柯西不等式各种形式的证明及其应用之欧阳光明创编
柯西不等式各种形式的证明及其应用(一)
柯西不等式各种形式的证明及其应用(一)柯西不等式各种形式的证明及其应用1. 柯西不等式的原始形式证明•柯西不等式的原始形式为：对任意的实数序列a1,a2,...,a n和b1,b2,...,b n，有下列不等式成立：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)(b12+b22+...+b n2)•证明思路：1.定义辅助函数f(t)=(a1t+a2t+...+a n t)2−(a12t2+a22t2+...+a n2t2)。
2.利用二次函数的性质证明f(t)≥0，即可得到柯西不等式的原始形式。
2. 柯西不等式的向量形式证明•柯西不等式的向量形式为：对任意的n维向量a=[a1,a2,...,a n]和b=[b1,b2,...,b n]，有下列不等式成立：|a⋅b|2≤∥a∥2⋅∥b∥2•证明思路：1.将n维向量a和b表示为列向量形式。
2. 利用矩阵转置、乘法和内积的定义证明不等式成立。
3. 柯西不等式的积分形式证明• 柯西不等式的积分形式为：对任意的可积函数f (x )和g (x )，有下列不等式成立：|∫f b a (x )g (x )dx|2≤∫|f (x )|2b a dx ⋅∫|g (x )|2ba dx• 证明思路：1. 构造辅助函数ℎ(t )=∫(f (t )x +g (t ))2b a dt −∫|f (t )|2badt ⋅∫|g (t )|2b a dt 。
2. 利用积分和函数的性质证明ℎ(t )≥0，即可得到柯西不等式的积分形式。
应用一：线性代数中的向量内积• 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质。
• 例如，在证明向量的模长定义中，可以利用柯西不等式证明模长的非负性。
• 另外，柯西不等式也广泛应用于线性代数中的向量正交、投影等问题。
应用二：凸函数的判定• 柯西不等式可以用于判定函数的凸性。
•若函数f(x)在区间[a,b]上满足柯西不等式中的积分形式，即″(x)dx≥0，则f(x)为该区间上的凸函数。
柯西不等式的证明与推广应用
西不等式的证明过程以及其在不同领域的应用。
一、柯西不等式的证明柯西不等式的一般形式为：对于任意非负实数序列 {a_i} 和 {b_i} (i=1,2,...,n)，都有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) ≥ (a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n)^2当且仅当 a_i/b_i (i=1,2,...,n) 为常数时，等号成立。
证明过程如下：首先，我们构造两个向量 A = (a_1, a_2, ..., a_n) 和 B = (b_1, b_2, ..., b_n)。
计算向量 A 和 B 的点积，即 A·B = a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n。
根据向量的施瓦茨不等式（Schwarz Inequality），有 |A·B| ≤ ||A|| * ||B||，其中 ||A|| 和 ||B|| 分别表示向量 A 和 B 的模长。
将向量 A 和 B 的模长展开，得到||A|| = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)||B|| = sqrt(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)将 |A·B|、||A|| 和 ||B|| 的表达式代入施瓦茨不等式，整理后即得柯西不等式。
二、柯西不等式的应用柯西不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：线性代数：在求解向量空间中的角度、长度等问题时，柯西不等式可以提供有用的界限。
分析学：在证明一些数列或函数列的收敛性时，柯西不等式可以发挥作用。
例如，利用柯西不等式可以证明实数列的部分和有界性。
找到这些统计量的上下界。
最优化理论：在求解最优化问题时，柯西不等式可以作为目标函数的一个下界或上界，从而简化问题的求解过程。
柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的证明_柯西不等式
柯西不等式的证明_柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用
1.柯西不等式的证明：
柯西不等式的最常见的证明是基于构造内积的思路。
假设有两个n维
向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，我们可以定义它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
柯西不等式就是说，对于任意两个向量a和b，有，a·b，≤，a，b。
这个不等式可以通过构造内积的平方来进行证明。
具体的证明过程可以参考高等数学相关教材或参考资料。
2.柯西不等式的应用：
-线性代数：柯西不等式可以用来证明向量范数的性质，如欧几里得
范数和曼哈顿范数的非负性、三角不等式等。
-概率论：柯西不等式可以用来证明概率论中的一些重要定理，比如
马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。
-信号处理：柯西不等式可以用来证明信号处理中的一些重要性质，
比如能量守恒定理、奇异值分解等。
-函数分析：柯西不等式可以用来证明函数分析中的一些重要定理，
比如巴拿赫空间的完备性定理等。
-矩阵论：柯西不等式可以用来证明矩阵论中的一些重要性质，比如
矩阵的条件数、病态度等。
总之，柯西不等式是一条十分重要的不等式，具有广泛的应用价值。
它不仅是高等数学中的重要工具，还可以应用于其他学科的研究中。
通过
了解柯西不等式的证明和应用，我们可以更好地理解和运用它，进一步深
化数学和相关学科的学习。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用1.柯西不等式的证明：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)证明：设向量(x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)的内积为A，则有：A = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn考虑不等式(，x1，^2/，A， + ，x2，^2/，A， + ... + ，xn，^2/，A，) * (，y1，^2A + ，y2，^2/，A， + ... + ，yn，^2/，A，) ≥ 1根据乘法交换律，可以将上式化简为：(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2) * (，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2) ≥ ，A，^2由于A是内积，其绝对值不超过向量的模的乘积，即，A，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ...+ ，yn，^2)将不等式化简可得：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)2.柯西不等式的应用：2.1内积空间中的角度和长度：根据柯西不等式，可以得出两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积，即，A，≤ ，x，y，其中x和y是向量。
