M,N 分别在边BC,CD 上，且满足BC =3MC ，DC =4NC ，若AB =4 ，AD =3，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −√7 B. 0 C. √7 D. 7 【答案】B 【解析】AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(−14DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3−3=0 ,故选B. 6．若()0,x ∃∈+∞，使得不等式()21311x e mx m x x +-<-+成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()0,x ∃∈+∞Q ， 0x e ∴>， ()210x x -+>， 30x +>，()21311x e mx m x x +-<-+Q()()211313x m x e x x x ∴<++-++ 令()()211313x y x e x x x =++-++， ()21x y e x x =-+Q ()200x y e x x x ∴=+'>>，3y x =+Q 在()0+∞，上单调递增，30y x =+>， ()()211313x y x e x x x ∴=++-++在)[0 +∞，上单调递减 ()()01123001033max y e ∴=+=-++∴实数m 的取值范围为23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2（n ∈N ∗），且对任意n ∈N ∗都有1a 1+1a 2+⋯+1a n<t ，则实数t 的取值范围为（ ）A. (13,+∞) B. [13,+∞) C. (23,+∞) D. [23,+∞) 【答案】D 【解析】∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2，∴n =1 时，a 1=2 ，当n ≥2 时，a 1a 2a 3…a n−1=2(n−1)2,可得：a n =22n−1 ，∴1a n=122n−1 ，数列{1a n} 为等比数列，首项为12 ，公比为14 ，∴1a n+1a n+⋯+1a n=12(1−14n )1−14=23(1−14n )<23 ，因为对任意n ∈N ∗都有1a 1+1a 2+⋯+1a n<t ，则t 的取值范围为[23,+∞)，故选D.8．已知ω>0 ，函数f(x)=sin (ωx −π3) 在(π3,π2) 内单调递减，则ω 的取值范围是（ ） A. (0,113] B. [52,113] C. (0,12] D. [12,34]【答案】B【解析】∵f(x)=sin(ωx −π3)∴f(x)的单调减区间为π2+2kπ<ωx −π3<3π2+2kπ，k ∈Z∵，函数f(x)=sin(ωx −π3) 在(π3，π2) 内单调递减，且ω>0 ∴取k =0，得5π6ω≤x ≤11π6ω∴{5π6ω≤π311π6ω≥π2 ∴52≤ω≤113，故答案选B9．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A 、B 两点，若ΔABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. √5 D. √7【答案】D【解析】如图，设等边三角形边长为m ，设|AF 1|=x ，根据双曲线的定义有m +x −m =m −x =2a ，解得m =4a,x =2a .在三角形BF 1F 2中，由余弦定理得(2c)2=(6a)2+(4a)2−2⋅6a ⋅4a ⋅cos π3，化简得4c 2=28a 2,e =√7.10. 已知函数，对任意的总存在使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】是增函数，当时， ，当时，且 ，根据已知条件可知，即，因为是增函数，当时， ，所以，根据已知条件可知，故选A.11. 已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）()()22,2{ ,2,2416x m x f x m mx x x -<=≥≥+[)12,x ∈+∞()2,2x ∈-∞()()12f x f x =m [)2,4[]2,4[)3,4[]3,42x my -=2x <202my -<<2x ≥216416164mx m m y x x x==≤++0y >2216mm -<264m m ⋅<2my m =⋅4m =264m m ⋅=4m ≤24m ≤<AC.5 D ．5【答案】A 【解析】试题分析：()1,0A -关于直线:3l y x =+的对称点为()3,2A '-，连接A B '交直线l 于点P ，则椭圆C 的长轴长的最小值为A B '=，所以椭圆C 的离心率的最大值为5c a ==,故选A. 12. 某公司有4家直营店a ， b ， c ， d ，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示．根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种 【答案】D【解析】6箱货物的分配方法有：6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0；3,2,1,0；1,1,2,2；1,1,1,3；共9中方法，而6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0方法中获利的最大值不超过16；若分配方法为1,2,2,1a b c d ====时，获利为445417+++=，若分配方法为2,1,2,1a b c d ====时，获利为625417+++=，若分配方法为1,3,1,1a b c d ====时，获利为472417+++=，若分配方法为2,3,0,1a b c d ====时，获利为670417+++=；即该公司获得最大利润的运送方式有4种；故选D. 二、填空题13．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为__________． 【答案】.【解析】依题意，设等差数列的公差为，因为，故，故. 又，故，故，故，故， 所以， 所以， 所以， 因为，即，显然，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以.所以. 答案为： .14．设向量()()1,2cos ,,4,,22AB BC m ππθθ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．若对任意[]1,0,10m AC BC ∈-⋅≤u u u r u u u r 恒成立，则sin 2πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为______．