平面向量的线性运算---说课稿

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平面向量、向量的线性运算《向量的加法》说课稿

平面向量、向量的线性运算《向量的加
法》说课稿
《向量的加法》说课稿一．教材的分析与处理1.教材分析：向量的加法是苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学4》的第二章平面向量、第二节向量的线性运算的第一课时，既是对平面向量这一章第一节、向量的概念及其表示的巩固和应用，也是向量运算的起始课，对向量的减法运算的定义，有直接的影响，同时也对平面向量的后继课程、以及未来将要学习的空间向量的课程，有一定的影响。

由以上分析，我得出这样的认识，本节课教学内容应该是关于向量的理论知识体系中，比较靠前的、起到承上启下作用的一个知识环节。

2.教材处理：①根据教材分析，我将在教学过程中详细具体地落实承上启下的作用。

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1 /01/clip_image001.gif 共线向量的加法。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。

本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。

二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。

2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。

- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。

(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。

- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。

3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。

- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。

(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。

- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。

(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。

- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。

(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。

四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。

《平面向量》说课稿(附教学设计)

《平面向量》说课稿一、教材内容分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、教学目标分析根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标⑴运用实例，激发爱国热情；⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；三、教学分析本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。

为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。

统编人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿

（新）人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第六章第1节《平面向量的概念》。

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线，平面、曲面以及高维空间数学同题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题:提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.第2节主要讲平面向量的运算。

本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．平面向量及其应用。

内容包括：向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。

理解两个平面向量共线的含义。

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

二、教材分析。

对于“运算"学生并不陌生，他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等，针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等，从而建立相应的运算体系，平面向量运算内容关注了以下两个方面: 一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理解向量运算；二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.本节在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
教学准备
教学目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;
教学重难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具
投影仪
教学过程
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二(P94—95)略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第2、3题
课后小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 课后习题
作业：
P103第2、3题
板书
略。

平面向量的概念及线性运算教案

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过程行为行为意图间（2）BC BA -=______________，（3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳72 *创设情境兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考74 *动脑思考探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结归纳思考归纳带领学生分析a a aaOAB C过程行为行为意图间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　．【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细分析讲解关键词语理解记忆理解记忆引导启发学生得出结论78 *巩固知识典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调含义说明思考求解领会注意观察学生是否理解知识点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。