从而可以推出内积与向量的模的乘积的乘积的cosine值不超过1，即cosθ ≤ 1，其中θ是x和y之间的角度。
这表明柯西不等式可以用于计算向量的夹角。
2.2线性无关的证明：假设有n个非零向量(x1,x2,...,xn)，如果存在n维向量(a1,a2,...,an)，使得a1x1 + a2x2 + ... + anx_n = 0，其中a1,a2,...,an不全为零，则称向量组(x1,x2,...,xn)线性相关。
柯西不等式的证明、推广及应用
柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。
证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。
2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。
柯西不等式的证明及相关应用
柯西不等式的证明及相关应用一、柯西不等式的证明：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)证明过程如下：1. 首先构造一个关于t的二次函数f(t) = (at - b)^2，其中a和b为任意实数。
2. 将函数f(t)进行完全平方，得到f(t) = a^2t^2 - 2abt + b^23.根据二次函数的性质，可以发现f(t)≥0，即二次函数的图像在t轴上方或与t轴相切。
4.根据二次函数的图像性质，我们可以得到二次函数在顶点处取到最小值。
5.通过求解f(t)对t的导数等于0，得到当t=b/a时，函数f(t)取到最小值。
6. 将f(t)中的a和b代换成数列a和b的对应元素，我们得到f(t) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
7. 将t = b/a = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)代入f(t)，得到f(t) ≥ 0，即(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
8. 由于a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数，因此柯西不等式成立。
二、柯西不等式的应用：1.判定正交性：对于向量空间中的两个向量a和b，根据柯西不等式的等号情况可以判断a和b是否正交。
当且仅当(a·b)^2=，a，^2*，b，^2时，向量a和b正交。
2. 证明向量的长度：根据柯西不等式，可以推导出向量的长度公式。
设向量a = (a1, a2, ..., an)，则有，a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
(2021年整理)柯西不等式的证明与应用
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用,最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： C auchy’s inequality is a very important inequality， this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality， solving the most value, solving equations， trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula， better explains the Cauchy inequality。
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的形式、证明及其应用
柯西不等式的形式、证明及其应用作者：李斌来源：《中学生导报·教学研究》2013年第07期摘要：柯西不等式是高等数学中的重要内容，这一不等式的应用范围非常广泛，能够很多比较复杂的问题迎刃而解，掌握柯西不等式的证明及其应用，是对数学专业研究生阶段学习的一项重要要求，本文根据现有的研究资料，详细论述了柯西不等式的形式及其证明，并就柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题中的应用阐述了自己的意见。
关键词：柯西（Cauchy）不等式；证明；应用一、柯西不等式及其证明。
1.柯西不等式定理柯西不等式定理：设ai，bi∈R（i=1，2，3…，n），则∑ni=1a2i∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，当且仅当ai=λbi，即a1b1=a2b2=……anbn=λ等号成立。
这一不等式也就是所谓的为柯西不等式。
在学习和掌握这一不等式的过程中应该注意三个问题”第一，由于“∑ni = 1ai 2 = 0，∑ni = 1bi 2 = 0，∑ni=1aibi=0”情况之一出现时，不等式是单个然不成立的，因此，在下面的讨论中需要先假设∑ni = 1ai 2≠0，∑ni = 1bi 2≠0，∑ni=1aibi≠0都成立。
第二，柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式a1b1=a2b2=……anbn，并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
第三，柯西不等式在应用过程中相对于其它不等式的一个优势是，对任意的两组实数都成立，也就是说在应用的过程中对于任意两组数a1，a2，……an，b1，b2，……bn，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
2.柯西不等式证明柯西不等式的证明过程相对来说比较复杂，在证明的过程中有不同的证明方法，常见的证明方法主要有三种，具体的证明及过程如下：证明1：构造二次函数（1）当时n=1，右式=（a1b1），左式=a1 2b1 2，显然，左式=右式。
三元柯西不等式公式证明
三元柯西不等式公式证明咱们先来说说三元柯西不等式，这可是数学里挺有意思的一部分呢！三元柯西不等式是这样的：(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²。
要证明这个不等式，咱们可以从简单的思路入手。
想象一下，咱们在一个三维的空间里，有两个向量，一个是 (a₁, a₂, a₃) ，另一个是(b₁, b₂, b₃) 。
