气象观测站优化模型

气象观测站的优化模型

气象观测站的优化模型

摘要：

本文进行合理的的进行假设和建立模型，在保证得到降水量信息足够大的情况下减少气象观测站的数目，从而节省开支。用SPSS软件对12个观测站运用模糊聚类法进行聚类，得到12种聚类方案。我们运用2R统计量方法得到最优的分类方案，分为7类，即{1}、{2}、{3}、{4、7、12}、{5、10}、{6、11}、{8、9}。为了得到最终的优化方案，我们要从12个站中去除5个站，去除原则：设变量服从同一分布,经比较各变量的均值、标准差与总体的均值、标准差接近度几乎相同,我们标准差大的信息量大，因此保留标准差大的。

最终的优化方案：去除5个站分别是7x、8x、10x、11x、12x。

关键字：模糊聚类分析，2R统计量，伪F统计量

一、问题重述

某地区有12个气象观察站，为了节省开支，计划减少气象观察站的数目。已知该地区12个气象观测站的位置，以及10年来各站测得的年降水量，要求减少哪些观测站可以使所得的降水量的信息足够大。

二、模型假设与符号说明

2.1 模型假设

1．表中数据库存在误差，但没有错误；

2．在10年中降水量偏差较小的气象站之间具有较大的相似性；

3.相近地域的气象特征具有较大的相似性和相关性，它们之间的影响可以近似为一种线性关系；

4．该地区的地理特征具有一定的均匀性，而不是表现为复杂多变的地理特征； 5．在距离较远的条件下，由于地形、环境因素而造成不同区域的年降水量相似的可能性很小，可以被忽略。不同区域的降水量的差异主要与距离有关；

6．不考虑其它区域对本地区的影响；

7．相似性较大的气象站的降水量服从同一分布，具有相同的期望和方差。

2.2 符号说明

k S :表示类k G 中样品的类内离差平方和； k x :表示类k G 的重心；

T : 表示所有样品的总离差平方和； 2

i R ：有i 个样品被聚合成一类；

i x :表示第i 个观测站10年降水量的均值)12,2,1(⋅⋅⋅=i ；

)D i x （:表示第i 个观测站10年降水量的均值)12,2,1(⋅⋅⋅=i 。

三、问题分析

题目要求我们减少一些观测站，但获得的降水量的信息要足够大。我们首先要考虑降水量的信息问题。对一个观测站而言，减少观测站的个数，得到的信息量也必将减少，但由此可以节省开支，因此最优的结果是既要满足气象观测站的个数比较少，同时得到的信息量足够大。在这两个互相制约的方面，观测站的个数和信息量之间，应主要考虑信息量，因为信息量减少到一定程度，气象观测站就失去意义了。因此问题就是求怎样减少观测站的个数，在信息量不少于一定值的条件下使观测站的个数尽量减少。

但是，信息量是一个比较模糊的概念。为了保证信息量，我们认为在相似性很好的n个站可以去掉n-1个站，让剩下的一个站来反映这n个站的共同特点，而原始数据中的与其他站联系不大的站就保留下来。由于去掉的站是相关性好的，因此去掉的站可以用剩下的站来表示，而且误差较小。

对于此问题，我们可以利用SPSS软件将12个观测站进行聚类，再用谱系聚类法中R2统计量来评价每次合并时聚类的效果，然后确定聚成几类。

四．模型建立与求解

4.1．模型准备

4.1.1在SPSS软件中实现聚类，聚类结果如下图：

1）聚为11类:{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6、11}、{7}、{8}、{9}、{10}、{12} 2）聚为10类：{1}、{2}、{3}、{4}、{5、10}、{6、11}、{7}、{8}、{9}、{12} 3）聚为9类：{1}、{2}、{3}、{4、7}、{5、10}、{6、11}、{8}、{9}、{12} 4）聚为8类：{1}、{2}、{3}、{4、7}、{5、10}、{6、11}、{8、9}、{12} 5）聚为7类：{1}、{2}、{3}、{4、7、12}、{5、10}、{6、11}、{8、9} 6）聚为6类：{1}、{3}、{4、7、12}、{2、5、10}、{6、11}、{8、9} 7）聚为5类：{1}、{4、7、12}、{2、5、10}、{3、6、11}、{8、9} 8）聚为4类：{1}、{2、4、5、7、10、12}、{3、6、11}、{8、9} 9）聚为3类：{1}、{2、4、5、7、10、12}、{3、6、8、9、11} 10）聚为2类：{1}、{2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12} 11）聚为1类：{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12}

4.1.2设某谱系水平上类的个数是G 类，k G 中样品的类内离差平方和为：

2k ||||)()

(S k

G i i

k i T

k

G i i

x

x x x x x k

k

-=

--=

∑∑∈∈

k S 的值越小，则说明k G 中样品越相似； 在谱系的第G 层共有G 类且定义∑==G

k k S 1G P

又以T 记所有样品的总离差平方和：

2

1

1||||()(∑∑==-=--=n

i i i T

n

i i x x x x x x T ） 其中∑==n

i i x n x 11

定义T

P R G

-

=12 2R 统计量可用于评价每次合并时的聚类效果。显然1R 0≤≤，当n 个样品各自成

一类时，12=R ；当n 个样品合并成一类时，02=R 。2R 的值总是随着分类数目的减少而减少，可以从2R 的值的变化看n 个样品分成几类最合适。

4.2模型的求解 4.2.1.根据T

P R G -

=12求得2

i R 2

i R 2

1R 2

2R 2

3R 2

4R 2

5R 2

6R

1

0.965

2

0.933

3

0.892

4

0.847

6

0.798

2

i R 2

7R 2

8R 2

9R 2

10R 2

11R 2

12R

0.627

7 0.505

1

0.336

6.

0.157

6

0.134

4

4.2.2根据2R 统计量的变化量来确定分为几类比较合适。 令11,2++-=i i i i R R R )11,2,1(⋅⋅⋅=i

1

,2+i i R

2,12R 3,22R 4,32R 5,42R ,652R ,762R

0.030.030.040.040.040.17