数学专题 新题原创强化训练

专题四 新题原创强化训练

一、选择题

1．已知,R αβ∈，则“()23

k k Z π

αβπ-=

+∈”

是“1sin sin 2αββ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 即不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】1πsin sin sin 223αβββ⎛⎫=

+=+ ⎪⎝

⎭，故π2π3k αβ=++或

π

π2π3

k αβ++

=+，故是充分不必要条件. 2．函数()f x 的定义域是R ， ()02f =，对任意x R ∈， ()()'1f x f x +>，则不等式

()1x x e f x e >+的解集为（ ）

A. {}

0x x B. {|0}x x < C. {|11}x x x -或 D. {|101}x x x <-<<或 【答案】A

【解析】令g （x ）=e x •f （x ）﹣e x

，

则g ′（x ）=e x

•[f （x ）+f ′（x ）﹣1] ∵对任意x ∈R ，f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴g ′（x ）＞0恒成立

即g （x ）=e x •f （x ）﹣e x

在R 上为增函数 又∵f （0）=2，∴g （0）=1

故g （x ）=e x •f （x ）﹣e x

＞1的解集为{x|x ＞0}

即不等式e x •f （x ）＞e x

+1的解集为{x|x ＞0} 故答案为：A

3．椭圆M:x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)左右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆M 上任一点且|PF 1||PF 2|最大值取值范围是[2

c 2,3c 2]，其中c =√a 2−b 2，则椭圆离心率e 取值范围（ ） A. [

√22,1) B. [√33,√22] C. [√3

3,1) D. [13,12

) 【答案】B

【解析】因为PF 1+PF 2=2a ⇒2a ≥2√PF 1⋅PF 2⇒PF 1⋅PF 2≤a 2 ，因此2c 2≤a 2≤3c 2,1

3≤e 2≤12,

√3

3

≤e ≤

√2

2

，选B.

4．已知函数()()

1

112322x x x f x e

a a ---=-+-有唯一零点，则负实数a =（ ）

A. 13-

B. 1

2

- C. -3 D. -2 【答案】C

【解析】注意到直线1x =是1

3x y e -=和1

12

2x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的

对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得. ()2

1320f a a =--=，解得3a =-. 5．在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、， 3A B =，且1b =，则sin sin4c B

B

⋅=（ ） A.

13 B. 1

2

C. 2

D. 1 【答案】D 【解析】()()sin sin sin sin 3,

,sin4sin 3sin sin c B c B c B c B

A B B B B A B C

⋅⋅⋅⋅====++Q 由正弦定理可得

sin , 1.sin sin sin b c c B

b B C C

⋅=∴== 故选D.

6．已知M 是ΔABC 内的一点，且AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若ΔMBC ，ΔMCA ,ΔMAB 的面积分别为1

2,x,y ，则1

x +4

y 的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 9 【答案】B

【解析】由题意得12

+x +y =1

2

×AB ×AC ×sin300 ,又AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ×AC ×cos300=2√3⇒AB ×AC =4 ,所以12

+x +y =12

×4×sin300=1⇒x +y =1

2

因此1x

+4y

=(1x

+4y

)⋅2(x +y)=2(5+y x

+

4x y

)≥2(5+2√y x

⋅

4x y

)=18 ,当且仅当y =2x 时

取等号,从而选B.

7．已知函数()[]()

sin 0,f x x x π=∈和函数()3

tan 5

g x x =

的图象相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为（ ）

A. 5π

B. 25π

C. 35π

D. 45

π

【答案】B

【解析】根据题意，令sinx=35tanx ，即sinx （1﹣35cos x ）=0，解得sinx=0，或1﹣3

5cos x

=0，

即sinx=0或cosx=

35

．

又x ∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos 35，∴点A （0，0），B （π，0），C （arccos 35

，）， ∴△ABC 的面积为12•|AB|•|y C |= 142

··255

ππ= ，

故答案为：B ．

8．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ∆的重心且满足向量

BG CG ⊥u u u v u u u v

，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（ ）

A. 3

B. 2

C. 12

D. 23

【答案】C

【解析】

如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，

由于G 为重心，故D 为中点， 1

2

CG BG DG BC ⊥∴=Q ，， 由重心的性质得， 3AD DG =，即3

2

AD BC =， 由

余

弦

定

理

得

，

22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-⋅⋅∠=+-⋅∠，， 222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+Q ，，，

2222219

522

AC AB BC BC BC ∴+=

+=，

2

2

2

5b c a ∴+= ，可得： 22222

4222b c a a a cosA bc bc bc +-===，

tan sin a A c B λ=Q ， 2221

2sin 2asinA a a a c BcosA bccosA

bc bc

λ∴=

===⋅

． 故选D ．

9. 已知在各项为正数的等比数列{}n a 中， 4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A