【答案】31,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦{}n a n n S 37915,34S a a =+=11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T *11,n n a n N T t+∈<t ()0,162{}n a d 315S =32315S a ==25a =798234a a a +==817a =826d 12a a -==2d =13a =()32121n a n n =+-=+()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11n n a T t+<()212323n n n t +<+0t >()()()234303632122391290n n n n t n nnn ++++⎛⎫<==++⎪⎝⎭96n n +≥3n =91290162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭162t <()0,162【解析】∵()1,42cos AC AB BC m θ=+=+-+u u u r u u u r u u u r，∴2168cos 10AC BC m m θ⋅=++-≤u u u r u u u r，即268cos m m θ++≤对任意[]1,0m ∈-恒成立．当[]()2max,,0616m m m ++-=∈，∴8cos 6θ≥，∵ ,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴(]cos 0,1θ∈，∴3cos ,14θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴3sin cos 1,24πθθ⎛⎫⎡⎤-=-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．15．已知， ，则的最大值为__________． 【答案】【解析】∵ 又∵∴∴ 令，则，当且仅当时取等号∴16．已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .,a b R ∈4a b +=221111a b +++24+22222222112111a b a b a b a b +++=+++++4a b +=22162a b ab +=-22221118211217aba b a b ab -+=++-+9ab t-=()()222112280119291716t a b t t t t+=⨯=≤=++---++-t =221111a b +++S ABC -,,SA SB SC 2SA SB SC ===Q S ABC -Q ABC【答案】【解析】试题分析：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记()*n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）12244233n n ++⋅-+ 【解析】试题分析：（1）利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，同时验证1n =时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前n 项和公式可求得结果.试题解析：（1）∵122n n S +=-，∴当1n =时，∴1111222a S +==-=；当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=，又12a =，∴2n n a =（2）由（1）知，1242n n n n n b a S +=⋅=⋅-，∴()()12231122444222n n n n T b b b +=+++=+++-+++L L L()()1241441224242141233n nn n ++--=⨯-=⋅-+--． 18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元 （1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为()(),f n g n ，求()(),f n g n ；3S ABC -2ABCABC 2r =ABC 222)33r ==（（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图: 若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】（1）甲： 70,y n n N +=+∈，乙： ()100,45,{6170,(45,)n n N y n n n N ++≤∈=->∈（2）①见解析②推荐小赵去乙快递公式应聘.【解析】试题分析：（1）由分段函数可写出两快递小哥送货单数与工资的函数关系式；（2）①由条形统计图可得X 的可能取值范围，求出其对应的概率值，可得分布列，进一步求出其数学期望，②可求两个快递公司的快递小哥的日平均工资，推荐小赵去平均工资较高的公司上班．试题解析：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：70,y n n N +=+∈乙快递公式的“快递小哥”一日工资y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： ()100,45,{6170,(45,)n n N y n n n N ++≤∈=->∈.（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X （单位：元），由条形图得X 的可能取值为100,106,118,130，()()()101030401000.2,1060.3,1180.4,100100100P X P X P X +========= ()101300.1100P X ===，所以X 的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70451115+⨯=（元）， 由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元. 故推荐小赵去乙快递公式应聘.19. 在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=, AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)证明:直线CE ⊥平面ADF ；(2)已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面角P DF A --的大小为60︒.【答案】（1）证明见解析；（2）P 点在靠近B 点的CB 的三等分点处.【解析】试题分析：（1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这两个平面垂直，直线垂直两个平面的交线即可，先证明CE DF ⊥， Q 平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面,ABCD CD CE AD =⊥，即可得到直线CE ⊥平面ADF ；（2）根据题意，取EF 的中点G ，证明,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点， ,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由二面角P DF A --的大小为60︒，根据空间向量夹角余弦公式列方程即可确定P 在棱BC 上的位置.