2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。

教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。

2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。

3. 运用线性运算解决平面向量的问题。

教学难点：1. 点乘的概念和应用。

2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。

2. 学生准备：纸笔、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。

二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。

三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。

2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。

四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。

2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。

五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。

六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。

2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。

教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。

通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。

一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。

平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。

我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。

2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。

3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。

如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。

即A - A = A + (-A)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。

数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。

2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。

3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。

五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。

例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。

六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。

2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。

平面向量的线性运算教案.docx

平面向量加法及其几何意义教学目的：（1）掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.一、引入：1.向量的概念：我们把既冇大小又冇方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母万、方等农示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量乔的大小——长度称为向量的模,记作囚I.3.零向量、单位向量概念：①长度为o的向量叫零向量，记作0・0的方向是任意的.②长度为1个单位长度的向最，叫单位向最.零向量、单位向最的定义都是只限制人小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.向量万、方、8平行，记作a//b //c.5.相等向虽定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量五与5相等，记作ci = b \（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段來表示，并且与有回线段矽超處牙茨.6 •共线向量与平行向量关系：..................平行向虽就是共线向虽，这是因为任一组平行向虽都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，耍区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.空•向量概念的理解农的字母是冇顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小乂有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向最是白由向最，只有人小和方向两个要素：与起点无关：只要人小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.向量共线定理&向最b与a（a^O）共线的充要条件是有且只有一个实数X,使得b=Xa.1.向量的加法：求两个向蜃和的运算，叫做向蜃的加法.几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）•课木中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线吋同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的.如图，已知向量b・在平面内任収一点A,作AB = ci f ~BC = b ,则向量疋叫做a^b的和，记作万+方，7 + b =例长江两岸Z 间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/ho（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）（2）求船实际航行的速度的人小与方向（川江水书牍间的夹角表示，精确到度）其中错误的命题有 ________ ・（填序号）a + bA B C（2 ）对于零向量与任一向量万，有 a+O = O + a = a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量万与卩不共线时，a +卩的方向不同向，且帀+门〈帀| + |刿;（3）当厅与5同向时，则刁历.a. b 同向，且|刁+5 \ = \a\^\h |,当万与5反向时，若\a\>\b 则云+方的方向与云相同,且帀+5 \ = \a\-\b 若\a\<\b 则a^b 的方向与卩相同,且\ = \b \-\a\.（4） “向量平移”（自山向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2. 向量加法的交换律：a +H 万可以推广到rv 个向量连加.3. 向量加法的结合律: (5 + Z?) +c =5+ (b+0)变式：如图，一艘船从A 点出发以2^3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ,求船的实际航行的速度的人小与方向（用与流速间的夹和表示）.解：设而表示船垂直于对岸行驶的速度，殛表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD,则紀就是船的实际航行的速度.在RtAABC'l', lXfil=2, \BC\=2y/3 所以1討=Jl 丽2十丨阳2 “因为 tan ZCAB =空=羽二> ZCAB = 60°2 经典例题题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;② 若|a| = |b|,则 a=b ；若在若若③④⑤⑥则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形;ABCD 屮，一定^jAB = DC ；m=n, n = p, b 〃c, 则 m=p ；答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定冇相同的起点和终点，故①不正确；|a| = |b|,由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；AB=DC,可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a〃b, b〃c时，若b = 0,则a与c 不一定平行，故⑥不正确.备选变式(教师专享)设aO为单位向量,①若a为平面内的某个向量,贝ija=|a| • aO；②若a与aO平行,贝ija=|a| • aO；③若3与30平行且|a|=l,则a = aO._上述命题中，假命题个数是___________________ ・答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，3与Gbo模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与aO 平行，则a与aO方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|aO,故②、③也是假命题，填3.题型2向量的线性表示例2平行四边形OADB的对角线交点为C, BM=|BC, CN=|C D, OA = a, OB=b,用a、b表示丽、ON.MN.解：BA = a-b, BNl=|BA=|a-|b, OM=OB+BM=|a 112 2•族a+b, ON=OC+CN=^b+^b=^b=-变式训练在厶ABC 屮，E 、F 分别为AC 、AB 的屮点，BE 与CF 相交于G 点，设AB=a, AC=b,试用a, b 表示疋解：AG = AB + BG = AB+ X BE = AB+y (BA + BC) =ll —jAB+y (AC-AB) = (1- X)AB+yAC=(l-X X )a+_b.又 AG=AC + CG=AC+mCF=AC+7(CA + CB)(1) 若AB = a + b, BC = 2a + 8b, Q) = 3(a-b)・求证：A 、B 、D 三点共线；(2) 试确定实数k,使ka + b 和a + kb 共线.已知a 、b 是不共线的向量，AB= X a+b, AC=a+ ub (入、yWR),当A 、B> C 三点共线时入、u 满足的条件为 _________________ ・答案：X n =1一.选择题(每题5分)=(l-m)AC+^AB=7a+ (l-m)b,题型3共线向量例3设两个非零向量3与b 不共线.T T1•设5是。

平面向量的线性运算---说课稿

向量加法运算及其几何意义说课稿各位老师大家好！今天我说课的题目是《平面向量的加法运算及其几何意义》，选自人教版必修四第二章第二节的第一部分内容。

我的授课对象是高一学生。

下面我将从教材分析、教学方法、教学过程以及板书设计这四个方面给大家介绍我对本课的理解和设计。

一、教材分析1、教材地位向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具,在高中数学教材中，向量是一个知识的交汇点,它在平面几何、立体几何的章节中有着重要的作用。

本节课是在学习了《平面向量的实际背景及基本概念》后对向量的加法和向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及向量加法运算律作进一步的探究，初步体现向量所具有的优良运算通性；为后面学习向量的其它知识奠定基础.因此平面向量的加法运算在高中数学教学中占有重要地位。