咱们先来看看向量的模长。
向量 (a₁, a₂, a₃) 的模长的平方就是a₁² + a₂² + a₃²，向量 (b₁, b₂, b₃) 的模长的平方就是 b₁² + b₂² +b₃²。
那这两个向量的数量积呢？就是 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
咱们知道，两个向量的数量积不会超过它们模长的乘积。
也就是说，|a·b| ≤ |a|×|b| 。
把这个放到咱们的三元柯西不等式里，两边平方一下，不就得到了(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²嘛！再给您举个例子来理解。
比如说，有个小朋友在做搭积木的游戏。
他有三种不同形状的积木，分别用长度 a₁, a₂, a₃来表示，另一个小朋友也有三种不同形状的积木，长度是 b₁, b₂, b₃。
然后他们比谁搭的积木长度总和更长。
按照三元柯西不等式，如果第一个小朋友的积木长度平方和乘以第二个小朋友的积木长度平方和，那肯定比他们两个积木长度对应相乘再相加的平方要大或者相等。
就好像第一个小朋友的积木组合方式特别多，可能性更丰富，总的长度可能性的范围也就更大。
咱们再从代数的角度来证明一下。
将 (a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) 展开，得到：a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₁²b₃² + a₂²b₁² + a₂²b₂² + a₂²b₃² + a₃²b₁² +a₃²b₂² + a₃²b₃²然后把 (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²展开，得到：a₁²b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ + 2a₁b₁a₃b₃ + a₂²b₂² + 2a₂b₂a₃b₃ +a₃²b₃²用前面展开的式子减去后面展开的式子，通过一系列的化简和整理，最终可以得到一个非负的式子，这就证明了前面的式子大于等于后面的式子。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西没有等式百般形式的说明及其应用之阳早格格创做柯西没有等式是由大数教家柯西(Cauchy)正在钻研数教分解中的“流数”问题时得到的.但是从履历的角度道，该没有等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 没有等式，果为，正是后二位数教家相互独力天正在积分教中推而广之，才将那一没有等式应用到近乎完备的天步. 柯西没有等式非常要害，机动巧妙天应用它，不妨使一些较为艰易的问题迎刃而解. 柯西没有等式正在说明没有等式、解三角形、供函数最值、解圆程等问题的圆里得到应用. 一、柯西没有等式的百般形式及其说明 二维形式正在普遍形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号创制条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233n n n n aa a ab b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号创制条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的说明： 三角形式222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑三角形式的说明： 背量形式背量形式的说明： 普遍形式普遍形式的说明： 说明：推广形式(卡我紧没有等式)：卡我紧没有等式表述为：正在m*n 矩阵中，各止元素之战的几许仄衡数没有小于各列元素 之积的几许仄衡之战. 大概者： 大概者推广形式的说明： 推广形式证法一： 大概者推广形式证法二：究竟上波及仄衡值没有等式皆不妨用均值没有等式去证， 那个没有等式本去没有易，不妨简朴说明如下： 付：柯西（Cauchy ）没有等式相闭说明要领：等号当且仅当021====n a a a 大概i i ka b =时创制（k 为常数，n i 2,1=）现将它的说明介绍如下：说明1：构制二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒创制即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 坐即1212n na a ab b b ===等号创制说明（2）数教归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 左式=()211a b 隐然 左式=左式 当2n =时， 左式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式仅当即 2112a b a b = 坐即1212a ab b =等号创制故1,2n =时 没有等式创制（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，没有等式创制 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 大概120k a a a ====时等号创制设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 大概120k a a a ====时等号创制即 1n k =+时没有等式创制概括（1）（2）可知没有等式创制 二、柯西没有等式的应用 1、巧拆常数证没有等式例1：设a 、b 、c 为正数且互没有相等.供证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为正数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证论断精确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互没有相等，所以没有克没有及与等∴本没有等式创制，证毕.2、供某些特殊函数最值 例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西没有等式推导面到曲线的距离公式. 