试题解析：（1）//,2,CD EF CD EF CF ===∴Q 四边形CDEF 为菱形，CE DF ∴⊥， Q 平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面,,ABCD CD AD CD AD =⊥∴⊥Q 平面,ACDEF CE AD ∴⊥，又,AD DF D ⋂=∴Q 直线CE ⊥平面ADF .(2) 60DCF ∠=o Q ， DEF ∴∆为正三角形，取EF 的中点G ，连接GD ，则,GD EF GD CD ⊥∴⊥， Q 平面CDEF ⊥平面,ABCD GD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ⋂平面,ABCD CD GD =∴⊥平面,,,,ABCD AD CD DA DC DG ⊥∴Q 两两垂直，以D 为原点， ,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，2,1CD EF CF AB AD =====Q ，((0,,E F ∴-，由（1）知(0,CE =-u u u v是平面ADF 的法向量，((),1,1,0DF CB ==-u u u v u u u vQ ，设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤u u u v u u u v ，则(),2,0DP DC CP a a =+=-u u u v u u u v u u u v，设平面PDF 的法向量为(),,n x y z =v，()00,0,{20y n DF n DP ax a y +=⋅=⋅=∴+-=u u uv u u uQ v v v ，令y =，则)2,x a z a=-=-，))2,n a a∴=--v，Q二面角P DF A--为60o，1cos,2n CEn CEn CE⋅∴===⋅u u u vvu u u vvu u u vv，解得23a=，P∴在靠近B 点的三等分处.20．椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为3，过右焦点()2,0F c垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点且AB=，又过左焦点()1,0F c-任作直线l交椭圆于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求AOB∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22132x y+=;（Ⅱ）2.【解析】试题分析：(1)由题意求得a=b=，∴椭圆C的方程为22132x y+=．(2)当直线斜率存在且0k≠时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设不成立；当直线的斜率0k=时，面积函数0000122S y x x y=⨯⨯=，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得AOB∆面积的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）由条件有22221c ya b+=，∴2bya=±，又AB=，且3e=∴a=b=C的方程为22132x y+=．（Ⅱ）依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率0k≠时，可设直线l的方程为()1y k x=+（0k ≠），则直线AB 的方程为1y x m k=-+． 由221,{1,32y x m k x y =++=得222362360m x x m k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ()2226342360m m k k ⎛⎫⎛⎫∆=--+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22320m k --<，① 设AB 的中点为C ，则1223223C x x mkx k +==+， 22223C k m y k =+， 点C 在直线l 上，∴2222312323k m km k k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，故32m k k =--，② 此时22223624100m k k k--=++>与①矛盾，故0k ≠时不成立． 当直线l 的斜率0k =时， ()00,A x y ， ()00,B x y -（00x >， 00y >），AOB ∆的面积0000122S y x x y =⨯⨯=，∵220000132x y x y +=≥=，∴00x y ≤∴AOB ∆面积的最大值为2，当且仅当22001322x y +=时取等号． 21．已知曲线f(x)=ax +bx 2lnx 在点(1,f(1)) 处的切线是y =2x −1 .（1）求实数a,b 的值；（2）若f(x)≥kx 2+(k −1)x 对任意x ∈(0,+∞) 恒成立，求实数k 的最大值. 【答案】（1）a =1,b =1； （2）k 的最大值为1【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解，计算f(1)和f ′(1)，即可求出a ，b 的值；（2）分离参数k ，构造新函数g(x)，求函数g(x)的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值.试题解析：（1）因为f ′(x )=a +2bxlnx +bx ，f (1)=2−1=1,f ′(1)=2，则f (1)=a =1，f ′(1)=a +b =2，解得a =1,b =1；（2）由题意x +x 2lnx ≥kx 2+(k −1)x 恒成立，整理得k ≤2+xlnx x+1令g (x )=2+xlnx x+1，则g (1)=1，g ′(x )=(lnx+1)(x+1)−2−xlnx(x+1)2=lnx+x−1(x+1)2令h (x )=lnx +x −1，则h ′(x )=1x +1，因此h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h (1)=0， 所以h (x )在(0,1)上小于零，在(1,+∞)上大于零，故g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则g (x )在(0，+∞)上的最小值为g (1)=1，因此k ≤1，故k 的最大值为1 点睛：恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)>0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min >0，若f(x)<0恒成立，就转化为f(x)max <0；（3）若f(x)>g(x)恒成立，可转化为f(x)min >g(x)max .22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为. (Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且｜OA ｜<｜OB ｜，求. 