2、教学目标。

1. 知识与技能目标：根据新课标的要求和实际情况,我希望让学生通过这节课的学习,能够掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。

2。

过程与方法目标：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，会用它们进行向量计算，初步渗透类比的数学方法。

3. 情感态度与价值观目标：通过对平面向量加法运算的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯;并且在此过程中让学生体会数学的文化价值,增强自己的数学素养，3、教学重点、难点.1 . 教学重点:向量加法的定义，会用向量加法法则及运算律求向量的和。

2。

教学难点：对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解。

二、教学方法：本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想,结合学生实际,主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法,引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力。

《平面向量的线性运算》教案17新人教A版

《平面向量的线性运算》教案17（新人教
A版必修4）
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。

三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方
向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量4．练习计算：（1）（2）（3）教材P90面5题5．思考例3．
例4．教材例7。

三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。

《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）

《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。

那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。

《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。

为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。

本节内容也是全章重要内容之一。

二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。

（2）：平面两点间的距离公式。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。

通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。

如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。

平面向量基本定理说课稿

平面向量基本定理说课稿平面向量基本定理是高中数学中的重要定理之一，它是向量运算的基础，也是解决平面向量相关问题的关键。

在这篇说课稿中，我将介绍平面向量基本定理的定义、性质以及应用，并进行相关的拓展。

一、平面向量基本定理的定义平面向量基本定理是指：如果两个非零向量的和为零向量，那么这两个向量互为相反向量。

换句话说，如果向量a+b=0，则向量a和向量b互为相反向量。

二、平面向量基本定理的性质1. 相反向量的性质：如果向量a和向量b互为相反向量，那么它们的模长相等，方向相反。

2. 零向量的性质：零向量是唯一的，任何向量与零向量的和仍为该向量本身。

3. 反向的性质：如果向量a和向量b互为相反向量，那么向量a的反向与向量b相等。

三、平面向量基本定理的应用1. 向量的加法和减法：根据平面向量基本定理，我们可以利用向量的减法将向量的加法转化为向量的减法，从而简化运算。

2. 向量的平分线问题：利用平面向量基本定理，我们可以很容易地证明平面上一条向量的平分线可以由两个相等模长但方向相反的向量所表示。

3. 向量共线问题：如果两个向量共线，那么它们可以表示为一个非零向量与一个常数的乘积关系。

利用平面向量基本定理，我们可以很容易地判断两个向量是否共线。

四、拓展在平面向量基本定理的基础上，我们可以进一步讨论以下拓展问题：1. 平面向量的线性运算：利用平面向量基本定理，我们可以定义向量的数乘和向量的数量积的概念，进一步推广和拓展平面向量的运算。

2. 平面向量的坐标表示：通过引入坐标系，我们可以将平面上的点与向量建立起一一对应的关系，从而将平面向量表示为坐标的形式，进一步推广和拓展平面向量的研究。

3. 平面向量的应用：平面向量在几何、力学、物理等领域有广泛的应用。

通过学习平面向量基本定理，我们可以应用向量的加法、减法、数量积等运算解决实际问题。

总结：平面向量基本定理是数学中的基本定理之一，它为我们解决平面向量相关问题提供了重要的基础。

2023年《平面向量》说课稿范文(精选6篇)

2023年《平面向量》说课稿范文（精选6篇）《平面向量》说课稿1各位专家：你们好！今天我说课的课题是《平面向量的概念》，这是江苏省职业学校文化课教材《基础模块·下册》第七章平面向量中的第一节的内容，我将尝试运用新课改的理念、中职学生的认知特点指导本节课的教学，新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

下面我将以此为基础从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程、教学评价等五个环节，向各位专家谈谈我对本节课教材的理解和教学设计。

一、教材分析：1、教材的地位和作用向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等，因此为后面的学习奠定了基础。

结合本节课的特点及学生的实际情况我制定了如下的教学目标及教学重难点：2、教学目标（1）知识与技能目标1）识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量；2）识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模。

