材料力学 -轴向拉伸和压缩

p lim ΔF ΔA
ΔA0
——M点处的总应力
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
p lim
ΔA0
ΔF ΔA
——M点处的总应力

一般而言，一点的总应力p既不与截面垂 直，也不与截面相切。习惯上将p分解为一 M 个与截面垂直的法向分量和一个与截面相 A 切的切向分量。法向分量称为正应力，用 表示；切向分量称为切应力，用 表示。 应力的正、负号约定：正应力 以拉应力 为正，压应力为负；切应力 以使所作用的微段绕其内部任 意点有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力 求截面上 M点的应力 包围 M 点取一微面积 A 设A上内力的总和为 F
ΔF A面积上内力的平均 pm 集度 ΔA pm——A面积上的平均应力
M
A
F
由于截面上内力的分布一般是不均匀的，如果让A趋于零， 则 pm 的枀限值即为M点处的内力集度，也称为m-m截面上M 点处的总应力
x＝0时， ζ(x) 0 x＝l时， ζ(x) ρgl
§2-1
概述
二、工程实例
A
F F F F F F F F
B
C
B
C
图2.1
F
A
B F
桁架结极
图2.2
§2-1
概述
三、本章研究要点
主要研究杆件拉伸或压缩时 的内力、应力、变形，通过试验 分析由不同材料制成的杆件在产 生拉伸或压缩变形时的力学性质， 建立杆件在拉伸或压缩时的强度 条件。
§2-2
轴力、轴力图
二、拉（压）杆横截面上的应力
拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。
1、实验：
取一等直圆杆，在其外表面上刻两条横截面平面的 轮廓线A、B和许多与轴线平行的纵线
A B
在两端施加一对轴向拉力 F
A F B
F
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
在两端施加一对轴向拉力 F B A
F A' F B' F
F
F
FN
x
FN (x)
l
x
G(x)
a
解：运用截面法，在距离自由端为x的截面处将杆截断， 取下段为脱离体，设G（x）为该段杆的重量，则
G(x) ρg Ax
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
x
FN (x)
l
ρgAl

FN图
x
G(x)
a
G(x) ρg Ax
b
FN (x) ρg Ax
F N3 30 30 - 20 AB段： 40kN FRA
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
§2-2
轴力、轴力图 FN
§2-2
轴力、轴力图
轴力图的作图步骤： ①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧； ③标注正负号、各控制截面处 FN 、单位及图形名称。 作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直 接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一 致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝 对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
数和。
§2-2
轴力、轴力图
四、轴力方程
——通常杆件上各截面处的轴力是不相同的，它是截面位置 x的函数，即FN＝FN（x），称为轴力方程
五、直接法作轴力图
直接法：轴向拉伸（压缩）杆件任一横截面的轴力，等于
该横截面任意一侧杆段上所有外力在轴线方向上投影的代 数和。
5kN 5kN + 8kN – 8kN 3kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 §2 — 2 概述 轴力 轴力图
目 录
§2 — 3 §2 — 4
§2 — 5 §2 — 6 §2 — 7
拉（压）杆截面上的应力 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
材料在拉伸与压缩时的力学性质 拉（压）杆的强度计算 拉（压）杆超静定问题
C
B F
F NBC 30 F
(a)
图2.7
AB
1 d 30 2 mm 2 4 4 141.5MPa
2
FN AB

100 10 N
3
-86.6 103 N BC 2 a 1002 mm 2 -8.66MPa
FN BC
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
例 题 ： 图 示 一 钻 杆 简， 图上 端 固 定 ， 下 端 自， 由 长 为 l， 截 面 面 积 为A，材料密度为ρ试 。 分 析 该 杆 由 自 重 引的 起横 截 面 上 的 应 力 沿杆长的分布规律。
x
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§ 2-3 拉（压）杆截面上的应力
内力是由外力引起的，仅表示某截面上分布内力向 截面形心简化的结果。而极件的变形和强度不仅取决 于内力，还取决于极件截面的形状和大小以及内力在 截面上的分布情冴。为此，需引入应力的概念。
F F F F
一、应力的概念 ——所谓应力是指截面上某点处单位面积内的分 布内力，即内力集度。
轴力、轴力图
m F m F
m
F FN
m m
FN m F
F
x
0
FN = F
§2-2
轴力、轴力图
FN FN
FN
二、轴力的符号约定
轴力方向以使所作用的杆微段拉伸为正； 压缩为负。即拉为正，压为负。 （正号 FN 轴力的指向是背离截面的，负号轴力的 指向则是指向截面的）。
F N >0 FN<0
三、轴力图
应力的单位：帕斯卡 (pa)、兆帕（Mpa）、吉帕（Gpa）
p
1帕=1牛顿 / 米2 ( N/m2 ) 1MPa =1N/mm2 = 106 Pa 1GPa = 109 Pa
注意：1、在谈到应力时，必须指明应力所在的平面及点的位置； 2、没有特别说明的情冴下，提到应力一般指正应力和切应力。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
轴力、轴力图 FN x
三、轴力图
3、轴力图的作图步骤： ①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧； ③标注正负号、各控制截面处 FN 、单位及图形名称。
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝 对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
FNII
ΣFx 0 ΣFx 0
FNI=50kN （拉力） FNII= -100kN
FNII
50kN
100kN II
（压力） ΣFx 0 FNII= -100kN （压力） |FN|max=100kN
FN图
+ 100kN
§2-2
I 50kN I I 50kN I 50kN 150kN II II 150kN II II
1、轴力图的意义：形象地表示整个杆件上轴力沿轴线的变化 情冴，确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，为强度 计算提供依据。 2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横 坐标（称为基线）表示横截面的位置； F 以垂直于杆轴线方向的纵坐标表示相应 N 横截面上的轴力值，绘制各横截面上的 轴力变化曲线。
x
§2-2
x的方程（轴力方程）
ΣFx 0
x＝0时， x＝l时，
FN (x) G(x) FN (x) 0 FN (x) ρg Al
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
x
FN (x)
l
ρgAl
ρgl

FN图

σ 分布图
x
G(x)
a
FN (x) ρg Ax
FN (x) ζ(x) ρgx A
轴力、轴力图
100kN
FNI
II
注：求解轴力时，一律先 假定为正方向，则结果是 正值则为拉力，是负值则 为压力，且与轴力的符号 约定相一致。
FNII
ΣFx 0 ΣFx 0
FNI=50kN FNII= -100kN
FNII
50kN
100kN II
ΣFx 0 FNII= 100kN （压力）
轴力、轴力图
m F m F
假想地将杆截为两部分
分离 留下左段为分离体 代替
m
F FN
m
以内力代替右段对左段的作用，绘分离体受力图。 内力合力的作用线与杆的轴线重合——轴力FN
平衡 对分离体列平衡方程
F
x
0
FN = F
§2-2 若取右段为分离体 代替 以内力代替左段对右 段的作用，绘分离体受力 图。 平衡 对分离体列平衡方程
ΣFx 0 FNII= -100kN （压力）
|FN|max=100kN
FN图
+ 100kN
II
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
§2-2
I 50kN I I 50kN I 50kN 150kN II II 150kN II II
轴力、轴力图
100kN
FNI
II
注：求解轴力时，一律先 假定为正方向，则结果是 正值则为拉力，是负值则 为压力，且与轴力的符号 约定相一致。
所有的纵向线都伸长，伸长量都相等，仍与轴线平行，而 横截面轮廓线A、B平移到A'、B'，仍为一与轴线垂直的 平面圆周线 结论：表面各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同 平面假设 ：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。 结论：由平面假设知，正应力在横截面上是均匀分布的