【解析】(Ⅰ)由消去参数t ，得y =2x，5{5x y t==，2πsin 14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭11OA OB-5{5x t y ==由，得， 所以曲线C 的直角坐标方程为， 即.即曲线C 是圆心为(1，1)，半径r=1的圆.(Ⅱ)联立直线l 与曲线C 的方程，得，消去，得， 设A 、B 对应的极径分别为，则， ，所以.2πsin14ρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22cos 210sin ρρθρθ--+=222210x y x y +--+=()()22111x y -+-=22210{ 2sin sin tan ρρθρθθ--+==θ2105ρρ-+=12ρρ，125ρρ+=121ρρ⋅=12121211OA OB ρρρρ--===。
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专题四 新题原创强化训练一、选择题1．已知,R αβ∈，则“()23k k Z παβπ-=+∈”是“1sin sin 2αββ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】1πsin sin sin 223αβββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故π2π3k αβ=++或ππ2π3k αβ++=+，故是充分不必要条件. 2．函数()f x 的定义域是R ， ()02f =，对任意x R ∈， ()()'1f x f x +>，则不等式()1x x e f x e >+的解集为（ ）A. {}0x x B. {|0}x x < C. {|11}x x x -或 D. {|101}x x x <-<<或 【答案】A【解析】令g （x ）=e x •f （x ）﹣e x，则g ′（x ）=e x•[f （x ）+f ′（x ）﹣1] ∵对任意x ∈R ，f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴g ′（x ）＞0恒成立即g （x ）=e x •f （x ）﹣e x在R 上为增函数 又∵f （0）=2，∴g （0）=1故g （x ）=e x •f （x ）﹣e x＞1的解集为{x|x ＞0}即不等式e x •f （x ）＞e x+1的解集为{x|x ＞0} 故答案为：A3．椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆M 上任一点且|PF 1||PF 2|最大值取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c =√a 2−b 2，则椭圆离心率e 取值范围（ ） A. [√22,1) B. [√33,√22] C. [√33,1) D. [13,12) 【答案】B【解析】因为PF 1+PF 2=2a ⇒2a ≥2√PF 1⋅PF 2⇒PF 1⋅PF 2≤a 2 ，因此2c 2≤a 2≤3c 2,13≤e 2≤12,√33≤e ≤√22，选B.4．已知函数()()1112322x x x f x ea a ---=-+-有唯一零点，则负实数a =（ ）A. 13-B. 12- C. -3 D. -2 【答案】C【解析】注意到直线1x =是13x y e -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得. ()21320f a a =--=，解得3a =-. 5．在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、， 3A B =，且1b =，则sin sin4c BB⋅=（ ） A.13 B. 12C. 2D. 1 【答案】D 【解析】()()sin sin sin sin 3,,sin4sin 3sin sin c B c B c B c BA B B B B A B C⋅⋅⋅⋅====++Q 由正弦定理可得sin , 1.sin sin sin b c c Bb B C C⋅=∴== 故选D.6．已知M 是ΔABC 内的一点，且AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若ΔMBC ，ΔMCA ,ΔMAB 的面积分别为12,x,y ，则1x +4y 的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 9 【答案】B【解析】由题意得12+x +y =12×AB ×AC ×sin300 ,又AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ×AC ×cos300=2√3⇒AB ×AC =4 ,所以12+x +y =12×4×sin300=1⇒x +y =12因此1x+4y=(1x+4y)⋅2(x +y)=2(5+y x+4x y)≥2(5+2√y x⋅4x y)=18 ,当且仅当y =2x 时取等号,从而选B.7．已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()3tan 5g x x =的图象相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为（ ）A. 5πB. 25πC. 35πD. 45π【答案】B【解析】根据题意，令sinx=35tanx ，即sinx （1﹣35cos x ）=0，解得sinx=0，或1﹣35cos x=0，即sinx=0或cosx=35．又x ∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos 35，∴点A （0，0），B （π，0），C （arccos 35，）， ∴△ABC 的面积为12•|AB|•|y C |= 142··255ππ= ，故答案为：B ．8．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ∆的重心且满足向量BG CG ⊥u u u v u u u v，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（ ）A. 3B. 2C. 12D. 23【答案】C【解析】如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，由于G 为重心，故D 为中点， 12CG BG DG BC ⊥∴=Q ，， 由重心的性质得， 3AD DG =，即32AD BC =， 由余弦定理得，22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠，， 222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+Q ，，，2222219522AC AB BC BC BC ∴+=+=，2225b c a ∴+= ，可得： 222224222b c a a a cosA bc bc bc +-===，tan sin a A c B λ=Q ， 22212sin 2asinA a a a c BcosA bccosAbc bcλ∴====⋅． 