23幂函数Convertor
幂函数知识点归纳总结
幂函数知识点归纳总结嘿，咱今儿就来好好唠唠幂函数！幂函数啊，就像是数学世界里的小精灵，可有意思啦！先说说幂函数的定义哈，那就是形如 y=x^a 的函数，这里的 a 可是个关键角色呢！它决定了幂函数的各种特性。
咱就拿 y=x^2 来说吧，这可是个大家常见的幂函数呢！它的图像就像个开口向上的抛物线，多形象啊！当 x 取正数的时候，y 也跟着越来越大；当 x 取负数的时候呢，y 还是正数哦，是不是挺神奇的？这就好比你走在路上，迎着阳光走，影子就会在身后，背着阳光走，影子就会在身前，幂函数也有它自己的“小脾气”呢！再说说 y=x^3 ，这个幂函数就更有个性啦！它的图像可不像抛物线那么“温柔”，而是有点“刚硬”呢！随着 x 的变化，y 的变化速度也不一样，这就像跑步，有时候跑得快，有时候跑得慢，但一直都在前进。
那幂函数的单调性呢，可不能小瞧哦！当 a 大于 0 的时候，幂函数在定义域上是单调递增的，就像小火箭一样蹭蹭往上窜；当 a 小于 0的时候，幂函数在定义域上是单调递减的，就像泄了气的皮球慢慢往下落。
你说这幂函数是不是很有个性呀？还有幂函数的奇偶性呢，这也是个很有趣的特点哦！有的幂函数是奇函数，有的是偶函数，还有的既不是奇函数也不是偶函数呢！这就好像人有不同的性格一样，有的开朗，有的内向，有的则是二者兼有。
哎呀，幂函数的知识点可真不少呢！咱可得好好记住，不然做题的时候就抓瞎啦！就像你要去一个陌生的地方，不提前了解路线，那不就迷路了嘛！总之呢，幂函数虽然看起来简单，但是里面的学问可大着呢！咱们要像探索宝藏一样，一点点去发现它的奥秘，去感受数学的魅力。
你想想，要是你能把幂函数玩得团团转，那多有成就感呀！是不是？所以呀，大家可别小瞧了幂函数，好好学，好好研究，一定能发现更多有趣的地方！。
2.3幂函数
它们有以下共同特点：
(1)都是函数；
(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数. 注意: 幂函数中α的可以为任意实数.
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
幂函数与指数函数的对比
名称
公共点 (1,1)
探究：幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０，
打开几何画板
在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数 (3) 当α为整数且为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为整数且为偶数时，
幂函数为 偶函数；
例１
比较下列各组数的大小:
2 3
例 3.证明幂函数 f ( x) = 数．
f ( x1 ) - f ( x2 ) =
=
=
x 在[0,+∞)上是增函
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
x1 ( x1 -
x2
x2 )( x1 + x1 + x2 x2 )
x1 - x2 x1 + x2
因为x1 - x2 < 0, x1 +
y=x Ｒ R 奇 增
y=x2 Ｒ [0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)
y=x3 Ｒ R 奇 增
(1,1)
y= x
1 2
y=x-1
定义域 值域 奇偶性 单调性
[0,+∞) [0,+∞)
{x|x ¹ 0}
{y|y ¹ 0}
幂函数
一次函数y=kx+b（k不等于0）的增减性由系数k的正负决定：k>0时,y随x的增大而增大；k<0时,y随x的增大而减小。
而图象在平面直角坐标系中的位置就是由系数k与b共同决定,它的位置完全取决于k,b的符号，如下图所示：单调递增。
一、基础过关答案 B章末检测（1）一、选择题1．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A .2a －1B ．－2a －1C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．[0，53)B ．[0，53]C ．[1，53)D ．[1，53]3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞) D ．[3，＋∞)4．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是( )A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．985．若a>1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )6．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f(x)>0 B ．增函数且f(x)<0 C ．减函数且f(x)>0 D ．减函数且f(x)<07．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x ， x ≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14 C ．－4D ．－148．右图为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．m<0，n>1 B ．m>0，n>1 C ．m>0,0<n<1 D ．m<0,0<n<19.下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3 D ．log 76<log 67 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)10.log 34log 98＝________. 11．函数f(x)＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．12．设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________________．13．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________． 三、解答题14．(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值；(2)计算：log 49－log 212＋5lg210-.15．(12分)已知函数f(x)＝log a x＋1x－1(a>0且a≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．。
幂函数的象与解析式
幂函数的象与解析式【正文】幂函数是一种基本的数学函数，它的象与解析式是非常重要的概念。
在本文中，我们将探讨幂函数的象及其解析式，并深入了解其特性和性质。
一、幂函数的定义与基本形式幂函数可以表示为 f(x) = x^a 的形式，其中 a 是实数且不等于零。
当 a 大于零时，幂函数呈现递增趋势；当 a 小于零时，则表现为递减趋势。
基于这样的定义，我们可以推导出幂函数的基本形式及其图像。
二、幂函数的图像与特性1. 幂函数的图像特征幂函数的图像在直角坐标系中通常呈现出不同的形态。
当 a 大于1时，函数图像会从原点开始，并随着自变量的增大而逐渐上升；当 0＜a＜1 时，函数图像同样从原点开始，但是它会随着自变量的增大而逐渐下降；当 a 小于-1 时，图像将出现在第三象限和第一象限之间，并在原点附近有一个垂直渐近线。
2. 幂函数的特殊性质幂函数具有一些重要的特性，如奇偶性、单调性以及导数的存在性。
对于 a 为整数的幂函数，其特性更为明显。
例如，当 a 为偶数时，函数图像关于 y 轴对称，即具有偶函数的特点；而当 a 为奇数时，函数图像关于原点对称，并呈现出奇函数的特征。
三、幂函数的解析式推导1. 幂函数的化简与推导通过适当的技巧和运算，我们可以将幂函数的解析式进行推导和化简。
例如，对于幂函数 f(x) = x^a，我们可以通过对 x 进行变换和取对数来简化表达式，得到更加简洁的形式。
2. 幂函数的特殊解析式除了幂函数的一般形式外，还存在一些特殊解析式。
例如，对数函数是幂函数的一种特殊形式，可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中 a 是正实数且不等于1。
对于这种形式的幂函数，我们可以得到其解析式的具体形式和性质。
四、幂函数的应用领域幂函数作为一种常见的数学函数，在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，幂函数可以用来表示成本与产量之间的关系；在物理学中，幂函数可以描述一些物质的特性和变化规律。
通过深入研究幂函数的象和解析式，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。
课件8：2.3 幂函数
.