3）知道零向量、单位向量的概念。

（2）过程与方法目标学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想。

（3）情感态度与价值观目标通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生团队合作的精神及积极向上的学习态度。

3、教学重难点教学重点：向量的定义，向量的几何表示和符号表示，以及零向量和单位向量教学难点：向量的几何表示的理解，对零向量和单位向量的理解二、学情分析（1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想。

（2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。

《平面向量的线性运算》说课稿新人教A版

《平面向量的线性运算》说课稿（新人教A版必修4）《向量的加法》说课稿一、教材分析：《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中"平面向量的线性运算"的第一节课。

本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。

向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。

所以本课在"平面向量"及"空间向量"中有很重要的地位。

二、学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。

学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、教学目的：1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。

能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。

掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

四、教学重、难点重点：向量的加法法则。

探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。

两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课下面是我收集的《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课，供大家参阅。

《平面向量》说课稿1说课内容：普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的;另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

必修四-2.2--平面向量的线性运算(教案)

必修四 -2.2-- 平面向量的线性运算( 教课设计)人教版新课标一般高中◎数学④必修2. 2平面向量的线性运算教课设计 A第 1课时教课目的一、知识与技术1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义 .2．会用三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量，培育数形联合解决问题的能力 .3．经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的互换律和联合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，能够合成，并且知道这些矢量的合成都依照平行四边形法例，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得1人教版新课标一般高中◎数学④必修出向量加减法的三角形法例、平行四边形法则，并对向量加法的互换律、联合律进行证明，同时运用他们进行有关计算，这可让同学们进一步增强对向量几何意义的理解．三、感情、态度与价值观1．经过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转变，培育学生的数学应意图识．2．领会数学在生活中的作用．培育学生类比、迁徙、分类、概括等能力．教课重点、难点教课重点：会用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量．教课难点：理解向量加减法的定义．教课重点：向量加法的三角形法例和平行四边形法例的研究指引 .教课打破方法：由物理中力的合成与分解拓展延长，指引学生商讨获取结论．教法与学法导航2人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法；启迪引诱，讲练联合．学习方法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启迪我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义．联合图形掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和联合律．教课准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课上一节，我们一同学习了向量的有关观点，明确了向量的表示方法，认识了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等观点，并接触了这些观点的辨析判断．数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？这一节，我们将借3人教版新课标一般高中◎数学④必修助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题研究，合作沟通提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应如何定义向量的加法？2.向量加法的法例是什么？3.与数的运算法例有什么不一样？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师指引学生回首物理中位移的观点，位移能够合成，如图．某对象从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 AB 、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC 结果相同．力也能够合成，老师指引，让学生共同研究以下的问题 .