故选D ．9. 已知在各项为正数的等比数列{}n a 中， 4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q > ∵4a 与10a 的等比中项为4∴2241074a a a ==∴74a =∴22759722282883232a a a a q q q q +=+=+≥= 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q == 故选A10. 若函数f(x)=lnx 与函数g(x)=x 2+2x +a(x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. (ln 12e ,+∞) B. (−1,+∞) C. (1,+∞) D. (−ln2,+∞) 【答案】A 【解析】设公切线与函数f(x)=lnx 切于点A(x 1， lnx 1)(x 1>0)，则切线方程为y −lnx 1=1x 1(x −x 1)；设公切线与函数g(x)=x 2+2x +a 切于点B(x 2， x 22+2x 2+a)(x 2<0)，则切线方程为y −(x 22+2x 2+a)=2(x 2+1)(x −x 2)，所以有{1x 1=2(x 2+1)， lnx 1−1=−x 22+a ． ∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1<2．又a =lnx 1+(12x 1−1)2−1=−ln 1x 1+14(1x 1−2)2−1，令t =1x 1，∴0<t <2， a =14t 2−t −lnt ．设ℎ(t)=14t 2−t −lnt(0<t <2)，则ℎ′(t)=12t −1−1t =(t−1)2−32t<0，∴ℎ(t)在(0，2)上为减函数，则ℎ(t)>ℎ(2)=−ln2−1=ln 12e ，∴a ∈(ln 12e ， +∞)，故选A ．11. 已知[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数()[]2f x x a x x a =+-在()0,2上仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),4-∞-B. ()0,1C. ()(),40,1-∞-⋃D. ()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意写出函数表达式为： ()()()22,0,1{ ,1,2x a x f x x ax a x -∈=+-∈，在()0,2上仅有一个零点分两种情况，情况一：在第一段上有零点， 0{0110a a a -<⇒<<-> ，此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点， ()()0{110 420a f a f -≥=>⇒<-<以上两种情况并到一起得到： ()(),40,1-∞-⋃。
故答案为：C 。
12. 在ΔABC 中，E,F 分别为边AB,AC 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A =60∘，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 72B. 92C. 134D. 154【答案】B 【解析】BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14×4−56×3×2×12+23×32=92,故选B. 二.填空题13．若对恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】3[2,)2- 【解析】试题分析：当n 为偶数时，12M n <-，而113322,222M n -≥-=∴<；当n 为奇数时，12M n -<+，而122,2,2M M n +>∴-<>-.所以的取值范围是3[2,)2-.考点：不等式.14．已知函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数，函数2)(2a a e x g x+-=，当[]3ln ,0∈x 时，函数)(x g 的最大值M 与最小值m 的差为23，则=a ．1(1)(1)2n nM n+--<+*n N ∈M M【答案】25 【解析】试题分析：因为函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数，所以0ln 1)('≥--=x a x f 在()e ,0上恒成立，即2≥-a ，即2≥a ；因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=+-=a x aa e a x a e a a a e x g x xx ln ,2ln 0,22)(222，若3ln ln ≥a ，即3≥a 时，)(x g 在[]3ln ,0单调递减，则2)3(ln )0(=-=-g g m M （舍），当3ln ln <a ，即32<≤a 时，函数)(x g 在[]a ln ,0上递减，在[]3ln ,ln a 上递增，且042)3(ln )0(≥-=-a g g ，所以23)(ln )0(=-=-a g g m M ，即2312)21(22=-=-+-a a a a ，解得25=a ；故填25． 15．如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =， 1AD =.点P ， Q 分别在边BC ， CD 上，且45PAQ ︒∠=，则AP AQ ⋅u u u v u u u v的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设()()2,,1P y Q x ，所以AP AQ ⋅u u u v u u u v()()2,,12y x x y =⋅=+因为45PAQ ︒∠=，所以()()22222x y xy +=- 因为02,0102x y xy ≤≤≤≤∴≤≤ ，所以22221xx y xy y x-+=-∴=+ 因此()22442222214111x x y x x x x x x-+=+=+-=++-+++44≥= 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若()1211nn n n n b a a ++=-, 则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.