解析:由于函数 f(x)是幂函数,则 m2-2m-2=1,解得 m=3 或-1.又 m>0,则 m=3.
答案:3
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内,函数图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近.
【做一做】 下列结论中,正确的是( ). A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数 α 取 1,3,1 时,幂函数 y=xα 是增函数 2
D.当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 解析:当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=x-1 的图象不通过原点,故选项 A 不正确; 因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且 y=xα(α∈R),y>0,所以幂函 数的图象不可能出现在第四象限,故选项 B 不正确; 当 α=-1 时,y=x-1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是 减函数,故选项 D 不正确.故选 C. 答案:C
解析:设 f(x)=xα,则 2α= 1 =2-1, 2
解得 α=-1,则 f(x)=x-1.
答案:x-1
4 若(a+1)3<(3a-2)3,则实数 a 的取值范围是
.
解析:构造函数 y=x3,它在 R 上是增函数,
所以 a+1<3a-2,解得 a> 3 . 2
答案:
3 2
,
5 已知幂函数 f(x)=(m2-2m-2)x2-m(m>0),则 m=
1
y= x 2 的图象,观察到图象上点的纵坐标的取值范围是[0,+∞),则其值域就是
[0,+∞).
(3)图象关于 y 轴对称的函数是偶函数,图象关于原点对称的函数是奇函数,
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数的图像与性质一、根式与有理数指数幂1、根式（1（2①②2（1③0（2①②③二、幂函数1、幂函数的定形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()()2531m f x m m x--=--，当m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数；练习：已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数 （2）反比例函数（3）二次函数 （4）幂函数三、幂函数的图像幂函数ay x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数ay x =的图象（部分图像）2、单调性：（只研究第一象限的单调性）当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增；当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结：在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小；练习、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d>>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>题型分析：一、求定义域 1、函数23-=x y 的定义域为 .2、函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域3、求函数25y x =的定义域练习：1、若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 2、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，求则a 的取值范围二、单调性1、函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数23-=xy ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 2、已知幂函数25y x = ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性xOy ay x=by x = cy x=幂依次减小四、比较大小1、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．练习：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.52、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =； （３）()()f x g x <．综合训练1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ）A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 6．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝ax 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0bx cx11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）指数函数、对数函数、幂函数综合小练习1、函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．(－∞，1)∪(4，＋∞) C ．[1，4) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2、以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23、设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<5、已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．cb a 222>> C ．abc222>> D ．bac222>> 6、函数12log (32)y x =-（ ） A.[1,)+∞ B. 23(,)+∞ C.23[,1] D. 23(,1]7、已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点 A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．218、若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且 9、已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 10、函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 11、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是12、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________13、若函数f(x) = 1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.14、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．。
幂函数
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x=（3）2y x= （4）1y x-= （5）3y x=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m=-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练：已知函数()()2223mm f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
高中数学 2.3幂函数精品课件 新人教A版必修1
确定下来;
3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作
出
y
x
1 2
，y
x ，1
y x y x2 ， y x，3
y x2
，
的图像
增 [0, ) 增
上增
增 (0, )
上减
(, 0]
上减
(, 0)
上减
（1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
应用举例.