图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 GC 的方向伸长了 EO；图（2）表示撤去4人教版新课标一般高中◎数学④必修F1和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力 F1与 F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现 F 与 F1、F2之间的关系吗？力 F 对橡皮条产生的成效与力F1与 F2共同作用产生的成效相同，物理学中把力 F 叫做F1与 F2的协力．协力 F 与力 F1、F2有如何的关系呢？由图（3）发现，力 F 在以 F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启迪我们，从运算的角度看， F 能够以为是 F1与 F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．议论结果： 1.向量加法的定义：以以下图，5人教版新课标一般高中◎数学④必修已知非零向量 a、b，在平面内任取一点A，作AB =a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b= AB + BC = AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法例：（1）向量加法的三角形法例在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法例．运用这一法例时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成能够看作向量加法三角形法例的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法例如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量6人教版新课标一般高中◎数学④必修a、b 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC 就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法例．力的合成能够看作向量加法平行四边形法例的物理模型．对于零向量与任一向量 a ，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量乞降时，用三角形法例较为适合．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思虑|a+b|，|a|，|b|存在着如何的关系？3.数的运算和运算律密切联系，运算律能够有效地简化运算．近似地，向量的加法能否也有运算律呢？师生互动：察看实质例子，教师启迪学生思虑，并合时点拨，引诱，研究向量的加法在特别状况下的运算，共线向量加法与数的加法7人教版新课标一般高中◎数学④必修之间的关系．数的加法知足互换律与联合律，即对随意 a，b∈R，有 a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．随意愿量a，b的加法能否也知足互换律和联合律？指引学生绘图进行研究．议论结果： 1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点 ;在数轴上的两个向量相加，它们的和还是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当 a，b 不共线时， |a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边） ;当 a，b 共线且方向相同时， |a+b|=|a|+|b|;当 a，b 共线且方向相反时， |a+b|=|a|- |b|（或 |b|- |a|）．此中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a 的长度小于向量 b 的长度时， |a+b|=|b|- |a|．一般地，我们有 |a+b| ≤|a|+|b|．3.以下左图，作AB =a，AD =b，以 AB、AD 为邻边作 ABCD，则BC =b，DC =a．因为 AC =AB+AD=a+b， AC =AD+ DC =b+a，所8人教版新课标一般高中◎数学④必修以 a+b=b+a．如上右图，因为 AD=AC+CD=（ AB+BC）+CD=（a+b）+c，AD = AB + BD = AB +（BC+CD）=a+（b+c），所以（ a+b）+c=a+（b+c）．综上所述，向量的加法知足互换律和联合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法例和三角形法例，那么，向量的减法能否也有近似的法例？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，所以向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的观点，这个观点又该如何定义？指引学生思虑，相反向量有哪些性质？9人教版新课标一般高中◎数学④必修因为方向反转两次仍回到本来的方向，因此 a 和- a 互为相反向量．于是-（- a）=a．我们规定，零向量的相反向量还是零向量．任一直量与其相反向量的和是零向量，即a+（- a）=（- a）+a=0．所以，假如a、b 是互为相反的向量，那么a=- b，b=- a，a+b=0．A.平行四边形法例如上图，设向量AB =b，AC=a，则AD =-b，由向量减法的定义，知AE =a+（-b）=a-b．又b+ BC =a，所以BC =a- b．由此，我们获取a- b 的作图方法．B.三角形法例10人教版新课标一般高中◎数学④必修如上图，已知 a、b，在平面内任取一点O，作 OA =a，OB =b，则BA=a-b，即a-b能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．议论结果：①向量减法的定义．我们定义a- b=a+（- b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法例和三角形法例，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形联合思想的重要表现．三、拓展创新，应用提升例 1 以下左图，已知向量 a、b，求作向量a+b．活动：教师指引学生，让学生研究分别用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作11人教版新课标一般高中◎数学④必修两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生领会作法中在平面内任取一点 O 的依照——它表现了向量起点的随意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法例作图时应重申向量的起点放在一同，而用三角形法例作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点 O（上中图），作 OA =a，AB=b，则 OB =a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA =a， OB =b．