【答案】()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数【解析】由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得()1112n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠， 12n n a a +=-，构造()112n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以()11,1n n a n b n n ⎛⎫==-⋅+ ⎪+⎝⎭，()111111*********n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L当n 为偶数时， 111n T n =-++ ，当n 为奇数时， 111n T n =--+ ，综上所述()111nn T n -=-++ ,故填()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数. 三.解答题17．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知边2c =，且sin sin 2sin sin a A a B C b B -=-.(1)若()sin 2C sin B A sin A +-=,求ABC ∆的面积； (2)记AB 边的中点为M ，求CM 的最大值，并说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由sin sin 2sin sin a A a B C b B -=-利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示cos C ，将得出的等式代入计算求出cos C 的值，即可确定出角C ，进而可得ABC∆的面积；（2）由()12CM CA CB =+u u u u v u u u v u u u v ()22214CM a b ab ⇒=++u u u u v ，又可得2242,4ab a b ab ab +=+≥∴≤，即可求得CM 的最大值.试题解析： 2c =Q ，故sin sin 2sin sin sin sin a A a B C b B a A a B -=-⇔-222sin sin c C b B a b c ab=-⇒+-=，由余弦定理可得2221cos ,6022a b c C C ab +-==∴=o .（1）()()()sin 2C sin B A sin A sin A B sin B A +-=⇒++-2sin cos 2sin cos 2sin cos A A B A A A =⇒=，即cos 0A =或sin sin 90B A A =⇒=o 或A B =，当90A =o 时， 30,tan30B b c ABC ===∆o o 的面积1sin 2s bc A ==，当A B =时， ABC ∆为等边三角形， 122602s sin =⨯⨯⨯=o （2）由于AB 边的中点为M ，故()212CM CA CB CM =+⇒u u u u v u u u v u u u v u u u u v()()222211244CA CB CB CA a b ab =++⋅=++u uu v u u u v u u u v u u u v ， 2,60c C ==o Q ， ∴由余弦定理知， 224a b ab +=+，于是2112CM ab =+u u u u v ，而2242,4ab a b ab ab +=+≥∴≤，23,CM CM ∴≤∴u u u u v 2a b c ===时取等号）.18．2016年6月22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9: 11.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“国际教育信息化大会”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附:参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【解析】（1）依题意可知，抽取的“青少年”共有91004520⨯=人，“中老年”共有1004555-=人.完成的22⨯列联表如下：则()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2100303520159.0915*******⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为()2 6.6350.01,9.091 6.635P K >=>,所以有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.（2）根据题意知选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问， X 的取值可以为0，1，2，3，则()363920508421C P X C ====， ()123639451518428C C P X C ====，()21363918328414C C P X C ====， ()33391384C P X C ===. 所以X 的分布列为数学期望()204518145363012318484848484E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯==. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A B ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥. （1）求证： 1AC BB ⊥；（2）若12,AB AC A B M ===为11B C 的中点，求二面角1M AB A --平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用所给条件可证AC ⊥平面11A ABB ，再由线面垂直的性质可得线线垂直；（2）以射线,,AB AC AY 为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系．由二面角与法向量夹角间的关系可得二面角平面角余弦．试题解析：（1）111}A B ABC A B ACAB ACAC A B AB B⊥⇒⊥⊥⇒⊥⋂=平面11A ABB ，所以1AC BB ⊥,(2)过点A 作1AY A B ⊥，因为1A B ⊥平面ABC ，所以AY ⊥平面ABC ，又AB AC ⊥，以射线,,AB AC AY 为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系， 由12AB AC A B ===，得()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,A B C A ，由()112,0,2BB CC ==u u u r u u u u r，得()()114,0,2,2,2,2B C ，M 为11B C 的中点，所以()3,1,2M ，()()3,1,2,2,0,0AM AB ==u u u u r u u u r ，平面ABM 的法向量()0,2,1m =-r， ()()12,0,2,2,0,0AA AB ==u u u r u u u r ，平面1ABA 的法向量()0,1,0n =r，所以cos,m nm nm n⋅〈〉===⋅r rr rr r设二面角1M AB A--的平面角为θ，由图知θ锐角，所以cosθ=20．