例3.比较下列各组数的大小
1)3
5 2
和3.1
5 2
2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
9
3)(
2
)
2 3
和(
3
)
2 3
3
4
1
1
0.93 和0.82呢？
应用举例.
例4.如图，幂函数 y xi (i 1,2,3,4,5)
在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 ,
C4 , C5 ，则 i 大小如何排列?
幂函数定义
幂函数定义幂函数是一种特殊的函数形式，可以用来描述数学中很多有趣的现象。
一般来说，它定义如下：设a为实数，n为正整数，则存在一个复数f(z)使得f(z) = z^n这就是我们所说的幂函数的定义。
幂函数的特征在分析函数f (z)之前，先来简单了解它的特征：（1）当a=0时，f (z)的值为0；（2）当a≠0时，f (z)的值为±a^n；（3）当a>0时，f (z)的值为+a^n；（4）当a<0时，f (z)的值为-a^n；（5）当a=n=1时，f (z)的值为1；（6）当a=1,n>1时，f (z)的值为1；（7）当a=-1,n>1时，f (z)的值为(-1)^n；（8）当n为偶数时，f (z)的值大于0；（9）当n为奇数时，f (z)的值等于a^n；不管n的大小如何，都可以用上述的特征来定义f (z)，并且可以用它来分析其他的函数的性质。
幂函数的性质幂函数有很多性质，主要有下面几种：（1）幂函数f (z)是可导函数，可以用变量x代入它，从而得到一个新的函数f (x)：f (x) = a^x；（2）幂函数满足“幂率定律”，即：f (mx) = (f (x))^m；（3）当n=2时，f (z)定义为z，所求函数为二次函数，它的图象是一个抛物线；（4）当n=3时，f (z)定义为z，所求函数为三次函数，它的图象是一个曲线；（5）当n>3时，f (z)的图象为一个类抛物线；（6）当n=0时，f (z)的值为1；（7）当n=-1时，f (z)的值为1/a；（8）当n=-2时，f (z)的值为1/a。
幂函数的应用幂函数可以用来描述不同类型的函数，从而解决复杂的问题。
它在数学及物理学、几何学、机械工程、电子计算机等领域都有着广泛的应用。
（1）在机械工程领域，幂函数用来描述特定机械设备的运动轨迹，从而推导出动力学性能，改进机器性能。
（2）在几何里，幂函数用来求解几何形状的一些特殊点，例如求抛物线的拐点。
2.3 幂函数 课件
)
x
否
⑤y x0 是
③y x2 x 否 ⑥y 1 否
2、若函数 f (x) (a2 3a 3)x2是幂函数，求a的值。
-1或4
规律 ❖ x 的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
练习1：已知幂函数f(x)的图像经过点（2，2），
试求出这个函数的解析式。
证明: 设所求的幂函数为 y x 函数的图像过 (2， 2)点
单调性 增
幂函数的性质
1
函数 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R
R
奇偶性 奇 偶
R
0,
(,0) （0， ）
R
0,
(,0) （0， ）
奇 非奇非偶 奇
单调性
,
增 (,0)减 （0， ）增
,增（0，
）增
(,0)减 （0， )减
公共点
(1,1)
幂函数的性质
课堂练习
1、下列函数不是幂函数的是（c ）
A y x By x 3 C y 2x D y x1
y C1 C2
C3
2、如图所示，曲线是幂函数 y x 在
第一象限内的图像，已知α分别取
1 1, 1, , 2
2
C4
四个值，则相应图像以此为 C1,C3 ,C4 ,C2
O
x
3、若幂函数y=f(x)的图像经过点（9,3），则f(25)= 5
2 2 ,
α log 2
1
2
1
log 2 2 2
1 2
f (x) x 2
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
23幂函数教学文档
例2.已知幂函数y=f(x)的图象过
点(2, 2 ),试求出这个函数的
解析式.
解：设所求幂函数 y xa ,
将点（2，2）代入解析式中
得2a 2
则a 1 . 2
1
因此所求函数为 y x 2 .
例3 证明幂函数 f (x) x在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
★注意区别幂函数与指数函数； ★掌握五个特殊幂函数的图象，便于研究幂函数
的性质。
作业: P82. A组 10.