以OA、OB为邻边作OACB，连结 OC，则OC =a+b．例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮渡进行运输．以以下图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及12人教版新课标一般高中◎数学④必修船实质航行的速度（保存两个有效数字）;（2）求船实质航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精准到度）．活动：本例联合一个实质问题说明向量加法在实质生活中的应用．这样的问题在物理中已有波及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，领会此中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．指引点拨学生正确理解题意，将实质问题反应在向量作图上，进而与初中学过的解直角三角形成立联系．解：如上右图所示，AD 表示船速，AB 表示水速，以 AD、AB 为邻边作 ABCD，则AC表示船实质航行的速度．（2）在 Rt△ABC 中， |AB |=2， |BC |=5，所以| |=≈5 ．AC|AB |2|BC|2 2 25229. 413人教版新课标一般高中◎数学④必修因为tan ∠ CAB=29，由计算器得∠2CAB=68°．答：船实质航行速度的大小约为 5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为 68°．评论：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例 3 如图（ 1）已知向量 a、b、c、d，求作向量 a- b，c- d．活动：教师让学生亲身着手操作，指引学生注意规范操作，为此后解题打下优秀基础;点拨学生依据向量减法的三角形法例，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（ 2），在平面内任取一点 O，作OA =a，OB =b，OC =c，OD =d．则BA=a-b，DC =c-d．例 4 如图， ABCD 中，AB =a，AD =b，你能用 a、b 表示向量AC、DB吗？14人教版新课标一般高中◎数学④必修活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其余向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法例，我们知道 AC =a+b，相同，由向量的减法，知DB = AB - AD =a-b．四、小结1．先由学生回首本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法例和平行四边形法例，向量加法知足互换律和联合律，几何作图，向量加法的实质应用．2．教师与学生一同总结本节学习的数学方法：特别与一般，概括与类比，数形联合，分类议论，特别是经过知识迁徙类比获取新知识的过程与方法．15人教版新课标一般高中◎数学④必修讲堂作业1．以下等式中，正确的个数是（）① a+b=b+a② a-b=b③ 0-a=-a ④-（- a）=a⑤a+（ - a）=0A．5B．4 C．3D．22．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边AB、BC、CA的中点，则 AF - DB等于（）A．FD B．FC C．FE D．BE3．以下式子中不可以化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BC B．（AD + MB）+（BC +CM）C．MB AD BM D．OC- OA+CD4．已知 A、B、C 三点不共线， O 是△ABC内一点，若 OA + OB + OC =0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内16人教版新课标一般高中◎数学④必修心D．外心参照答案：1．C 2．D 3．C 4．A.第 2课时教课目的一、知识与技术1．经过经历研究数乘运算法例及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量能否平行．二、过程与方法充足抓住本节教课中的学生研究、猜想、推证等活动，指引学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生研究向量数乘的结果还是向量（特别地 0·a=0），它的几何意义是把向17人教版新课标一般高中◎数学④必修量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或减小，当λ>0 时，λa与 a 方向相同，当λ<0 时，λa 与 a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量能否共线．而后对所研究的结果进行运用拓展．三、感情、态度与价值观经过研究，领会类比迁徙的思想方法，浸透研究新问题的思想和方法，培育创新能力和积极进步精神．经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用．教课重点、难点教课重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教课难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教课重点：两个向量共线的等价条件的研究过程的指引 .教课打破方法：从向量共线的定义出发，指引学生疏组议论，得出结果．教法与学法导航18人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法：问题式教课，启迪引诱．学习方法：合作商讨，在向量加减法的基础长进行推行．教课准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课前一节课，我们一同学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简易计算及推行．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法能够当作是相同实数加法的简易计算方法，那么相同向量的乞降运算能否也有近似的简易计算．二、主题研究，合作沟通提出问题：①研究：已知非零向量 a，试一试作出 a+a+a和（ - a）+（- a）+（- a）．② 你能说明它们的几何意义吗？