求值域的几种常用方法

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函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

求函数值域的几种常用方法

求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。

1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。

通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。

例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。

2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。

对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。

通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。

需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。

3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。

例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。

另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。

4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。

如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。

可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。

5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。

例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。

通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。

需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。

有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。

最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。

求值域的10种方法

求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。

通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。

这些值将构成函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。

这些纵坐标的集合构成了函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。

然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。

4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。

这些纵坐标的集合构成函数的值域。

5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。

这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。

6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。

极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。

函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。

待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。

求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。

几种常用的求值域方法

几种常用的求值域方法
求值域是指函数在定义域上所能取得的所有可能的值的集合。

在数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。

下面是几种常用的求值域方法：
1.图像法：对于一些简单的函数，我们可以通过绘制函数的图像来直观地确定函数的值域。

通过观察函数的图像，我们可以判断出函数在定义域上所能取得的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

2.分析法：对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的特点来求出它的值域。

例如，对于一个多项式函数，我们可以通过求导数和求极值来确定函数的值域。

对于一个有理函数，我们可以通过求解不等式来确定函数的值域。

3.奇偶性：对于一些具有特定奇偶性质的函数，我们可以通过观察函数的奇偶性来确定函数的值域。

例如，对于一个奇函数，它的值域将关于原点对称；对于一个偶函数，它的值域将关于y轴对称。

4.上下界：如果一个函数的定义域有上下界，那么函数的值域也会有上下界。

我们可以通过求解极限来确定函数的上下界，并进而确定函数的值域。

5.距离法：对于一个与其他对象之间存在一定距离关系的函数，我们可以通过计算函数值与目标值之间的距离来确定函数的值域。

例如，对于一个平面上的点到原点的距离函数，它的值域将为非负实数集。

这些求值域的方法在不同的情况下都可以起到一定的作用。

在实际问题中，我们可以根据具体的函数形式和给定的条件选择合适的方法来求解函数的值域。

函数值域的八大求法

函数值域的八大求法方法一：观察法例1. 求函数2x 4y -=的值域。

解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。

故此函数值域为]2,0[。

方法二：不等式法例2. 求函数)0x (x )1x (y 222≠+=的值域。

解析：4x 1x 2x 1x 2x x )1x (y 22224222≥++=++=+= ，∴此函数值域为),4[+∞。

方法三：反函数法例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。

解析：由2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。

由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。

∴此函数值域为),25[)1,(+∞⋃-∞。

方法四：分离常数法例4. 求函数6x 13x 6)1x (6y 2422+++=的值域。

解析：：6x 13x 66x 12x 66x 13x 6)1x (6y 24242422++++=+++=25242511x 613x 6116x 13x 6x 122242=-≥++-=++-=。

从而易知此函数值域为]1,2524[。

评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。

注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c()a c ,(+∞⋃-∞。

方法五：判别式法例5. 求函数1x x 1x y 22--+=的值域。

解析：原式整理可得0)1y (yx x)1y (2=+---。

当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。

当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=∆，解得552y 552y -≤≥或。

综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞⋃--∞。

评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。

方法六：图象法例6. 求函数1x 1y -=)0x (1≥-的值域。

解析：作出此函数的图象，如下图所示。

可知此函数值域为),1(]2,(+∞-⋃--∞。

求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法详解函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

求函数值域的方法有几种常见的途径，包括图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等。

下面详细介绍这几种方法：1.图像法：通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域。

通过观察图像的上下界限以及函数的单调性，我们可以大致确定函数的值域。

这种方法适用于简单的函数，特别是连续的函数。

但对于复杂的函数，这种方法可能不太可行。

2.公式法：有些函数可以通过一些数学公式来表示，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。

通过观察这些公式的特点，我们可以得到函数的值域。

例如，指数函数的值域是(0,+∞)，对数函数的值域是(-∞,+∞)等。

通过数学推导和分析，我们可以得到更复杂函数的值域。

3.定义域分析法：通过分析函数的定义域和性质，我们可以推断出函数的值域。

例如，当函数的定义域为有界闭区间时，值域也是有界闭区间。

当函数的定义域是无界，但函数是有界的，值域也是有界的。

当函数具有对称性或周期性时，我们可以根据这些性质来推断函数的值域。

4.求导数法：对于可导的函数，我们可以通过求导数来研究函数的单调性。

通过研究导数的正负情况以及极值点，我们可以确定函数的值域。

当导数为正时，函数递增，值域是无穷大。

当导数为负时，函数递减，值域是无穷小。

当导数的正负变化时，函数具有极值点，这些点可能是函数值域的边界。

在求函数值域时，我们还可以结合使用以上多种方法，以得到更准确和完整的结果。

同时，需要注意的是，有些函数的值域是无法用简单的数学方法来确定的，这时我们可以利用数值计算和逼近方法来估算函数的值域。

总之，求函数值域是函数分析中的一个重要步骤，可以帮助我们了解函数的性质和行为。

通过应用图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等方法，我们可以推断和确定函数的值域。

不同的函数可能适用不同的方法，因此需要根据具体情况综合应用多种方法来进行分析。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一．直接法〔观察法〕：对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求以下函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++〔[1,1]x ∈-〕的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】此题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，此题为：0)(≥x f 。