观察下面几个具体问题，得出 y关于 x 的函数：
某人购买了每千克1元的蔬菜 x 千克，那么他需要支付 y 元；
❖若正方形的边长为 x ，而正方形的面积为 y ；
y x2
若立方体的边长为 x ，而立方体的体积为 y ；
y x3
若一个正方形的面积为x ，而这个正方形的边长为 y ；
1
y x2 x 某人 s 内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为y km s。
R
0,
偶
R 0, x xR且x 0 R 0, y yR且y 0
奇 非奇非偶
奇
单调性
增 x 0,时增 增 x ,0时减
增 x 0,时减 x ,0时减公共点来自1,1 想一想 ?
例1 试判断下列函数是不是幂函数:
√ y
1 x2
,
y x2 1,
y 2x2,
1
y √1, y x 2 .
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
23幂函数(王文乾)PPT课件
指出下列函数类型
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
研究下列函数的图像和 性质
1
y x , y x2 , y x3 , y x 2 , y x1
1
y x2 x
定义域
列表 描点 连线
x
0 1 49
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数 .
例3.已知函数f ( x) (m2 m 1)x2m3是幂函数， 求m的值
解 :因为f ( x)是幂函数
m2 m 1 1
解之得 : m 2或m 1
m 2或m 1
练习：
1、幂函数f ( x) x的图像经过点(2, 2 )，求的值
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y= x 0
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
幂函数的性质：
(1)所有幂函数在(0,)上都有意义，并且图像 都 过点(1,1)；
(2)若 0，则幂函数图像过 (0,0)，并且在区间
23幂函数
例2.证明幂函数f ( x ) x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
2 10 (4)( ) 、 （ ）、1 1. 2 7
2 3
2 3
4 3
练习
1）
1.3
2
0.5＜
1.5
0.5
5.1 ＜ 5.092 2）
3） 1.79 ＞ 1.81 4）
1 4
1 4
(2 a )
2 2 3 ≤
2
2 3
小结
1、幂函数的定义 及图象特征? k>0,在(0,+∞)上为增函数; 2、幂函数的性质 k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法 图象过定点(1,1)
§2.3幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她
需要支付p= w 元
yx
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S x 22 y a
V 3 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 y x 3 a
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 K<0 (0,+∞)上为减函数;
练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
1 内的图象，已知 k分别取 1,1, , 2 四个值， 2
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2.3幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜ω千克,那么她需要支付π=ω元，这里π是ω的函数;
2)如果正方形的边长为α,那么正方形的面积 σ=α2,
这里σ是α的函数;
3)如果立方体的边长为α,那么立方体的体积ς=α3,
这里ς是α函数;
4)如果一个正方形场地的面积为∑,那么这个正方
形的边长 α=∑1/2 这里α是 ∑的函数;
5)如果人τσ内骑车行进了1κμ,那么他骑车的平均
速度ϖ=τ-1 κμ/σ 这里ϖ是τ的函数.
以上问题中的函数具有什么共同特征？
新课讲解.
一.幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数
（ποωερ φυνχτιον），其中ξ是自变量， 是常数.
几点说明：
1) 中 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数
确定下来;
3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但
指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
新课讲解.
二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作出 ， ， ， ，
， 的图像
观察上述图象，将你发现的结论写在∏78的表格内
新课讲解.
二.幂函数的图象及性质
新课讲解.
二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+ ）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
2)当〈 ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且
在[0，+ )上是增函数
(从左往右看，函数图象逐渐上升)
当〈＜0时，幂函数在区间(0，+ )上是减函数.
(从左往右看，函数图象逐渐下降)
3)在第一象限内，当〈＜0时，当ξ向原点靠近时，图象在ψ轴的右方无限逼近ψ轴正半轴，当ξ慢慢地变大时，图像在ξ轴上方并无限逼近ξ轴的正半轴.
4)当〈为奇数时,幂函数为奇函数,
当〈为偶数时,幂函数为偶函数
应用举例.
例2.证明幂函数ψ=ξ3 在定义域上是增函数.
例1.证明幂函数 在定义域上是
增函数.
应用举例.
例3.比较下列各组数的大小
应用举例.
例4.如图，幂函数
在第一象限对应的图像分别是X1, X2 , X3 , X4 , X5 ，则 大小如何排列?
应用举例.
选讲.1)当 取不同的有理数时，讨论
幂函数 的定义域.
2)已知幂函数 ,
在区间(0,+ )上是减函数,求函数的解析式 并讨论其单调性和奇偶性
课堂小结.
1.幂函数的定义
2.5类典型幂函数的图像及性质
3.幂函数的4点性质
4.利用幂函数图像比较数与数的大小
5.掌握幂函数中指数的变化对图像影响 今日作业
1.书本∏79 习题
2.3 第1-3题
∏82复习题 A组第10题。