19人教版新课标一般高中◎数学④必修③ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的地点关系吗？如何理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：指引学生回首有关知识并猜想结果，对于运算律的考证，点拨学生经过作图来进行．经过学生的着手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要指引学生特别注意 0·a=0，而不是 0·a=0．这个零向量是一个特别的向量，它仿佛很不起眼，但又到处存在，略不注意就会犯错，所以要指引学生正确理解和办理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量能够求积，可是不可以进行加、减运算，比方λ+a，λ-a 都没法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相像，不过数乘运算的分派律有两种不一样的形式：（λ+μ）a=λa+μa 和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的重点是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量能否平行（共线），实质上就是看可否找出一个实数，使得这个实数乘以20人教版新课标一般高中◎数学④必修此中一个向量等于另一个向量．必定要确实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题①，学生经过作图可发现，OC = OA +AB+ BC =a+a+a．近似数的乘法，可把a+a+a 记作3a，即OC =3a．明显 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即|3a|=3|a|．相同，由以下图可知，PN =PQ QM MN =（-a）+（-a）+（-a），即（ - a）+（- a）+（- a）=3（- a）．明显3（- a）的方向与 a 的方向相反， 3（- a）的长度是 a 的长度的 3 倍，这样， 3（- a） =- 3a．对问题②，上述过程推行后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度21人教版新课标一般高中◎数学④必修与方向规定以下：（1） |λa|=|λ||a|；（2）当λ>0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．由（1）可知，λ=0 时，λa=0．依据实数与向量的积的定义，我们能够考证下边的运算律．实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么（1）λ（μa）=（λμ）a；（2）（λ+μ）a=λa+μa；（3）λ（a+b）=λa+λb．特别地，我们有（ - λ）a=- （λa）=λ（- a），λ（a- b）=λa-λb．对问题③，向量共线的等价条件是：假如a（a≠0）与 b 共线，那么有且只有一个实数λ，使 b=λa．推证过程教师可指引学生自己达成，推证过程以下：对于向量 a（a≠0）、b，假如有一个实数λ，使 b=λa，那么由向量数乘的定22人教版新课标一般高中◎数学④必修义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即 |b|=μ|a|，那么当 a 与 b 同方向时，有 b=μa；当 a 与 b 反方向时，有 b=-μa．对于向量共线的条件，教师重点拨学生做进一步深层研究，让学生思虑，若去掉 a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是经过 0 与随意愿量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量能否共线时，只需看这两个向量的方向能否相同或相反即可，与这两个向量的长度没关．在没有指明非零向量的状况下，共线向量可能有以下几种状况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（ 5）反向且模相等；（6）反向且模不等．议论结果：①数与向量的积还是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确立，大小由 |λ|·|a|确立．②它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或23人教版新课标一般高中◎数学④必修a的反方向放大或减小．③向量的平行与直线的平行是不一样的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包括没有交点的状况，又包括两个向量在同一条直线上的情况．三、拓展创新，应用提升例1 计算：（1）（- 3）×4a；（2）3（a+b）- 2（a- b）- a；（3）（2a+3b- c）-（3a- 2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己达成，要修业生娴熟运用向量数乘运算的运算律．教课中，点拨学生不可以将此题看作字母的代数运算，能够让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特色．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于随意愿量a、b，以及随意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．24人教版新课标一般高中◎数学④必修解：（1）原式 =（- 3×4）a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b- a=5b；（3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b- 2c．评论：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程能够模仿多项式运算中的“归并同类项”．例 2 如图，已知随意两个非零向量 a、b，试作 OA =a+b，OB =a+2b，OC =a+3b．你能判断A、B、C 三点之间的地点关系吗？为何？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教课中能够先指引学生作图，经过察看图形获取 A、B、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转变为用向量共线证明三点共线．此题只需指引学生理清思路，详细过程可由学生自己完成．此外，此题是一个很好的与信息技术整合的题材，教课中能够经过计算机作图，进行动向演示，揭露向量 a、b 变化过程中， A、B、25人教版新课标一般高中◎数学④必修C三点一直在同一条直线上的规律．