已知面()00,x y P 及曲线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设面p 是曲线l 上的任性一面， 则0x x C A +B+= （1）12p p =（2）面12p p 二面间的距离12p p 便是面p 到曲线l 的距离，供（2）式有最小值，有由（1）（2）得：21200p p x y C≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式与等号 即面到曲线的距离公式即4、 说明没有等式例 3已知正数,,a b c 谦脚1a b c ++= 说明 2223333a b c a b c ++++≥说明：利用柯西没有等式又果为 222a b c ab bc ca ++≥++ 正在此没有等式二边共乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相闭问题例 4设p 是ABC 内的一面，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 说明：由柯西没有等式得， 记S 为ABC 的里积，则故没有等式创制.6、 供最值例5已知真数,,a b c ,d 谦脚3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试供a 的最值解：由柯西没有等式得，有 即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥- 解得，12a ≤≤== 时等号创制，代进111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西没有等式解圆程 例6正在真数集内解圆程 解：由柯西没有等式，得()()()()222222286248624xy z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①又()22862439x y y -+-=即没有等式①中惟有等号创制进而由柯西没有等式中等号创制的条件，得 它与862439x y y -+-=联坐，可得8、用柯西没有等式阐明样本线性相闭系数 正在线性返回中，有样本相闭系数()()niix x y y --∑指出1r ≤且r 越交近于1，相闭程度越大，r 越交近于0，则相闭程度越小.当前可用柯西没有等式阐明样本线性相闭系数.现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r≤当1r=时，()222111n nni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数.面(),i i x y n i 2,1=均正在曲线()y y k x x -=-上，r当1r→时，()222111n nni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i ii i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111n n ni i ii i j j i i i i i j na b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数. 此时，此时，()()i ii iy yb k x x a -==-，k 为常数面(),i i x y 均正在曲线()y y k x x -=-附近，所以r越交近于1，相闭程度越大 当0r→时，(),i i a b 没有具备上述特性，进而，找没有到符合的常数k ，使得面(),i i x y 皆正在曲线()y y k x x -=-附近.所以，r 越交近于0，则相闭程度越小.9、闭于没有等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几许背景 几许背景：如图，正在三角形OPQ中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP+=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代进余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ大概.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 果为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西没有等式的相闭真质简介（1）赫我德(Holder)没有等式当2==q p 时，即为柯西没有等式.果此，赫我德没有等式是柯西没有等式更为普遍的形式，正在分解教中有着较为广大的应用.（2）仄里三角没有等式（柯西没有等式的等价形式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 不妨借帮其二维形式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++去明白，根据三角形的二边之战大于第三边，很简单考证那一没有等式的精确性.该没有等式的普遍形式ppn n ppppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++称为闵可妇斯基（Minkowski ）没有等式.它是由闵可妇斯基正在对付n 维空间中的对付称凸几许体定义了一种“距离”的前提上得到的，即对付于面),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pni pi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可妇斯基坐脚于那一没有等式树坐了相映的几许，修坐了一种类似于新颖度量空间的表里，即真变函数中的赋范空间前提.那从另一个正里体现了柯西没有等式的歉富数教背景.。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用引言柯西不等式（Cauchy’s inequality）是数学中一项重要的不等式，它在多个领域中得到了广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的几种常见形式的证明，并探讨其在数学分析、概率论和信号处理等领域的应用。
一. 柯西不等式的基本形式下面是柯西不等式的基本形式：定理1：对于任意两个n维向量a=(a1,a2,...,a n)和b=(b1,b2,...,b n)，有如下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+a n b n)2≤(a12+a22+...+a n2)⋅(b12+b22+...+b n2)证明我们可以用多种方法证明柯西不等式的基本形式，其中最常见的方法是使用向量的内积。
方法一我们首先定义向量a和b的内积为<a,b>=a1b1+a2b2+...+a n b n。
根据向量内积的性质，我们可以将柯西不等式写成如下形式：<a,b>2≤||a||2⋅||b||2其中||a||2=a12+a22+...+a n2表示向量a的模的平方。
由于平方根函数是单调递增的，所以不等式的成立与不成立性质不改变。
因此，我们可以将证明目标转化为证明以下形式的不等式：<a,b>2≤<a,a>⋅<b,b>方法二另一种证明柯西不等式的基本形式的方法是利用二次函数的性质。
设f (t )=(a 1t +b 1)2+(a 2t +b 2)2+...+(a n t +b n )2，其中t 是实数。
如果对于任意t ，函数f (t )都大于等于零，则不等式成立。
