高中数学必修一函数的基本性质最大小值课件
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3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上 单调递增 或 单调递减 ，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的 单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域 上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若 本 例 (2) 中 “ 定 义 域 ( － ∞ ， ＋ ∞)” 改 为 “ 定 义 域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三 函数单调性的应用 【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定， 与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关 系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1， 则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
人教A版高中数学必修第一册《函数的基本性质》课件
f (x) 在区间 D 上是增函数；
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
f (x) 在区间 D 上是减函数.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
因此， f (x) x 2 在 2, 上是增函数． x
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修函第数一册 的 基《本函性数 质的基》本课 性件质》 第1课 时课件 （共11 张ppt）
课堂小结
函数的单调性
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
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人教A（2019版）高一上
3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质》课 件
学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性．
人教A版高中数学必修第一册《函数的 基本性 质的 基本性 质》课 件
例题讲解
例
2.证明函数
f
(x)
1 x
在
0
,
上是减函数．
证明： x1, x2 0, ，且 x1 x2 .
则 x1 x2 0 ，且 x1x2 0 ．
所以
f (x1 )
f (x2 )
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x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
f (x) 在区间 D 上是减函数.
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因此， f (x) x 2 在 2, 上是增函数． x
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课堂小结
函数的单调性
x1, x2 D ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说
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3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
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学习目标
1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性．
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例题讲解
例
2.证明函数
f
(x)
1 x
在
0
,
上是减函数．
证明： x1, x2 0, ，且 x1 x2 .
则 x1 x2 0 ，且 x1x2 0 ．
所以
f (x1 )
f (x2 )
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第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件
3 f2.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？ 【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x， 所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目 导引
【红对勾】高中数学 1.3.1.2函数的最大(小)值课件 新人教版必修1
通法提炼 1运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法， 特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法. 2①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之 间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点 值的取舍.
求f(x)＝
x 在区间[2,5]上的最值． x－1
解：任取2≤x1<x2≤5， x1 x2 则f(x1)＝ ， f(x2)＝ ， x1－1 x2－1 x1－x2 x2 x1 f(x2)－f(x1)＝ － ＝ ， x2－1 x1－1 x2－1x1－1 ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0. ∴f(x2)<f(x1)．
通法提炼 ①画出函数y＝fx的图象；,②观察图象，找出图象的 最高点和最低点；,③写出最值，最高点的纵坐标是函数的 最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
1 0<x<1， 求函数f(x)＝x 的最值． x1≤x≤2
解：函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1.无最大值．
存在x0∈I，使得f(x0)＝N ，就称N是函数y＝f(x)的最小
值，记作f(x)min＝N.
1．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？ 提示：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1， 所以f(x)的最大值不是1，而是0.
2．函数的最值与函数的值域有什么关系？ 提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一 定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最 大(小)值就是闭区间两端点的值．
第一章
集合与函数的概念
1.3
函数的基本性质
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“ 对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的 区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有 ”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞ f(x2)．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－ －fx2x2>0.对减函数的判断，对任意 x1<x2，都 有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 fxx11－ －fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)
【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明： 在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2
1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，
1
−
+ 1 −
2
1 2
2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2
新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件
－m2－15，0≤m≤2.
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－ －415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？ 【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？ 【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题 【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－ －415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？ 【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？ 【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题 【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]
高中数学人教A版必修第一册3.2函数的最值(课件)
人教A版高中数学必修第一册
函数的基本性质
——函数的最值
复习回顾
1.函数的单调性
一般地，设函数()的定义域为，区间I⊆D:
如果∀1 , 2 ∈ ，当1 < 2 时，都有
(1 ) < (2 )，那么就称函数()在
区间上单调递增。（如右图）
y
y f ( x)
f ( x2 )
6]上单调递减。
x 1
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与
最小值。即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值
为0.4.
课堂练习
2x＋1
1.已知函数 f(x)＝
.
x＋1
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20
15
10
5
o
14.7
当t = = 1.5 时，函
2 (-4.9)
数有最大值
1 2 3
4
t
4 (-4.9) 18 - 14.7 2
h=
29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此
时距离地面的高度约为29m.
例题讲授
例2 已知函数 f ( x) 2 ( x [2，
所示，则此函数的最小值、最大值
分别是(
)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
1
D. ，2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：C
例题讲授
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它到达最高点
时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间
函数的基本性质
——函数的最值
复习回顾
1.函数的单调性
一般地，设函数()的定义域为，区间I⊆D:
如果∀1 , 2 ∈ ，当1 < 2 时，都有
(1 ) < (2 )，那么就称函数()在
区间上单调递增。（如右图）
y
y f ( x)
f ( x2 )
6]上单调递减。
x 1
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与
最小值。即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值
为0.4.
课堂练习
2x＋1
1.已知函数 f(x)＝
.
x＋1
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20
15
10
5
o
14.7
当t = = 1.5 时，函
2 (-4.9)
数有最大值
1 2 3
4
t
4 (-4.9) 18 - 14.7 2
h=
29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此
时距离地面的高度约为29m.
例题讲授
例2 已知函数 f ( x) 2 ( x [2，
所示，则此函数的最小值、最大值
分别是(
)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
1
D. ，2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：C
例题讲授
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它到达最高点
时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间
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高中数学必修一1.3.1函数的基本性质 最大（ 小）值 课件(共22张PPT)
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
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个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
是函数f (x)的一个
.
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例2
已经知函数y＝
x
2
1
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
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例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
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函数最小值概念：
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
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讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
例2
已经知函数y＝
x
2
1
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O 1 2 3 4 5 6y
例3 已知函数f(x)＝ x2 2x a ，x∈[1,+∞). x
(Ⅰ)当a＝ 1 时，求函数f ( x)的最小值. 2
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立，
试求实数a的取值范围.
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高中数学必修一1.3.1函数的基本性质 最大（ 小一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
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1.3 函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
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函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
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函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
2.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ 2 .
3
(1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
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函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
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函数最大值概念：
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：