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的短轴端点到右焦点()10F，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x=：于点P，若1PA AFλ=，2PB BFλ=，求证：12λλ-为定值．【答案】(1)22143x y+=;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.试题解析：（Ⅰ）由题意有：1c=2=，所以2a=，2223b a c=-=.所以椭圆C的方程为22143x y+=.（Ⅱ）由题意直线AB过点()1,0F，且斜率存在，设方程为()1y k x=-, 将4x=代人得P点坐标为()4,3k，由()221{143y k xx y=-+=，消元得()22223484120k x k x k+-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AFx λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭ ()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.方法二：由题意，当121x x >>时， （若：不妨设121x x >>，加一分）有1PA AF λ=u u u v u u u v ，且2PB BF λ=-u u u v u u u v，所以()()111114,31,x y k x y λ--=--，且()()222224,31,x y k x y λ--=--- 所以11141x x λ-=-，同理22241x x λ-=--. 从而121212124433111111x x x x x x λλ---=+=-------- ()()()()()1212121212323222111x x x x x x x x x x --+-=--=-+---++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.方法三：由题意直线AB 过点()1,0F ，设方程为1x my =+ ()0m ≠， 将4x =代人得P 点坐标为34,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由221{ 143x my x y =++= 消元得()2234690m y my ++-=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且122122634{ 934my y m y y m -+=+-⋅=+，因为1PA AF λ=，所以11111330y PA my m AF y my λ--===-. 同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.21．【2018安徽阜阳一中二模】已知函数f(x)=ln (12+12ax)+x 2−ax(a 为常数，a >0) .（1）当y =f(x) 在x =12 处取得极值时，若关于的方程f(x)−b =0 在[0,2] 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的a ∈(1,2) ，总存在x 0∈[12,1] ，使不等式f(x 0)>m(a 2+2a −3) 成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−34<b ≤ln 12；（2）m 的取值范围是(−∞,−18]【解析】试题分析：（1）对函数f(x)，令f ′(12)=0，可得a 的值，利用导数研究f(x)的单调性，然后求得f(x)的最值，即可得到b 的取值范围；（2）利用导数求出f(x)在[12,1]上的最大值，则问题等价于对对任意a ∈(1,2)，不等式ln (12+12a)+1−a >m (a 2+2a −3)成立，然后构造新函数h(a)，再对h(a)求导，然后讨论m ，得出h(a)的单调性，即可求出m 的取值范围.试题解析：（1）f ′(x )=a1+ax +2x −a,f ′(12)=a1+12a +1−a =0，即a 2−a −2=0，又a >0所以a =2，此时f ′(x )=2x (2x−1)1+2x ，所以x ∈[0,12]上递减，x ∈[12,2]上递增，又f (0)=ln 12,f (12)=−34,f (2)=ln 52，所以−34<b ≤ln 12 （2）f ′(x )=a1+ax +2x −a =2ax 2+(2−a 2)x1+ax =x[2ax−(a 2−2)]1+ax因为1<a <2，所以a 2−22a−12=(a−2)(a+1)2a<0，即a 2−22a<12所以f (x )在[12，1]上单调递增，所以f (x )max =f (1)=ln (12+12a)+1−a 问题等价于对任意a ∈(1,2)，不等式ln (12+12a)+1−a >m (a 2+2a −3)成立设h (a )=ln (12+12a)+1−a −m (a 2+2a −3)(1<a <2)， 则h ′(a )=11+a −1−2ma −2m =−a−2m (a+1)21+a当m ≥0时，h ′(a )<0，所以h (a )在区间(1,2)上单调递减，此时h (a )<h (1)=0 所以m ≥0不可能使h (a )>0恒成立，故必有，因为(a +1)2≥4a若m ≤−18，可知h (a )在区间(1,2)上单调递增，在此区间上有h (a )>h (1)=0满足要求 若−18<m <0，可知h (a )在区间(1,min {−1−14m ,2})上递减，在此区间上有h (a )<h (1)=0，与h (a )>0恒成立相矛盾，所以实数m 的取值范围是(−∞,−18].22．已知曲线的极坐标方程为；直线C 2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线的参数方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，故， 因为，故所求方程为，故曲线的参数方程为（为参数）（2）联立和，得，设、，则 ， 由，得，当时，，故实数的取值范围为.[)():0,,l R θααπρ=∈∈C M N 、O x C MN P OP λ≤λ2cos 24πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭22cos 2sin 2ρρθρθ+-={x cos y sin ρθρθ==()()222112x y ++-=C 12{12x cos y sin θθ=-+=+θθα=22cos 2sin 20ρρθρθ+--=()22cos sin 20ρραα+--=()1,M ρα()2,N ρα()122sin cos ρραα+=-4πα⎛⎫=-⎪⎝⎭122OP ρρ+=|4OP πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭34πα=OP λ)+∞。