随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a ）分别写出随机变量和的分布密度（b ）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a ）试求和的相关系数；（b ）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a ）利用的独立性，由计算有：（b ）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T 的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a ）求的均值、方差和相关函数；（b ）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a ）（b ）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换： ，及雅克比行列式：我们有 的联合分布密度为：因此有： 且V和 相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4） 由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1）当i=j时；否则令，则有（2）第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有：，因此： P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为： 由此可得特征值为：，及特征向量：，则有： 因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。

如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。

根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13．解：画出状态转移图，有：（1）令矩阵P113/14. 解：画出状态转移图，有：P113/16．解：画出状态转移图，有：（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。

第六讲作业：P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。

P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P115/19．解：见课上讲稿。

P116/21．解：记，则有：（1）因为：(A)当时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：当且时，有：由（A）可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即{是一齐次马氏链。

一步转移矩阵为：（2）画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：（3）由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。

因此我们有：随机过程习题解答（二）P228/1。

证明：由于t s<，有其中所以证毕。

P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N是一Poission过程，由母函数的定义，有：（2）有上面（1）的结果，可得：（3）当t∆充分小时，由于：因此，当1<s时，有：由（2）的结果，我们有：P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：（2）由于)()(s t Nψ是随机过程)(t N的母函数，且ts t N e s )1()()(-=ψλ，将函数ts e )1(-λ关于)1(<s s 展开成级数形式，我们可得： 由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有： 令{})(11u e E Y Y u i φ=，则有：[]{}1)(exp !))(()(110)(-=⋅=Φ∑∞=-u t e n u t u Y n t nY t X φλφλλ （*）若),2,1( =n Y n 的概率分布为：则{}ui u i Y u i Y e e e E u nn-⋅++⋅+==212211)(λλλλλλφ （**）将（**）代入（*），我们有： P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。

P231/10. 解：由于 因为)(t X i 的母函数为：{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ，由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：()(){}∏=-++=ψ=ψ31321)()(1ex p )()(i t Xt X t s s s λλλ， 所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即 因此我们有：P231/12. 解：（1）由 令→∆t ，有解得（2）由（1）知，)(t X 服从参数为rP λ的泊松分布。

P232/15. 解：（1）以)(t ξ表示t时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({≥t tξ是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{=S，Q矩阵为：（2）令：则前进方程为：（3）令：写出福克－普朗克方程：即有：做Laplace 变换，令： 则有： 由上解得： 其中： 因此求 即可。

（4）tt t B A B A e e e t T P t T P t T t T P λλλ2}{}{},{---==>>=>>P233/16. 解：（1）令)(t ξ表示t时刻系统中正在用电的焊工数，则ξ是一马氏过程，其状态空间t}0t{≥(),为：},,2,1,0{mS=。

（2）Q矩阵为：（3）令：写出福克－普朗克方程：（4）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：由此可得： 即有：由此可以求得：由 1=∑=mn n p ，即可确定0p ，最终得到所要的结果。

P233/17. 解：（1）由于：)0,,(,>=+=a n a n n n μλμμλλ可以得到此过程的Q矩阵：令：写出福克－普朗克方程： 初始条件：)(0)0(,1)0(00n j p p j n ≠==。

（2）由数学期望的定义： 由此，我们有：即可得到描写)(t M ξ的微分方程：（3）解上面的微分方程，我们有：P233/19. 解（1）根据题意得到Q矩阵为由福克－普朗克方程得： （2） 而 因此 左边=∑∑∞=∞=+-01)()(n nn n n n u t p ut p λλ右边=∑∑∑∞=∞=+∞=-=-=-01)()()()1(),()1(n nn n n n n nn u t p ut p u t p u t u G u λλλλ左边=右边，证毕。

（3）将)]1([),(-=-u e f et u G t u μμλ代入左边。

（4）由1)0,(=u G ，有即 进而有 所以 （5）令x e t =--)1(μμλ，由(4)的结论其中nu 对应的系数为所以 （6）（7）由(5)的结论，知 P236/24解： (1) 根据题意得Q矩阵由平衡方程，有 因此有 αμλ=+i i p p 1，进而),2,1,0(0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n p p nn αμλ因为所以，当1<λ时系统平稳。

αμ(2)前)1(-n次以概率α-1重新排队，第n次以概率α离开，所以()αα⋅--11n即为所求。

26．解(1)设系统状态为不工作机器的数量，则{}3,2,1,0=S，得Q矩阵列出平衡方程其中：81101==μλ解得 所以P237/28. 解：（1）设泊松分布第1-n 个事件发生与第n个事件发生的时间间隔nX 的特征函数为：)(u n X Φ，则有：由于}{n X 是独立同分布的，根据∑==nk kn X S 1以及特征函数的性质可知：因此可知nS 是服从参数为μn 的泊松分布，即： （2）由：}{}{)})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+可知：附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式： 一阶线性方程的一般形式：称：或：为一阶拟线性方程的特征方程。

由此方程确定的曲线))(),(),((t z t y t x为特征曲线。

一阶拟线性方程的特征方程的解),(y x u为积分曲面。

有以下定理：定理：若特征曲线 上一点),,(0000z y x P位于积分曲面),(:y x u u S=上，则γ整个位于S上。

初值问题：为给定初始曲线：))(),(),((),,(:s h s g s f z y x=γ，s参数。

则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解),(y x u z=，使满足))(),(()(s g s f u s h≡。

我们有以下定理。

定理：设曲线))(),(),((),,(:s h s g s f z y x=γ光滑，且22≠'+'g f ，在点))(),(),((),,(0000000s h s g s f z y x P ==处行列式 又设),,(),,,(),,,(z y x c z y x b z y x a 在γ附近光滑，则初始问题：在参数0s s =的一邻域内存在唯一解。

例：已知初始曲线10,2,,:<<===s sz s y s x γ，求初值问题：解：由于：解常微分方程的初值问题：得：由后两式解出t s,，并代入第一式，解得：P233/9. 解初值问题：由于：解常微分方程的初值问题：解得：在上面式子中消去参数τ,s，得初值问题的解：P311/1. 解：（1）给定1212,k k t t≥>时，有（2）任取,0,21>t t我们有：所以Poission过程不是平稳过程。