我们来计算f (t )： f (t )=∑(a i 2t 2+b i 2+2a i b i t )n i=1=∑a i 2n i=1t 2+∑b i 2n i=1+2t ∑a i n i=1b i由于任何一个实数的平方都大于等于零，所以第一项和第二项都大于等于零。
而根据数列的有序性质，∑a i n i=1b i ≤√(∑a i 2n i=1)⋅(∑b i 2n i=1)，不等式成立。
均值不等式的证明方法之欧阳歌谷创编
柯西证明均值不等式的方法欧阳歌谷（2021.02.01）by zhangyuong （数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。
一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥:一些大家都知道的条件我就不写了我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：这样的步骤重复n 次之后将会得到 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111由这个不等式有n n n n nn n n n n A x x x A x x x A n nA A 2121212221)..(..2)2(--=≥-+=即得到 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：例2：这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：例3：要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 其实由均值不等式，以及函数1()ln 1x x e f x e +=-是在R 上单调递减因此我们要证明：证明以下引理：所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen: )2(2)()(2121x x f x f x f +≥+，则四维： 一直进行n 次有)2 (2)(...)()(221221n n n n x x x f x f x f x f +++≥+++, 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++======++......;,...,2122111 有)()2)2((2)()2()(...)(1A f A n nA f A f n x f x f n n n n n =-+≥-+++所以得到所以基本上用Jensen 证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jensen 的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件。
柯西不等式的证明和应用
摘要：柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式灵活多样.虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美.本文归纳总结了它的几种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的一些形式，证明方法和应用，所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.关键词：柯西不等式，证明，联系，应用Abstract:.Cauchy Inequality in mathematics is a very important inequality, which in different fields has different forms. Cauchy Inequality has an extremely wide range of applications in every branch of mathematics and proving. It has many branches of different forms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows the harmony and beauty of mathematics. This article summarizes its several types, proofs and applications in the Elementary Algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variables and probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fully embody the mathematical connection of between fields, penetration and uniformity.Key words:Cauchy Inequality,Proving,Contaction, Application目录1.引言2．柯西不等式的形式和证明2.1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明2.2柯西不等式在数学分析中的形式和证明2.3柯西不等式在高等代数中的形式和证明2.4柯西不等式在复变中的形式和证明2.5柯西不等式在概率论中的形式和证明3.柯西不等式每种形式间关系4.柯西不等式的应用总结参考文献感谢1. 引言柯西不等式是大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中“留数”问题时得到的, 因而被命名为柯西不等式.柯西(Cauchy, 1789－1857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职.由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒.他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名.他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究, 并获得了许多重要成果, 著名的柯西不等式就是其中之一,但从历史的角度看, 该不等式应当命名为Cauch - Buniakowsky - Schwarz 不等式.因为这一不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之, 并应用到近乎完善的地步.2. 柯西不等式的形式和证明[]121⋅柯西不等式在初等代数研究中的形式,,1,2...i i a b R i ∀∈=()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤当且仅当存在不全为零的常数k 使i i ka b =时，等号成立（n i 2,1=）证 这定理在120a a === 或120b b === 时明显成立，所以在该证明中 不妨设12,,n a a a 中至少有一个不为零，21,,n b b b 中也至少有一个不为零。