例4．假设,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】此题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域常见的五种方法

求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域．解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ．当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ．又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（．二、配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域．解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞．三、单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ．又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ．又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ．四、反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域．解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、换元法例5 求函数x x y --=1的值域。

解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。

求函数值域的十三种方法

求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。

下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。

例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。

例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。

通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。

例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。

通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。

例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。

通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。

例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。

通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。

例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。

通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。

例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。

通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。

例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。

九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。

通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。

求函数值域的四种方法

求函数值域的四种方法一、观察法。

1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。

对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。

比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。

这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。

1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。

这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。

二、配方法。

2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。

拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。

因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。

这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。

2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。

由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。

这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。

2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。

三、换元法。

3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。

例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。

这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。

这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。

这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。

3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。

求函数值域的三种方法

题较为复杂，需要同时用到多种方法才能使问题获
解，同学们在解题时要善于分析，注意随机应变，优化
解题的方案.
（作者单位：新疆哈密市第三中学）
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，
{ } ∴原函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域为
y|y
≠
-
1 2
.
该函数为分式的形式，需运用分离常数法来解答.
首先将原函数化简，使常数与变量分离，由于该函数
的分母不为 0，便能快速求得函数的值域为
{ } y|y
≠
-
1 2
.
除了上述这三种方法，求函数值域的技巧还有很
多，比如不等式法、配方法、开方法等.有的函数值域问
变量分离为
y
=
a c
+
b
-
ad c
cx + d
(ad
≠
bc)
的形式，求得分式
部分的值域，便可快速得到函数的值域.
例
3.求函数
y
=
1-x 2x + 5
的值域.
解：∵y =
1-x 2x + 5
=
-
1 2
(2x
+
5)
+
2x + 5
7 2
=
-
1 2
+
7 2 2x + 5
，
7
又∵
2 2x +
5
≠
0
，∴
y
≠
-
1 2
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求函数值域的三种方法

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。

当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。

因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。

常见求值域的方法

常见求值域的方法在数学分析中，求值域是一项基础且重要的工作。

值域是指函数在一定定义域内所有可能输出值的集合。

掌握常见的求值域方法，对于深入理解和应用函数概念至关重要。

一、直接法直接法是求值域最直观的方法，适用于简单函数。

通过观察函数的图像或表达式，直接确定其值域。

例如，对于函数f(x) = x，由于其图像为开口向上的抛物线，故值域为[0, +∞)。

二、换元法换元法适用于复合函数求值域。

通过设变量t，将复合函数转化为关于t的一元函数，进而求出t的取值范围，最后得到原函数的值域。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，设t = sin(x)，则t的取值范围为[-1, 1]，因此f(x)的值域也为[-1, 1]。

三、单调性法单调性法适用于单调函数。

首先判断函数的单调性，然后根据单调性确定值域。

对于单调增函数，其值域为函数在定义域内的最小值与最大值；对于单调减函数，其值域为函数在定义域内的最大值与最小值。

四、不等式法不等式法适用于具有不等式表达式的函数。

通过构建不等式，求解不等式的解集，进而得到函数的值域。

例如，对于函数f(x) = (x + 1)/(x - 1)，通过构建不等式(x + 1) ≤ (x - 1)，解得x ≤ 0 或x ≥ 2，从而得到值域为(-∞, -1]∪ [1, +∞)。

五、导数法导数法适用于可导函数。

通过求导数，分析函数的极值和拐点，进而确定值域。

例如，对于函数f(x) = x - 3x，求导得到f"(x) = 3x - 3，令f"(x) = 0，解得x = ±1。

通过分析得知，当x = -1时，f(x)取得最大值2；当x = 1时，f(x)取得最小值-2。

因此，值域为[-2, 2]。

六、分段讨论法分段讨论法适用于分段函数。

对于不同定义域内的函数表达式，分别求值域，然后取并集得到最终的值域。

总结：掌握以上六种常见的求值域方法，可以帮助我们更好地理解和应用函数，为解决实际问题提供有力支持。

求值域的方法有哪些

求值域的方法有哪些
配方法、常数分离、逆求法、换元法、拆分法、单调性法、数形结合法、判别式法。

1、值域的综合性极强，真正能把函数值域学好的人很少，把值域学好了，你的函数将会达到一个很高的水准！所以，务必要重视值域，对于二次函数y=ax＋bx＋c(a≠0)来说，只要知道开口方向和对称轴，就可以知道它的单调性；单调性知道了，值域也就出来了。

2、若fx的解析式是整式，则其定义域为R，若fx的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合，若fx的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合，若fx的解析式是指数式，若fx指数为负指数或0指数，则其底数不为，若fx指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1，若fx的解析式是对数式，则真数应大于，若fx底数含未知数，则底数大于且不等于。

3、在解决函数问题时，要注意定义域优先的原则，要注意函数的定义域不能是空集，一切函数的问题都要在其定义域内研究和解决，例如求函数的单调区间，求函数的值域或最值等都应应先求函数的定义
域。

求值域的种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。