解：分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点A、C作直线AC（如上图）．察看发现，无论向量a、 b 如何变化，点 B 一直在直线AC上，猜想 A、B、C 三点共线．事实上，因为 AB =OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而 AC =OC - OA =a+3b-（a+b）=2b，于是 AC=2AB．所以 A、B、C 三点共线．评论：对于三点共线问题，学生接触许多，这里是用向量证明三点共线，方法是一定先证明两个向量共线，并且有公共点．教师指引学生解完后进行反省，领会向量证法的新奇独特．例 3如图，ABCD 的两条对角线订交26人教版新课标一般高中◎数学④必修于点 M，且AB =a，AD =b，你能用 a、b表示MA、MB、MC 和MD吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．此外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教课中能够给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC =AB+AD=a+b，DB=AB-AD=a-b，又∵平行四边形的两条对角线相互均分，111a-1∴MA = 2AC = 2（a+b）=22 b，MB =21 DB =12（a-b）=21a-21b，MC=1AC =1a+1b，222MD =MB=-1DB =-1a+1b．222评论：联合向量加法和减法的平行四边形法例和三角形法例，将两个向量的和或差表示27人教版新课标一般高中◎数学④必修出来，这是解决这种几何题的重点．四、小结1．让学生回首本节学习的数学知识：向量的数乘运算法例，向量的数乘运算律，向量共线的条件．2．领会本节学习顶用到的思想方法：特别到一般、概括、猜想、类比、分类议论、等价转变．讲堂作业．11（2a+8b）-（4a- 2b）]等于（）1 3 [2A． 2a- b B．2b- a C．b- a D．a- b．设两非零向量1、e2不共线，且 ke1 22e+e 与 e12共线，则 k 的值为（）+keA． 1B．- 1 C．±1D．03．若向量方 2x- 3（x- 2 a）=0，则向量x等于（）28人教版新课标一般高中◎数学④必修A．6a B．- 6a5C．6a D．6a54．在△ABC 中，AE = 1AB， EF ∥BC，EF5交 AC 于 F，设AB =a，AC =b，则BF用 a、b 表示的形式是 BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N、P 分别是AB、BC、CA 边上的凑近 A、B、C 的三均分点， O 是△ABC 平面上的随意一点，若11=________．+=1-2，则OA OB OC OM ON OP6．已知△ABC 的重心为 G，O 为坐标原点， OA =a， OB =b， OC =c，求证： OG =1（a+b+c）．3参照答案：1. B2. C3. C4 ．- a+ 1 b5 5．1 e1-1 e2．3229人教版新课标一般高中◎数学④必修6．连结 AG 并延长，设 AG 交BC于 M ．∵AB =b-a，AC=c-a，BC=c-b，∴AM=AB+1BC =（b-a）+1（ c- b） =1222（c+b- 2a）．∴AG =2AM=13（c+b-2a）．3∴OG = OA+ AG =a+1（c+b-2a）=1（a+b+c）．33教课设计 B第 1课时教课目的一、知识与技术1．理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法例和平行四边形法例；2．会用向量加法的互换律与联合律进行向量运算．二、过程与方法30人教版新课标一般高中◎数学④必修经历向量加减法观点、法例的建构过程；经过察看、实验、类比、概括等方法培育学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力．三、感情、态度与价值观经历运用数学来描绘和刻画现实世界的过程；在着手研究、合作沟通中培育学生勇于研究、敢于创新的个性质量．教课重点、难点重点：运用向量加减法的三角形法例和平行四边形法例，作两个向量的和向量和差向量．难点 :理解向量的加减法法例及其几何意义．教课假想一、创建情境：类比是人类思想中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也拥有数的特征，那么向量也应当是能够进行运算的，那么向量的运算又如何呢？31人教版新课标一般高中◎数学④必修二、研究新知：（一）教师指引学生认真阅读课本，分组议论，概括以下：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．注意：两个向量的和依旧是向量（简称和向量）2．三角形法例：a a ab bb a+a a+a+●b A B重申：（1）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点．32人教版新课标一般高中◎数学④ 必修（2）能够推行到 n 个向量连加．（ 3） a 0 0 a a ．（ 4）不共线向量都能够采纳这种法例——三角形法例．3．已知向量 a 、 b ，求作向量 a +b .作法：在平面内取一点Oa AO ，作 OA bbba ABb ，a a B则 OB a b .4．加法的互换律和平行D四边形法例a +b b+c c上题中 b + a 的结果与Aa +bCa +b 能否相同，考证结果相a b同．进而获取：B（ 1）向量加法的平行四边形法例；（ 2）向量加法的互换律： a +b = b + a .5．向量加法的联合律：（ a + b ） + c = a + （ b + c ）证：作图：使 ABa， BCb， CDc，则（ a + b ）+ c = AC CDAD，a + （ b + c ） = ABBDAD，∴（ a + b ）33人教版新课标一般高中◎数学④必修+c = a +（ b + c ）．进而，多个向量的加法运算能够依照随意的序次、随意的组合来进行．（二）教师指引学生认真阅读课本，类比向量加法的定义和运算法例，分组议论，概括以下：1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量．记作a.（2）规定：零向量的相反向量还是零向量．（ a）= a．任一直量与它的相反向量的和是零向量． a +（ a）= 0．假如 a、b 互为相反向量，则 a = b， b =a，a + b = 0．（3）向量减法的定义：．向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差．即： a b = a +（ b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．34。