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柯西不等式各种形式的证明及其应用欧阳光明（2021.03.07）柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明： 三角形式三角形式的证明： 向量形式222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑向量形式的证明： 一般形式一般形式的证明： 证明：推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。
或者： 或者推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nn n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212n na a ab b b ===时等号成立证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()2222211221212k k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ====22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A + 当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为正数且互不相等。
求证：2222a b b c a ca b c++++++. a b c 、、均为正数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论正确，只需证：又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相等，所以不能取等∴原不等式成立，证毕。
2、求某些特殊函数最值例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B +=()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得：1200p p x y C≥A +B+ 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、 证明不等式例 3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++ 故2223333a b c a b c ++++≥5、 解三角形的相关问题例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 证明：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则 故不等式成立。
6、 求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有 即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤== 时等号成立，代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624xy z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①又()22862439x y y -+-= 即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得8、用柯西不等式解释样本线性相关系数 在线性回归中，有样本相关系数()()niix x y y --∑，并指出1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大，r 越接近于0，则相关程度越小。
现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑，由柯西不等式有，1r ≤当1r =时，()222111nnni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i i i iy y b k x x a -==-，k 为常数。
点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r当1r →时，()222111nnni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i iii i i a b ab===-→∑∑∑而()()22221111nnni i ii i j j i i i i i j na b ab a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数。
此时，此时，()()i i i iy y b k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相关程度越大当0r →时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近。
所以，r 越接近于0，则相关程度越小。
9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何背景几何背景：如图，在三角形OPQ 中，a P ,(则 ,,2222d c OQb a OP +=+=.)()(22d bc a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理222+=OQ OP PQ 简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.柯西不等式的相关内容简介（1）赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式。
因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。
（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维形式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。
该不等式的一般形式pp n n p p ppn ppppn ppb a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。
它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pni pi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。
这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。